Chapter 5 隨機變數與機率分配 5.1　隨機變數 5.2　機率分配

樣本空間、隨機變數與機率分配三者間的關係 隨機試驗：擲一硬幣兩次 HH HT TH TT 2 1 樣本空間 S 隨機變數可能值 x 機率值 P(X=x) X：正面個數 機率分配f(x) 樣本空間、隨機變數與機率分配三者間的關係

5.1 隨機變數 在一隨機試驗中，根據某一特定關係， 將各試驗結果(樣本點)對應至一實數值。 5.1　隨機變數 在一隨機試驗中，根據某一特定關係， 將各試驗結果(樣本點)對應至一實數值。 此實數值為一變數，其發生與否具有機率性，稱為隨機變數。

隨機試驗：投擲10元硬幣三次 樣本點 出現正面的次數X 正正正 3 正正反 正反正 2 反正正 正反反 1 反正反 反反正 反反反 X的可能值為0,1,2,3

隨機試驗：投擲2粒骰子 2 8 3 9 4 10 5 11 6 12 7 點數和X 點數和X 樣本點 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66 2 8 3 9 4 10 5 11 6 12 7 X的可能值為2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12

2 1 隨機試驗：自一含3黑球和2白球的袋子取出2球 樣本點 取出黑球個數X X的可能值為0,1,2           2 1 X的可能值為0,1,2

1.寫出下列各隨機變數的可能值 擲二粒骰子，令點數的乘積為隨機變數X 擲一粒骰子，直到出現點數1為止，令投擲次數為隨機變數X

隨機變數分類 間斷隨機變數: 若隨機變數之可能值的個數為有限個或為無限但可數的（countable） 連續隨機變數: 可能值為某區間內的任何值，也就是無限且不可數（uncountable infinite）

2.下列隨機變數中，哪些是間斷隨機變數？哪些是連續隨機變數？ (1)台北市一週內嬰兒出生的人數。 (2)職棒一場比賽所需的時間。 (3)國產汽車保養廠每天進廠維護之車輛數。 (4)新竹科學園區每天的總耗電量。 (5)翡翠水庫今年六月的降雨量。 (6)一年甲班全班平均身高。 (7)王小美參加今年學測國文科答對的題數。 解：間斷隨機變數： 連續隨機變數： (1)、(3)、(7) (2)、(4)、(5)、(6)

5.2 機率分配 間斷機率分配 一間斷隨機變數X之機率分配， 指將各個不同的x值與其對應之機率值一一列出的表， 5.2　機率分配 間斷機率分配 一間斷隨機變數X之機率分配， 指將各個不同的x值與其對應之機率值一一列出的表， 有時亦可以一公式來取代其詳細的表列。

間斷機率分配函數 間斷隨機變數X的某一x的機率以P(X=x)表示。 通常可以f(x)表示，即f(x)= P(X=x) 例如: f(3)= P(X=3)表示X為3的機率 稱 f(x)為X的機率結集函數 pmf :（probability mass function） 其中f(x)具有二個特性： (1) 0≦f(x)≦1 (2) Σf(x)=1

3.假設隨機變數X的機率分配如下， x 0 1 2 3 4 5 f(x) C 2C 3.5C 2C C 0.5C 試求：Ｃ=

4.下列各函數是否可為機率函數?

隨機試驗：投擲10元硬幣三次 樣本點 出現正面的次數X 正正正 3 正正反 正反正 2 反正正 正反反 1 反正反 反反正 反反反

隨機試驗：投擲2粒骰子 點數和X 點數和X 樣本點 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66 2 8 3 9 4 10 5 11 6 12 7 x　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 　f(x)

2 1 x 0 1 2 f(x) 1/10 6/10 3/10 隨機試驗：自一含3黑球和2白球的袋子取出2球 樣本點 取出黑球個數X           2 1 x 0 1 2 f(x) 1/10 6/10 3/10

機率分配圖 機率分配除了用列表及公式來表示外，也可以用圖形來表示。 有線圖和長條圖。

5.張老師在國文小考考卷上出了3題選擇題，第一題為5選1，第二題為4選1，第三題為3選1。今有一位學生因考前毫無準備，故決定以隨機方式猜題； 令X表此學生猜對之題數。 (1)請列出X之全部可能值。 (2)求出X之機率分配。

6.某賣場業務經理為了了解顧客使用信用卡結帳之情形而做了一項研究，發現顧客使用信用卡消費之百分比為70%。現有三位顧客剛結完帳，設X為這三位顧客中使用信用卡結帳的人數，求X的機率的分配。

7.消保官接到民眾檢舉有廠商用舊的映像管拼裝新電視，故前往賣場抽查電視機。假定賣場的四台電視機中有兩台為拼裝貨，但消保官並不知情，而由此四台電視機中隨意檢驗兩部，設Y為抽出之拼裝電視機數。 求Y的機率分配。

8.某考試有5題選擇題，每題有5個答案，只有1個是正確的。若依考生全用猜測選答，設X為其答對的題數。 試寫出X機率分配函數。

9.某餐廳接受客人訂位，該餐廳共有座位4桌，依過去經驗，訂位後會來用餐的比例為80%，某天晚餐此餐廳接受5位顧客訂位，設x為訂位後有來用餐的顧客數，試問： 試寫出x的機率分配函數。

2. 連續機率分配 連續隨機變數的機率分配是表示，連續隨機變數的任意兩變量間發生機率的分布情形。

連續隨機變數的機率密度函數 函數f(x)乃描述一連續隨機變數X之機率分配，且具有下列之特性 對於X之所有可能值的範圍而言，f(x)≥0。 機率密度曲線以下所涵蓋的總面積等於1。 P(a≤X≤b)＝ P(X=a)=為0 f(x)稱為X的機率密度函數(probability density function)，簡稱pdf。

P(a<X<b)=P(X<b)P(X<a) P(X>b)=1P(X<b)

機率密度函數 (1)請找出c值 (2)求P(1<X<2)=

假定某校統計學考試時間為90分鐘，設X 表示學生實際所用時間，且已知其機率分配為： 試求：(1)P(X<30) (2)P(60X90)

10. 設隨機變數X的機率密度函數如下： 試求P(1<X<5)