理想氣體的性質為何如此簡單而普遍？ 即使化學性質相差甚遠的氣體， 卻有共同的理想氣體特性！ 此特性和氣體的化學性質無關！

What is the world made of ? 這個世界是由甚麼構成的？ Fundamental Constituent Structure Of the material nature 物質的基本組成

希臘人以為四種元素組成所有物質。 了解這四種元素的性質及它們如何組成各種物質，就了解整個世界。

如果我們將四種元素再分割地更小，那會是甚麼？ 如果一直不斷分割下去，最後一定會出現無法再分割的單元。 那麼世界是不是就是由這個單元所構成？ 到了西元前五世紀，Leucippus 和Democritus 猜想所有物質分割到最後，將是微小而永恆不可分割的粒子。 他們叫這粒子Atom─原子，意思就是無法再分割 uncuttable. 原子是構成物質世界的基本成分！

在這世界上，可以看到顏色，可以聞到氣味，可以嘗到甜味， 可 是真實存在的只有原子和原子之間的空間。 原子是各種物質經過無限分割後的結果，這些物質的日常熟悉的性質，已完全喪失，所以原子必定是非常簡單單純，因此應該可能只有一種。 因此單純的原子，除了不可分割以外，就沒有其他性質了， 世間物質的萬像，則是來自原子的組合方式，或說空間的配置！ 在這世界上，可以看到顏色，可以聞到氣味，可以嘗到甜味， 可 是真實存在的只有原子和原子之間的空間。

What is the world made of ? 這個世界是由甚麼構成的？ 基本組成成份的性質與行為必然極為簡單， What is the world made of ? 這個世界是由甚麼構成的？ 了解基本的組成就了解整個宇宙 物質的基本組成

一直不斷分割下去，我們會發現一層一層的物質組成結構 了解物質的組成，就能了解物質的運作規則 這樣的想法，到現在都是物理學最有力的 一個觀念之一。

現代的原子論從化學反應的觀察開始： 當兩個元素組成各種不同的化合物時，固定其中一個元素的重量時，另一元素的重量比例一定是整數比。CO or CO2, but not CO1.3 元素有不可分割的單位！ John Dalton 1766-1844

元素是由微小的粒子:原子所構成。同一元素的構成原子完全相同。 不同的元素之構成原子不同，具有不同的質量。 元素可以構成化合物，化合物的分子是由元素的原子以整數比例組成。 John Dalton 1766-1844 John Dalton (1808) A New System of Chemical Philosophy.

不同的元素之構成原子不同，具有不同的質量。

元素可以構成化合物，化合物的分子是由元素的原子以整數比例組成。

組成化合物的機制不一定只能用在小規模的組合！ 這些原子也可以組成有大規模秩序的晶格， 晶格的大小與形狀無法改變，這就是固態！

原子對物質的物態有非常自然的解釋 固體有固定大小及形狀 液體有固定大小，無固定形狀 氣體無固定大小及形狀

原子圖像對熱也有非常自然的解釋 原子擾動 構成物體的原子可在其平衡點附近來回運動而不影響物體的巨觀大小與運動

從組成成分的性質來解釋組合物的性質！ 如果微觀的原子可以解釋巨觀的元素的化學性質， 那麼，原子是否也可以解釋巨觀物理的熱現象？ 理想氣體的性質是否與原子有關？

理想氣體性質無關氣體的化學性質， 因此只能和原子的最普遍的共有性質有關！ 那就是，原子只是一個帶質量的質點！

氣體就是一羣不斷運動碰撞的牛頓粒子！ 熱力學不過就是牛頓力學。

這個想法如此自然，以至最早的發現者竟是一位英國派駐印度孟買的海軍學院教師所提出（他事實上是土木工程師）： 1843 John James Waterston 1811-1883 當然，這個想法也夠新奇，英國皇家學院拒絕了這個論文 The paper is nothing but nonsense

Kinetic Theory of Gas 氣體動力論 Waterston領先他的時代， 十年後已因熱學研究文明的 Clausius在1857提出幾乎與Waterston類似的工作： The Kind of Motion We Call Heat Clausius Kinetic Theory of Gas 氣體動力論

除了碰撞時之外，分子彼此的吸引力可以忽略。 氣體就是一羣不斷運動碰撞的牛頓粒子！ Clausius 除了碰撞時之外，分子彼此的吸引力可以忽略。 所以這些粒子，都是自由粒子。 氣體是最混亂無序的，但性質卻最簡單！

粒子碰撞時，彼此會交換動量與能量！ 速度較快的粒子與速度較慢的粒子漸漸會趨向一致！ 原子分子的觀點提供了一個非常自然的描寫熱交換的圖像

微觀的粒子的碰撞，就是巨觀的熱量流動交換！ 溫度與分子的速度直接相關

分子的碰撞是氣體會趨向平衡態的動力！ 有趣的是碰撞是無法停止的！ 即使到達熱平衡，粒子的碰撞仍不斷地繼續中！ 在熱平衡狀態，巨觀來說氣體已不再變化，但微觀來說，每一個個別粒子仍不斷碰撞，而改變運動速率與方向！ 如何在微觀不斷變化下維持巨觀的不變?

