第九章 位 移 法

对于仅考虑材料在线弹性范围内工作的结构，力和位移之间有一一对应的关系，正是由于有这种确定的关系，以位移（或力）为基本未知量，当求出位移（或力）后就可以通过这种确定关系求力（或位移）。  

基本假定： 1 结构的材料为线弹性； 2 结构的变形为微小变形。

对于梁式杆，其杆的轴向、切向变形可忽略不计，只考虑弯曲变形，且弯曲变形为微小变形。即，受弯直杆变形后其两端的距离保持不变——受弯直杆的轴向刚度条件。

第一节 位移法基本概念

本节介绍位移法的基本未知量、基本体系、基本方程 位移法的基本未知量： 结构结点上的独立位移。

一般情况下结构上一个自由刚结点在平面上有三个位移分量（互相垂直的两个线位移和一个转角位移），见图9-1-1(a)对受弯直杆应用轴向刚度条件，刚架的位移未知量变化见图 (b)

(a) (b) 图9-1-1

位移法的基本体系：离散后的各单跨超静定杆件与原结构的受力和变形一致。 见下页图9-1-2(d)所示刚架，有一个结点转角位移未知量z1。由结点C与它所连各杆的C端的位移应一致的条件，知两杆在C端的杆端位移均为z1。

(b) (a) (d) (c) 图9-1-2

将两杆都在C端截断后取出，在截断处代以固定支座并使其发生位移z1,见上页(b)、(c)，由于离散后各单杆与原结构变形、位移和受力是一致的。显然，如果各杆的杆端位移z1已知，它们的内力就是原结构的内力。

位移法基本体系 离散后的各等截面直杆，使杆端位移及其上的荷载与原结构一致的体系可代替原结构，叫做位移法基本体系。

位移法基本方程 连接各单杆部分（使各杆协调变形）的静力平衡方程。

本节主要概念： 1 结点位移与杆端位移一致的变形相容条件。位移法的基本未知量：自由结点上的独立结点位移。

单元刚度方程——等截面直杆的杆端力和杆端位移（即结点位移）的关系。位移法基本体系：由各直杆两段截面截断离散后的各单根超静定杆件，在截断杆端处有与原结构相同的位移。 2

位移法方程——结点力和结点位移的关系。 位移法方程是连接各离散杆件部分的静力平衡方程。 3

第二节    等截面直杆的单元刚度方程

1.单元分析的概念 离散结构成各独立单元（等截面直杆）的位移法基本结构，由杆端位移与结点位移一致的位移协调条件，建立各独立单杆的杆端力和杆端位移的关系，这一步属于单元分析。

对于刚架常考虑下页图9-2-1(b)所示三种单元（超静定杆件），其中图(b)左所示的单元可称为典型单元。

(a) (b) 图9-2-1

对照图(a),典型单元的两端结点为刚结点或固定端，截处的杆段两端用固定端代替得到的单元，可描述自由单元（两端为自由刚结点），也可描述端部单元（单元的一端是固定端）的杆端位移。

同时可在典型单元研究结果中直接代入支座约束条件研究图(b)中、右所示单元。所以称为典型单元。

2、典型单元刚度方程 特别提示：杆端弯矩正负号规定与弯矩图规定的区别。

(a)

(b)

单元刚度方程——单元杆端力和杆端位移的关系式。 推导单元刚度方程思路及方法： 方法1 已知梁的两端固定支座发生位移qA、qB、D，求杆端力FQAB、MAB、FQBA、 MBA。推导是求超静定梁在支座移动时的支座反力（杆端力）的过程，直接由力法计算。

方法2 已知简支梁两端作用有集中外力偶MAB、MBA，同时B支座有支座位移D，用单位荷载法求位移qA、qB，然后将杆端力FQAB、MAB、FQBA、 MBA表示成位移的函数形式。推导是对静定梁在荷载和支座移动下，求梁两端转角位移的过程。

按方法2建立单元刚度方程 (a)

(b) (c) 返回

1）求qA1,qA1见上图(b) (d)

(e) (f) (g) 返回

2）求qA2,qA2见图(c) 3）叠加得到

变换式上式得：

由平衡条件得杆端剪力：见图(g)

等截面直杆的转角位移方程，或典型单元刚度方程。 (9-2-1a)

4）当考虑典型单元上同时也作用荷载时的单元刚度方程 (a)

(b) (9-2-1b)

式中，MFAB、MFBA——为典型单元（两端固定梁）在荷载单独作用下的杆端弯矩，所以又称其为固端弯矩或载常数。 (9-2-2)

3、其他单元的单元刚度方程 1）一端固定一端铰支座单元 (a)

