概率论与数理统计

教材：《概率论与数理统计》 （经管类） 课程代码：4183 柳金甫 王义东 主编 武汉大学出版社

本课程的重点章是第1、2、3、4、7、8章. （1）试题的难度可分为：易，中等，偏易，中等偏难，难。 它们所占分数依次大致为：20分，40分，30分，10分。 （2）试题的题型有：选择题(10*2=20分)、填空题 (15*2=30分)、 计算题 (2*8=16分)、综合题(2*12=24分)、应用题(1*10=10分)。 （3）在试题中，概率论和数理统计内容试题分数的分布大 致是75分和25分.

序 言 概率论是研究什么的？ 概率论——从数量上研究随机现象的统计规律性的科学。 序 言 概率论是研究什么的？ 概率论——从数量上研究随机现象的统计规律性的科学。 数理统计——从应用角度研究处理随机性数据，建立有效的统计方法，进行统计推理。

目 录 第一章 随机事件与概率(重点) 第二章 随机变量及其概率分布(重点) 第三章 多维随机变量及其概率分布(重点) 目 录 第一章 随机事件与概率(重点) 第二章 随机变量及其概率分布(重点) 第三章 多维随机变量及其概率分布(重点) 第四章 随机变量的数字特征(重点) 第五章 大数定律及中心极限定理 第六章 统计量及其抽样分布 第七章 参数估计(重点) 第八章 假设检验(重点) 第九章 回归分析

第一章 随机事件与概率 §1.1 随机事件 §1.2 概率 §1.3 条件概率 §1.4 事件的独立性

§1.1 随机事件 现象按照必然性分为两类： 一类是确定性现象； 一类是随机现象。 §1.1 随机事件 1.1.1 随机现象 现象按照必然性分为两类： 一类是确定性现象； 一类是随机现象。 在一定条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，我们预先无法断言，这类现象成为随机现象。

§ 1.1.2 随机试验和样本空间 试验的例子 E1: 抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况； E2: 掷一颗骰子，观察出现的点数； 在区间 上任取一点，记录它的坐标。

1.试验的可重复性——可在相同条件下重复进行； 2.一次试验结果的随机性——一次试验之前无法确定具体 上述试验的特点： 1.试验的可重复性——可在相同条件下重复进行； 2.一次试验结果的随机性——一次试验之前无法确定具体 是哪种结果出现，但能确定所有的可能结果。 3.全部试验结果的可知性——所有可能的结果是预先可知 的。 在概率论中，将具有上述三个特点的试验成为随机试验， 简称试验。随机试验常用E表示。

样本空间 2、样本点:试验的每一个可能出现的结果成为一个样本点,用字母ω表示. 1、样本空间: 试验的所有可能结果所组成的集合称为试验E的样本空间,记为Ω. 2、样本点:试验的每一个可能出现的结果成为一个样本点,用字母ω表示.

下面分别写出上述各试验 所对应的样本空间

§1.1.3 随机事件 1.定义 样本空间的任意一个子集称为随机事件, 简称“事件”.记作A、B、C等。 例在试验E2中，令A表示“出现奇数点”，A就是一个随机事件。 A还可以用样本点的集合形式表示，即A={1，3，5}.它是样本 空间Ω的一个子集。 事件发生：例如，在试验E2中，无论掷得1点、3点还是5点， 都称这一次试验中事件A发生了。 基本事件：样本空间Ω仅包含一个样本点ω的单点子集{ω}。 例，在试验E1中{H}表示“正面朝上”，就是个基本事件。

运算及运算规则也就按集合间的关系、运算及运算规 则来处理。 两个特殊的事件 必然事件：Ω； 不可能事件：φ. 既然事件是一个集合，因此有关事件间的关系、 运算及运算规则也就按集合间的关系、运算及运算规 则来处理。

§1.1.4、事件之间的关系 1.包含关系与相等：“ 事件 A发生必有事件B发生” ，记为AB。 A＝B  AB且BA. A  B Ω

2.和事件： “事件A与事件B至少有一个发生”，记作AB或A+B。 显然： 1.AAB，BAB； 2.若AB，则AB=B。 推广：n个事件A1, A2,…, An至少有一个发生，记作

3.积事件 :事件A与事件B同时发生，记作 AB 显然： 1.ABA，ABB； 2.若AB，则AB=A。 推广：n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作 A1A2…An

4.差事件 ：A－B称为A与B的差事件,表示事件 A发生而事件B不发生 显然： 1.A-BA； 2.若AB，则A-B=φ。

5.互不相容事件（也称互斥的事件） 即事件A与 事件B不可能同时发生。AB＝ 。 Ω

6.对立事件  AB＝ , 且AB＝ 

思考：事件A和事件B互不相容与事件A和事件B互 为对立事件的区别. 显然有：

事件的运算律 1、交换律：AB＝BA，AB＝BA。 2、结合律：(AB)C=A(BC)， (AB)C＝A(BC)。 3、分配律：(AB)C＝(AC)(BC)， (AB)C＝(AC)(BC)。 4、对偶(De Morgan)律：

例1-4、设A、B、C表示三个事件，试以A，B，C的运算表示以下事件： 解

例1-5 某射手向一目标射击3次,Ai表示“第i次射击命中目标”, i=1,2,3.Bj表示“三次射击恰命中目标j次”,j=0,1,2,3.试用 A1,A2,A3的运算表示Bj,j=0,1,2,3. 解

例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分 列事件：

小 结 本节课主要讲授： 1.随机现象； 2.随机试验和样本空间； 3.随机事件的概念； 4.随机事件的关系和运算（重点）。

§1.2 概 率 1.2.1 频率与概率

试验者 德.摩根 2048 1061 0.5181 蒲丰 4040 0.5069 K.皮尔逊 12000 6019 0.5016 24000 12012 0.5005 频率的性质：

频率是概率的近似值，概率P(A)也应有类似特征：

1.2.2 古典概型 理论上,具有下面两个特点的随机试验的概率模型,称为古典概型： 1.有限性：基本事件的总数是有限的,换句话说样本空间仅含有有限个样本点; 2.等可能性：每个基本事件发生的可能性相同.

古典概型中的概率: 设事件A中所含样本点个数为r ,样本空间中样本点 总数为n,则有

例1-7 掷一枚质地均匀的骰子,求出现奇数点的概率。 例1-7 掷一枚质地均匀的骰子,求出现奇数点的概率。 解： 显然样本空间Ω={1,2,3,4,5,6}, 样本点总数n=6, 事件“出现奇数点”用A表示,则A={1,3,5},所含样本 点数r=3,从而

A={TTH，THT，HTT}，B={HHH}， C={HHH, THH,HTH, HHT, TTH,THT, HTT} 例1-8 抛一枚均匀硬币3次,设事件A为“恰有1次出现面”, B为“恰有2次出现正面”,C为“至少一次出现正面”,试求 P(A),P(B),P(C). 解1:试出现正面用H表示,出现反面用T表示,则样本空间 ={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}, 样本点总数n=8. A={TTH，THT，HTT}，B={HHH}， C={HHH, THH,HTH, HHT, TTH,THT, HTT} 所以A,B,C中样本点数分别为rA=3,rB=1,rC=7, 则P(A)=rA／n= 3／8, P(B)=rB／n=1／8, P(C)=rC／n= 7／8.

