参数估计 参数估计问题：知道随机变量（总体）的分布类型， 但确切的形式不知道，根据样本来估计总体的参数，这 类问题称为参数估计。 参数估计的类型——点估计、区间估计

参数的估计量 设总体的分布函数为F(x,)（未知），X1，X2，…，Xn 为样本，构造一个统计量 来估计 为样本，构造一个统计量 来估计 参数，则称 为参数的估计量。 将样本观测值 代入 ， 得到的值 称为参数的估计值。

点估计：如果构造一个统计量 来作为参数的估计量，则称为 参数的点估计。 区间估计：如果构造两个统计量 而用 来作为参数可能取值范围的估计，称为 参数的区间估计。

参数的点估计 点估计的方法 矩法、最大似然法 矩法估计 用样本的矩作为总体矩的估计量

（大数定律）若随机变量序列{Yn}独立同分布，且有相同的数学期望.则对于任意 > 0,恒有 设X1，X2，… ， Xn为来自总体X的样本，则 总体的k阶原点矩 样本的k阶原点矩

总体的 阶原点矩，记作 样本的 阶原点矩，记作 得m个方程构成方程组，解得的 即为参数 的矩估计量，代入样本观测值，即得参数 的矩估计值。

注：也可以用样本的中心矩估计相应的总体中心矩 总体的 阶中心矩，记作 样本的 阶中心矩，记作 总体的k阶中心矩 样本的k阶中心矩

例1 对容量为n的样本，求下列密度函数中参数 的 矩估计量。 解 由于 所以由矩法估计，令 解得 所以，参数 的矩估计量为

例2 设X1，X2，…，Xn为总体X的样本，试求下列总体 分布参数的矩估计量。 解 （1）由于 所以参数和2的矩估计量为 （2）由于 令 得参数p的矩估计量为

例2 设X1，X2，…，Xn为总体X的样本，试求下列总体 分布参数的矩估计量。 （3）由于 所以参数的矩估计量为 或 可见：同一个参数的矩估计量可以不同。所以统计量 存在“优、劣”之分。

例3 设总体X服从[1， 2]上的均匀分布， 1<2，求 1， 2的矩估计量， X1，X2，…，Xn为X的一个样本。 解 由于 所以由矩法估计，令 解得

例4 设某总体X的数学期望为EX=a，方差DX=b，X1， X2，…，Xn为样本，试求a和b的矩估计量。 解 总体的1,2阶原点矩分别为 样本的2阶原点矩分别为 由矩法估计，令 所以

结论：不管总体X服从何种分布，总体期望和方差 的矩估计量分别为样本均值和 ，即 估计值为

假设在一个罐中放着许多白球和黑球，并假定已经知道两种球的数目之比是1:3，但不知道哪种颜色的球多。如果用放回抽样方法从罐中取5个球，观察结果为： 黑、白、黑、黑、白，估计黑球的概率p.

似然函数的定义

最大似然估计法

例5 解 似然函数

对数似然函数

例6 解

似然函数的定义

例7 解

例8 解 似然函数为

它们与相应的矩估计量相同.

例9 设某总体X的密度为 (X1，X2，…，Xn)为取自X的样本， 试求的矩估计量和最大似然估计量。 矩估计 的矩估计量

最大似然估计 的最大似然估计量

例10 设某总体X的分布律为 现得到样本观测值为2,3,2,1,3, 试求的矩估计量和最大似然估计量。 矩估计 的矩估计量

最大似然估计 的最大似然估计量

对于同一个参数,用不同的方法可以得到不同的估计量. 现在的问题是,当同一参数出现多个估计量时,究竟哪一个更好呢 对于同一个参数,用不同的方法可以得到不同的估计量. 现在的问题是,当同一参数出现多个估计量时,究竟哪一个更好呢? 这就涉及到用什么标准来评价估计量的问题. 确定估计量好坏的标准必须是整体性的,说得明确一点就是,必须在大量观察的基础上从统计的意义上来评价估计量的好坏.也就是说,估计的好坏取决于估计量的统计性质.一般认为,一个“好”的估计量应该具有如下的条件:

一、无偏性 估计量是随机变量, 对于不同的样本值就会得到不同的估计值, 希望估计值在未知参数真值左右徘徊, 最好它的数学期望等于未知参数的真值, 这就导致了无偏性这个标准。 定义

样本方差 样本均值 是EX的无偏估计， 样本方差 是DX的无偏估计。

样本二阶中心矩 如果 但， 则称 是 的渐近无偏估计量 不是DX的无偏估计， 但它是DX的渐近无偏估计.

例1 证 例2 证

二、有效性 一般来说,一个参数往往有多个无偏估计量. 若 有两个无偏估计量: , 则 当a+b=1时都是 的无偏估计量。 估计量的无偏性只保证了估计量的取值在参数真值周围波动,但是波动的幅度有多大呢?自然的, 我们希望估计量波动的幅度越小越好,幅度越小,则估计量取值与参数真值有较大偏差的可能性越小,而衡量随机变量波动幅度的量就是方差.这样就有了我们下面要介绍的有效性的概念.