当考虑荷载和支座位移共同作用时杆端总弯矩： (9-2-3) 指一端固定一端铰支座单元在荷载单独作用下的杆端弯矩。

2）一端固定一端定向滑动支座单元 (b)

(9-2-4) 为一端固定一端定向滑动支座单元 在荷载单独作用下的杆端弯矩。

第三节 无侧移刚架的计算 1、无侧移刚架基本未知量的判定： 其位移法基本未知量等于： 结构上刚结点的独立角位移数 = 结构上的自由刚结点数

(a) (b)

(d) (c) 返回

说明： 1）强调位移法基本未知量是结构中自由结点上的独立结点位移。结点上的独立角位移是自由刚结点上的角位移。

2)结构的自由刚结点，指连接了两个及两个以上杆件的刚结点。注意刚结点处也会有支座链杆，见图（c）。 3)综合结点（半铰）有角位移。 4）直杆的突变截面处视为刚结点。

2、位移法解无侧移刚架 例9-3-2 试用位移法计算图(a)所示连续梁，并作梁的弯矩图。 (a)

解 1)确定位移法基本未知量图(b) 2)写出各杆端弯矩 (b)

(d) (c) (e)

3)由结点B的平衡条件建立 位移法方程见图(d) 4)计算杆端总弯矩

作梁的弯矩图，见图(f) (f)

说明： 1)本例是直接由静力平衡条件 建立位移法方程。 2)结点角位移与结点所连的单元杆端角位移相容。杆端角位移与杆端弯矩相对应。当结构上只有结点角位移未知量时，只需写出单元杆端弯矩式，并由相应的结点力矩平衡条件建立位移法方程。

例9-3-3 用位移法计算图(a)所示刚架，绘M图。 (a)

解 1)刚架有两个角位移未知量z1、z2， 见图(b)所示。 (b)

2)各杆端总弯矩式 3)建立位移法方程 4)计算杆端总弯矩绘制弯矩图见图(c)。 5)校核

(c)

第四节 有侧移刚架的计算 有侧移刚架 有结点独立线位移 未知量的刚架。

侧移 当考虑受弯杆件的轴向刚度条件时，结点线位移使某些杆件两端沿其杆轴线垂直方向发生相对线位移。

1、结构线位移未知量的判断 (a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

由两个已知不动点引出轴线不在一条线上的两根受弯直杆（或刚性链杆）相交的一点也是不动点。这里所说得不动点，指无线位移的结点。

(b) (a) 附加链杆法

(a1) (a)

(b) (b2) (b1)

说明： 用附加链杆法判断结构的线位移未知量，一般先考虑杆端交于（刚接或铰接）一点的两根杆件，两杆的另一端应至少有一端是不动点（固定端或固定铰）。

例9-4-2 判定图示结构的位移法基本未知量。 (a) (a2) (a1)

(b1) (b) (c) (b2)

(d1) (d) 说明：1)轴向刚度条件对于曲杆不适用。 (d2)

2、位移法解有侧移刚架 例9-4-3 用位移法计算图(a)所示刚架，并作刚架的剪力图、弯矩图。 已知，L=6m，q=4kNm。

(a) (b)

解：1)确定位移法基本未知量 2)

3)建立位移法方程

4)解位移法方程

5)计算杆端弯矩和剪力，绘内力图 (c) (d) FQ图(kN) M图(kNm)

(e)

用位移法计算图(a)所示刚架，并作弯矩图。 例9-4-4 (a)

解：1)确定位移法基本未知量 (b)

2)写各杆端力式 3)建立位移法方程 (c) (e) (d)

刚架的位移法方程： 解得

4)计算杆端力

第五节 1.位移法基本体系

离散后的各单跨超静定杆件与原结构的受力和变形一致，见图9-5-1(b)。 (a) 原结构 返回 (b)

本节的位移法基本体系是将图(b)所示的离散状态换一种表示方法，见图(c)。 返回2 (c)基本体系 返回1 图9-5-1

见图(c)所示，通过在有结点角位移的结点B上附加刚臂（刚臂与结点刚结，只约束转角位移，不约束线位移），并通过操纵刚臂，起到离散和协调结点、结点所连杆端位移的作用。

2、位移法基本方程 是位移法基本体系与原结构一致的受力条件。 对照图9-5-1(a)、(c)，位移法基本体系通过增加并操纵附加刚臂的中间过程，使基本体系仍与原结构有相同的变形或位移

见图(c)中的F1,可认为是施加在附加刚臂上的外力偶恰是结点发生结点位移z1，也可认为是由于发生结点位移z1而在附加刚臂中产生的反力矩。)。当附加刚臂中的反力矩为零，即有F1=0时，才能说明基本体系的受力与原结构（定量）一致。本例中，结点B的附加刚臂上F1=0，是基本体系与原结构一致的受力条件。