例1-9 从0,1,2,…,9等10个数字中任意选出3个不同数字,试 如果把题中的 “0和5” 改成“0或5”,结果如何？ 例1-9 从0,1,2,…,9等10个数字中任意选出3个不同数字,试 求3个数字中不含0和5的概率. 解 设A表示“3个数字中不含0和5”. 从0,1,2,…,9中任意选3个不同的数字,共有 种选法, 即基本事件总数n= . 3个数中不含0和5,是从1,2,3,4,6,7,8,9共8个数中取得, 选法有 ,即A包含的基本事件数 ,则 如果把题中的 “0和5” 改成“0或5”,结果如何？

例1-10 从1,2,…,9这9个数字中任意取一个数,取后放回,而 例1-10 从1,2,…,9这9个数字中任意取一个数,取后放回,而 后再取一数,试求取出的两个数字不同的概率. 解 基本事件总数n= ,因为第一次取数有9种可能取法,这 时可重复排列问题.设A表示“取出的两个数字不同”. A包含的基本事件数9*8因为第一次取数有9种可能取法, 为保证两个数不同,第二次取数应从另外的8个数中选取,有8 种可能取法,r=9*8, 故 P(A)=r∕n= 9*8∕ =8∕9

例1-12 一批产品共有100件，其中3件次品，现从这批产品中接连抽取两次，每次抽取一件，考虑两种情况： 例1-12 一批产品共有100件，其中3件次品，现从这批产品中接连抽取两次，每次抽取一件，考虑两种情况： （1）不放回抽样：第一次取一件不放回，第二次再抽取一件； （2）放回抽样：第一次抽取意见检查后放回，第二次再抽取一件. 试分别针对上述两种情况，求事件A“第一次取到正品，第二次取到次品的概率”。 解 (1)采取不放回抽样：由于要考虑2件产品取出的顺序，接 连两次抽取共有 种取法，即基本事件总数 .第一 次 取到正品共有97种取法，第二次取到次品共有3种取法， 则A中包含的基本事件数是r=97*3，故 (2)采取放回抽样：第一次抽取共有100种取法，取后放回， 第二次抽取仍有100种取法，即基本事件总数n=1002.在这种 情况下，A中包含的基本事件数r仍为97*3，故

计算古典概型的概率还可以利用概率的性质，后面将有这方面的例子： 由古典概型中事件概率的计算公式易知概率具有下列 性质： (3)当A与B互不相容时，有P(AUB)=P(A)+P(B). 这个性质可以推广：当A1，A2，…Am互不相容时，有 其中m是正整数. 当A1，A2，…Am互不相容时，有

1.定义若对随机试验E所对应的样本空间中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数 1.2.3 概率的定义与性质 1.定义若对随机试验E所对应的样本空间中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数 P(A)满足条件： (1) P(A) ≥0； (2) P()＝1； (3) 可列可加性：设A1，A2，…, 是一列两两互不相容的事件，即AiAj＝，(ij), i , j＝1, 2, …, 有 P( A1  A2  … )＝ P(A1) ＋P(A2)+…. 则称P(A)为事件A的概率。

概率的性质 性质 1-1 性质 1-2 对于任意事件A,B有 P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB). 性质1-2可推广：对于任意事件A,B,C有 P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC). 当A1,A2,…,An互不相容时： P(A1UA2U…UAn)=P(A1)+P(A2)+…+P(An). 性质1-3 P(B-A)=P(B)-P(AB). 特别地,当A B时,P(B-A)=P(B)-P(A),且P(A) P(B). 性质 1-4 P(A)＝1－ P(A).

性质 1-5 ：对任意两事件A、B,有 P(A)＝P(AB)＋P(AB ) , P(B)＝P(AB)＋P(AB ) 例1-13 已知12种产品中有2件次品,从中任意抽取4件产品, 求至少取得1件次品(记为A)的概率. 解 设B表示“为抽到次品”,则B= A,而由古典概型的概率 求法可得

例1-14 设A,B为两个随机事件, P(A)=0.5, P(AUB)=0.8, P(AB)=0.3, 求P(B). 解 由P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB),得 P(B)=P(AUB)-P(A)+P(AB)=0.8-0.5+0.3=0.6. 例1-15 设A,B两个随机事件,P(A)=0.8,P(AB)=0.5, 求P(AB). 解 由性质1-5可知， P(AB)=P(A)-P(AB)=0.8-0.5=0.3

例1-16 设A与B互不相容,P(A)=0.5,P(B)=0.3,求P(AB). 解 P(AB)=P( )=1-P(AUB)=1-[P(A)+P(B)] =1-(0.5+0.3)=0.2

小 结 本节课的重点： （1）古典概型事件概率的计算； （2）概率的性质及其应用.

§1.3 条件概率 1.3.1 条件概率与乘法公式 1 定义 ：已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率称为A 1.3.1 条件概率与乘法公式 1 定义 ：已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率称为A 条件下B的条件概率,记作P(B|A). 例1-17 某工厂有职工400名,其中男女职工各占一半,男女职 工中优秀的分别为20人与40人.从中任选一名职工,试问： （1）该职工技术优秀的概率是多少？ （2）已知选出的是男职工,他技术优秀的概率是多少？

定义1-2 设A,B是两个事件,且P(B)>0,称 为在事件B发生条件下事件A发生的概率. 显然，P(A)>0时， 计算条件概率有两个基本的方法： 一、是用定义计算； 二、是在古典概型中利用古典概型的计算方法直接计算.

例1-18 在全部产品中有4%是废品,有72%为一等品.现从 中任取一件为合格品,求它是一等品的概率. 解 设A表示“任取一件为合格品”,B表示“任取一件为一等品”, 显然B  A, P(A)=96%, P(AB)=P(B)=72%, 则所求概率为

例1-20 盒中有5个黑球3个白球,连续不放回的从中取两 例1-20 盒中有5个黑球3个白球,连续不放回的从中取两 次球,每次取一个,若已知第一次取出的是白球,求第二次取 出的是黑球的概率. 解 设A表示“第一次取球取出的是白球”,B表示“第二次取 球取出的是黑球”,所求概率为P(B|A). 由于第一次取球取出的是白球,所以第二次取球时盒中 有5个黑球2个白球,由古典概型的概率计算方法得

条件概率的性质 性质1 性质2 若A与B互不相容，则 性质3

概率的乘法公式： (1)当P(A)>0时，有P(AB)=P(A)P(B|A). (2)当P(B)>0时，有P(AB)=P(B)P(A|B). 乘法公式还可以推广到n个事件的情况： (1)设P(AB)>0时，则P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB). 同理还有P(AC)>0， P(BC)>0之下的乘法公式. (2)设P(A1A2…An-1)>0,则 P(A1A2…An-1)=P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An-1).

例1-21 在10个产品中,有2件次品,不放回的抽取2次产品,每 次取一个,求取到的两件产品都是次品的概率. 解 设A表示“第一次取产品取到次品”,B表示“第二次取产 品取到次品”,则 故

例1-22 盒中有5个白球2个黑球,连续不放回的在其中取3 例1-22 盒中有5个白球2个黑球,连续不放回的在其中取3 次球,求第三次才取到黑球的概率. 解 设Ai(i=1,2,3)表示“第i次取到黑球”,于是所求概率为 例1-23 设P(A)=0.8,P(B)=0.4,P(B|A)=0.25,求P(A|B). 解

1.3.2 全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式 定义1-3 设事件A1,A2,…,An满足如下两个条件： (1)A1,A2,…,An互不相容,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n; (2)A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An=Ω,即A1,A2,…,An至少有一个发 生,则称A1,A2,…,An为样本空间Ω的一个划分. 全概率公式 设随机试验对应的样本空间为Ω,设A1,A2,…,An 是样本空间Ω的一个划分,B是任意一个事件,则 注：全概率公式求的是无条件概率

例1-24 盒中有5个白球3个黑球,连续不放回地从中取两 例1-24 盒中有5个白球3个黑球,连续不放回地从中取两 次球,每次取一个,求第二次取球取到白球的概率. 解 设A表示“第一次取球取到白球”,B表示“第二次取球取到 白球”,则 由全概率公式得

例1-25 在某工厂中有甲、乙、丙三台机器生产同一型号的产品, 例1-25 在某工厂中有甲、乙、丙三台机器生产同一型号的产品, 它们的产量各占30%, 35%, 35%,并且在各自的产品中废品率分别为 5%, 4%, 3%. 求从该厂的这种产品中任取一件是废品的概率. 解 设A1表示“从该厂的这种产品中任取一件产品为甲所生产”, A2表示 “从该厂的这种产品中任取一件产品为乙所生产”, A3表示“从该厂的这 种产品中任取一件产品为丙所生产”,B表示“从该厂的这种产品中任取一件为次品”,则 P(A1)=30%， P(A2)=35%, P(A3)=35%, P(B|A1)=5%, P(B|A2)=4%, P(B|A3)=3%. 由全概率公式得

例1-26 设在n(n>1)张彩票中有1张奖券,甲、乙两人依次 摸一张彩票,分别求甲、乙两人摸到奖券的概率. 解 设A表示“甲摸到奖券”,B表示“乙摸到奖券”.现在目的是求P(A),P(B), 显然P(A)=1/n. 因为A是否发生直接关系到B的概率,即 于是由全概率公式得 这个例题说明,购买彩票时,不论先买后买,中奖机会是均等的,这就是所 谓的“抽签公平性”.

