第三章 多维随机变量及其分布 主讲教师：董庆宽 副教授 研究方向：密码学与信息安全

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1 第三章 多维随机变量及其分布 主讲教师：董庆宽 副教授 研究方向：密码学与信息安全 电子邮件：qkdong@xidian.edu.cn
本科生必修课：概率论与数理统计 第三章 多维随机变量及其分布 主讲教师：董庆宽 副教授 研究方向：密码学与信息安全 个人主页：

2 第三章 多维随机变量及其分布 §3.1 二维随机变量 §3.2 边缘分布 §3.3 条件分布 §3.4 相互独立的随机变量
§3.5 两个随机变量的函数的分布

3 §3.1 二维随机变量 定义2.3： 设E是一个随机试验，它的样本空间是S＝{e}，设X＝X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量，由它们构成的一个向量(X,Y)，叫做二维随机向量，或二维随机变量

4 §3.1 二维随机变量 实例1 炮弹的弹着点的位置 (X,Y) 就是一个二维随机变量
实例2 考查某一地 区学前儿童的发育情况 , 则儿童的身高 H 和体重 W 就构成二维随机变量(H,W) 两个分量是有内在联系的，因此要将X,Y作为整体来研究 其性质与X、Y及X,Y之间的关系均有关，逐个研究X,Y的性质是不够的。

5 §3.1 二维随机变量 二维随机变量分布函数的定义 定义 设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x，y，二元函数：
F(x,y)=P{(X≤x)∩(Y≤y)}，记做P{X≤x，Y≤y} 称为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。

6 §3.1 二维随机变量 二维随机变量分布函数的意义
将(X,Y)看成是平面上随机点的坐标，则分布函数F(x,y)在点(x,y)处的函数值是随机点(X,Y)落在以(x,y)为顶点的左下方的无穷矩形区域内的概率 随机点落在矩形区域的概率： P{x1<X≤x2，y1<Y≤y2}= F(x2,y2)－F(x2,y1)－F(x1,y2)＋F(x1,y1) y x o x1 x2 y1 y2 (X, Y ) (x2 , y2) (x2 , y1) (x1 , y2) (x1 , y1)

7 §3.1 二维随机变量 分布函数的性质： 1°F(x,y)是变量x，y的不减函数
对任意固定的y，F(－∞，y)＝0 (边界无限向左，趋于不可能事件) 对任意固定的x，F(x, －∞)＝0 (边界无限向下，趋于不可能事件) F(－∞, －∞)＝0， (边界无限向左下，趋于不可能事件) F(∞, ∞)＝1， (边界无限向右上，趋于必然事件) 对任意的y，当x2>x1时F(x2,y)≥F(x1,y) 对任意的x，当y2>y1时F(x,y2)≥F(x,y1)

8 §3.1 二维随机变量 3°F(x,y)＝F(x+0,y)，F(x,y)＝F(x,y+0)
F(x,y)关于x右连续，关于y也右连续 4°对于任意点(x1,y1)，(x2,y2)，x1<x2，y1<y2，下述不等式成立： F(x2,y2)－F(x2,y1)－F(x1,y2)＋F(x1,y1)≥0 矩形区内的概率，及概率非负性

9 §3.1 二维随机变量 推广到n维： 定义：一般，设E是一个随机试验，它的样本空间是S＝{e}，设X1＝X1(e)，X2＝X2(e)，…，Xn＝Xn(e)是定义在S上的随机变量，由它们构成的一个n维向量(X1,X2, …,Xn)叫做n维随机向量，或n维随机变量 分布函数 定义 设(X1,X2, …,Xn)是n维随机变量，对于n个任意实数x1，x2，…，xn，n元函数： F(x1，x2，…，xn)=P{ X1x1,X2x2, …,Xnxn} 称为n维随机变量(X1,X2, …,Xn)的分布函数，或称为随机变量X1,X2, …,Xn的联合分布函数。 具有同二维类似的性质。

10 §3.1 二维随机变量 二维离散型的随机变量： 定义：若二维随机变量(X,Y)全部可能取到的不相同的值是有限对或可列无限多对，则称(X,Y)是离散型随机变量 二维离散型随机变量的分布律： 设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取的值为(xi,yj)，i，j＝1,2,…, 记P{X=xi,Y=yj}=pij，i，j＝1,2,…,则由概率的定义有： pij≥0， ＝1 则称P{X=xi,Y=yj}=pij，i，j＝1,2,…为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律，或随机变量X和Y的联合分布律。

