3.1 矩陣的行列式 3.2 使用基本運算求行列式 3.3 行列式的性質 3.4 特徵值介紹 3.5 行列式的應用 第三章 行列式 3.1 矩陣的行列式 3.2 使用基本運算求行列式 3.3 行列式的性質 3.4 特徵值介紹 3.5 行列式的應用 Elementary Linear Algebra 投影片設計製作者 R. Larsen et al. (6 Edition) 淡江大學 電機系 翁慶昌 教授

3.1 矩陣的行列式 2 × 2 矩陣的行列式 (determinant) 注意： 線性代數: 3.1節 p.152

範例 1：二階矩陣的行列式 注意： 矩陣的行列式可以為正、零或負值。 線性代數: 3.1節 p.153

由A消去第i列和第j行所形成矩陣的行列式 的子行列式 (minor) 由A消去第i列和第j行所形成矩陣的行列式 餘因子 (cofactor) 線性代數: 3.1節 p.153

範例 2： 線性代數: 3.1節 p.154

注意:餘因子的符號型式 3 × 3 矩陣 4 × 4 矩陣 n ×n 矩陣 注意： 奇數位置(i+j是奇數)為負號，並且 線性代數: 3.1節 p.154

範例 2：求A所有的子行列式和餘因子 解：(1) 所有A的子行列式 線性代數: 3.1節 pp.154-155

解：(2) 所有A的餘因子. 線性代數: 3.1節 pp.154-155

定理 3.1： 餘因子展開 (expansion by cofactors) 令A是n階方陣，則A的行列式為 (第i列展開) i=1, 2,…, n 或 (第j行展開) j=1, 2,…, n 線性代數: 3.1節 p.155

範例：3階矩陣的行列式 線性代數: 3.1節 補充

範例3：3階矩陣的行列式 解： 線性代數: 3.1節 p.156

範例5：(3階矩陣的行列式) 解： 線性代數: 3.1節 pp.158-159

包含較多0的列(或行)通常是餘因子展開的最佳選擇。 注意： 包含較多0的列(或行)通常是餘因子展開的最佳選擇。 例題4：(4階矩陣的行列式) 線性代數: 3.1節 p.157

解： 線性代數: 3.1節 pp.157-158

3×3矩陣的行列式 減這三個乘積 加這三個乘積 線性代數: 3.1節 p.158

範例 5： -4 6 16 -12 線性代數: 3.1節 p.159

上三角矩陣 (upper triangular matrix) 矩陣之主對角線下方的元素都為零 下三角矩陣 (lower triangular matrix) 矩陣之主對角線上方的元素都為零 對角矩陣 (diagonal matrix) 矩陣之主對角線上方和下方的元素皆為零 注意： 一個矩陣同時為上三角與下三角被稱為對角(diagonal) 線性代數: 3.1節 p.159

範例： 上三角矩陣 下三角矩陣 對角矩陣 線性代數: 3.1節 p.159

若 A 是 n 階三角矩陣，則它的行列式為主對角線上元素的乘積。即 定理 3.2： 三角矩陣的行列式 若 A 是 n 階三角矩陣，則它的行列式為主對角線上元素的乘積。即 線性代數: 3.1節 p.160

範例 6： 求下列矩陣的行列式 (a) (b) 解： (a) |A|=(2)(-2)(1)(3)=-12 線性代數: 3.1節 p.161

摘要與複習 (3.1節之關鍵詞) determinant : 行列式 minor : 子行列式 cofactor : 餘因子 expansion by cofactors : 餘因子展開 upper triangular matrix: 上三角矩陣 lower triangular matrix: 下三角矩陣 diagonal matrix: 對角矩陣

3.2 使用基本運算求行列式 定理 3.3： 基本列運算和行列式 令 A 和 B 是方形矩陣 線性代數: 3.2節 pp.165-166

範例： 線性代數: 3.2節 補充

注意： 線性代數: 3.2節 p.166

注意： 方陣的列梯形形式為上三角矩陣 範例 2： 使用基本列運算求行列式值 解： 線性代數: 3.2節 p.166

線性代數: 3.2節 p.167

注意： 線性代數: 3.2節 補充

行列式與基本列運算 定理： (基本列運算與行列式) 令 A 和 B 是方形矩陣 線性代數: 3.2節 p.167

範例： 線性代數: 3.2節 p.167

若A是方陣並且下列任何的條件是成立的，則det (A) = 0 定理 3.4： 產生零行列式的條件 若A是方陣並且下列任何的條件是成立的，則det (A) = 0 (a) 一整列(或一整行)全為零 (b) 兩列(或行)是相等的 (c) 某一列(或行)是另一列(或行)的倍數 線性代數: 3.2節 p.168

範例： 線性代數: 3.2節 補充

注意： 餘因子展開 列簡化 n階 加法 乘法 3 5 9 10 119 205 30 45 3628799 6235300 285 339 線性代數: 3.2節 p.170