贝叶斯(Bayes)公式 设A1,A2,…,An是样本空间的一个划分,B 是任一事件,且P(B)>0,则 注：Bayes公式求的是条件概率. 例1-27 在例1-24的条件下,若第二次取到白球,求第一次取 到黑球的概率. 解 使用例1-24解中记号,所求概率为 ,由贝叶斯公式

例1-27 在例1-25的假设下,若任取一件是废品,分别求它 例1-27 在例1-25的假设下,若任取一件是废品,分别求它 是甲、乙、丙生产的概率. 解 由贝叶斯公式，

例1-28 针对某种疾病进行一种化验,患该病的人中有90%呈阳性反应, 例1-28 针对某种疾病进行一种化验,患该病的人中有90%呈阳性反应, 而未患该病的人中5%呈阳性反应.设人群中有1%的人患这种病.若某人 做这种化验呈阳性反应,则他换这种疾病的概率是多少? 解 设A表示“某人患这种病”，B表示“化验呈阳性反应”，则 由全概率公式得 再由贝叶斯公式得 本题的结果表明，化验呈阳性反应的人中，只有15%左右真 正患有该病.

例题 小明的父母亲每月有且仅有一人给他寄钱,假设母亲每 月给他寄钱的概率是0. 8 例题 小明的父母亲每月有且仅有一人给他寄钱,假设母亲每 月给他寄钱的概率是0.8. 小明打算国庆假期去上海看世博会在母亲给他寄钱的时候小明能去上海的概率是0.1,父亲给他寄钱的时候小明能去上海的概率是0.9. 求： (1) 小明能去上海看世博会的概率是多少？ (2) 假如现在国庆假期已过,小明已经去过上海,求他父母亲给他寄钱的概率各是多少？

小 结 1、全概率公式及其应用；(求无条件概率) 2、贝叶斯公式及其应用。(求条件概率)

§1.4 事件的独立性 1.4.1 两事件独立 定义1-4 若P(AB)=P(A)P(B) ,则称A与B相互独立,简称A,B独立. 性质1-5 设P(A)>0,则A与B相互独立的充分必要条件是P(B)=P(B|A). 设P(B)>0,则A与B相互独立的充分必要条件是P(A)=P(A|B). 性质1-6 若A与B相互独立, 则A与B, A与B, A与B都相互独立.

由性质1-6知， 以下四件事等价： (1)事件A、B相互独立；(2)事件A、B相互独立； (3)事件A、B相互独立；(4)事件A、B相互独立。

例1-30 两射手彼此独立地向同一目标射击,设甲射中目标的 例1-30 两射手彼此独立地向同一目标射击,设甲射中目标的 概率为0.9,乙射中目标的概率为0.8,求目标被击中的概率. 解 设A表示“甲射中目标”, B表示“乙射中目标”, C表示“目 标被击中”,则C=A∪B,A与B相互独立,P(A)=0.9,P(B)=0.8， 故 P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) =0.9+0.8-0.9*0.8=0.98. 或利用对偶律亦可. 注：A，B相互独立时,概率加法公式可以简化,即当A与B相互独立时 P(A∪B)=1-P(A)P(B)

例1-31 袋中有5个白球3个黑球,从中有放回地连续取两次,每次取 例1-31 袋中有5个白球3个黑球,从中有放回地连续取两次,每次取 一个球,求两次取出的都是白球的概率. 解 设A表示“第一次取球取到白球”,B表示“第二次取球取到白球”,由 于是有放回抽取,A与B是相互独立的,所求概率为 例1-32 设A与B相互独立,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的 概率相等,且P(A)=1/3，求P(B). 解 由题意，P(AB)=P(AB)，因为A与B相互独立，则A与B，A与B都相互独立，故 P(A)P(B)=P(A)P(B)， 即 解得

二、多个事件的独立 定义1-5 若三个事件A、B、C满足： P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), 则称事件A、B、C两两相互独立； 若在此基础上还满足： P(ABC)＝P(A)P(B)P(C), 则称事件A、B、C相互独立, 简称A、B、C独立.

一般地,设A1,A2,…,An是n个事件,如果对任意k(1kn), 任意的1i1i2 …  ik n,具有等式 P(A i1 A i2 … A ik)＝P(A i1)P(A i2)…P(A ik) 则称n个事件A1,A2,…,An相互独立。 思考： 1.设事件A、B、C、D相互独立，则 AUB与CD独立吗？ 2.三个事件相互独立和两两独立的关系.

例1-33 3人独立地破译一个密码,他们能单独译出的概 例1-33 3人独立地破译一个密码,他们能单独译出的概 率分别为 1/5, 1/3, 1/4. 求此密码被译出的概率. 解法1 设A,B,C分别表示3人能单独译出密码，则所求概率为 P(A∪B∪C)，且A,B,C独立，P(A)= 1/5 ，P(B)= 1/3 ，P(C)= 1/4. 于是

解法 2 用解法1的记号， 比较起来, 解法1要简单一些,对于n个相互独立事件 A1,A2,…,An,其和事件A1∪A2∪…∪An的概率可以通过下 式计算：

例1-34 3门高射炮同时对一架敌机各发一炮,它们的命中 例1-34 3门高射炮同时对一架敌机各发一炮,它们的命中 率分别为0.1, 0.2, 0.3,求敌机恰中一弹的概率。 解 设Ai表示“第i门炮击中敌机”,i=1,2,3, B表示“敌机恰中一弹”,则

练 习 已知P(A)=1/2,P(B)=1/3,且A,B相互独立,则P( )=____. 0.75 练 习 已知P(A)=1/2,P(B)=1/3,且A,B相互独立,则P( )=____. 0.75 设随机事件A与B相互独立,P(A)=P(B)=0.5,则P(A∪B)= . 设随机事件A与B相互独立,P(A)=0.2,P(B)=0.8,则P(A|B)=_____ 0.2 设两两独立的三个随机事件A，B，C满足ABC=φ，且 P(A)=P(B)=P(C)=x，则当x= 时，P(A∪B∪C)= .

1.4.2 n重贝努利(Bernoulli)试验 定理1-1 在n重贝努利试验中,设每次试验中事件A的概率为 试验只要两个结果A和A,而且P(A)=p,0<p<1.将试验独立 重复进行n次,则称为n重贝努利试验.此类试验的概率模型成 为贝努利概型. 定理1-1 在n重贝努利试验中,设每次试验中事件A的概率为 p(0<p<1),事件A恰好发生k次的概率

例1-35 一射手对一目标独立射击4次,每次射击的命中率为0.8,求： 例1-35 一射手对一目标独立射击4次,每次射击的命中率为0.8,求： （1）恰好命中两次的概率； （2）至少命中一次的概率。 解 因每次射击是相互独立的,故此问题可看做4重贝努力试验,p=0.8, (1)设事件A2表示“4次射击恰好命中两次”,则所求的概率为 (2)设事件B表示“4次射击中至少命中一次”,有A0表示“4次射击都未命 中”,则 故所求的概率为

例1-36 一车间有5台同类型的且独立工作的机器.假设在任 一时刻t,每台机器出故障的概率为0.1,问在同一时刻 (1) 没有机器出故障的概率是多少?（0.59049） (2) 至多有一台机器出故障的概率是多少？（0.91854） 例1-37 转炉炼钢,每一炉钢的合格率为0.7.现有若干台转炉 同时冶炼.若要求至少能够炼出一炉合格钢的把握为99%. 问同时至少要有几台转炉炼钢？（4台）

练 习 某气象站天气预报的准确率0.8，且各次预报之间相互独立. 试求： （1）5次预报全部准确的概率p1； 练 习 某气象站天气预报的准确率0.8，且各次预报之间相互独立. 试求： （1）5次预报全部准确的概率p1； （2）5次预报中至少有1次准确的概率p2； （3）5次预报中至少有4次准确的概率p3; （4）5次预报中至多有1次准确的概率p4; （5）直到第5次才预报准确的概率p5.