11 §3.1 二维随机变量 也可以用表格的形式给出：

12 §3.1 二维随机变量 例1：设随机变量X在1，2，3，4四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量Y在1～X中等可能地取一整数值。试求(X,Y)的分布律。 解：Y的取值与X的取值有关， i=1，2，3，4，j取不大于i的正整数，由乘法定理 P{X=i,Y=j}＝P{Y=j|X=i}P{X=i}＝(1/i)(1/4)，i=1，2，3，4，1ji Y X /4 1/4(1/2) 1/4(1/3) 1/4(1/4) /4(1/2) 1/4(1/3) 1/4(1/4) /4(1/3) 1/4(1/4) /4(1/4)

13 §3.1 二维随机变量 例2 从一个装有3支蓝色、2支红色、3支绿色 圆珠笔的盒子里, 随机抽取两支, 若 X、Y 分别
例2 从一个装有3支蓝色、2支红色、3支绿色 圆珠笔的盒子里, 随机抽取两支, 若 X、Y 分别 表示抽出的蓝笔数和红笔数,求( X,Y )的分布律. 解 ( X,Y ) 所取的可能值是

14 §3.1 二维随机变量 故所求分布律为

15 §3.1 二维随机变量 二维离散型随机变量(X,Y)的分布函数
将(X,Y)看作一个随机点的坐标，则离散型随机变量X和Y的联合分布函数为：包含在以(x,y)为顶点的左下方无穷矩形区域内的所有可能取值点的概率的和，即 F(x,y)＝ 其中和式是对一切满足xi≤x，yj≤y的i，j来求和的

16 §3.1 二维随机变量 二维连续型随机变量的概率密度：
对于二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)，如果存在非负的函数f(x,y)，使对任意x,y有 F(x,y)＝ 则称(X,Y)是连续型的二维随机变量，函数f(x,y)称为二维随机变量(X,Y)的概率密度，或称随机变量X和Y的联合概率密度。 y o (x, y) (X, Y ) x

17 §3.1 二维随机变量 f(x,y)的性质： 1°非负性 f(x,y)≥0 2°归一性 ＝F(∞, ∞)＝1
曲线z＝f(x,y)表示一个曲面，位于xOy平面的上方 2°归一性 ＝F(∞, ∞)＝1 曲面z＝f(x,y)与xOy平面的空间区域的体积为1 3°设G是xOy平面上的区域，点(X,Y)落在G内的概率为 P{(X,Y)G}= 在几何上，以G为底， 以曲面z＝f(x,y)为顶的柱体体积 4°若f(x,y)在点(x,y)处连续，则有 ＝f(x,y) 此时的分布函数关于x或y均是连续的

18 §3.1 二维随机变量 面密度的概念：由性质，在f(x,y)的连续点(x,y)处有 由分布函数的定义，分子刚好是落在矩形区域的概率，即
= 当ΔxΔy很小时， ≈f(x,y)ΔxΔy ， 即随机点落在长方形(x, x+Δx]×(y, y+Δy]内的概率近似等于长方体的体积，以上比值表明，概率密度为：单位面积上的概率值：面密度

19 §3.1 二维随机变量 例

20 §3.1 二维随机变量 解 先在图像上画出非0区

21 §3.1 二维随机变量 (2) 将 ( X,Y )看作是平面上随机点的坐标 即有
一般的，涉及到几个随机变量的表达式，在求解概率时就要用几维分布来求解

22 §3.1 二维随机变量 两个常用的分布 1.均匀分布 定义 设 D 是平面上的有界区域,其面积为 S,若二维随机变量 ( X , Y ) 具有概率密度 则称( X , Y )在 D 上服从 均匀分布. 这一是一种几何概型

