一百零四學年度第一學期 電路學學期考試解答

𝑣 1 𝑣 1 −36

(a) KCL for the supernode: 𝑣 1 − −12 4 + 𝑣 1 6 + 𝑣 1 −36 12 + 𝑣 1 −36 −24 3 =0 1 4 + 1 6 + 1 12 + 1 3 𝑣 1 =− 12 4 + 36 12 + 36+24 3 3+2+1+4 12 𝑣 1 =−3+3+20 10 12 𝑣 1 =20 𝑣 1 =24V， 𝑣 2 = 𝑣 1 −36=−12V (b) 𝑖 12Ω = 𝑣 1 −36 12 = −12 12 =−1A

由右邊的迴路可知 𝑖 𝐶 =−𝛽𝑖，由電容的特性可知 𝑖 𝐶 =𝐶 𝑑 𝑣 out 𝑑𝑡 因此 𝐶 𝑑 𝑣 out 𝑑𝑡 =−𝛽𝑖

𝐶 𝑑 𝑣 out 𝑑𝑡 =−𝛽𝑖 因此 𝑖=− 𝐶 𝛽 𝑑 𝑣 out 𝑑𝑡 受控電源的主控變數是左邊迴路的電流 𝑖，由左邊迴路的電壓方程式 (KVL) 可知 𝐿 𝑑𝑖 𝑑𝑡 +𝑅𝑖= 𝑣 in 把上式的 𝑖 代入： 𝐿 𝑑 𝑑𝑡 − 𝐶 𝛽 𝑑 𝑣 out 𝑑𝑡 +𝑅 − 𝐶 𝛽 𝑑 𝑣 out 𝑑𝑡 = 𝑣 in 整理： 𝐿𝐶 𝑑 2 𝑣 out 𝑑 𝑡 2 +𝑅𝐶 𝑑 𝑣 out 𝑑𝑡 =−𝛽 𝑣 in

(a) 由方程式 𝑑𝑣 𝑑𝑡 + 𝑣 𝑅𝐶 = 𝐼 0 𝐶

比較第一項與第二項： 𝑑𝑣 𝑑𝑡 ， 𝑣 𝑅𝐶 分母的量綱必須相同，因此 𝑅𝐶 的量綱必須與 𝑡 相同。 另證： 𝑅= 𝑣 𝑖 ， 𝐶= 𝑞 𝑣 相乘： 𝑅 𝐶 = 𝑣 𝑖 𝑞 𝑣 = 𝑞 𝑖 = 𝑞 𝑞 𝑡 = 𝑡 單位 Ω∙F= V A ∙ C V = C A 其中 A 是安培，等於庫倫 (C)除以秒，因此庫倫除以安培就等於秒。所以 𝑅𝐶 的單位為秒 (s)。

(a) 𝜔=5× 10 4 rad/s

(b) ℤ 𝐿 =𝑗𝜔𝐿=𝑗5× 10 4 ×200× 10 −3 =𝑗10 kΩ ℤ 𝐶 = 1 𝑗𝜔𝐶 = 1 𝑗5× 10 4 ×2× 10 −9 =−𝑗10 kΩ 用 phasor 並標示節點電壓，重畫電路圖如下：

Consistent units: kΩ, mA, V KCL at node 𝕍： 𝕍 40 + 𝕍− 𝕍 𝐶 𝑗10 =𝕀=10 KCL at node 𝕍 𝐶 ： 𝕍 𝐶 −𝕍 𝑗10 + 𝕍 𝐶 5 + 𝕍 𝐶 −𝑗10 =0

聯立方程式： 𝕍 40 + 𝕍− 𝕍 𝐶 𝑗10 =𝕀=10 𝕍 𝐶 −𝕍 𝑗10 + 𝕍 𝐶 5 + 𝕍 𝐶 −𝑗10 =0 𝕍−𝑗4 𝕍− 𝕍 𝐶 =400 𝕍 𝐶 −𝕍+𝑗2 𝕍 𝐶 − 𝕍 𝐶 =0 1−4𝑗 𝕍+𝑗4 𝕍 𝐶 =400 𝕍=𝑗2 𝕍 𝐶 第二式代入第一式 1−4𝑗 𝑗2 𝕍 𝐶 +𝑗4 𝕍 𝐶 =400 8+6𝑗 𝕍 𝐶 =400

1−4𝑗 𝕍+𝑗4 𝕍 𝐶 =400 𝕍=𝑗2 𝕍 𝐶 第二式代入第一式 1−4𝑗 𝑗2 𝕍 𝐶 +𝑗4 𝕍 𝐶 =400 8+6𝑗 𝕍 𝐶 =400 𝕍 𝐶 = 400 8+6𝑗 = 8−6𝑗 400 8+6𝑗 8−6𝑗 = 8−6𝑗 400 100 =4 8−6𝑗 =8 4−3𝑗 =8×5 𝑒 − arctan 3 4 =40 𝑒 −𝑗 arctan 3 4 因為此複數在第四象限，因此幅角取負值 − arctan 3 4 。

𝕍 𝐶 =8 4−3𝑗 =40 𝑒 −𝑗 arctan 3 4 由𝕍=𝑗2 𝕍 𝐶 ： 𝕍=𝑗2×8 4−3𝑗 =16 3+4𝑗 =16×5 𝑒 𝑗 arctan 4 3 =80 𝑒 𝑗 arctan 4 3 𝕍 𝐿 =𝕍− 𝕍 𝐶 =16 3+4𝑗 −8 4−3𝑗 =16+𝑗88=8 2+𝑗11 =8× 4+121 𝑒 𝑗 arctan 11 2 =8×5 5 𝑒 𝑗 arctan 11 2 =40 5 𝑒 𝑗 arctan 11 2 𝑣 𝑡 =80 cos 5× 10 4 𝑡+ arctan 4 3 V 𝑣 𝐶 𝑡 =40 cos 5× 10 4 𝑡− arctan 3 4 V 𝑣 𝐿 𝑡 =40 5 cos 5× 10 4 𝑡− arctan 11 2 V

此題只有一個節點，電壓 𝕍 1 為唯一的未知數。 有受控電壓源 2 𝕍 𝑥 ，其約束條件為 𝕍 𝑥 = 𝕍 1 −30

KCL at the node 𝕍 1 −30 −𝑗5 + 𝕍 1 5 + 𝕍 1 −2 𝕍 1 −30 1+𝑗2 =0 𝕍 1 −30 −𝑗5 + 𝕍 1 5 + 1−𝑗2 5 𝕍 1 −2 𝕍 1 −30 =0 去分母 𝑗 𝕍 1 −30 + 𝕍 1 + 1−𝑗2 𝕍 1 −2 𝕍 1 −30 =0 𝑗+1−1+𝑗2 𝕍 1 =𝑗30−60 1−𝑗2 𝑗3 𝕍 1 =−60+𝑗150 𝕍 1 =50+𝑗20=10 29 𝑒 𝑗 arctan 2 5 𝑣 1 𝑡 =10 29 cos 𝜔𝑡+ arctan 2 5