小 结 1、事件的独立性； 2、n重贝努利(Bernoulli)试验.

第二章随机变量 随机变量概念 分布函数的概念和性质 离散型随机变量及其分布律 连续型随机变量概率密度函数 随机变量函数分布

2.1.1随机变量的概念 定义 2.1 设E是随机试验，样本空间为Ω，如果对每一个结果（样本点）ω∈Ω，有一个实数X(ω)与之对应，这样就得到一个定义在Ω上的实值函数X=X(ω)称为随机变量.随机变量常用X，Y，Z，...或X1，X2，X3，,... 顾名思义，随机变量就是“其值随机会而定”的变量，正如随机事件是“其发生与否随机会而定”的事件．机会表现为试验结果，一个随机试验有许多可能的结果，到底出现哪一个要看机会，即有一 定的概率．最简单的例子如掷骰子，掷出的点数X是一个随机变量，它可以取1，…，6等6个值．到底是哪一个，要等掷了骰子以后才知道．因此又可以说，随机变量就是试验结果的函数．从这一点看，它与通常的函数概念又没有什么不同．把握这个概念的关键之点在于试验前后之分：在试验前我们不能预知它将取何值，这要凭机会，“随机”的意思就在这里，一旦试验后，取值就确定了．比如你在星期一买了—张奖券，到星期五开奖．在开奖之前，你这张奖券中奖的金额X是一个随机变量，其值耍到星期五的“抽奖试验”做过以后才能知道． 明白了这一点就不难举出一大堆随机变量的例子．比如，你在某厂大批产品中随机地抽出100个，其中所含废品数X；一月内某交通路口的事故数X；用天平秤量某物体的重量的误差X；随意在市场上买来一架电视机，其使用寿命X等等，都是随机变量． 若把随机变量X取所有可能值的概率计算出来，列成一个表格，则很容易算出任何一个由X取值落在某一区域表示的事件，如掷骰子，至少掷出1点的概率。 关于随机变量(及向量)的研究，是概率论的中心内容．这是因为，对于一个随机试验，我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是随机变量．当然，有时我们所关心的是某个或某些特定的随机事件．例如，在特定一群人中，年收入十万元以上的高收入者，及年收入在8000元以下的低收入者，各自的比率如何，这看上去像是两个孤立的事件．可是，若我们引进一个随机变量的X： X＝随机抽出一个人其年收入，则X是我们关心的随机变量．上述两个事件可分别表为X＞10万和X＜0.8万．这就看出：随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念之内．也可以说：随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，一如数学分析中的常量与变量的区分那样．变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念．同样，概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系，其基础概念是随机变量．

顾名思义，随机变量就是“其值随机会而定”的变量，正如随机事件是“其发生与否随机会而定”的事件．机会表现为试验结果，一个随机试验有许多可能的结果，到底出现哪一个要看机会，即有一 定的概率．最简单的例子如掷骰子，掷出的点数X是一个随机变量，它可以取1，…，6等6个值．到底是哪一个，要等掷了骰子以后才知道．因此又可以说，随机变量就是试验结果的函数．从这一点看，它与通常的函数概念又没有什么不同．把握这个概念的关键之点在于试验前后之分：在试验前我们不能预知它将取何值，这要凭机会，“随机”的意思就在这里，一旦试验后，取值就确定了．比如你在星期一买了—张奖券，到星期五开奖．在开奖之前，你这张奖券中奖的金额X是一个随机变量，其值耍到星期五的“抽奖试验”做过以后才能知道．

2.1.2 离散型随机变量及其分布律 定义2-2 若随机变量X只能取有限多个或可列无限多个值，则称X为离散型随机变量。 定义2-3 X为离散型随机变量，可能取值为x1, x2, …, xn, … 且 P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … ) 则称Pk为X的分布律或分布列，概率分布。 分布律也可用表格形式表示 X x1 x2 … xK … Pk p1 p2 … pk …

2.2离散型随机变量 (P25)定义 若随机变量X取值x1, x2, …, xn, … 且取这些值的概率依次为p1, p2, …, pn, …, 则称X为离散型随机变量，而称 P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … ) 为X的分布律或概率分布。可表为 X～ P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … )， 或… X x1 x2 … xK … Pk p1 p2 … pk …

分布律{Pk}具有下列性质： 反之，若一个数列{Pk}具有以上两条性质，则它必可作为某离散型随机变量的分布律。

例2-1 设离散型随机变量X的分布律为 X 0 1 2 P 0.2 C 0.3 求常数C.

例2-2 投一枚质地均匀的骰子，记X为出现的点数，求X的分布律。

例2-3 袋子里有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5.从中同时取出3个球，记X为取出球的最大编号，求X的分布律.

例2-4 已知一批零件共10个，其中有3个不合格.现任取一件使用，若取到不合格零件，则丢弃，再重新抽取一个，如此下去，试求取到合格零件之前取出的不合格零件个数X的分布律。

例2-5 对某一目标连续进行射击，直到击中目标为止.如果每次射击的命中率为p，求射击次数X的分布律.

2.1.3 0-1分布与二项分布 定义2-4 若随机变量X只取两个可能值0，1，且 P{X=1}=p，P{X=0}=q， X 0 1 P q p

定义2-5 若随机变量X的可能取值为0，1，2，...,n, 而X的分布律为 其中0<p<1,q=1-p,则称X服从参数为n，p的二项分布，简记为X~B(n,p).

例2-6 某特效药的临床有效率为0.95.现有10人服用，问至少有8人治愈的概率是多少？

例2-7 设X~B(2,p)，Y~B(3,p). 设P{X≥1}=5/9,

2.1.4 泊松分布 定义2-6 设随机变量X的可能取值为0,1,2,...,n,...,而X的分布律为 2.1.4 泊松分布 定义2-6 设随机变量X的可能取值为0,1,2,...,n,...,而X的分布律为 其中 ，则称X服从参数为 的泊松分布，简记为

例2-9 设随机变量X服从参数为5的泊松分布，求 （1）P{X=10}； （2）P{X≤10}.

例2-10 设X服从泊松分布，且已知P{X=1}=P{X=2}，求P{X=4}.

小 结 本节课主要讲授： 1 、随机变量的概念； 2、离散型随机变量的概念及其分布律； 3、三个重要分布: 0-1分布、二项分布、泊松分布.

2.2 随机变量的分布函数 2.2.1 分布函数的概念. 定义2-7 设X为随机变量，称函数 为X的分布函数。

当X为离散型随机变量时，设X的分布律为

例 2-11 设离散型随机变量X的分布律为 X -1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.3 0.4 求X的分布律。

2.2.2分布函数的性质 分布函数有以下基本性质：

例 2-12

2.3 连续型随机变量 2.3.1 连续型随机变量及其概率密度

注：连续型随机变量X在某一指定点取值的概率为0.即 因为 离散型随机变量X在某一指定点取值的概率不一定为0.

密度函数的性质： 这两条性质是判定一个函数 是否为概率密度的充要条件 面积为1 x f(x)

利用概率密度可确 定随机点落在某个 范围内的概率 x f(x) a b

或者

2.3.2、均匀分布与指数分布 三种重要的概率分布：均匀分布、指数分布、 正态分布.

1

例2-18 公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过，乘客在5分钟内任一时刻到达汽车站是等可能的， 设 即 则 例2-18 公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过，乘客在5分钟内任一时刻到达汽车站是等可能的， 求乘客候车时间在1至3分钟内的概率。

例2 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量, 试求他候车时间少于5 分钟的概率. 解 以7:00为起点0，以分为单位 依题意， X ～ U ( 0, 30 )

从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站。为使候车时间X少于 5 分钟，乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站. 所求概率为： 即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1/3.