(a) (b) 图9-5-2

运用叠加原理,图9-5-1(c)所示基本体系可分解为图9-5-2（a）、（b）所示两种情况的叠加。 基本体系附加刚臂中的总反力矩应为： F1=F11+F1P 即： F11+F1P=0 (a) 式(a)即为本例位移法基本方程。

上式中的各项可有相应的图中的结点B的力矩平衡条件得出，即： 代入式(a)，得： (b) 由此方程可求出结点位移未知量。

例9-5-1 用位移法计算图(a)所示刚架，并作刚架的弯矩图。已知，L=6m，q=4kNm。 (a)原结构 (b)基本体系

解： 1)确定位移法基本未知量，绘出基本体系 图(ａ)所示刚架有一个侧移未知量z1,在z1发生结点及其方向上加一附加链杆，并迫使附加链杆产生与原结构一致的线位移z1，得位移法基本体系如图(b)。 由基本体系的附加链杆中的反力为零的条件得位移法方程： F1=0 (a)

2)分解基本体系为各因素单独作用在基本结构上 (c) (d)

叠加图(c)、(d)中附加链杆中的反力，得： (e) (f) 叠加图(c)、(d)中附加链杆中的反力，得：

分别取图(c)、(d)所示体系柱顶以上部分， 建立其沿z1方向的投影平衡方程。即： F1=F11+F1P=0 即：k11z1+F1P=0 (b) 3)计算方程中的系数和自由项 分别取图(c)、(d)所示体系柱顶以上部分， 建立其沿z1方向的投影平衡方程。即： 代入式(b)得： (c)

4)计算结点位移未知量，并作弯矩图 解方程(c)，得： 利用叠加法座刚架最后弯矩图，即： （按图(c)受拉侧不变） （右侧受拉） （左侧受拉）

3、位移法典型方程 (a)原结构

(b) 基本体系

(c) z1作用下 (d) z2作用下

(e) 荷载作用下

位移法典型方程 ……… ………

矩阵式： + ＝

(a)原结构 (b) 基本体系

(c1) (c) (c2)

(d1) (d) (d2)

(e1) (e) (e2)

解： 刚架的位移法方程 将

带入上式得到 求出

计算各杆端弯矩： （左侧受拉） （右侧受拉） （下侧受拉）

(f) M图(kNm)

第六节 位移法的对称性利用

(e) (d)

(g) (f)

由图(f)、(g)计算： 代入位移法方程求解：

计算杆端弯矩： （上侧受拉） （上侧受拉） （下侧受拉） （左侧受拉） （右侧受拉）

(h) 正对称荷载下弯矩图（kNm）

2）反对称荷载下的计算 (i) (j)

(k) (l)

代入位移法方程求解：

计算杆端弯矩： （上侧受拉） （上侧受拉） （右侧受拉） （左侧受拉）

反对称荷载下弯矩图（kNm）

最后弯矩图（kNm）

3)叠加绘结构最后弯矩图 (d) (c) (a)

解 上图(a)所示偶数跨刚架，中柱为轴向刚度无穷大的二力杆，使结点C没有竖向位移，因而有正、反对称变形见图(a1)、(a2)

(a1)正对称变形图 (a2)反对称变形图

考虑对称轴（即中柱）上结点C为铰接点，并考虑由于中柱只产生轴力，在相应的半刚架中去掉不影响结构弯矩计算。因而有正、反对称半刚架见图(a1—2)、(a2—2)。

(a1—1) (a1—2) (a2—2) (a2—1)

原结构共有4个位移法基本未知量（角位移3，线位移1）， (b1—2) (b1—1) (b1) 原结构共有4个位移法基本未知量（角位移3，线位移1），

(b2—1) (b2—2) (b2)

(d2)

原结构共有4个位移法基本未知量（角位移2，线位移2） (d2—1) (d2—2) 原结构共有4个位移法基本未知量（角位移2，线位移2）

题(c)：图(c)所示刚架只有一个铰位移未知量。有正对称变形曲线可知，见图(c2)该角位移也没有了。正、反对称半刚架见图(c2—2)、(c1—2)

(c1) (c1—1) (c1—2)

(c2—1) (c2—2) (c2)

(b) 基本体系 (a) 原结构

(d) 基本结构在z1=1作用下 (c) 基本结构在支座移动下

在z1=1作用下弯矩图

在qA作用下弯矩图 (h) M图(EI×0.01kNm)

做刚架的弯矩图： (f)