商用微積分 CH2 函數、極限與導函數

函數 給定兩個集合A及B，若集合A中每一元素均在集合B中指定一唯一的元素與之對應，這種對應的關係稱為函數(function)。 CH2 函數、極限與導函數 第50頁

自變數與依變數 給定函數 f(x)（或以y ＝ f(x)表示），我們稱 x為自變數(independent variable)。 y 變數的值則由x值來決定，所以稱 y為依變數(dependent variable)。 CH2 函數、極限與導函數 第52頁

單變數函數的圖形 函數f 的圖形乃是xy座標平面上所有點(x,y)的集合，其中x在 f 的定義域中，且y ＝ f(x)。 CH2 函數、極限與導函數 第53頁

f 的圖形 CH2 函數、極限與導函數 第54頁

垂直線測試法 若且唯若任一垂直線與曲線至多相交於一點，則此 xy 平面上的曲線才是某函數 y ＝ f(x)的圖形。 CH2 函數、極限與導函數 第57頁

垂直線測試法 CH2 函數、極限與導函數 第57頁

函數的四則運算 令兩函數f與g的定義域分別為A與B，則此二函數的和(sum) f＋g，之差(difference) f－g，之積(product) fg 的定義域均為A∩B（A與B 的交集），其運算法則如下： 至於兩函數的商(quotient) f/g的定義域也是A∩B，但要排除所有使得g(x)＝ 0的x 點，其運算法則為 和 差 積 商 CH2 函數、極限與導函數 第63頁

兩函數的合成 兩函數f與g的合成函數g。f 定義為 g。f的定義域為 f 之定義域中，所有使得 f(x) 均在 g 之定義域之 x 的集合。 CH2 函數、極限與導函數 第65頁

兩函數的合成 CH2 函數、極限與導函數 第65頁

數學模型 CH2 函數、極限與導函數 第69頁

需求、供應曲線及供需平衡 CH2 函數、極限與導函數 第77頁

應用例題5 供應－需求 某藍芽無線電耳機的需求函數為 對應的供應函數則為 其中 p 是以元計而 x 是以千副計。求平衡量和平衡價。 CH2 函數、極限與導函數 第77頁

解 我們要求解下列的方程式組： 將第一式代入第二代得 亦即 CH2 函數、極限與導函數 第77-78頁

解 所以 及x = 20。因 x 必須為正，取 x = 20，也就是平衡量為20,000 副。平衡價則為 即每副40 元（見圖20）。 CH2 函數、極限與導函數 第78頁

建構數學模型的準則 1. 對問題中的變數以字母來表示。盡可能畫圖並加註符號。 2. 針對欲求解的變數，找出合宜的表示式。 3.依題意，將欲求解的變數寫成單變數的函數。注意，我們必須考慮日常生活問題實際上對 f 之定義域的限制。 CH2 函數、極限與導函數 第78頁

微積分簡介 1. 求曲線上在給定點處的切線方程式（見圖22a）。 2. 求平面上任意曲線所圍成之區域的面積（見圖22b）。 CH2 函數、極限與導函數 第85頁

極限的非正式定義 函數的極限 當 x 趨近 a 時，函數 f 的極限(limit) L可用數學式寫成 只要我們選取足夠接近 a 值的 x（但不等於a），f(x) 值就可無限制地接近L。 CH2 函數、極限與導函數 第88頁

定理1 極限的性質 已知 則 r 為實數 c 為實數 只要M ≠ 0 就成立 CH2 函數、極限與導函數 第91頁

不定型 函數 的分子和分母在 x 趨近 2 時均趨近零，也就是商變成 0/0 的型式。此時，我們稱商f(x)/g(x) 在 x 趨近 2 的極限為不定型(indeterminate form) 0/0。 CH2 函數、極限與導函數 第92頁

不定型求極限的策略 1. 找出可取代原函數的新函數，除在 x＝0 處之外，此一新函數與原函數有相同的函數值。 2. 求當 x 趨近 a 時，新函數的極限值。 CH2 函數、極限與導函數 第92頁

例6 求 CH2 函數、極限與導函數 第93頁

解 當h趨近零時，我們得不定型0/0。接下來，對分子和分母同乘以 來將分子有理化，於是得 CH2 函數、極限與導函數 第93-94頁

解 所以 CH2 函數、極限與導函數 第93-94頁

圖30 CH2 函數、極限與導函數 第95頁

函數在無窮的極限 當x 夠大時 f(x)的值可以隨意接近 L，也就是x 無限制地增加（或 x 趨近無窮）時函數 f 的極限為 L，則可寫成 同理，當 x 為負值且絕對值足夠大時 f(x) 的值可以隨意接近M，也就是x 無限制地減少（或 x 趨近負無窮）時函數 f 的極限為 M，則可寫成 CH2 函數、極限與導函數 第95頁