指数分布的概率密度和分布函数图像如下 1

服从指数分布的随机变量X通常可解释为某种寿命,如果已知寿命长于S年,则再活t年的概率与年龄S无关,亦称指数分布具有“无记忆性” .

关于概率统计论中服从指数分布的随机变量X具有无记忆性。 具体来说：如果X是某一元件的寿命，已知元件已经使用了S小时，它总共能使用至少S＋T小时的条件概率，与从开始使用时算起它至少能使用T小时的概率相等。这就是说，元件对它已使用过S小时没有记忆。 人生中，很多时候我们总是对过去的失败耿耿于怀。这种经历使我们不敢面对现实，如果我们能从指数分布受到启发，运用“无记忆性”原则，那么我们的今天和明天将会更加美好。因为即使我们人生中的S小时已经失败，但我们面前的成功仍然还有S+T，和我们S小时前的成功几率一样。 指数分布在人生中模式是：忘记过去，努力向前，向着标杆勇往直前。

例 .电子元件的寿命X(年）服从参数为3的指数分布 (1)求该电子元件寿命超过2年的概率。 (2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用 两年的概率为多少？

例 设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为 解 X 的分布函数为 λ= 的指数分布(单位:小时). λ= 的指数分布(单位:小时). (1)任取一只这种灯管, 求能正常使用1000小时以 上的概率. (2)有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以 上,求还能使用1000小时以上的概率. 解 X 的分布函数为

指数分布的重要性质 :“无记忆性”.

练 习 设顾客在某银行窗口等待服务的时间X(单位:分钟)具有概率密度 某顾客在窗口等待服务,若超过9分钟,他就离开. 练 习 设顾客在某银行窗口等待服务的时间X(单位:分钟)具有概率密度 某顾客在窗口等待服务,若超过9分钟,他就离开. (1)求该顾客未等到服务而离开窗口的概率P{X>9}； (2)若该顾客一个月内去银行5次,以Y表示他未等到服务而离开窗口的次数,即事件 {X>9}在5次中发生的次数，试求 P{Y=0}。

练 习 司机通过某高速路收费站等候的时间X（单位：分钟）服从参数为λ= 的指数分布. （1）求某司机在此收费站等候时间超过10分钟的概率p； 练 习 司机通过某高速路收费站等候的时间X（单位：分钟）服从参数为λ= 的指数分布. （1）求某司机在此收费站等候时间超过10分钟的概率p； （2）若该司机一个月要经过此收费站两次，用Y表示等候时间超过10分钟的次数，写出Y的分布律，并求P{Y≥1}.

2.3.3 正态分布 定义 2-11

习惯上,称服从标准正态分布的随机变量为正态随机变量,又称为正态分布的概率密度曲线为正态分布曲线.正态分布曲线的性质如下：

标准正态分布

A. F(-a)=1- B. F(-a)= C. F(-a)=F(a) D. F(-a)=2F(a)-1 设随机变量X的概率密度为f(x),且f(-x)=f(x),F(x)是X的分布函数,则对任意的实数a,有（ ） A. F(-a)=1- B. F(-a)= C. F(-a)=F(a) D. F(-a)=2F(a)-1

结 论

由此看出：尽管正态分布取值范围是 ,但它的值落在 的概率为0.9973几乎是肯定的,这个性质被称为正态分布的“ 规则”.

练 习

某地抽样调查结果表明,某次统考中,考生的数学成绩(百分制)X服从正态分布N(72, σ2)，且96分以上的考生占考生总数的2. 3%

设测量距离时产生的随机误差X～N(0,102)(单位：m)，现作三次独立测量， 记Y为三次测量中误差绝对值大于19. 6的次数，已知Φ(1 (1) 求每次测量中误差绝对值大于19.6的概率p; (2) 问Y 服从何种分布，并写出其分布律； (3) 求E(Y ).

已知自动车床生产的零件长度X(毫米)服从正态分布N(50,0.752),如果规定零件长度 在 之间为合格品，求生产的零件是合格品的概率.

定义2-12

常用的上侧分位数 以上这些值都是通过反查附表1得到.

2.4 随机变量函数的概率分布 2.4.1 离散型随机变量函数的分布律 设X一个随机变量，分布律为 X～P{X＝xk}＝pk, k＝1, 2, … g(x)是一给定的连续函数，称Y＝g(X)为随机变量X的一个函数，显然Y也是一个随机变量. 本节将讨论如何由已知的随机变量X的概率分布去求函数Y＝g(X)的概率分布.

一般地 X Pk Y=g(x)的可能取值为 注意 中可能有相 等的情况. Y P

例2-24 设随机变量X的分布律为 解 (1)Y的可能取值为-1，0，1，8. X P -1 0 1 2 0.2 0.1 0.3 0.4 -1 0 1 2 0.2 0.1 0.3 0.4 求: (1)Y=X3的分布律.(2) Z=X2的分布律. 解 (1)Y的可能取值为-1，0，1，8. 由于

从而Y的分布律为 Y P -1 0 1 8 0.2 0.1 0.3 0.3 (2) Z的可能取值为0，1，4. 从而Z的分布律为 Z P 0 1 4 0.1 0.5 0.4

例2-25 设随机变量X的分布律为 解 因为 所以Y只能取值-1,0,1,而取这些值的概率为

故Y的分布律为 Y P 例2-26

练 习 1.已知随机变量的分布律为 且Y=X2,记随机变量Y的分布函数为FY(y), FY(3)=__________. 练 习 1.已知随机变量的分布律为 且Y=X2,记随机变量Y的分布函数为FY(y), FY(3)=__________. 2. 袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5,现从袋中同时取出3只,以X 表示取出的3只球中的最大号码,试求: （1）X的概率分布; （2）X的分布函数; （3）Y= X2+1的概率分布。

2.4.2 连续型随机变量函数的概率分布

例2-27

例2-29 解

例2-30 此分布称为对数正态分布.

以上各例中求Y=g(X)的概率密度的方法都是应用定理,故称为“公式法” 以上各例中求Y=g(X)的概率密度的方法都是应用定理,故称为“公式法”.需要注意的是,它仅适用于“单调型”随机变量函数,即要求y=g(x)为单调函数.如果y=g(x)不是单调函数,求Y=g(X)的概率密度较复杂.

解 则

例2-31中求随机变量函数的概率密度的方法称为“直接变换法”,它同样适应于非单调型随机变量的情况 例2-31中求随机变量函数的概率密度的方法称为“直接变换法”,它同样适应于非单调型随机变量的情况.当然例2-31也可以直接利用定理中的公式求解.

练 习 2.设随机变量X~N(1,4), Y=2X+1,则Y所服从的分布 为( ) N(3 , 4) B. N(3 , 8) 练 习 1.设随机变量X～U (0，5)，且Y=2X，则当0≤y≤10时， Y的概率密度fY (y)=________. 2.设随机变量X~N(1,4), Y=2X+1,则Y所服从的分布 为( ) . N(3 , 4) B. N(3 , 8) C. N(3 ,16) D. N(3 ,17)

3.设XU(-1,1),求Y=X2的分布函数与概率密度. 4. 设随机变量X~U(0,2),求随机变量Y=X2在(0,4) 内的概率密度函数fY(y).

5. 设随机变量X服从参数为3的指数分布.试求：

5. 随机变量X的概率密度为 (1)求X的分布函数 (2)求 (3)令Y=2X,求Y的概率密度

第三章 多维随机变量及其概率 3.1 二维随机变量的概念 3.1.1 二维随机变量及其分布函数

边缘分布函数： (X,Y)的两个分量X与Y各自的分布函数分别为二维随机变量 (X,Y)关于X与关于Y的边缘分布函数,记为FX(x)与FY(y). 边缘分布函数可由联合分布函数来确定. 如下

几何意义：分布函数F(x,y)在(x,y)处的函数值就是随机点(X,Y)落在以(x,y)为顶点、位于该点左下方的无穷矩形D内的概率,见下图. D

利用分布函数及其集合意义不难看出,随机点(X,Y)落在矩形域{x1<X≤ x2, y1<Y≤ y2}内(如下图)的概率为： o y2 y1 x2 x1 (x1, y2) (x2, y2) (x1,y1) (x2, y1)

回忆: 分布函数F(x)的性质.

