Chapter 2 二進制數值與數字系統

目標 研讀完本章後，你應該可以： 知道不同類型的數字系統 描述位置表示法。 將其他基底的數字轉換為以10為基底的數字。 將以10為基底的數字轉換為其他基底的數字。 描述基底2、基底8以及基底16之間的關係。 解釋以2的冪次為基底計算的重要性。 25 Ch02 二進制數值與數字系統

數字與運算 數字 (number) 自然數 (natural number) 負數 (negative number) 屬於抽象系統概念的一種單位，它遵守接續、加法與乘法的指定法規。 自然數 (natural number) 是 0 或任何重複加1至該數字所得到的數字。自然數是我們計數時使用的數字。如：100, 0, 45645, 32 負數 (negative number) 是小於0，且以負號與正數相對應的數字。如： -24, -1, -45645, -32 Ch02 二進制數值與數字系統

數字與運算 整數 (integer) 有理數 (rational number) 是自然數或任何這些數的負值。例如： 249, 0, - 45645, - 32 有理數 (rational number) 是一個整數或兩個整數的商──也就是任何可以用分數表示的數值。 被除數／除數，除數不得為 0 例如： -249, -1, 0, ¼ , - ½ Ch02 二進制數值與數字系統

位置表示法 基底 (base) 位置表示法 (positional notation) 可以用來指定用於此系統的數元 (digit) 數目。 如：以 8 為基底，其可能數元有 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 位置表示法 (positional notation) 數字系統是以位置表示法來書寫。 最右邊數元代表它的數值乘上此基底的0次方，左邊一個數元代表它的數值乘上此基底的1次方，下一個數元代表它的數值乘上此基底的2次方，再下一個數元代表它的數值乘上此基底的3次方，依此類推。 一個數值的基底決定了其所需代表數元的數目以及各數元位置的值 Ch02 二進制數值與數字系統

位置表示法 943 代表多少個 1？ 此數字代表 基底為10 指數代表此數字 所在的位置 表示法 94313 Ch02 二進制數值與數字系統

位置表示法 dn * Rn-1 + dn-1 * Rn-2 + ... + d2 * R + d1 64213 是： 以方程式表示：  dn * Rn-1 + dn-1 * Rn-2 + ... + d2 * R + d1 d 是此數字由右算起 第 i 個位置的數元 n 是此數字的 數元數目 64213 是： 63 * 132 +  42 * 13 +  21 = 106810 7 Ch02 二進制數值與數字系統

二進制、八進制與十六進制 給定一個數字，為了使某一數字系統可正確代表其數值，此數字系統必須包括該數字所有數元 例如：284只能存在於基底為 9 與 更高數值的數字系統。 基底16 (Hexadecimal) 的16個數元是： 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F ABC16 (以 ABCH表示) 代表多少個 1，請以 10 進位表示？ Ch02 二進制數值與數字系統

二進制、八進制與十六進制 讓我們將二進制 (基底2) 數字10101102 轉換成十進制。 Ch02 二進制數值與數字系統

其他基底的算術 二進制加法(由右至左)： 進位數值 1 0 1 0 1 1 1 + 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 其他基底比照處理，請練習 2348 + 1768 Ch02 二進制數值與數字系統

記得借入嗎？將該觀念應用於此處： 二進制減法(由右至左) ： 1 0 1 0 1 1 1 - 1 1 1 0 1 1 1 2 2 2 1 1 - 1 1 1 0 1 1 1 2 2 2 1 1 1 其他基底比照處理，請練習 2348 - 1768 Ch02 二進制數值與數字系統

2的次方的數字系統 二進制 (Binary) 與八進制 (Octal) 數字彼此有個特殊的關係： 已知一個以二進制表示的數字，你可以將它以八進制讀出來，並得到一個以八進制表示的數字，你也可以將它以二進制讀出來。 二進制可以立即轉換成八進制，八進制也可以立即轉換成二進制的理由是8為2的次方。二進制與十六進制之間也有相似的關係。每個十六進制數元可以用4個二進制數元來表示。 Ch02 二進制數值與數字系統

2的次方的數字系統 Ch02 二進制數值與數字系統

將二進制轉換成八進制 每三位數分為一個群組 (由右方開始) 將每個群組轉換 101010112  10 101 011  2538 101010112  10 101 011  2538 2 5 3 以 2 為基底的101010112 其值與 以 8 為基底的 2 5 3 (以 2538 表示) 的值 相等 Ch02 二進制數值與數字系統

將二進制轉換成 16 進制 每三位數分為一個群組 (由右方開始) 將每個群組轉換 10101001 1010 1001 A 9 10101001 1010 1001 A 9 以 2 為基底的101010012 等於 以16為基底的 A 9 (以 A9H 表示) Ch02 二進制數值與數字系統

將數字由基底10轉換成由其他基底來表示 轉換基底為10 的數字為其他基底，需要將該數字 (被除數) 除以你想要轉換數字的基底，由得到的商(quotient)及餘數(remainder) 計算得到。其詳細步驟 (演算法，algorithm) 如下： 1. 將被除數除以新基底 2. 將得到之餘數放在此答案的左方下一個數元位置 3. 將被除數改設為商 當商數不為 0 時，回到步驟 1; 當商數為 0 時，結束，得到答案 迴圈 Ch02 二進制數值與數字系統

練習 基底為10之數字 3567 在基底為 16時怎麼表示? 基底為10之數字 3567 在基底為 5 時怎麼表示? 基底為10之數字 3567 在基底為 2 時怎麼表示? 222 13 0 16 3567 16 222 16 13 32 16 0 36 62 13 32 48 47 14 32 15 D E F Ch02 二進制數值與數字系統

二進制數值與電腦 電腦內部的數字是以二進制形式表示。 電腦內部的每一個儲存場所要不是含有高電壓訊號，就是含有低電壓訊號。 低電壓訊號等同符號0，高電壓訊號則等同符號1。 每一個儲存單元稱為二進制數元 (binary digit) 或簡稱位元 (bit)。 位元聚集在一起成為位元組 (bytes) (8 bits)，位元組聚集在一起則成為字組 (words)。 字組的位元數目就是已知的電腦字組長度。 32-位元機器、64-位元機器 等等 Ch02 二進制數值與數字系統

道德的議題：電腦與祖國安全 稱為Carnivore的工具 ( http://en.wikipedia.org/wiki/Carnivore(software) )安裝於網際網路服務提供者 (Internet Service Provider, ISP)，可以掃描與收集所有經過此機器的資料。 Carnivore能追蹤已知ISP上所有客戶在網路上搜索資料或娛樂的習慣。它不僅可以讀取電子郵件，也能讀取即時訊息、追蹤線上購物以及任何流經ISP的其他東西。 Ch02 二進制數值與數字系統