陪集例：三次对称群S3={e,1, 2, 3, 4, 5}的所有非平凡子群是:

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§2 求导法则 2.1 求导数的四则运算法则下面分三部分加以证明, 并同时给出相应的推论和例题 .

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4.偏序集合中的几个特殊元素定义：设(A,≤)是一个偏序集合, BA,若存在一个元素bB,对所有b‘B都有b’≤b, 则称b是B的最大元；若都有b≤b‘, 则称b是B的最小元。特别B=A时，称b为A的最大元或最小元。例：A1={1,2,3,4,5,6},(A1,) 1为A1的最小元，6为A1的最大元.

第二章数控车削加工常用指令及应用 1.常用辅助功能指令 2.直线车削指令——G01/G00 3.圆弧车削指令——G02/G03

测验： 2.设是群G上的等价关系,并且对于G的任意三个元素a,x,x‘，若axax’则必有x x‘。证明：与G中单位元等价的元素全体构成G的一个子群。 H={x|xG,并且xe} 对任意的xH， xe, xee=xx-1 对任意的x,yH， xe, ye, eye, x-1xyx-1x.

Zp上的n次不可约多项式f(x)的根域是什么？定理:Zp上的n次不可约多项式f(x)的根域是GF(pn)=Zp()

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例：循环群的每个子群一定是循环群。证明：设H是循环群G的子群，a是G的生成元。 1.aH

第三章　函数的微分学第二节　导数的四则运算法则一、导数的四则运算二、偏导数的求法.

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定义21.17:设P1=P(Y1)和P2=P(Y2)，其个体变元与个体常元分别为X1,C1和 X2,C2，并且或者C1=或者C2。一个半同态映射(,):(P1,X1∪C1)→(P2,X2∪C2)是一对映射: P1→P2; : X1∪C1→X2∪C2，它们联合实现了映射p(x,c)→(p)((x),

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定义5 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的矩阵,

第四节向量的乘积一、两向量的数量积二、两向量的向量积.

定理15.8：对f(x)F[x],g(x)F[x], g(x)0,存在唯一的q(x),r(x)F[x], degr(x)

三、循环群 1.元素的阶定义13.10:设G为群, e是G的单位元，对于aG, 如果存在最小正整数r，使得ar=e，则称r为元素a的阶; 也可称a是r阶元。若不存在这样的r，则称a为无限阶元或说a的阶无限。若元素a的阶有限，则存在k,lZ(kl),使ak=al，如果a的任意两个幂都不相等,

§4.5 最大公因式的矩阵求法（ Ⅱ ）.

最小生成树最优二叉树.

§2 自由代数定义19.7:设X是集合，G是一个T-代数，为X到G的函数,若对每个T-代数A和X到A的函数，都存在唯一的G到A的同态映射,使得=，则称G(更严格的说是(G,))是生成集X上的自由T-代数。X中的元素称为生成元。 A变， 变 变， 也变对给定的 和A，是唯一的.

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1.2.2 充要条件高二数学选修 1-1 第一章常用逻辑用语.

第十章群与环主要内容群的定义与性质子群.

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陪集例：三次对称群S3={e,1, 2, 3, 4, 5}的所有非平凡子群是: H1={e, 1}; H2={e, 2}; H3={e, 3}; H4={e, 4, 5}。其中H4就是三次交代群A3。现在考察H1的陪集。

e H1=1H1=H1; 2H1=5H1={2, 5} 3H1=4H1={3, 4};H1e =H11=H H12=H14={2, 4};H13=H15={3, 5} 显然2H1H12, 5H1H15, 3H1H13, 4H1H14 这说明左、右陪集一般不等。

引理13.1：如果HG是子群,那么任一gG所构成的陪集|gH|=|H|, |Hg|=|H|。分析:证明基数相等的一种方法是证明两个集合之间存在双射. 证明:定义映射:HHg, (h)=hg 利用群消去律证明是一对一的. 而满射是显然的,因为对任意的hgHg, 有(h)=hg.

引理13.2：H为G的子群,g1,g2G,两个右陪集Hg1与Hg2,则: 或Hg1=Hg2,或Hg1∩Hg2=。证明:利用等价类的性质. 例：设[H;]是群[G;]的子群，则 (1)若baH，则bH=aH (2)若bHa，则Hb=Ha 由等价类的概念和性质即得.

定理:G是群,H是G的子群,则H在G中的左陪集数与右陪集数相等. 三、拉格朗日定理定理:G是群,H是G的子群,则H在G中的左陪集数与右陪集数相等. 证明：设S和T分别为G的关于H的所有右和左陪集的集合。现在要证明的是|S|=|T|。考虑证明存在S→T的双射。定义13.14：H为G的子群,关于H的所有不同的左(右)陪集数叫做H在G中的指数。 [E;+]是[Z;+]的子群，E在Z中指数？

定理13.17：G为有限群,H为其子群, 则H的阶可以整除G的阶,其相除的商就是H在G中的指数k。例：设a为有限群[G;*]的元素，则a的阶整除|G|。推论13.8：G为有限群，阶为素数p，则[G;*]是循环群。

四、正规子群定义13.15：H为群G的子群,当对任意的gG,gH=Hg,称H为G的正规子群,也可称为不变子群。例：任意Abel群的子群都是正规子群。三次对称群S3={e,1, 2, 3, 4, 5}的所有非平凡子群是: H1={e, 1}; H2={e, 2}; H3={e, 3}; H4={e, 4, 5}。其中只有H4是正规子群

(1)H为正规子群，则应对G中每个元素g都有Hg=gH (3)Hg=gH是表示两个集合相等，并不意味着hg=gh,完全有可能Hg=gH,但hggh。 (4)Hg=gH是指，对任意hH，总存在h'H ，使得hg=gh'。

定理13.18：H是G的子群, 它又是正规的, 当且仅当,对任gG,hH,有g-1hgH。设G={(x; y)|x,yR，x 0}, 在G上定义二元运算如下： (x, y)●(z,w)=(xz, xw+y) 对任意(x,y),(z,w) G。H={(1,y)|yR} 证明 (H; ●)是群(G;●) 的正规子群。

作业 P172 27,28,29,30,31 下次介绍商群，群同态基本定理。