23 §3.1 二维随机变量 2.二维正态分布 若二维随机变量 ( X,Y ) 具有概率密度

24 §3.1 二维随机变量 二维正态分布的图形

25 §3.1 二维随机变量 例1 解

26 §3.1 二维随机变量

27 §3.2 边缘分布 边缘分布函数的求解：已知联合分布F(x,y)，求解边缘分布FX(x)＝P{Xx}
二维随机变量(X,Y)具有分布函数F(x,y)，它描述的是整体的性质，有时我们也要考察X或者Y的个体性质，也就是我们关心的FX(x)，FY(y)是怎样的？并且分别将FX(x)和FY(y)称为X和Y的边缘分布函数。 边缘分布函数的求解：已知联合分布F(x,y)，求解边缘分布FX(x)＝P{Xx} 由于{Y<∞}是必然事件，所以{Xx}∩{Y<∞}＝{Xx}。 ∴FX(x)＝P{Xx}＝P{(Xx)∩(Y<∞)}=P{Xx,Y<∞}=F(x, ∞) 同理： FY(y)＝P{Yy}＝P{(X<∞)∩(Yy)}= P{X<∞,Yy}= F(∞, y)

28 §3.2 边缘分布 离散型随机变量的边缘分布律： (X,Y)的分布函数为F(x,y)＝ 则FX(x)＝F(x, ∞)＝ ＝ ， 所以 同理
※注意：边缘分布律的和式可以理解为一种全概率展开：以Y取值为划分对X取值的全概率展开。 离散型随机变量的边缘分布律： (X,Y)的分布函数为F(x,y)＝ 则FX(x)＝F(x, ∞)＝ ＝ ， 与第二章分布律与分布函数的关系式进行比较，括号内的部分即为P{X＝xi} 所以 X的分布律为P{X＝xi}＝ ＝pi• ，i＝1，2，… 同理 Y的分布律为P{Y＝yj}＝ ＝p•j ，j＝1，2，…

29 §3.2 边缘分布 分别称pi• (i＝1，2，…)和p•j (j＝1，2，…)为(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律。 p•j pi•

30 §3.2 边缘分布 离散型随机变量关于X 和Y 的边缘分布函数分别为

31 §3.2 边缘分布 例1 已知下列分布律求其边缘分布律. 解 注意 联合分布 边缘分布

32 §3.2 边缘分布 连续型随机变量的边缘概率密度： (X,Y)的概率密度函数为f(x,y)， FX(x)＝F(x, ∞)＝ ＝
与概率密度函数定义相比较 得，X是连续型随机变量，且fX(x)＝ 同样，Y是连续型随机变量，且fY(y)＝ 分别称fX(x)和fY(y)为随机变量(X,Y)关于X和关于Y的边缘概率密度

33 首先确定积分区域包括x的范围和y的积分限
§3.2 边缘分布 例2 首先确定积分区域包括x的范围和y的积分限 由边缘概率密度定义 解 通过 f(x,y)中关于x和y的约束关系求得x的取值范围，及y的积分区间，即由x2≤y≤x，可推导出0≤x≤1，y的积分区间是x的函数[x2, x] 或者画出积分区域，从而确定x和y的范围：

34 §3.2 边缘分布

35 §3.2 边缘分布

36 §3.2 边缘分布 例4

37 §3.2 边缘分布 解 由于 于是

38 §3.2 边缘分布 由于－∞<y<∞所以－∞<t<∞，而dt＝dy 则有 即 同理可得
二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布，并且都不依赖与参数r 联合分布包含更多的信息,由联合分布可以求出边缘分布,但由边缘分布一般无法求出联合分布

39 §3.2 边缘分布 边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分 布不一定是二维正态分布， 例如
因此边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分布不一定是二维正态分布.

40 §3.2 边缘分布 例 解

41 §3.2 边缘分布

42 §3.2 边缘分布 例2 解 样本点

43 §3.2 边缘分布 样本点

44 §3.3 条件分布 问题

45 §3.3 条件分布 设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为 P{X=xi,Y=yj}=pij，i，j＝1,2,…
(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律为 P{X＝xi}＝pi•＝，i＝1，2，…， P{Y＝yj}＝p•j＝，j＝1，2，… 考虑在事件{Y＝yj}发生的条件下，事件{X＝xi}发生的概率，即求事件{X＝xi |Y＝yj }，i＝1，2，…发生的概率

46 §3.3 条件分布 定义 该条件概率具有分布律的性质： 非负性 归一性：

47 §3.3 条件分布 例2：一射手进行射击，击中目标的概率为p(0<p<1)，射击直到击中目标两次为止。设以X表示首次击中目标所进行的射击次数，以Y表示总共进行的射击次数，试求X和Y的联合分布律及条件分布律。 解：实际上本题是求三个分布律： P{X＝m, Y＝n} P{Y＝n |X＝m} P{X＝m| Y＝n}

