§5 向量空间

封闭的概念 定义：所谓封闭，是指集合中任意两个元素作某一运算得到 的结果仍属于该集合． 例：试讨论下列数集对四则运算是否封闭？ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R

向量空间的概念 定义：设 V 是 n 维向量的集合，如果 ① 集合 V 非空， ② 集合 V 对于向量的加法和乘数两种运算封闭， 具体地说，就是： 若 a ∈ V， b ∈ V，则a + b ∈ V ．（对加法封闭） 若 a ∈ V， l ∈ R，则 l a ∈ V ．（对乘数封闭） 那么就称集合 V 为向量空间．

例：下列哪些向量组构成向量空间？ n 维向量的全体Rn 集合 V1 = { (0, x2, …, xn)T | x2, …, xn∈R } 集合 V2 = { (1, x2, …, xn)T | x2, …, xn∈R } 齐次线性方程组的解集 S1 = { x | Ax = 0 } 非齐次线性方程组的解集 S2 = { x | Ax = b } 解：集合 Rn，V1，S1 是向量空间， 集合 V2，S2 不是向量空间． 定义：齐次线性方程组的解集称为齐次线性方程组的解空间.

例：设 a, b 为两个已知的 n 维向量，集合 L = {l a + m b | l, m ∈R } 是一个向量空间吗？ 解：设 x1, x2 ∈L， k∈R，因为 x1 + x2 = (l1a + m1b) + (l2a + m2b) = (l1 + l2) a + (m1 + m2) b∈ L k x1 = k (l1a + m1b) = (kl1) a + (km1) b ∈ L 所以，L 是一个向量空间．

L = {l1a1 + l2a2 + …+ lmam | l1, l2, ..., lm ∈R } 定义：把集合 L = {l a + m b | l, m ∈R } 称为由向量 a, b 所生成的向量空间． 一般地，把集合 L = {l1a1 + l2a2 + …+ lmam | l1, l2, ..., lm ∈R } 称为由向量a1 , a2 , ..., am 所生成的向量空间． 例：设向量组a1 , a2 , ..., am 和 b1 , b2 , ..., bs 等价，记 L1 = { l1a1 + l2a2 + …+ lmam | l1, l2, ..., lm∈R }， L2 = { m1b1 + m2b2 + …+ ms bs | m1, m2, ..., ms∈R }， 试证 L1 = L2 ． 结论：等价的向量组所生成的空间相等．

向量空间的基的概念 定义：设有向量空间 V ，如果在 V 中能选出 r 个向量a1, a2, …, ar，满足 ② V 中任意一个向量都能由 a1, a2, …, ar 线性表示； 那么称向量组 a1, a2, …, ar 是向量空间 V 的一个基． r 称为向量空间 V 的维数，并称 V 为 r 维向量空间 ． 向量空间 向量空间的基 向量空间的维数 向量组 向量组的最大无关组 向量组的秩

n 维向量的全体 Rn 解：En 的列向量组是 Rn 的一个基，故Rn 的维数等于 n . 集合 V1 = { (0, x2, …, xn)T | x2, …, xn∈R } 解：En 的后 n－1个列向量是V1 的一个基，故 V1 的维数等于 n－1 ． n 元齐次线性方程组的解集 S1 = { x | Ax = 0 } 解：齐次线性方程组的基础解系是 S1 的一个基，故 S1 的维 数等于 n－R(A) ．

L = { l1a1 + l2a2 + …+ lmam | l1, l2, ..., lm∈R } 由a1 , a2 , ..., am 所生成的向量空间 L = { l1a1 + l2a2 + …+ lmam | l1, l2, ..., lm∈R } 若 a1 , a2 , ..., am 线性无关，则 a1 , a2 , ..., am 是向量空间 L 的一个基． 若 a1 , a2 , ..., am 线性相关，则 向量组 A：a1 , a2 , ..., am 等价于 向量组 A 的最大无关组 A0 ：a1 , a2 , ..., ar 从而 L =L1= { l1a1 + l2a2 + …+ lr ar | l1, l2, ..., lr∈R } 故向量组 A0 就是 L 的一个基， A0中向量的个数就是 L 的维数.

定义：如果在向量空间 V 中取定一个基 a1 , a2 , ..., ar ，那么V 中任意一个向量可唯一表示为 x = l1a1 + l2a2 + …+ lrar 数组 l1, l2, ..., lr 称为向量 x 在基 a1 , a2 , ..., ar 中的坐标． 例： 的列向量组是 R3 的一个基， 那么 b 在基 e1, e2, e3 中的坐标

n 阶单位矩阵 En 的列向量叫做 n 维单位坐标向量． n 阶单位矩阵 En 的列向量组称为 Rn 的自然基．

上三角形矩阵 的列向量组也是 R3 的一个基，那么 结论：同一个向量在不同基中的坐标是不同的．

例：设 验证a1, a2, a3 是R3 的一个基，并求 b1, b2 在这个基中的坐标. 分析： a1, a2, a3 是 R3 的一个基 R(a1, a2, a3 ) = 3 b1, b2 在这个基中的坐标 用 a1, a2, a3 表示 b1, b2 当 时，A 的列向量组与B 的列向量组有相同的线性关系．（P. 93 例11） 为此，考虑把 (A, B) = (a1, a2, a3, b1, b2) 化为行最简形矩阵．

例：设 验证a1, a2, a3 是R3 的一个基，并求 b1, b2 在这个基中的坐标. 解： 于是

例：在 R3中取定一个基 a1, a2, a3 ，再取一个新基 b1, b2, b3， 设 A = (a1, a2, a3)，B = (b1, b2, b3) ． ① 求用a1, a2, a3 表示 b1, b2, b3 的表示式（基变换公式）； ② 求向量在两个基中的坐标之间的关系式（坐标变换公式）. 分析： 求解矩阵方程 AX = B． 设 x∈R3，且 ，求解 矩阵方程 ．