第二章 应变分析 1. 应变张量的引入 1.1 位移矢量与位移梯度矢量 物体的变形使用位移来表示 P点的位移设为u 由线段PQ的形变引出 第二章 应变分析 1. 应变张量的引入 1.1 位移矢量与位移梯度矢量 物体的变形使用位移来表示 P点的位移设为u 由线段PQ的形变引出 位移的梯度矢量 du 连续物体的变形
1.2 位移梯度的张量表达 下标形式? chy
1.3 位移梯度张量的分解 张量的分解, 对称张量与反对称张量,证明 chy
应变张量 转动张量
2. 应变张量与转动张量 2.1应变张量的分量的物理意义 先考虑任意体积的应变在一个坐标平面上的投影(3D->2D) 在一个平面上考虑其面积变形状态
定义:正应变为长度的变化率(线应变) 小应变假设(变形小,扭曲小): dx 变形后的长度ab： 定义正应变： 得到: 同理:
定义:剪应变为角度变化之和的平均 定义剪应变： 定义工程剪应变:
应变张量的单位?
2.2. 转动张量的分量的物理意义
若令 则可以定义反对称旋转张量的对偶矢量为: 称为旋转矢量
因此旋转张量 又可以表示为： 由旋转造成的位移场： 位移场的旋度可以表示为：
综上,位移的变化可以表示为：
3. 应变张量的一些特征 3.1 坐标轴旋转时应变张量的变换
3.2. 主应变及应变张量不变量 设主应变大小为 , 方向余弦为（a1,a2,a3)
3.3. 应变张量第一不变量与体积膨胀率
3.4. 三维应变圆 三个正应变与三个最大剪应变
3.5. 应变张量的分解 应变张量中的正应变分量与剪应变分量
4. 平面应变 4.1 平面应变的定义 要产生平面应变需要的应力条件 三种方法求平面应变的主应变大小和方向: 特征值, 摩尔圆, 坐标变换
4.2. 平面应变的坐标轴变换 如果原坐标轴的方向为主应变的方向，公式得到简化
4.3. 平面应变的测量, 应变花方法 应变花方法：根据主应变坐标变换的公式，使用两个给定的 角和该角度上测量得到的线应变求主应变大小和方向
电阻应变片:
5. 一些典型的应变 5.1 单轴应变
5.2.平面应变中的纯剪切(Pure Shear)与简 单剪切(Simple Shear) 纯剪切: 两边角度变化相等，旋转张量为零
简单剪切：只有一边上存在角度变化。 简单剪切可以表示为一个旋转变形和一个纯剪切之和 （画图：先旋转，再纯剪）
6. 变形协调方程 (连续性方程) 物体的变形要保持物体的连续性 画图 或者说 需要使求出的 为单值函数
先证明必要性(给出方程形式): 由定义: 对 求微分： 同理： 连续函数的求导与顺序无关，所以得到 ：
共81个方程，其中只有6个是独立方程：
再证明充分性(给出方程证明): 设平面上P点坐标: 对应位移: 则P1点位移可以通过P点位移和P到P1点位移梯度矢量的积分表示: 点位移: 在第 i 方向: 位移的单值性要求该积分与积分路径无关
对x1方向: 使用应变张量和旋转张量的分量表示: 积分与路径无关的充要条件
积分与路径无关的充要条件 (证明) 格林公式: 单连通域与多连通域
将A1，A2，A3的表达式代入得到三个方程： 同理对三个方向，共得到9个方程
还需要旋转矢量的每个分量均为单值函数 也即 再利用一次积分与路径无关的条件
得到： 充分性得 以证明
. 7. 有限变形的一点简介 拉格朗日描述(坐标)与欧拉描述(坐标) 拉式描述(以初始坐标为准): 欧式描述(以当前坐标为准):
拉格朗日坐标与欧拉坐标系中对时间求微分: . 拉格朗日坐标与欧拉坐标系中对时间求微分: 拉式: 欧式:
拉格朗日坐标下有限应变的定义 在拉式坐标中:
展开形式:
类似的, 欧拉坐标下有限应变的定义 在欧式坐标中:
8. 课程作业 问题1: 已知平面应变为 使用特征值，摩尔圆，以及坐标变换三种 方式求其主应变的大小和方向
问题2: 求给定区域的平面主应变的大小和方向 已知 相对于参考点（在左下），测点的坐标（单位为km）分别为： G11 : (22.06342, 40.58706); G13 : (23.14246, 33.03411); G20 : (29.33004, 40.33619);
测线长度的年度变化(单位为m) ,如下表： 基线名称 2003年边长 2004年边长 G20-G13 9571.129 9571.143 7270.9492 7270.9518 G13-G11 7629.6383 7629.6401 步骤: 求三角形的中心坐标 求三条边的方向角度(比如相对于方向东的角度) 求三条边上的线应变 根据应变花的方法,求出主应变和主方向 将求得的主方向的角度转化成以北方向为0度来表示