48 §3.3 条件分布 按题意，Y＝n表示第n次射击时击中目标，且在前n－1次射击中恰有一次击中目标，各次射击是相互独立的。这样{Y＝n ,X＝m}表示分别在第m次和第n次击中目标而其它n－2次没击中这一事件。于是 P{ X＝m ,Y＝n}＝(1－p)•…•(1－p)•p•(1－p)…•(1－p)•p＝p2(1－p)n－2 即联合分布律为 P{ X＝m ,Y＝n}＝p2(1－p)n－2，m＝1，2，…n-1，n＝m+1，m+2，… 第m次 第n次 注意条件不能少

49 §3.3 条件分布 又关于X的边缘分布律 P{ X＝m }= = = =p(1－p)m－1， m＝1，2，… P{ Y＝n}＝
=(n－1) p2(1－p)n－2，n＝2，3，…

50 §3.3 条件分布 于是由条件分布律的定义： 当m=1，2，…时
P{Y＝n|X＝m}＝P{Y＝n, X＝m}/P{X＝m}=p2(1－p)n－2/p(1－p)m－1= p(1－p)n－m－1，n=m＋1，m＋2，… 当n＝2，3，…时 P{X＝m|Y＝n}＝P{Y＝n, X＝m}/P{ Y＝n}=p2(1－p)n－2/(n－1) p2(1－p)n－2=1/(n－1)，m=1，2，…，n－1 ※在写条件分布律P{Y＝n|X＝m}时一定在分布律之前给出条件P{X＝m}不等于0的范围，而在分布律之后也要注明Y的取值范围

51 §3.3 条件分布 连续型随机变量的条件概率密度：
对于连续型随机变量由于对于任意的x或者y，P{Y=y }=0，P{ X＝x}＝0，无法用条件概率公式计算P{ X=x|Y=y}。 转而求分布函数P{ X≤x|Y＝y}并记为FX|Y(x|y) 由于P{Y=y}＝0，我们讨论在一个充分小的邻域内事件{y－ε<Y≤y＋ε}发生的条件下的X≤x的概率P{ X≤x| y－ε<Y≤y＋ε}，其中P{y－ε<Y≤y＋ε}>0 然后对任意的x，令ε→0对P{X≤x|y－ε<Y≤y＋ε}取极限得到FX|Y(x|y)＝P{ X≤x|Y＝y} 注：在条件概率中，作为条件的随机变量的取值是一个确定的单点值。 如果条件是一个范围，则直接用条件概率公式计算即可

52 §3.3 条件分布 P{ X≤x| y－ε<Y≤y＋ε}
FX|Y(x|y)=lim P{ X≤x| y－ε<Y≤y＋ε}|ε→0= = = = = = = 类似的有FY|X(y|x)＝ ＝

53 §3.3 条件分布 与概率密度定义比较，可知 条件概率密度定义
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)，(X,Y)关于Y的边缘概率密度为fY(y)，若对于固定的y，fY(y)>0，则称 为Y=y的条件下X的条件概率密度，记为 fX|Y(x|y)＝ 称FX|Y(x|y)＝P{X≤x|Y＝y}＝ ＝ 为Y=y的条件下X的条件分布函数 类似的有fY|X(y|x)＝ ，FY|X(y|x)＝

54 §3.3 条件分布 例3 解 ①求联合概率密度

55 §3.3 条件分布 ②求边缘概率密度，确定满足fY(y)>0的y的范围 ③在y的范围内计算条件概率密度
※求解条件概率密度fX|Y(x|y)时，前面要给出条件fY(y)>0的y的区间，在后面给出X的取值范围。在(-, )区间上都有定义

56 §3.3 条件分布 例4 解 由条件概率密度－》联合概率密度－》边缘概率密度

57 §3.3 条件分布

58 §3.4 相互独立的随机变量 定义： 设F(x,y)及FX(x)和FY(y)分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数，若对于所有x,y有 P{X≤x,Y≤y}＝P{X≤x}P{Y≤y}， 即 F(x,y)＝FX(x)FY(y) 则称随机变量X和Y是相互独立的。 对于连续型随机变量(X,Y)，f(x,y)及fX(x)和fY(y)分别为其概率密度和边缘概率密度： X和Y相互独立的条件等价于 f(x,y)＝fX(x)fY(y)几乎处处成立 几乎处处成立的意义是，除去平面上面积为0的集合(点，线)以外，处处成立

