空间向量的坐标运算 （一） 儋州市第一中学数学组 吴应杰
空间向量的基本定理： 如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使得： 叫做空间的一个______ 基底 空间任意三个不共面向量都可以构成空间的一个基底
一、空间直角坐标系 单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基 向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基 底，常用 i , j , k 来表示. 空间直角坐标系：在空间选定一点 O和一个单位正交基底 i、j、k 。以点O为 原点，分别以i、j、k的正方向建立三条数 轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这 样就建立了一个空间直角坐标系O--xyz O x y z i j k 点O叫做原点，向量i、j、k都叫做坐标向量.通过每两 个坐标轴的平面叫做坐标平面。分别称为xOy平面,yOz平 面,xOz平面.
二、向量的直角坐标 =( 1 , 2, 3) x y z O A(a1,a2,a3) i j k 给定一个空间坐标系和向 由空间向量基本定理，存在唯一的 有序实数组( 1, 2, 3)使 = 1i+ 2j+ 3k 有序数组( 1, 2, 3)叫做 在空间直角坐标系O--xyz中的坐标，记作. =( 1 , 2, 3)
在空间直角坐标系O--xyz中，对空间任一点A, 对应一个向量OA，于是存在唯一的有序实数组 x,y,z，使 OA=xi+yj+zk x y z O A(x,y,z) i j k 在单位正交基底i, j, k中与向量OA对应的有序实数组(x,y,z)，叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x,y,z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.
练习1 如图建立直角坐标系,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2， 求正方体各顶点的坐标 z x y A B C D 1
练习2 如图在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，取D点为原点 建立空间直角坐标系，O、M、P、Q分别是AC、DD1、 CC1、A1B1的中点，写出下列向量的坐标. z x y A B C D 1 O M P Q
三、向量的直角坐标运算. 设 则
AB=OB-OA=(x2,,y2,z2)-(x1,y1,z1) =(x2-x1,y2-y1,z2-z1). 设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则 AB=OB-OA=(x2,,y2,z2)-(x1,y1,z1) =(x2-x1,y2-y1,z2-z1). 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 空间向量坐标运算法则，关键是注意空间几何关系与向量坐标关系的转化，为此在利用向量的坐标运算判断空间几何关系时，首先要选定单位正交基，进而确定各向量的坐标。
例1 已知a=(2,-3,5),b=(-3,1,-4),求a+b,a-b,8a, a b Y X Z A B C D E F 例2 在正方体 ABCD—A1B1 C1D1 中 E、F 分别是 BB1 、 CD 的中点 ， 求证： D1F 平面ADE