理想氣體的性質為何如此簡單而普遍？ 原子分子的觀點是否可以解釋巨觀理想氣體的性質？

你可以以模擬得到理想氣體方程式！ http://www.phy.ntnu.edu.tw/java/idealGas/

更加定量的討論： 微觀 巨觀 巨觀物理量本質上是微觀物理量的統計結果！ 由巨觀物理量的微觀解釋或許我們可以找到巨觀物理量彼此的關係！

壓力 P 的微觀意義 氣體的壓力來自分子撞擊器壁後反彈，所施予器壁的力！

第 i 個粒子對 y-z 器壁的施力 F t

壓力 P 的微觀意義 壓力正比於單位體積內的氣體分子動能平均值！ （微觀量的統計結果）

代入狀態方程式 Clausius 巨觀的溫度也是正比於微觀分子動能的平均值（微觀量的統計結果）。

簡單的氣體分子速度估計 以室溫 300K 的氫氣為例 M = 0.002 kg/mol 氣體分子的速率大致與溫度的平方根成正比，而與分子量的平方根成反比。

溫度 T 的微觀意義 但若是我們希望推導出狀態方程式，我們就不能直接假設它已知 我們想得到壓力與溫度的關係，就必須去找出： 溫度是熱平衡的指標！ 熱平衡狀態從微觀的角度看是怎麼樣的情況？平衡如何達到？ Maxwell

分子的碰撞是氣體會趨向平衡態的動力！ 碰撞是無法停止的！ 即使到達熱平衡，粒子的碰撞仍不斷地繼續中！ 在熱平衡狀態，巨觀來說氣體已不再變化，但微觀來說，每一個個別粒子仍不斷碰撞，而改變運動速率與方向！ 微觀不斷變化下如何能夠維持巨觀的不變?

物理教學單元網頁 氣體分子速度Maxwell-Boltzmann的由來 http://www.phy.ntnu.edu.tw/demolab/phpBB/viewtopic.php?topic=2743

物理問題討論區 phpBB 物理教學單元網頁管理者: :黃福坤, 李偉 | 討論區首頁 >>物理課程相關問題(分成國中/高中/大學等區) >>物理教學單元網頁

在熱平衡狀態，巨觀來說氣體已不再變化，但微觀來說，每一個個別粒子仍不斷碰撞，而改變運動速率與方向！ 如何在微觀不斷變化下維持巨觀的不變? 微觀不斷變化唯一規定、決定了巨觀的不變狀態。 亂是常態！亂也就規定了常態的條件！

研究化一同學參加跨年活動 跨年活動有四個場地 研究選擇各個場地的人數分布

參與者有多次重新考慮，重新決定的機會 第一次分布 50 第二次分布 49 1 每一次有重新考慮的機會，參與者可以改變選擇，人數的分布也可能因此改變

49 第二次分布 1 48 1 第三次分布 1 47 1 第四次分布 1 1 有時參與者改變選擇後，如果增加與減少抵銷，群組的人數也可能會不變，

人數統計分布隨時間變化的關鍵是重新考慮同學的決定： 一個重新考慮的同學的選擇 3/5 1/5 1/5 比較受歡迎 比較不受歡迎 討論這個問題最好使用機率的概念。 假設一個重新考慮的決定大致上有一個機率分布 3:0:1:1。

第N次分布 3/5 1/5 1/5 第N+1次分布 你該預期比較受歡迎（機率高）的選擇，人數分布會一直增加 事實並不然（假設同學都不知道其他人的選擇）， 因為人數多的選擇，人口多，可能再改變心意的人數也多，

人數較多的選擇，可能再改變心意的人數也多， 第N次分布 20 10 10 10 五個重新考慮的人 21 第N+1次分布 9 10 10 合理的假設，每一個群組，會重新考慮的人數，與當時該群組的人數成正比 重新考慮的人，選擇這四個地點的機率大致分別為3:0:1:1 重新選擇後，所有考慮改變的人，大致就以3:0:1:1的比例分配到四個群組！