例 3-1 解

3.1.2 二维离散型随机变量 定义3-3 若二维随机变量(X ,Y )只能取有限多对或可列无穷多对( Xi ,Yj ),( i , j=1,2,…)则称(X ,Y )为二维离散型随机变量. 设二维随机变量 (X ,Y) 的所有可能取值为 ( Xi ,Yj ), ( i ,j=1,2,…),( X, Y )在各个可能取值的概率为： P{X=xi,Y=yj}= pij ( i, j=1,2,…) 称P{X=xi,Y=yj}= pij ( i, j=1,2,…)为( X , Y )的分布律.

Y X y1 y2 … yj … x1 x2 … xi p11 p12 … p1j … p21 p22 … p2j … pi1 pi2 … pij …

回忆：分布律{PK}的性质. (1) 0 ≤ PK ≤1； (2) P1 +P2 + … + PK… =1. (X,Y) 的分布律具有下列性质: (1) 0 ≤ Pij ≤1 ( i,j=1,2,… ) ; 反之,若数集{pij} ( i,j=1,2,… ) 具有以上两条性质,则它必可作为某二维离散型随机变量的分布律.

例 3-2 设(X,Y)的分布律为 X Y 1 2 3 1 2 求常数a的值.

解 由分布律性质知，

例3-3 设(X,Y)的分布律为 X Y 1 2 3 0 0.1 0.1 0.3 1 0.25 0 0.25 求: (1)P{X=0}; (2)P{Y≤2}; (3)P{X<1,Y≤2}; (4)P{X+Y=2}.

解 (1){X=0}={X=0,Y=1}U{X=0,Y=2}U{X=0,Y=3}, 且事件{X=0,Y=1},{X=0,Y=2},{X=0,Y=3}两两互不相容, 所以， P{X=0}=P{X=0,Y=1}+P{X=0,Y=2}+P{X=0,Y=3} =0.1+0.1+0.3=0.5.

X Y

定义3-4 对于离散型随机变量(X,Y)，分量X(或Y)的分布律称为(X,Y)关于X(或Y)的边缘分布律，记为 Pi 定义3-4 对于离散型随机变量(X,Y)，分量X(或Y)的分布律称为(X,Y)关于X(或Y)的边缘分布律，记为 Pi . (i=1,2,…) (或P. j (j=1,2,…))，它可由(X,Y)的分布律求出. 事实上，

X Y

则( X , Y )的分布律与边缘分布率为： X Y

则( X , Y )的分布律与边缘分布率为： X Y

练 习 则P{Y=2}= ___________. 1.设随机变量(X,Y)的联合分布如下,则a=______ Y X 练 习 1.设随机变量(X,Y)的联合分布如下,则a=______ Y X 2.二维随机变量(X,Y)的分布律如下 Y X 则P{Y=2}= ___________.

3.设二维随机变量(X,Y)的分布律如下 Y X 则P{XY=0}= ___________.

4.设二维随机变量(X,Y)只能取下列数组中的值： 且取这些值的概率依次为 (1)写出(X,Y)的分布律； (2)分别求(X,Y)关于X,Y的边缘分布律.

3.1.3 二维连续型随机变量的概率密度和边缘概率密度 一维连续型随机变量X的可能取值为某个或某些区间，甚至是整个数轴. 二维随机变量(X,Y)的可能取值范围则为XOY平面上的某个或某些区域，甚至为整个平面，一维随机变量X的概率特征为存在一个概率密度函数f(x)，满足：

定义3.5 对于二维随机变量 的分布函数 如果存在非负的函数 使对于 任意 有 则称 是连续型的二维随机变量, 函数 随机变量 任意 有 则称 是连续型的二维随机变量, 函数 随机变量 （X,Y )的概率密度 , 或X与Y的联合密度 函数.

概率密度函数 f(x,y) 的性质： 判断一个二元函数是否可做为概率密度函数的依据.

如果已知(X,Y)的概率密度函数 f(x,y)，则(X,Y)在区域D内的取值的概率为：

二维连续行随机变量的均匀分布与二维正态分布

y x 0.5 y=x x+y=1

所以

即

练 习 1.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 则常数a =_______. 2.设随机变量X和Y的联合密度为 练 习 1.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 则常数a =_______. 2.设随机变量X和Y的联合密度为 则P{X>1,Y>1}=________. 3.设二维随机变量(X,Y)的概率密度 则P{X+Y≤1}=________.

4.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 则(X,Y)关于Y的边缘概率密度为___________. 5.设二维随机变量(X,Y)的概率密度 则(X,Y)关于X的边缘概率密度fX(x)=________.

3.2 随机变量的独立性 回忆：两个事件相互独立的定义 若P(AB)=P(A)P(B), 则称A与B相互独立, 简称A,B独立.

3.2.2 二维离散型随机变量的独立性

例 3-16 设(X,Y)的分布律为 Y X

这里“几乎处处成立”的含义是：在平面上除去面积为 0 的集合外，处处成立.

联合分布函数与边缘分布的关系:联合分布可确定边缘分布,但一般情况下,边缘分布是不能确定联合分布的 联合分布函数与边缘分布的关系:联合分布可确定边缘分布,但一般情况下,边缘分布是不能确定联合分布的.然而由随机变量相互独立的定义及充要条件可知,当X与Y相互独立时,(X,Y)的分布可由它的两个边缘分布完全确定.

练 习 1. 设随机变量 (X,Y) 的概率密度是 问 X 和 Y 是否相互独立?

3.3 两个随机变量的函数的分布 3.3.1 离散型随机变量的函数的分布 例 3-24 设(X,Y)的分布律为 Y X 3.3.1 离散型随机变量的函数的分布 例 3-24 设(X,Y)的分布律为 X Y 求Z=X+Y的分布律.

结 论

练 习 0 1 2 X Y 0.1 0.2 0.1 a 0.1 0.2 1 2 设二维随机向量(X,Y)的联合分布列为： 试求： 练 习 设二维随机向量(X,Y)的联合分布列为： Y X 1 2 0 1 2 0.1 0.2 0.1 a 0.1 0.2 试求： （1）a的值； （2）(X,Y)分别关于X和Y的边缘分布列； （3）X与Y是否独立？为什么？ （4）X+Y的分布列.

第四章 随机变量的数字特征 随机变量的期望 随机变量的方差 随机变量的协方差和相关系数

第四章 随机变量的数字特征 4.1 随机变量的期望 P{X=xk}=pk , k=1,2,… 4.1.1 离散型随机变量的期望 第四章 随机变量的数字特征 4.1 随机变量的期望 4.1.1 离散型随机变量的期望 定义4-1 设离散型随机变量X的分布律为 P{X=xk}=pk , k=1,2,… 如果 有限,定义X的数学期望 也就是说,离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和.

X -1 0 1 解 E(X)=(-1)Х0.3+0 Х 0.2+1 Х 0.5=0.2 例4-1 设随机变量X的分布律为 P 0.3 0.2 0.5 求E(X). 解 E(X)=(-1)Х0.3+0 Х 0.2+1 Х 0.5=0.2

这就意味着,如果进行多次射击,甲所得分数的平均值接近于1.8分,而乙得分的平均值接近1分.很明显乙的成绩远不如甲. 例4-2 甲乙两人进行打靶,所得分数分别记为X,Y,它们的分布律分别为 X 0 1 2 P 0 0.2 0.8 Y 0 1 2 P 0.1 0.8 0.1 试比较它们成绩的好坏. 解 分别计算X和Y的数学期望: E(X)=0Х0.3+1 Х 0.2+2 Х 0.8=1.8(分)， E(Y)=0Х0.1+1 Х 0.8+2 Х 0.1=1 (分). 这就意味着,如果进行多次射击,甲所得分数的平均值接近于1.8分,而乙得分的平均值接近1分.很明显乙的成绩远不如甲.