定理2 對所有的 n＞0，只要 有定義，則 且 CH2 函數、極限與導函數 第96頁

單邊極限 若x在a 的右方，當我們取足夠接近a 的x 值（但不等於 a）時，f(x)值會極接近 L，就稱 f 有右極限(right-hand limit) L且寫成 同理，若 x 在a 的左方，當我們取足夠接近a 的 x 值（但不等於 a）時，f (x)值會極接近M，就稱 f 有左極限(left-hand limit) M且寫成 CH2 函數、極限與導函數 第102頁

定理3 令f(x)為除了在 x＝a 之外，在所有接近 a 的每一處都有定義，則 CH2 函數、極限與導函數 第103頁

圖34 CH2 函數、極限與導函數 第103頁

函數在某一點的連續性 若下列三個條件皆成立，則稱函數在x＝a 點連續。 1. f(a)有定義 2. 存在 3. 2. 存在 3. CH2 函數、極限與導函數 第104頁

f的圖形在區間(a,b)連續。 CH2 函數、極限與導函數 第104頁

例2 求可使下列各函數為連續的 x 值。 各函數的圖形如圖37所示。 CH2 函數、極限與導函數 第105頁

解 a. 對所有的實數x，f(x)都符合連續性的三個條件，所以f在整條實數線上連續。 b.因為g在x＝2 無定義，所以g在x＝2不連續，但在其餘各點均連續。 c. 因 ，所以h(x)在x＝2不連續，但在其餘各點均連續。 d. F(x)在x＝0的極限不存在，所以F在x = 0 不連續，但在其餘各點均連續（見2.4 節例3a）。 e. 因G(x)在x = 0的極限不存在，所以G在x = 0不連續，但在其餘各點均連續。 CH2 函數、極限與導函數 第105頁

解 CH2 函數、極限與導函數 第105頁

連續函數的性質 1. 常數函數 f(x) = c 在整條實數線上連續。 2. 恆等函數 f(x) = x 在整條實數線上連續。 若f 與g在x = a 均連續，則 3. 只要[f(x)]n在x = a有定義，則[f(x)]n在x = a為連續，其中n為任意實數。 4. f ± g在x = a連續。 5. fg在x = a連續。 6. 只要g(a) ≠ 0，f/g在x = a連續。 CH2 函數、極限與導函數 第106頁

多項式函數與有理函數的連續性 1. 多項式函數 y = P(x) 在整條實數線上連續。 2. 有理函數 R(x) = p(x)/q(x)在任何 q(x) ≠ 0之x 點處連續。 CH2 函數、極限與導函數 第106頁

定理4 中間定理 已知f在一閉區間[a, b] 上為連續函數，且M為 f(a) 與 f(b)之間的任意數，則在區間[a, b]中必至少存在某數 c，使得 f(c)＝ M（見圖41）。 CH2 函數、極限與導函數 第108頁

定理5 戡根定理 已知函數 f 在閉區間[a, b]上連續，若 f(a)與f(b)異號（一正一負），則在區間(a, b)中f(x)＝0 至少有一解（根）（見圖42）。 CH2 函數、極限與導函數 第109頁

切線的直覺解釋 CH2 函數、極限與導函數 第115頁

割線的變化 CH2 函數、極限與導函數 第117頁

切線的斜率 函數 f 在點P(x, f(x)) 的切線斜率定義為 倘若極限存在。 CH2 函數、極限與導函數 第117頁

圖49 CH2 函數、極限與導函數 第118頁

平均變化率及瞬時變化率 f在區間[x, x＋h] 的平均變化率，或 f 圖形上通過點(x, f(x))及(x＋h, f(x＋h)的割線斜率為 f 在x 的瞬時變化率或 f 圖形在(x, f(x))的切線斜率為 CH2 函數、極限與導函數 第118-119頁

函數的導函數 函數f對x的導函數為函數f'(讀做f prime），定義為 f'的定義域為所有使(11)式之極限存在的 x 集合。 CH2 函數、極限與導函數 第119頁

圖50 CH2 函數、極限與導函數 第119頁

例4 令f(x) = x2－4x。 a.求f'(x)。 b.在 f 的圖形上，哪一點有水平切線？ c.畫出 f 的圖形，以及在(b)中所求的點及其切線。 d. f 在該點的變化率為多少？ CH2 函數、極限與導函數 第121頁

解 a. 以四步驟來求f'(x)： CH2 函數、極限與導函數 第121頁

解 b.水平切線的斜率為零，亦即f的導函數為零。所以滿足f' (x)＝0 的點即為我們所要的，現在2x－4＝0 或 x＝2，對應的 y 值為y＝f(2)＝-4，所以題目要的點為(2,-4)。 c. 圖52為 f 及切線的圖形。 d. f 在 x＝2的變化率為零。 CH2 函數、極限與導函數 第121-122頁

變化率的應用 CH2 函數、極限與導函數 第125頁

函數的可微性 CH2 函數、極限與導函數 第125頁

可微性與連續性 若函數在 x＝a 為可微則必在 x＝a連續。 CH2 函數、極限與導函數 第126頁

圖57 CH2 函數、極限與導函數 第127頁

第2章公式總整理 CH2 函數、極限與導函數 第130-131頁