第N次分布 會重新考慮的人數，與當時該群組的人數成正比 考慮改變的人，大致以單人作選擇的可能機率比3:0:1:1的比例重新分配到四個群組！ 第N+1次分布

第N次分布 當各個群組人數的分布比例，正好與單人重新考慮時選擇各個群組的機率比例相同 ：3:0:1:1 第N+1次分布 群組的人數分布就不再改變！

群組的人數分布到達一個動態平衡狀態！ 10 30 10 10 30 10 群組中的個人身分可能改變， 群組的人數統計分布不再改變。

第N次分布 平衡狀態的特性： 當各個群組人數的分布比例，正好與單人重新考慮時選擇各個群組的機率比例相同 3:0:1:1 這其實並不意外 第N+1次分布 群體的行為反應個人的心理選擇 民意調查 關鍵是需要長時間的重新考慮 群組的人數統計分布就不再改變！

一個群體成員的某個性質的統計分布隨時間的變化 10 30 10 抽象的架構 10 30 10 通常有反應（改變心意）會改變組成成份（班員）的性質（地點選擇）， 全體組成成分對此性質的統計分布會因為這反應而不斷改變， 當此反應單一發生後，成員的性質在可能的結果中，通常有一定的機率分布（3:0:1:1）， 當此性質（地點選擇）的統計分布與此單一反應機率分布一致時，總分布將不會再因這反應的不斷發生而再產生改變。

將這樣的思考套用在氣體的平衡上，尋找平衡達成時的條件 考慮兩種氣體混合趨近熱平衡： 微觀地模擬兩種氣體達成熱平衡的過程， 在此過程，粒子不斷碰撞，改變速率與方向。

一缸氣體中，分子的速度有一個分布， 粒子不斷碰撞，改變彼此速率與方向！ 在這裡不斷改變速度統計分布的就是粒子彼此的碰撞！就是上文所謂的反應。 粒子狀態的改變最後會接近平衡狀態。 當分子的速度統計分布恰好與單一次碰撞後速度的機率分佈一致時，混亂的頻繁碰撞就不會再改變此速度分布。 這就是平衡態。

考慮1,2兩種氣體混合趨近熱平衡： 平衡時，分子速度的統計分布與單次碰撞後分子速度的可能機率分布一致。 讓我們先來研究單一次碰撞後的機率分布。

在混合氣體中，任找一個1粒子，再任找一個2粒子，來參與碰撞， 找到某特定速度的機率反應氣體中的分子的速度分布 如果這個機率剛好和（單次）碰撞後粒子速度的機率分布一致 氣體內粒子的速度分布就不會因碰撞而改變！

單一次碰撞後粒子速度的機率分布。 但在碰撞中，一般來說，速率與方向都會同時改變，如此必須討論兩個變數的分布，這使得分析非常困難！ 若取質心系統（碰撞前後質心速度不變） vCM 質點個別前後速率不變！ 碰撞前後唯一改變的是相對速度的方向 v1 v2 碰撞後粒子飛向每一個方向的機率都一樣！

碰撞前後唯一改變的是速度的方向 碰撞後粒子飛向每一個方向機率都一樣！ 我們選取質心速度 vCM 與相對速度 v1-v2 的夾角 θ來表示這個方向！ v1-v2 θ vCM vCM 碰撞後 vCM 與 v1-v2 的夾角θ應該是 0°-180° 任一角度都有相等的可能性。 即使一開始仔細地調整使此角有些特定的值，碰撞也會使角度變成任意。 這個同向性可以寫成數學式： 單次碰撞後依機率分布平均

v2 單次碰撞後，兩種分子運動速度的機率分布滿足： v1 平衡時，分子速度的統計分布與單次碰撞後分子速度的可能機率分布一致。 在平衡的混合氣體中，任找一個1粒子，再任找一個2粒子，測量他們的速度，計算以下的量。重覆許多許多次後平均，必須滿足同樣的條件： v1-v2 氣體內的分子在平衡態時必須滿足的分布條件 θ 即使一開始不滿足，經過多次碰撞後就會被強迫滿足 vCM 亂是有強迫力的！ 此結果原來只適用於質心座標 但相對速度與座標系無關，所以也適用於靜止座標

v2 兩種氣體的分子在平衡態時滿足的分布條件 分布條件 v1 v1-v2 θ vCM

兩種氣體平衡時，分子的動能平均相等 微觀 巨觀 兩種氣體平衡時，溫度相等 溫度與氣體分子動能平均值等價！ 為方便起見，假設兩者成正比，且選擇比例常數為 3k： k 是 Boltzmann Constant