範例 5：求行列式 解： 線性代數: 3.2節 p.170

範例 6：求行列式 解： 線性代數: 3.2節 p.171

線性代數: 3.2節 p.172

3.3 行列式的性質 定理 3.5：矩陣相乘的行列式 det (AB) = det (A) det (B) 注意: (1) det (EA) = det (E) det (A) (2) (3) 線性代數: 3.3節 p.175

範例 1: 矩陣相乘的行列式 求 |A|、|B| 與 |AB| 解： 線性代數: 3.3節 p.175

檢查: |AB| = |A| |B| 線性代數: 3.3節 p.176

若A是一個n × n 矩陣並且c是一個純量，則 定理 3.6：矩陣純量積的行列式 若A是一個n × n 矩陣並且c是一個純量，則 det (cA) = cn det (A) 範例 2： 求 |A| 解： 線性代數: 3.3節 p.177

方陣A是可逆(非奇異)若且唯若 det (A)  0 定理 3.7：可逆矩陣的行列式 方陣A是可逆(非奇異)若且唯若 det (A)  0 範例 3：下列兩個矩陣那一個是可逆? 解： A是不可逆(奇異) B是可逆(非奇異) 線性代數: 3.3節 p.178

定理 3.8：反矩陣的行列式 定理 3.9：轉置的行列式 範例 4： (a) (b) 解： 線性代數: 3.3節 pp.180~182

(2) 對每一個n × 1矩陣b，Ax = b 具有唯一解 非奇異矩陣的等價條件 若A是一個n × n矩陣，下列敘述是等價的 (1) A是可逆 (2) 對每一個n × 1矩陣b，Ax = b 具有唯一解 (3) Ax = 0 只有顯然解 (4) A列等價於In (5) A可以寫為一些基本矩陣的相乘 (6) det (A)  0 線性代數: 3.3節 p.181

範例 5：下列系統何者有唯一解? (a) (b) 線性代數: 3.3節 p.181

解： (a) 這個系統沒有唯一解 (b) 這個系統有唯一解 線性代數: 3.3節 p.182

3.4 特徵值的介紹 特徵值問題 (eigenvalue problem) 若A為一nn矩陣，在Rn中是否存在著非零向量x，使得Ax與x之間存在著倍數關係？ 特徵值(eigenvalue)與特徵向量(eigenvector) A：nn 矩陣 ：純量 x： Rn中的非零向量 特徵值 (特徵值問題的基本方程式) 特徵向量 線性代數: 3.4節 p.187

範例 1： 證明特徵值與特徵向量 特徵值 特徵向量 特徵值 特徵向量 線性代數: 3.4節 p.188

A的特徵方程式 (characteristic equation) AMnn: 問題： 給予一個 nn 矩陣A， 如何求其特徵值與其對應之特徵向量？ 注意： (齊次系統) 當 時有非零解，若且唯若 A的特徵方程式 (characteristic equation) AMnn: 線性代數: 3.4節 p.188

範例 2： 求特徵值與特徵向量 解：特徵方程式： 特徵值： 線性代數: 3.4節 p.189

線性代數: 3.4節 p.189

範例 3： 求特徵值與特徵向量 解：特徵方程式： 線性代數: 3.4節 p.190

線性代數: 3.4節 p.191

線性代數: 3.4節 p.192

3.5 行列式的應用 A的餘因子矩陣 (matrix of cofactors of A) 3.5 行列式的應用 A的餘因子矩陣 (matrix of cofactors of A) A的伴隨矩陣 (adjoint matrix of A) 線性代數: 3.5節 p.195

定理 3.10： 矩陣之伴隨矩陣所表示的反矩陣 若A是一個 n × n 可逆矩陣，則 範例： 線性代數: 3.5節 p.196

範例1 及 範例2： (a)求A的伴隨矩陣 (b)使用A的伴隨矩陣來求 解： 線性代數: 3.5節 p.195

A的餘因子矩陣 A的伴隨矩陣 A的反矩陣 檢查： 線性代數: 3.5節 pp.195-198

定理 3.11： Cramer 法則 (Cramer’s Rule) (系統有唯一解) 線性代數: 3.5節 p.200

( i.e. ) 線性代數: 3.5節 p.200

證明： A x = b, 線性代數: 3.5節 p.201

線性代數: 3.5節 p.201

範例4： 使用Cramer法則對下列線性方程式系統求解 解： 線性代數: 3.5節 p.201

線性代數: 3.5節 p.202

線性代數: 3.5節 p.202

線性代數: 3.5節 p.202-203

線性代數: 3.5節 p.203

線性代數: 3.5節 p.203-204

線性代數: 3.5節 p.204

線性代數: 3.5節 p.204

線性代數: 3.5節 p.205

線性代數: 3.5節 p.205

線性代數: 3.5節 p.206

線性代數: 3.5節 p.206-207

Keywords in Section 3.5: matrix of cofactors : 餘因子矩陣 adjoint matrix : 伴隨矩陣 Cramer’s rule : Cramer 法則