第6章 静电场 一 库仑定律 二. 电场力的叠加 三. 电场强度、电场强度的叠加原理 四.电通量 五.高斯定理 及应用 第6章 静电场 一 库仑定律 二. 电场力的叠加 三. 电场强度、电场强度的叠加原理 四.电通量 五.高斯定理 及应用 六.静电场的环路定理、.电势能 七. 电势、电势叠加原理、电势差及计算

§ 电荷 库仑定律 一.电荷 1. 正负性 2. 量子性 盖尔—曼提出夸克模型 : 3. 守恒性 § 电荷 库仑定律 一.电荷 1. 正负性 2. 量子性 盖尔—曼提出夸克模型 : 3. 守恒性 在一个孤立系统中总电荷量是不变的。即在任何时刻系统中的正电荷与负电荷的代数和保持不变，这称为电荷守恒定律。 4. 相对论不变性 电荷的电量与它的运动状态无关

二. 库仑定律 真空中的电容率（介电常数） (1) 库仑定律适用于真空中的点电荷； (2) 库仑力满足牛顿第三定律； (3) 一般

三. 电场力的叠加 对n个点电荷： 对电荷连续分布的带电体 r Q

已知两杆电荷线密度为，长度为L，相距L 例 求 两带电直杆间的电场力。 解 L 3L 2L x O

三. 电场强度叠加原理 电场中某点的电场强度的大小等于单位电荷在该点受力的大小，其方向为正电荷在该点受力的方向。 定义： 点电荷的电场 点电荷系的电场 点电荷系在某点P 产生的电场强度等于各点电荷单独在该 点产生的电场强度的矢量和。这称为电场强度叠加原理。

连续分布带电体 P : 线密度 : 面密度 : 体密度

r a dq 例 长为L的均匀带电直杆，电荷线密度为 它在空间一点P产生的电场强度（P点到杆的垂直距离为a) 求 y 解 P x y O 解 P a r 由图上的几何关系 1  2 dq

讨论 (1) a >> L 杆可以看成点电荷 a P x y O dq r  2 1 (2) 无限长直导线

r 例 半径为R 的均匀带电细圆环，带电量为q 求 x 圆环轴线上任一点P 的电场强度 解 P R O dq 圆环上电荷分布关于x 轴对称  R dq 圆环上电荷分布关于x 轴对称

r 讨论 x (1) 当 x = 0（即P点在圆环中心处）时， P (2) 当 x>>R 时 R O dq O x r  (1) 当 x = 0（即P点在圆环中心处）时， (2) 当 x>>R 时 可以把带电圆环视为一个点电荷

例 面密度为  的圆板在轴线上任一点的电场强度 解 x O P r R

讨论 (1) 当R >> x ，圆板可视为无限大薄板 E1 E1 E1 (2) E2 E2 E2 x O p (3) 补偿法

已知圆环带电量为q ，杆的线密度为 ，长为L 例 已知圆环带电量为q ，杆的线密度为 ，长为L 求 杆对圆环的作用力 R q 解 L 圆环在 dq 处产生的电场 O x

§ 电通量 高斯定理 一.电场线（电力线）  电场线的特点: A +q (1) 由正电荷指向负电荷或无穷远处 (2) 反映电场强度的分布 § 电通量 高斯定理 一.电场线（电力线） +q -q  电场线的特点: A (1) 由正电荷指向负电荷或无穷远处 (2) 反映电场强度的分布 电场线上每一点的切线方向反映该点的场强方向 ,电场线的疏密反映场强大小。 (3) 电场线是非闭合曲线 (4) 电场线不相交

二.电通量 在电场中穿过任意曲面S 的电场线条数称为穿过该面的电通量。 En 1. 均匀场中   定义 2. 非均匀场中 dS

对闭合曲面 讨论 非闭合曲面 凸为正，凹为负 (1) 方向的规定： 闭合曲面 向外为正，向内为负 为正 (2) 电通量是代数量 为负

三.高斯定理 +q +q 以点电荷为例建立e——q 关系: -q  取球对称闭合曲面  取任意闭合曲面时

P S 是所有电荷产生的，e 只与内部电荷有关。  q 在曲面外时： +q S1 S2  当存在多个电荷时： q3 q1 q2 q4 结论: 是所有电荷产生的，e 只与内部电荷有关。

高斯定理 四. 用高斯定理求特殊带电体的电场强度 （不连续分布的源电荷） （连续分布的源电荷） 真空中的任何静电场中，穿过任一闭合曲面的电通量，在数值上等于该曲面内包围的电量的代数和乘以 意义 反映静电场的性质—— 有源场 四. 用高斯定理求特殊带电体的电场强度