59 §3.4 相互独立的随机变量 对于离散型随机变量(X,Y)，X和Y相互独立的条件等价于P{X＝xi,Y＝yj}＝P{X＝xi}P{Y＝yj}对于X和Y的所有可能取值(xi,yj)都成立，或记为pij＝pi•p•j，i，j＝1，2，… ※在实际中，考察两个随机变量的独立性往往用概率密度和分布律的定义比较方便

60 §3.4 相互独立的随机变量 例1 解

61 §3.4 相互独立的随机变量 (1)由分布律的性质知

62 §3.4 相互独立的随机变量 (2) 因为 X 与 Y 相互独立, 所以有 特别有 又

63 §3.4 相互独立的随机变量 例2 已知分布律 求 Y=1 时 X 的条件分布. 解 因此,在 Y=1 的条件下 X 的分布律为
例2 已知分布律 求 Y=1 时 X 的条件分布. 解 因此,在 Y=1 的条件下 X 的分布律为 X=2的情况可略去

64 §3.4 相互独立的随机变量 例3 解 不存在.

65 §3.4 相互独立的随机变量 正确解法为 因此 于是

66 §3.4 相互独立的随机变量 二维正态随机变量( X,Y )的独立性问题 而前面已经证明：X～N(μ1,σ12)，Y～N(μ2,σ22)
对任意的x,y有fX(x)fY(y)＝

67 §3.4 相互独立的随机变量 二维正态随机变量( X,Y )有如下结论：
1°当ρ＝0时，f(x,y)＝fX(x)fY(y)处处成立，X和Y相互独立 2°若X和Y相互独立，则由于f(x,y)及fX(x)和fY(y)是连续函数，对任意的x,y有f(x,y)＝fX(x)fY(y)，不妨令x＝μ1,y＝μ2代入等式 有 ＝ 即ρ＝0。 综上：对于二维正态随机变量(X,Y)，X和Y相互独立的充要条件是参数ρ＝0

68 §3.4 相互独立的随机变量 解 例 一负责人到达办公室的时间均匀分布在8~12时, 他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7~9时,
设他们两人到达的时间相互独立, 求他们到达办公室的时间相差不超过 5 分钟的概率 解 设X和Y分别是负责人和他的秘书到达办公室的时间，则相应的概率密度： 本题即是要求P{|X－Y|≤1/12}

69 §3.4 相互独立的随机变量 先求联合概率密度f(x,y)

70 §3.4 相互独立的随机变量 于是 令x=8得到y=81/12

71 §3.4 相互独立的随机变量 推广到n维： ①分布函数
n维随机变量(X1,X2, …,Xn)的分布函数定义为，对于n个任意实数x1，x2，…xn，n元函数： F(x1，x2，…xn)=P{X1≤x1,X2≤x2, …,Xn≤xn}称为n元随机变量(X1,X2, …,Xn)的分布函数 ②概率密度 若非负函数f(x1,x2,…,xn)，对任意实数x1，x2，…xn，有 F(x1，x2，…xn)= 称f(x1,x2,…,xn)为n元随机变量(X1,X2, …,Xn)的概率密度函数

72 §3.4 相互独立的随机变量 ③边缘分布函数 ④边缘概率密度函数
n元随机变量(X1,X2, …,Xn)的分布函数为F(x1，x2，…xn)已知，则(X1,X2, …,Xn)的k维边缘分布函数就随之确定。如： 关于Xi的边缘分布函数为：FXi(∞…∞,xi, ∞…∞) 关于Xi, Xj的边缘分布函数为：FXi,Xj(∞…∞,xi, ∞…∞,xj, ∞…∞) ④边缘概率密度函数 若f(x1,x2,…,xn)是(X1,X2, …,Xn)的概率密度，则 关于Xi的边缘概率密度 fXi(xi)＝ 关于Xi, Xj的边缘概率密度 fXi,Xj(xi, xj)＝