壓力與溫度原來都是同一個微觀量的統計結果:動能平均。 導出了狀態方程式

在理想氣體中，位能可以忽略，內能只能來自動能： 導出了內能 導出了定容比熱

理想氣體的性質為何如此簡單而普遍？ 因為所有稀薄氣體都是一羣不斷運動碰撞的自由牛頓粒子！

以此”速度分布經過混亂碰撞後不變”的條件可以解出熱平衡時的速率的分布。 Maxwell 速率分佈 P(v)·dv 即是速率介於 v 與 v+dv 之間的分子數目。 完全的無知與混亂反而造成可預測的秩序

Boltzmann Factor Maxwell 速率分佈

如果氣體是由雙原子分子構成

雙原子分子的碰撞 分子會開始旋轉 移動動能會轉換為轉動動能！ 在單次碰撞後有機率會出現的能量分布，在平衡態時也必須存在！ 沒有旋轉動能的雙原子分子氣體，並不是處於平衡態！

這非常類似於單一方向的速率分佈，會在分子碰撞後，將動能分配到其他的的方向！ http://www.phy.ntnu.edu.tw/demolab/phpBB/viewtopic.php?topic=2743

如果把沿 x軸，y軸，z軸運動速度的動能視為個別的儲存能量的方式，碰撞便造成這三個方式彼此之間頻繁能量交換，最後每一個方式會平均地得到相等的能量1/2 kT。 Kx Ky Kx Ky Ky Ky 從較多能量的模式移轉能量到較低能量的模式，發生的機會會比反過來的移轉來得頻繁！ 直到兩者能量相等，基於對稱，來回的移轉頻率才會相等能量的來回移轉恰好抵消，於是達到平衡！

現在雙原子分子除了可以平移，還可以旋轉！ Kx Ky Ky Kx Ky Ky K旋轉 K旋轉

能量均分原則 Equipartition of Energy 一個系統中，任一個可以儲存能量的型式，在頻繁的熱作用（混亂的能量交換）達到熱平衡後，都會得到同樣的平均能量： 溫度的微觀意義原來是每一個自由度所分配的能量！ 是這個更廣泛意義的特例。 混亂製造了平衡態，因此混亂使我們可以預測平衡態的性質！ 關鍵是需要頻繁混亂的能量交換！這是熱現象的本質。

雙原子分子的內能 可以儲存能量的型式的數目，稱為自由度。

多原子分子組成的理想氣體

我們已可以透過微觀的圖像，解釋並預測理想氣體的所有性質 這看似一個勝利的快樂結局 Not So Fast!

可是！雙原子分子不是還可以振動嗎？ 混亂的碰撞也會使分子開始振動！ 振動如簡諧運動可以有彈力位能及動能兩種能量： 但實驗觀察量得室溫時 Maxwell認為這是物理學最大的危機！

顯然在室溫時，能量無法移轉到震盪的能量中！ Kx Ky Ky K旋轉 K震盪 U震盪

自由度的數目與溫度有關 在室溫附近，大小約是 kT 的熱能是無法進入震盪能量之中 當溫度增加後，熱能 kT 才足夠大，激發分子的振盪 震盪的激發似乎有一個門檻！

能量的量子化 簡諧振動能量的儲存是以量子的型式進行，一次必須加減 hf 的整數倍 所以若平均熱能 kT 比 hf 小很多，則儲存於該簡協振盪的能量就幾乎為零。

在室溫時，平均熱能比第一個能階的能量小很多 因此幾乎無法激發震盪的發生 Kx Ky Ky K旋轉 E震盪

旋轉的能量也是量子化的 能階差較小，所以熱能在較低溫時就跨越門檻的

固體的比熱 在高溫時，能量均分原理適用 移動動能 彈力位能

固體的振動模式

固體的比熱 在高溫時，能量均分原理適用 在低溫時，必須考慮量子效應：

在低溫時，必須考慮量子效應：

Mean Free Path

Mean Free Path λ:兩次碰撞之間的平均距離 當圓柱長增加至λ時,圓柱內粒子的截面應該恰可蓋滿整個圓柱截面，所以沿圓柱方向運動的粒子在行進中至少會撞到一個粒子！ At STP Relaxation time

……. ……. ……. ……. ……. None None 機率已很小 機率幾乎為零 若量子比kT大時，平均能量將遠小於能量為連續時！