X 0 1 下面介绍几种重要离散型随机变量的数学期望. 1. 两点分布 随机变量X的分布律为 P 1-p p 其中0<p<1，有 1. 两点分布 随机变量X的分布律为 X 0 1 P 1-p p 其中0<p<1，有 E(X)=0X(1-p)+1Xp=p. 2. 二项分布 设X~B(n, p), 即 从而有

3. 泊松分布 设X~P(λ)其分布律为 则X的数学期望E(X)=λ.

下面介绍离散型随机变量函数的数学期望. 定理4-1 设离散型随机变量x的分布率为

下面介绍几种重要连续型随机变量的期望.

4.1.3 二维随机变量函数的期望

X Y

即

练 习 1. 设随机变量X服从正态分布N(2,4),Y服从均匀分布U(3,5),则E(2X-3Y)=_____. 练 习 1. 设随机变量X服从正态分布N(2,4),Y服从均匀分布U(3,5),则E(2X-3Y)=_____. 2.设随机变量X与Y相互独立,其分布律分别为 则E(XY)=________. 3.设随机变量X的概率密度为 则E(X)=________.

4.设随机变量X的概率密度为 且E(X)= 求:常数a,b. 5.设二维随机变量(X,Y)的分布律为 X Y 且已知E(Y)=1,试求:(1)常数α,β;(2)E(XY);(3)E(X).

4.2 方 差 上一节我们介绍了随机变量的数学期望,它体现了随机变量取值的平均水平,是随机变量的一个重要的数字特征. 4.2.1 方差的概念 4.2 方 差 上一节我们介绍了随机变量的数学期望,它体现了随机变量取值的平均水平,是随机变量的一个重要的数字特征. 但是在一些场合,仅仅知道平均值是不够的.我们还要研究随机变量偏离期望的程度.这就需要再引入方差的概念. 4.2.1 方差的概念 定义4-3

说明： 方差的计算方法： (1) 随机变量X的方差D(X)即是X的函数(X-E(X))2的期望. (2) 当随机变量的取值相对集中在期望附件时,方差较小;取值相对分散时,方差较大,并且总有 方差的计算方法：

解

等 价 公 式

X 0 1 4.2.2 常见分布的方差. 1. 两点分布(0-分布) 随机变量X的分布律为 P 1-p p 其中0<p<1，有 4.2.2 常见分布的方差. 1. 两点分布(0-分布) 随机变量X的分布律为 X 0 1 P 1-p p 其中0<p<1，有 D(X)=p(1-p). 2. 二项分布 设X~B(n, p), 即 从而有

例4-20 已知随机变量X服从二项分布, 且E(X)=2.4, D(X)=1.44.求二项分布的参数n, p. 3. 泊松分布 设X~P(λ)其分布律为 则X的方差D(X)=λ. 期望也为λ.

X Y

1. 设随机变量X与Y相互独立，且X～N (0,9)，Y～N (0,1)，令Z=X-2Y, 则D (Z)=（ ） A 5 B 7 C 11 D 13 2. 已知随机变量X服从参数为2的泊松分布，则随机变量X的方差为（ ） D 2 A -2 B 0 C 3. 设随机变量X ~ B ,则D(X)=_________, E(X2)=___________. 4. 设X～N(0,1)，Y=2X-3，则D(Y)=______．

5. 设离散型随机变量X的分布律为 X 1 P p1 p2 且已知E(X)=0.3，试求： (1) p1, p2; (2) D(-3X+2). 6. 设随机变量X的概率密度为 且E(X)= 求：(1) 常数a,b；(2) D(X).

4.3 协方差和相关系数 4.3.1 协方差 定义4-4 设有二维随机变量(X,Y),且E(X),E(Y)存在,如果 4.3 协方差和相关系数 对二维随机变量(X,Y),我们处了讨论X与Y的期望和方差外,还需讨论X与Y之间相互关系的数字特征. 本节主要讨论这方面的数字特征. 4.3.1 协方差 定义4-4 设有二维随机变量(X,Y),且E(X),E(Y)存在,如果 E[(X-E(X))(Y-E(Y))]存在,则称此值为X与Y的协方差, 记为 Cov(X,Y), 即 Cov(X,Y)= E[(X-E(X))(Y-E(Y))].

协方差性质：

4.3.1 相关系数

-1 1 例4-34 设随机变量(X,Y)的分布率为 Y X -1 0.25 0.5 1 0 0.25 -1 1 -1 0.25 0.5 1 0 0.25 X Y 求E(X), E(Y), D(X), D(Y),Cov(X,Y),ρXY. 例4-35 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 求:(1)E(X), E(Y);(2) D(X), D(Y);(3)Cov(X,Y),ρXY.

结论

练 习 1.设X,Y为随机变量,已知协方差Cov(X,Y)=3,则Cov(2X,3Y)=________. 练 习 1.设X,Y为随机变量,已知协方差Cov(X,Y)=3,则Cov(2X,3Y)=________. 2.已知E(X)=2,E(Y)=2,E(XY)=4,则X,Y的协方差Cov(X,Y)=_________. 3.设(X,Y)服从在区域D上的均匀分布,其中D为x轴、y轴及x+y=1所围成, 求X与Y的协方差Cov(X,Y).

1.设(X,Y)为二维随机变量,且D(X)>0,D(Y)>0,则下列等式成立的是（ ） 3.设随机变量X的期望E (X )=2,方差D (X )=4,随机变量Y的期望E (Y )=4， 方差D (Y)=9,又E (XY )=10,则X,Y的相关系数ρ= ______．

4. 已知D(X)=9, D(Y)=4,相关系数ρ=0.4,求D(X+2Y),D(2X-3Y). 5.已知随机变量X,Y的相关系数为ρ,若U=aX+b, V=cY+d,其中ac>0. 试求 U,V的相关系数.

第五章 大数定律和中心极限定理 概率统计是研究随机变量统计规律性的数学学科, 而随机变量的规律只有在对大量随机现象的考察中才能显现出来.研究大量随机现象的统计规律,常常采用极限定理的形式去刻画,由此导致对极限定理进行研究.极限定理的内容非常广泛，本章主要介绍大数定律与中心极限定理.

大数定律的客观背景 大量随机试验中 生产过程中的 废品率 字母使用频率 大量抛掷硬币 正面出现频率 ……

识 记

1.(2006-7)设随机变量X服从参数为2的泊松分布,试由切比雪夫不等式估计 P{|X-E(X)|<2}≥_____.

5.2 大数定律 定理5-2（贝努利大数定律） 设 m是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数ε> 0 ，有 或

注： 贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率m/n与事件A的概率p有较大偏差的概率很小.

5.2.2 独立同分布随机变量的切比雪夫大数定律 定理5-3

说明

1.(2010-1)设 为n次独立重复试验中事件A发生的次数,p是事件 A. 0 B. 1 C. >0 D. 不存在

5.3 中心极限定理 在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机因素的综合（或和)影响所形成的. 5.3 中心极限定理 在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机因素的综合（或和)影响所形成的. 例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素（如瞄准，空气阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的.每个随机因素的对弹着点（随机变量和）所起的作用都是很小的.那么弹着点服从怎样分布哪 ？

5.3.1 独立同分布序列的中心极限定理 定理 5.4

结论

5.3.2 棣莫弗(De-Moivre)-拉普拉斯(Laplace) 中心极限定理

结 论

练 习 1.(2010-4)设随机变量X～B (100，0.5)，应用中心极限定理可算得P{40<X<60}≈______．附：Ф(2)=0.9772.