P r Q 例 均匀带电球面，总电量为Q，半径为R 求 电场强度分布 解 对球面外一点P : + R 取过场点 P 的同心球面为高斯面 根据高斯定理

R + 对球面内一点: r E O E = 0 电场分布曲线

r r' E r 例 已知球体半径为R，带电量为q（电荷体密度为） 求 均匀带电球体的电场强度分布 解 球外 + R 球内( ) O R 球内( ) E O r R 电场分布曲线

已知“无限大”均匀带电平面上电荷面密度为 例 已知“无限大”均匀带电平面上电荷面密度为 求 电场强度分布 解 电场强度分布具有面对称性 选取一个圆柱形高斯面 x O Ex 根据高斯定理有

例 已知“无限长”均匀带电直线的电荷线密度为+ 求 距直线r 处一点P 的电场强度 r l 解 电场分布具有轴对称性 过P点作一个以带电直线为轴， 以l 为高的圆柱形闭合曲面S 作 为高斯面 P 根据高斯定理得

 高斯面的选取使通过该面的电通量易于计算 E O r 电场分布曲线 总结 用高斯定理求电场强度的步骤： (1) 分析电荷对称性； (2) 根据对称性取高斯面；  高斯面必须是闭合曲面  高斯面必须通过所求的点  高斯面的选取使通过该面的电通量易于计算 (3) 根据高斯定理求电场强度。

§ 静电场的环路定理 电势能 一.静电力作功的特点 • 单个点电荷产生的电场中 b  O q0 L a (与路径无关)

• 任意带电体系产生的电场中 电荷系q1、q2、…的电场中，移动q0，有 a b L • 结论 电场力作功只与始末位置有关，与路径无关，所以静电力 是保守力，静电场是保守力场。

二.静电场的环路定理 在静电场中，沿闭合路径移动q0，电场力作功 a b L1 L2 环路定理

三. 电势能 (2) 环路定理要求电力线不能闭合。 (3) 静电场是有源、无旋场，可引进电势能。 • 电势能的差 力学 保守力场 引入势能 保守场 引入静电势能 定义：q0 在电场中a、b 两点电势能之差等于把 q0 自 a 点移至 b 点过程中电场力所作的功。

q0 在电场中某点 a 的电势能： • 电势能 取势能零点 W“0” = 0 说明 (1) 电势能应属于 q0 和产生电场的源电荷系统共有。 (2) 电荷在某点电势能的值与零点选取有关,而两点的差值与零点选取无关 (3) 选势能零点原则： • 当(源)电荷分布在有限范围内时，势能零点一般选在 　无穷远处。 • 无限大带电体，势能零点一般选在有限远处一点。 • 实际应用中取大地、仪器外壳等为势能零点。

b c a 如图所示, 在带电量为 Q 的点电荷所产生的静电场中，有一带电量为q 的点电荷 例 求 q 在a 点和 b 点的电势能 Q 解 选无穷远为电势能零点 选 C 点为电势能零点 两点的电势能差：

§ 电势 电势差 一. 电势 q r • 电势差 • 电势定义 • 点电荷的电势 a 单位正电荷自ab 过程中电场力作的功。 § 电势 电势差 一. 电势 单位正电荷自ab 过程中电场力作的功。 • 电势差 单位正电荷自该点“势能零点”过程中电场力作的功。 • 电势定义 q r • 点电荷的电势 a

二. 电势叠加原理 • 点电荷系的电势 P 对n 个点电荷

三.电势的计算 在点电荷系产生的电场中，某点的电势是各个点电荷单独存 在时，在该点产生的电势的代数和。这称为电势叠加原理。 对连续分布的带电体 三.电势的计算 （1） 已知电荷分布 方法 （2） 已知场强分布

例 均匀带电圆环半径为R，电荷线密度为。 求 圆环轴线上一点的电势 解 建立如图坐标系，选取电荷元 dq dq r R O x P

+ r 例 半径为R ，带电量为q 的均匀带电球体 求 带电球体的电势分布 解 根据高斯定律可得： P1 R P 对球外一点P

§ 静电场中的导体 一. 导体的静电平衡  导体表面 1. 静电平衡 § 静电场中的导体 一. 导体的静电平衡 1. 静电平衡 导体内部和表面上任何一部分都没有宏观电荷运动，我们就说导体处于静电平衡状态。 2. 导体静电平衡的条件  导体表面 3. 静电平衡导体的电势 导体静电平衡时，导体上各点电势相等，即导体是等势体，表面是等势面。