定义 例3

三、相合性 定义 直观上看,当n增大时,样本信息增多,当然希望估计量越来越靠近真值的概率也越来越大, 这种想法就引出了上面的一致性概念. 一致估计量一般地是当样本容量很大时,才能显示其优点.

（大数定律）若随机变量序列{Yn}独立同分布，且有相同的数学期望.则对于任意 > 0,恒有 设X1，X2，… ， Xn为来自总体X的样本，则

可以证明， 是DX的一致估计量。 样本均值是总体均值的相合(一致)估计. 样本方差是总体方差的相合(一致)估计.

引例 为了估计某厂生产的灯泡的平均使用寿命，现从中 随机抽取5只，测量其寿命如下：1455，1502，1370， 1610，1430，则该厂灯泡的平均使用寿命的点估计值为 可以认为该种灯泡的使用寿命在1473.4个单位时间左右， 但范围有多大呢？又有多大的可能性在这“左右”呢？

（ ） 也就是说，我们希望确定一个(随机)区间，使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值. 真值 （ ） 这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的 ， 称为置信度或置信水平. 习惯上把置信水平记作 ，这里 是一个 很小的正数.

不同的置信水平，参数的置信区间不同.

要求 以很大的可能被包含在置信区间内,就是说 , 概率 要尽可能大,即要求估计尽量可靠.区间的长度反映了估计的精度. 区间估计中的精确性与可靠性是相互矛盾的.当样本容量一定时,提高估计的可靠度，将降低估计的精度；相反，提高估计的精度，将降低估计的可靠度.在实际使用中,总是在保证一定的可靠度的情况下尽可能地提高其精度.

区间估计的步骤

正态总体方差已知，对均值的区间估计 u/2  /2 -u/2 x (x) 如果总体X~N（，2），其中2已知，未知， 对给定的置信水平1-，对做区间估计。 取U-统计量 (x) O u/2  /2 -u/2 x 从而得的置信水平为1-的置信区间为

例1 某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径X 可以认为服从正态分布，从某天的产品中随机抽取6个， 测得直径为（单位：cm） 14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1 若已知方差为0.06，分别求在置信度为0.95和0.99的 平均直径EX的置信区间.

由题设知X~N（，0.06） EX的置信区间为 当=0.05时， 所以，EX的置信区间为（14.754，15.146） 当=0.01时， 所以，EX的置信区间为（14.692，15.208） 置信水平提高，置信区间扩大，估计精确度降低。

正态总体方差未知，对均值的区间估计 t/2 (n-1)  /2 - t/2(n-1) f(t) 如果总体X~N（，2），其中，均未知. 对给定的置信水平1-，对做区间估计 由 构造T-统计量 f(t) O t/2 (n-1)  /2 - t/2(n-1) 从而得的置信水平为1-的置信区间为

例2 某厂生产的一种塑料口杯的重量X被认为服从正态 分布，今随机抽取9个，测得其重量为（单位：克）： 21.1，21.3，21.4，21.5，21.3，21.7，21.4，21.3， 21.6。试用95%的置信度估计全部口杯的平均重量。 解 由题设可知：口杯的重量X~N（，2） 由抽取的9个样本，可得 得 由 查表得 全部口杯的平均重量的置信区间为（21.26，21.54）

例3 随机从一批钉子中抽取6枚钉子，测得长度分别为 2.14， 2.10， 2.15，2.10，2.13，2.12 （单位：厘米） 并设总体X~N（，2），求下列两种情况下的置信度 为90%的置信区间. （1） 2 =0.01； （2） 2未知 （1）的置信度为90%的置信区间为（2.056,2.190）. （2）的置信度为90%的置信区间为（2.106,2.140）.

正态总体均值已知，对方差的区间估计 x f(x) 如果总体X~N（，2），其中已知，2未知 对给定的置信水平1-，对2做区间估计 由 f(x) x O 构造2-统计量 从而得2的置信水平为1-的置信区间为

例4　已知某种果树产量服从Ｎ（218，2），随机 抽取6棵计算其产量为（单位：kg） 221，191，202，205，256，236 试以95%的置信水平估计产量的方差。 解 计算 果树方差的置信区间为

正态总体均值未知，对方差的区间估计 x f(x) 如果总体X~N（，2），其中， ,2未知 对给定的置信水平1-，对2做区间估计 构造2-统计量 f(x) x O 从而得2的置信水平为1-的置信区间为

例5 设某灯泡的寿命X~N（，2）， ，2未知，现 从中任取5个灯泡进行寿命试验，得数据10.5，11.0， 11.2，12.5，12.8（单位：千小时），求置信水平为 90%的2的区间估计。 解 样本方差及均值分别为 由 得 查表得 2的置信水平为90%的置信区间为（0.4195，5.5977）

正态分布总体对均值的区间估计 （1）方差已知，对均值的区间估计 （2）方差未知，对均值的区间估计

正态分布总体对方差的区间估计 （3）均值已知，对方差的区间估计 （4）均值未知，对方差的区间估计