73 §3.4 相互独立的随机变量 ⑤独立性 ⑥独立性2 定理：
若对于所有的实数x1，x2，…xn有F(x1，x2，…xn)= FX1(x1)FX2(x2)…FXn(xn) 则称X1,X2, …,Xn相互独立 ⑥独立性2 若对于所有的实数x1，x2，…xm，y1，y2，…yn有 F(x1，x2，…xm，y1，y2，…yn)＝F1(x1，x2，…xm) F2(y1，y2，…yn)，其中F1，F2， F依次为随机变量(X1,X2, …,Xm)，(Y1,Y2, …,Yn)和(X1,X2, …,Xn ,Y1,Y2, …, Yn)的分布函数，则称随机变量(X1,X2, …,Xm)和(Y1,Y2, …,Yn)是相互独立的 定理： 设(X1,X2, …,Xm)和(Y1,Y2, …,Yn)相互独立，则Xi(i=1,2,…,m)和Yj(j=1,2,…,n)相互独立。又若h，g是连续函数，则h(X1,X2, …,Xm)和g(Y1,Y2, …,Yn)相互独立 多维随机变量的研究中，一般从多维分布函数，概率密度，分布律出发来求得边缘，条件分布

74 §3.5 两个随机变量的函数的分布 在实际应用中，某个随机变量可能是两个或多个随机变量的函数，以二维为例，已知X,Y的联合分布，如何确定随机变量Z=g(X,Y)的分布具有非常广泛的应用价值 第二章对离散型和连续型随机变量的函数分布分别给出了一般的方法 求连续型随机变量X的函数Y=g(X)的概率密度的一般步骤： 已知fX(x)，Y=g(X)，求fY(y) 1°先写出Y的分布函数定义式：FY(y)＝P{Yy} 由Y=g(X)确定Y的值域，当y不在值域范围内时单独讨论 fY(y) 2°将Y=g(X)代入上式 ＝P{g(X)y} //在y的值域范围内讨论 3°由g(X)y求解X的范围 ＝P{X|g(X)y} 表示为y的形式 4°由X的分布函数FX(x)表示以上概率，得到关于y的表达式FY(y)，其中FX(x)的自变量x用关于y的表达式来代。 5°求导得fY(y)＝dFY(y)/dy，将fY(y)的所有可能的情况合并 多维随机变量的函数的分布与以上步骤相同

75 §3.5 两个随机变量的函数的分布 对于二维离散型随机变量(X,Y)的函数Z=g(X,Y)的分布的求解，其中g是连续函数的情况
其次，对于Z的某一个取值zi，其概率等于所有满足zi=g(X,Y)的对(xk,yj)的概率的和

76 §3.5 两个随机变量的函数的分布 例 设相互独立的两个随机变量 X, Y 具有同一 分布律,且 X 的分布律为 解 于是

77 §3.5 两个随机变量的函数的分布

78 §3.5 两个随机变量的函数的分布 对于连续型，本节主要考虑如下几种情形 1. Z=X+Y 2. Z=XY 和 Z=Y/X
还有Z=aX+bY的一般形式 2. Z=XY 和 Z=Y/X 3. Z=Max{X,Y} 和 Z=Min{X,Y}

79 §3.5 两个随机变量的函数的分布 1. Z=X+Y 的分布 则dx=du，u的积分区间为－∞到z
确定积分区域和由函数g(x,y)确定的z的取值范围，在本题中z取值未受g的限制 则dx=du，u的积分区间为－∞到z

80 §3.5 两个随机变量的函数的分布 由此可得概率密度函数为 由于X 与Y 对称, 当 X, Y 独立时, 称为卷积公式，记为fX*fY＝ =

81 §3.5 两个随机变量的函数的分布 Z=aX+bY 的分布

82 §3.5 两个随机变量的函数的分布 例 设两个独立的随机变量 X 与Y 都服从标准正态分布,求 Z=X+Y 的概率密度. 得

83 §3.5 两个随机变量的函数的分布 正态随机变量的线性组合问题
1°m个标准正态分布的随机变量之和(Z)的分布仍然服从正态分布Z～N(0,m) 2°一般，若X和Y相互独立且X～N(μ1，σ12)， Y～N(μ2，σ22)，则有 Z＝X＋Y～N(μ1＋μ2，σ12＋σ22) 3°以上结论推广到n个相互独立的正态随机变量之和也成立 Xi～N(μi，σi2)，i＝1，…，n， Z=X1+X2+,…,+Xn～N(μ1＋μ2＋…+μn，σ12＋σ22＋…+σn2) 4°更一般的有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布 Z=a1X1+ a2X2+,…,+ anXn ～N(a1μ1＋a2μ2＋…+anμn，(a1σ1)2＋(a2σ2)2＋…+(anσn)2)

