幂函数
幂函数的定义: 常数。 一般地,函数 叫做幂函数(power function) ,其中x为自变量, 为 注意: (1)幂函数的解析式必须是 的形式, 前的系数必须是1,没有其它项。 (2)定义域与 的值有关系.
幂函数与指数函数的对比: 式子 名称 常数 x y 指数函数: y=a x 幂函数: y= xα 指数 幂值 a为底数 α为指数 底数 幂值 (a>0且a≠1) 幂函数: y= xα 指数 幂值 a为底数 α为指数 底数 幂值 判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点 看未知数x是指数还是底数 幂函数 指数函数
快速反应 (指数函数) (幂函数) (幂函数) (指数函数) (指数函数) (幂函数)
幂函数的图象及性质 五个常用幂函数的图像和性质 对于幂函数,我们只讨论 =1,2,3, ,-1时的情形。 (1) (2) (3) 对于幂函数,我们只讨论 =1,2,3, ,-1时的情形。 五个常用幂函数的图像和性质 (1) (2) (3) (4) (5)
函数 的图像 定义域: 值 域: 奇偶性: 单调性:
函数 的图像 定义域: 值 域: 奇偶性: 单调性:
函数 的图像 定义域: 值 域: 奇偶性: 单调性:
2 y= x … -2 -1 1 2 3 4 y=x3 y=x1/2 -8 -1 1 8 27 64 / / 1 y=x3 x y 1 2 1 2 3 4 y=x3 y=x1/2 -8 -1 1 8 27 64 2 / / 1 y y=x3 1 2 3 4 -1 -2 -3 6 8 -4 -6 -8 y= x x
函数 的图像 定义域: 值 域: 奇偶性: 单调性:
函数 的图像 定义域: 值 域: 奇偶性: 单调性:
y = x 幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性,随常数α取值的不同而不同. y= x3 y = x2 定义域 值 域 单调性 公共点 R [0,+∞) R [0,+∞) R [0,+∞) 非奇非偶函数 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 在(-∞,0]上是减函数,在(0, +∞)上是增函数 在R上是增函数 在( -∞,0),(0, +∞)上是减函数 在R上是增函数 在(0,+∞)上是增函数 (1,1)
4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 6 (-2,4) (2,4) y=x (-1,1) (1,1) (-1,-1)
1、所有幂函数在(0,+∞)上都有定义,并且图象都通过点(1,1). 2、在第一象限内, α >0,在(0,+∞)上为增函数; α <0,在(0,+∞)上为减函数. 3、α为奇数时,幂函数为奇函数, α为偶数时,幂函数为偶函数.
(1)5.20.8 与 5.30.8 (3) 练习:利用单调性判断下列各值的大小。 (2)0.20.3 与 0.30.3 (1)5.20.8 与 5.30.8 (2)0.20.3 与 0.30.3 (3) 解:(1)y= x0.8在(0,∞)内是增函数, ∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8 (2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数 ∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3 (3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数 ∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
例2:
小结: 幂函数的性质: 幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性,随常数α取值的不同而不同. 1.所有幂函数的图象都通过点(1,1); 2.当α为奇数时,幂函数为奇函数, 当α为偶数时,幂函数为偶函数. α>1 0<α<1 a=1 3.如果α>0,则幂函数 在(0,+∞)上为增函数; 如果α<0,则幂函数 在(0,+∞)上为减函数。 α<0