知识点5---向量组的最大无关组 1. 最大线性无关组的定义 2. 向量组秩的定义及求法 向量组的秩和对应矩阵秩的关系 3.
线性相关与线性无关 定义 给定向量组 A： 如果存在不全为零的数 使 则称向量组 A 是线性相关的，否则,称它线性无关．
对于任一向量组，不是线性无关就是线性相关. 如果有 只有在 时， 那么称向量组 线性无关。 对于任一向量组，不是线性无关就是线性相关. 3
一、最大线性无关组
验证 解： 线性相关，
向量组的最大无关组不是唯一的. 思考 在向量组 中， 都是最大无关组吗？ 是线性无关的 解： 每组向量加一个向量后就线性相关， 它们都是最大无关组. 是线性相关的， 所以不是最大无关组. 向量组的最大无关组不是唯一的.
注 1. 若向量组A本身线性无关，则A 就是其一个最 大无关组； 2.全由零向量组成的向量组，没有最大无关组； 3.向量组的任一向量能由它的最大无关组线性表示.
二、向量组的秩及求法 定义：向量组的最大无关组所含向量的个数称为向量组的秩 则该向量组的秩为r.
定理1：向量组与其任何一个最大无关组是等价的; 证明 :设向量组A的秩为r, A的一个最大无关组为 (1) A1中的向量都是A中的向量,所以A1可由A 线性表示； (2) 任意 ,当 时, 可由线性A1表示； 当 时, 线性相关, 而 线性无关, 可由A1线性表示. 故A可由A1线性表示．因此 A与A1等价．
定理1：向量组与其任何一个最大无关组是等价的; 推论1：向量组的任意两个最大无关组间是等价的; 推论2：向量组的任意两个最大无关组含有向量的个数相同;
例1 已知 求 的最大无关组及向量组的秩. 解
线性相关。
线性相关 得出 线性相关。 得出 线性无关。 得出 线性无关。 得出 线性无关。 是最大无关组.
是最大无关组. 向量组的秩是3. 性质1: 向量组 的秩 即为矩阵 的秩 等于最大无关组的向量的个数。
是一个最大无关组. 是线性相关. 设向量组 的秩为s ，则向量 性质2： 组中任意s+1个向量（如果有）必线性相关 一般取阶梯头所在的列作为一个最大无关组.
求最大无关组的步骤： 作为列向量构作矩阵A，即 1.将 将A只用初等行变换化为阶梯形矩阵B. 2.求出B的秩，如 3.向量组 中s 个线性无关的向量 是它的一个最大无关组. 一般取阶梯头所在的列作为一个最大无关组.
例2 已知向量组A： 求A的一个最大无关组及向量组的秩. 解
是一个最大无关组.
三、向量组的秩和对应矩阵秩的关系 按行分块 ｍ个ｎ维行向量. 按列分块 第ｉ个行向量记作 这两个向量组都来源于同一个矩阵A;不同的是来自于两种不同的分块方法. ｎ个ｍ维列向量. 第ｊ个列向量记作
定义:矩阵A按行分块得到行向量组的秩称为A的行秩， 定理2:设 则A的行秩=A的列秩=向量组的秩. 证明:设 有性质知， A的列秩 A的行秩= AT的列秩 则A的行秩=A的列秩=向量组的秩.
推论: An是可逆矩阵 A的行向量组是线性无关 A的列向量组是线性无关 A的列（行）向量组中有r 个列（行）向量线性无关， 且任意r+1个（如果有）列（行）向量均线性相关.
例3 设A是5*3的矩阵，且R(A)=3，下述4个命题中 不正确的是（ ） （A）A的3个列向量必线性无关。 （B）A的5个行向量必线性相关。 （C）A的任意3个行向量必线性无关。 （D）A的行向量中有3个行向量是线性无关的。 所以，A的列秩=3， 解： 由 R(A)=3 知， 而A的列向量只有3个， 所以，A的3个列向量必然线性无关， 故（A）正确。
例3 设A是5*3的矩阵，且R(A)=3，下述4个命题中 不正确的是（ ） （A）A的3个列向量必线性无关。 （B）A的5个行向量必线性相关。 （C）A的任意3个行向量必线性无关。 （D）A的行向量中有3个行向量是线性无关的。 解： 由 R(A)=3 知， 所以，A的行秩=3， 而A的行向量有5个， A的5个行向量必然线性相关， 故（B）正确。
例3 设A是5*3的矩阵，且R(A)=3，下述4个命题中 不正确的是（ ） （A）A的3个列向量必线性无关。 （B）A的5个行向量必线性相关。 （C）A的任意3个行向量必线性无关。 （D）A的行向量中有3个行向量是线性无关的。 解： 由 R(A)=3 知， 由A的行秩为3知 A的行向量中有3行向量是线性无关的, 故(D)正确. 显然（C）不正确.
小 结 １．最大无关组的定义及向量组秩的定义． ２．矩阵的秩与向量组的秩的关系： 3．最大无关组的求法： 矩阵的秩＝向量组的秩＝矩阵列向量组的秩 ＝矩阵行向量组的秩 3．最大无关组的求法： 将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初等行变换． 一般取阶梯头所在的列作为一个最大无关组.