 如果有空腔且空腔中无电荷,可证明电荷只分布在外表面。 二.导体上电荷的分布 由导体的静电平衡条件和静电场的基本 性质，可以得出导体上的电荷分布。 - 1. 静电平衡导体的内部处处不带电 +q 证明：在导体内任取体积元 由高斯定理 体积元任取 导体中各处  如果有空腔且空腔中无电荷,可证明电荷只分布在外表面。  如果有空腔且空腔中有电荷,则在内外表面都有电荷分布，内表面电荷与 q 等值异号。

2. 静电平衡导体表面附近的电场强度与导体表面电荷的关系 设导体表面电荷面密度为 P 是导体外紧靠导体表面的一点,相应的电场强度为 + 根据高斯定理: + ds

在表面凸出的尖锐部分电荷面密度较大，在比较平坦部分电荷面密度较小，在表面凹进部分带电面密度最小。 3. 处于静电平衡的孤立带电导体电荷分布 由实验可得以下定性的结论： B 孤立带电 导体球 孤立 导体 + C A 在表面凸出的尖锐部分电荷面密度较大，在比较平坦部分电荷面密度较小，在表面凹进部分带电面密度最小。 4. 静电屏蔽(腔内、腔外的场互不影响) 腔内 腔外 导体 外表面 内表面

？ O点的电势为0 则 例 如图所示,导体球附近有一点电荷q 。 求 接地后导体上感应电荷的电量 解 设感应电量为Q 接地 即 接地 即 由导体是个等势体 O点的电势为0 则

例 两球半径分别为R1、R2，带电量q1、q2，设两球相距很远， 当用导线将彼此连接时，电荷将如何 分布？ 设用导线连接后，两球带 电量为 R2 R1 解 思考 如果两球相距较近，结果怎样？

r -q 例 已知导体球壳 A 带电量为Q ，导体球 B 带电量为q 求 系统的电荷、电场和电势的分布； 解 在A 内作高斯面，由高斯定理有 q + q’=0 , 即 q’ = -q. 外表面电荷设为 ,由电荷守恒 A r R1 R2 B -q

r q A B 总结 (有导体存在时静电场的计算方法) 1. 静电平衡的条件和性质: 2. 电荷守恒定律 3. 确定电荷分布,然后求解 R1

↑ u↑ 三.导体的电容 电容器 求半径为R 的孤立导体球的电容. 1. 孤立导体的电容 Q E 孤立导体的电势 电势为 R 电容为 三.导体的电容 电容器 1. 孤立导体的电容 ↑ Q E 孤立导体的电势 + + u↑ 孤立导体的电容 单位:法拉( F ) 求半径为R 的孤立导体球的电容. 电势为 R 电容为 电容只与导体的几何因素和介 质有关，与导体是否带电无关

u - Q 2. 电容器的电容 通常，由彼此绝缘相距很近的两导体构成电容器。 使两导体极板带电 两导体极板的电势差 电容器的电容 + Q

电容器电容的大小取决于极板的形状、大小、相对位置以及极板间介质。  电容器电容的计算 Q (1) 平行板电容器 +Q S d u -Q

(2) 球形电容器 b a -Q R2 R1 +Q l R2 (3) 柱形电容器 R1

u R1 R2 l 讨论 若R1>>R2-R1 ,则 C = ?

§ 电场能量 + 以平行板电容器为例，来计算电场能量。 设在时间 t 内，从 B 板向 A 板迁移了电荷 在将 dq 从 B 板迁移到 A 板需作功 + 极板上电量从 0 —Q 作的总功为

忽略边缘效应，对平行板电容器有 能量密度 （适用于所有电场） 不均匀电场中

例 已知均匀带电的球体，半径为R，带电量为Q 求 从球心到无穷远处的电场能量 Q R 解 r 取体积元

三.电介质的高斯定理 电位移矢量 + -  无电介质时 r + -  加入电介质  —介电常数 令：

通过高斯面的电位移通量等于高斯面所包围的自由电荷 的代数和，与极化电荷及高斯面外电荷无关。  比较 四.介质中的电场能量密度

两平行金属板之间充满相对介电常数为r 的各向同性均匀电介质,金属板上的自由电荷面密度为0 。 例 求 两金属板之间的电场强度 解 r + -

例 平行板电容器，其中充有两种均匀电介质。 求 (1) 各电介质层中的场强 (2) 极板间电势差 解 做一个圆柱形高斯面 同理，做一个圆柱形高斯面

• 各电介质层中的场强不同 • 相当于电容器的串联

平板电容器中充介质的另一种情况 由极板内为等势体 考虑到 • 各电介质层中的场强相同 • 相当于电容器的并联

例 一单芯同轴电缆的中心为一半径为R1的金属导线，外层一金 属层。其中充有相对介电常数为r 的固体介质，求介质中的电场能量.单位长度的电荷为 解 用含介质的高斯定理 r