D 0.0228 分布是( ). A.N(0,1) B.N(8000,40) C.N(1600,8000) D.N(8000,1600) 分布是( ). D A.N(0,1) B.N(8000,40) C.N(1600,8000) D.N(8000,1600) 6.(2007-7)将一枚均匀硬币连掷100次,则利用中心极限定理可知,正面出现的次数大于60的概率近似为 .(附:Φ(2)=0.9772) 0.0228

7.(2006-7)设X1, X2, …,Xn，…为独立同分布的随机变量序列，且都服从参数为 的指数分布，则当n充分大时，随机变量Yn= 的概率分布近似服从（　　　） A.N（2，4） B.N（2， ） C.N（ ） D.N（2n,4n）

第六章 统计量及其抽样分布 6.1 引言 6.2 总体和样本 6.3 统计量及其分布

(一) 考核的知识点 1. 总体、个体、简单随机样本 2. 统计量及其常用分布 3. 分布、t分布、F分布 4. 正态总体的抽样分布

(二) 考核的知识点 1. 总体与样本 2. 统计量 3. 几种统计量的分别 4. 正态总体的抽样分布 总体、个体、简单随机样本的概念，要求：识记 2. 统计量 2.1 统计量的概念，要求：识记 2.2 样本均值、样本方差、样本标准差、样本矩的概念，要求：识记 3. 几种统计量的分别 3.1 分布、t分布、F分布的结构性定义及性质，要求：识记 3.2 分位数的概念，要求：领会 3.3 查表计算常用分布的分位数，要求：简单应用 4. 正态总体的抽样分布 正态总体的抽样分布，要求：简单应用

定义 6.1 (统计量) 统计量的分布成为抽样分布.

几个重要概念

几个重要的统计量的分布

2. F分布

3 .t分布

重要结论 和 则有

推论6-1 其中 则有

则

练习 1.(2006-4)设X1,X2, …,X6是来自正态总体N(0,1)的样本,则统计 量 服从（ ） 服从（ ） 2.(2006-4)设总体X的概率密度为 X1,X2,…,X100为来自总体X的样本,为样本均值,则

A. F(2,2) B. F(2,3) C. F(3,2) D. F(3,3)

20.(2009-4)设总体X的概率密度为 x1,x2,…,xn为来自总体X的样本, 为样本均值,则

第七章 参数估计 (一) 考核知识点 1. 点估计 2. 矩估计法 3. 极大似然估计法 4. 单个正态总体均值和方差的区间估计

(二) 考核要求 1.点估计 1.1 参数估计的概念， 要求：识记 1.2 求参数的矩估计， 要求：简单应用 1.3 求极大似然估计， 要求：简单应用 2.估计量的评价标准 2.1 矩估计的无偏性， 要求：领会 2.2 估计量的有效性、相合性， 要求：领会 3.区间估计 3.1 置信区间的概念， 要求：领会 3.2 求单个正态总体均值和方差的置信区间，要求：简单应用

参数估计 … … 参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估计总体的某些参数或者参数的某些函数. 估计新生儿的体重 估计废品率 现在我们来介绍一类重要的统计推断问题 参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估计总体的某些参数或者参数的某些函数. 估计新生儿的体重 估计废品率 在参数估计问题 中，假定总体分 布形式已知，未 知的仅仅是一个 或几个参数. 估计湖中鱼数 估计降雨量 … …

参数估计问题的一般提法 设有一个统计总体 , 总体的分布函数为 F( x, ) ，其中 为未知参数 ( 可以是向量) . 现从该总体抽样，得样本 X1,X2,…,Xn 要依据该样本对参数 作出估计, 或估计 的某个已知函数 . 这类问题称为参数估计.

参数估计 点估计 区间估计

1.65 1.67 1.68 1.78 1.69 例如我们要估计某队男生的平均身高. （假定身高服从正态分布 ） （假定身高服从正态分布 ） 现从该总体选取容量为5的样本，我们的任务是要根据选出的样本（5个数）求出总体均值 的估计. 而全部信息就由这5个数组成 . 设这5个数是: 1.65 1.67 1.68 1.78 1.69 估计 为1.68， 这是点估计. 估计 在区间 [1.57, 1.84] 内， 这是区间估计.

7.1.2 极大似然法 Gauss Fisher 它是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法 . 它首先是由德国数学家高斯在 1821年提出的 . 然而,这个方法常归功于英国统计学家费希尔 . Fisher 费希尔在1922年重新发现了这一方法，并首先研究了这种方法的一些性质 .

最大似然法的基本思想 先看一个简单例子： 某位同学与一位猎人一起外出打猎 . 一只野兔从前方窜过 . 只听一声枪响，野兔应声倒下 . 如果要你推测， 是谁打中的呢？ 你会如何想呢?

你就会想，只发一枪便打中, 猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率 . 看来这一枪是猎人射中的 . 这个例子所作的推断已经体现了极大似然法的基本思想 .

最大似然估计原理： 设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本，样本的联合密度(连续型）或联合分布律 (离散型)为 f (x1,x2,… ,xn ; ) . 当给定样本X1,X2,…Xn时，定义似然函数为： f (x1, x2 ,…, xn; ) 这里 x1, x2 ,…, xn 是样本的观察值 .

f (x1,x2,…, xn; ) 似然函数： 看作参数 的函数，它可作为 将以多大可 看作参数 的函数，它可作为 将以多大可 能产生样本值 x1, x2,… ,xn 的一种度量 . 最大似然估计法就是用使 达到最大值的 去估计 . 称 为 的最大似然估计值 . 而相应的统计量 称为 的最大似然估计量 .

两点说明： 1、求似然函数L( ) 的最大值点，可以应用微积分中的技巧。由于ln(x)是 x 的增函数, lnL( )与L( )在 的同一值处达到它的最大值，假定 是一实数，且lnL( )是 的一个可微函数。通过求解方程： 可以得到 的MLE . 若 是向量，上述方程必须用方程组代替 . 2、用上述求导方法求参数的MLE有时行不通，这时要用最大似然原则来求 .

L(p)= f (x1, x2,…, xn; p ) 下面举例说明如何求最大似然估计 例5 设X1,X2,…Xn是取自总体 X~B(1, p) 的一个样本，求参数p的最大似然估计量. 解：似然函数为: L(p)= f (x1, x2,…, xn; p )

对数似然函数为：

对p求导并令其为0， =0 得 即为 p 的最大似然估计值 . 从而 p 的最大似然估计量为

求最大似然估计(MLE)的一般步骤是： (1) 由总体分布导出样本的联合分布率(或联合密度); (2) 把样本联合分布率 ( 或联合密度 ) 中自变 量看成已知常数,而把参数 看作自变量,得到似然 函数L( ); (3) 求似然函数L( ) 的最大值点(常常转化为求ln L( )的最大值点) ，即 的MLE; (4) 在最大值点的表达式中, 用样本值代入就得参数的最大似然估计值 .

1.(2006-4)设总体X服从参数为λ的指数分布,其中λ未知,X1,X2,…,Xn为来自总体X的样本,则λ的矩估计为________. 2.(2006-7)设总体X服从泊松分布,即X~P(λ),则参数λ2的极大似然估计量为__________. 3.(2007-4)设总体X具有区间[0,θ]上的均匀分布(θ>0),x1,x2,…,xn是来自该总体的样本,则θ的矩估计 ________. 5.(2007-7)设总体X服从参数为λ的泊松分布,其中λ为未知参数.X1,X2,…,Xn为 来自该总体的一个样本,则参数λ的矩估计量为___________.

8.(2008-7)假设总体X服从参数为λ的泊松分布,0.8、1.3、1.1、0.6、1.2是来

7.2 点估计的评价标准

7.3 参数的区间估计 7.3.2 单个正态总体参数的置信区间 并设 为来自总体的 样本 , 分别为样本均值和样本方差 .

可得到 的置信水平为 的置信区间为

第八章 假设检验 （一）考核的知识点 1. 假设检验的基本思想与步骤 2. 单个正态总体的假设检验 3. 两个正态总体的假设检验

（二）考核要求 1. 假设检验 2. 正态总体的假设检验 1.1 假设检验的基本思想及基本步骤， 要求：领会 1.2 假设检验的两类错误， 要求：领会 2. 正态总体的假设检验 2.1 单个正态总体的均值和方差的假设检验， 要求：简单应用 2.2 两个正态总体的均值差与方差比的假设检验， 要求：简单应用