84 §3.5 两个随机变量的函数的分布 例2：在一简单电路中，两电阻R1和R2串联，设R1和R2相互独立，它们的概率密度为 f(x)=
解:易知fR(z)＝fX*fY＝ 1. 函数g为线性变换，不限制z的取值 2. 求被积函数不为0时的x的取值范围：注意谁是自变量 由fX(x)得 0<x<10，再由fY(y)得0<z－x<10，联立不等式得x的取值范围为 0<x<10 z－10<x<z

85 §3.5 两个随机变量的函数的分布 这样为合并两式必须对z的取值进行讨论，可借助数轴
当z<0或z>20时，无交集，fR(z)=0 当0<z<10，有0<x<z ，fR(z)= 当10<z<20，有z－10<x<10，fR(z)= 合并以上结果得fR(z)＝ 0<x<10 z-10<x<z

86 §3.5 两个随机变量的函数的分布 2. Z=Y/X的分布、Z=XY的分布
设(X,Y)概率密度函数为f(x,y)，则Z=Y/X、Z=XY仍为连续型随机变量，其概率密度分别为 fY/X(z)= fXY(z)= 又若X和Y独立，则

87 §3.5 两个随机变量的函数的分布 由FZ(z)一阶导即得结果 fXY(z)可类似求出

88 §3.5 两个随机变量的函数的分布 例 解 由公式

89 §3.5 两个随机变量的函数的分布 得所求密度函数 得

90 §3.5 两个随机变量的函数的分布 3. M=max{X,Y}及N＝min{X,Y}的分布
设X和Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y)，求解M和N的分布 对于M的分布： Fmax(m)＝P{M≤m} 所以Fmax(m)＝P{M≤m}＝P{X≤m, Y≤m } 而X和Y相互独立 ＝P{X≤m}P{Y≤m}＝FX(m)FY(m) 即Fmax(m)＝FX(m)FY(m) 类似的对于N的分布： Fmin(n)＝P{N≤n}＝1－P{N>n} ＝1－P{X>n, Y>n}=1－P{X>n}P{Y>n}=1－[1－FX(n)][1－FY(n)] 即Fmin(n)=1－[1－FX(n)][1－FY(n)] 由最大值特点M≤m等价于X和Y都不大于m 最小值大于n等价于随机变量X和Y都大于n

91 §3.5 两个随机变量的函数的分布 推广到n个变量的最值分布：
设X1,X2, …,Xn是n个相互独立的随机变量，它们的分布函数为FXi(xi)，i＝1,2,… 则M=max(X1,X2, …,Xn)及N=min(X1,X2, …,Xn)的分布函数分别为 Fmax(z)＝FX1(z)FX2(z)…FXn(z) Fmin(z)=1－[1－FX1(z)][1－FX2(z)]…[1－FXn(z)] 若X1,X2, …,Xn是n个相互独立且同分布的随机变量，具有相同的分布函数F(x) Fmax(z)＝[F(z)]n Fmin(z)=1－[1－F(z)]n

92 §3.5 两个随机变量的函数的分布 例2 解

93 §3.5 两个随机变量的函数的分布

94 §3.5 两个随机变量的函数的分布 例

95 §3.5 两个随机变量的函数的分布 解

96 §3.5 两个随机变量的函数的分布

97 §3.5 两个随机变量的函数的分布

98 §3.5 两个随机变量的函数的分布

99 本章小结（一）

100 本章小结（二） 一些函数条件的说明 1. 二维随机变量的分布要对所有可能的取值点(离散型)或者整个平面区域(连续型)进行讨论，不能遗漏
2. 由联合分布求边缘分布时，先根据联合分布确定有效积分区域(非0区域)，然后再根据积分区域确定被积变量的上下限以及所求边缘分布的变量的范围 3.条件分布中，由联合分布及边缘分布确定条件分布时，作为条件的变量的范围由边缘分布中取值不为0的范围确定，而所求的分布的变量的有效范围由联合分布的非0区域确定，即从该区域的表达式中解出该变量的表达式 4.由条件分布和边缘分布确定联合分布时，将两个分布确定的区间合并即可 5. 两个独立的变量的联合分布表达式中非0区域的范围确定直接由两个边缘分布的非0范围合并得到

101 本章作业 第一次： 第二次： 第三次： P84：2，3，4，7，9 P85：11，13，14，15，17，18，20

102 谢谢！