斐波那契數列
一個很有趣的數學問題: 假設每一對新生的小兔子,一個月後便會長大,且每一個月都生一對小兔子。已知每次新生的一對兔子都是一雄一雌,而所有兔子都沒有死去,且隔代的兔子不會互相交配。 若現有一對小兔子,問一年後共有兔子多小對呢?
月數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 小兔子 對數 1 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 大兔子 對數 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 兔子總 對數 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 一年後兔子的總數為 233 對
斐波那契數列 兔子的總對數是 1，1 ，2 ，3 ， 5 ， 8 ， …… ， 斐波那契數列(Finonnaci sequence) 自第三項開始,每一項都是前兩項的和 數列中的每一項則稱為 斐波那契數(Fibonnaci Number) 以符號 Fn 表示。 F1 = F2 = 1 ，而 Fn = Fn-1 + Fn-2 (n>2)
斐波那契數與黃金比值 將兩個連續的斐波那契數相比: 1,1,2,3,5,8,13,21,34, 55,89,144,233,377, 610,987,…… 由此可觀察到: 此數也就是黃金比 另一說法
斐波那契數與黃金比值 將兩個連續的斐波那契數相比: 1,1,2,3,5,8,13,21,34, 55,89,144,233,377, 610,987,…… 由此可觀察到: 此數也是黃金比
斐波那契數與黃金比值 由此, 暗示了無論(尤其是在自然現象中)在那裡出現黃金比值,也就會出現斐波那契數, 反之亦然。
斐波那契數列與自然界的關係 向日葵的種子 植物的枝節 菠蘿的表皮 花瓣的數目 人類的身體 蜂房 其他例子
向日葵的種子 綠色表示按順時針排列的種子 紅色表示按逆時針排列的種子
向日葵的種子 植物學家發現： 某種向日葵的種子是按兩組螺線排列，其數目往往是連續的斐波那契數 。 普通大小的向日葵：34條順時針螺線 55條逆時針螺線 較大的向日葵： ８９條順時針螺線 １４４條逆時針螺線
植物的分枝 2 3 5 8 13 2 3 5 8 斐波那契數 Back
菠蘿的表皮 菠蘿的中心軸 ： Z 軸 垂直於Z軸的平面： XOY 量度表皮上每一個六角形 的中心與平面XOY的距離 便會發現……
菠蘿的表皮 其中三個方向是按等差數列 排列的： 公差 5 8 13 0,5,10,15,20,… 0,8,16,24,32,… 0,13,26,39,52,… 三個連續的斐波那契數！
人類的身體 0.618 0.618 1 1 1 0.618
蜂房問題
蜂房問題 路線總數 6 5 4 3 2 1 蜂房號碼 1 2 3 5 8 13 21 所以當蜂房號碼是n, 其路線總數有Fn+2
花瓣的數目 花瓣的數目是 : 3 3 8 13 3 5 21 5 5 5 8 13 21 21 斐波那契數!
其他例子 鋼琴例子 帕斯卡三角形 蒙娜麗莎的畫像 穿高跟鞋的效應
鋼琴例子 在一個音階中: 白色的鍵數為 8 黑色的鍵數為 5 兩個連續的斐波那契數!
帕斯卡三角形 斐波那契數列!
蒙娜麗莎的畫像 綠線與紅線的長度比為0.618 : 長 為0.618 長 : 為1.618
穿高跟鞋的效應 假設某女士的原本軀幹 與身高比為 0.6 (i.e. x : l = 0.60 ) 若所穿的高跟鞋的高度為d 新的軀幹與高度比為: (x + d) : (l + d) = ( 0.6 l + d) : (l + d)
穿高跟鞋的效應 例:某位女士的身高為160 cm (約5呎3寸) 0.60 160 0.606 0.60 160 0.612 0.60 原本軀幹與身高比值 ( x : l) 身高 (l cm) 高跟鞋高度 (d cm) 穿了高跟鞋後的新比值 (0.6 l +d):(l +d) 0.60 160 2.54 (1 吋) 0.606 0.60 160 5.08 (2吋) 0.612 0.60 160 7.62 (3吋) 0.618 0.618 穿高跟鞋使腳長與身高的比值趨向黃金比 由此可見，女士們相信穿高跟鞋使她們更美是有 數學根據的!