学习任务五 二重积分及其应用 二元函数的积分内容很丰富, 只要求大家了解二重积分的定义, 掌握二重积分的计算方法. 学习任务五 二重积分及其应用 二元函数的积分内容很丰富, 只要求大家了解二重积分的定义, 掌握二重积分的计算方法. 1. 二重积分的定义及性质 为了计算曲边梯形的面积, 引入了“定积分”. 为了计算曲顶柱体的体积, 需要学习“二重积分”.
设曲顶柱体的底是xOy坐标面上的区域D，其顶是曲面z = f(x, y) 0 (因此而得名!).
为了计算该曲顶柱体的体积, 类似于曲边梯形面积的计算步骤： (1) 分割 (2) 近似 (3) 求和 (4) 取极限
其中f(x, y)称为被积函数, D称为积分区域. 类似于定积分，二重积分有下列三条性质. 同样，这些性质都是为二重积分的计算作准备的.
性质1 性质2 性质3 若区域D可以划分成两个小的区域D1和D2，则
2. 二重积分的计算 计算二重积分，其基本思想是将其转化成两个定积分. 如何转化，要根据区域D而定. 分两种情况加以讨论. (1) D是X-型区域 X-型区域D：D是由x = a，x = b及曲线y = 1(x)、 y = 2(x)所围成(见下图).
这时, 二重积分按下面步骤进行计算. 第一步 先将被积函数f(x, y)中的x看作常数对y积分，y从1(x)积分到2(x), 即计算
定积分 是一个关于x的函数. 第二步 再将关于x的函数 对x积分，x从a积分到b, 即计算 为了少写一对括号[ ], 通常写成
因此, 当积分区域是X-型区域时，二重积分的计算公式为 其中D是矩形区域：-2 x 2,-1 y 1. Solution 矩形区域D的图形为
显然, 该区域是X-型区域, 这时a = -2, b = 2, 1(x) = -1, 2(x) = 1.于是
例(X-型区域二重积分的计算) 计算二重积分 其中D是由x = 0, x = 1, y = x2和y = x围成. Solution 区域D的图形为
显然, 该区域是X-型区域, 这时a = 0, b = 1, 1(x) = x2, 2(x) = x.于是
(2) D是Y-型区域 Y-型区域D：D是由y = c，y = d及曲线x = 1(y)、 x = 2(y)所围成(见下图).
这时, 二重积分 按下面步骤进行计算. 第一步 先将被积函数f(x, y)中的x看作常数对y积分，y从1(x)积分到2(x), 即计算 定积分 是一个关于y的函数.
第二步 再将关于y的函数 对x积分，x从a积分到b, 即计算 为了少写一对括号[ ], 通常写成
因此, 当积分区域是Y-型区域时，二重积分的计算公式为 例(X-型区域二重积分的计算) 计算二重积分 其中D是矩形区域：-2 x 2,-1 y 1. Solution 矩形区域D的图形为
该区域也是Y-型区域, 这时c = -1, d = 1, 1(y) = -2, 2(y) = 2.于是
例(Y-型区域二重积分的计算) 计算二重积分 其中D是由x = y2和y = x -2围成. Solution 区域D的图形为
显然, 该区域是Y-型区域, 这时c = -1, d = 2, 1(y) = y2, 2(y) = y + 2. 于是