第七章 机械能 6、机械能守恒定律

观察与思考 翻滚过山车 如图是迪斯尼乐园的过山车情景，请问：“一辆滑车在下滑过程中，既然没有什么动力，为什么每次总能如此准确的完成一连串有惊无险的动作呢？”

知识回顾与复习 动能： Ek=mv2/2 机械能E=EK+EP 重力势能: Ep=mgh 弹性势能 势能Ep 物体由于运动而具有的能叫做动能 相互作用的物体凭借其位置而具有的能叫做势能

h 实验原理 在自由落体运动中，若物体下落高度h 时的速度为v ,则 mgh = mv 2 1 2 v

实验器材 实验器材：打点计时器、纸带、复写纸、重物、刻度尺、铁架台（带铁夹）、学生电源等。 纸带 打点计时器 夹子 ？ 铁架台 重物

实验步骤 1．把打点计时器安装在铁架台上，用导线将学生电源和打点计时器接好． 2．把纸带的一端用夹子固定在重锤上，另一端穿过打点计时器的限位孔，用手竖直提起纸带，使重锤停靠在打点计时器附近． 3．接通电源，待计时器打点稳定后再松开纸带，让重锤自由下落，打点计时器应该在纸带上打出一系列的点． 4．重复上一步的过程，打三到五条纸带． 5．选择一条点迹清晰且第l、2点间距离接近2 mm的纸带，在起始点标上0，以后各点依次为1、2、3……用刻度尺测量对应下落的高度h1\h2\h3，……记人表格中．

6．用公式vn=hn+1+hn-1/2t，计算出各点的瞬时速度v1、 v2、v3……并记录在表格中． 4 5 6 高度hn /m 速度vn /m/s 势能EP /J 动能EK /J 6．用公式vn=hn+1+hn-1/2t，计算出各点的瞬时速度v1、 v2、v3……并记录在表格中． 7．计算各点的重力势能的减少量mgh。和动能的增加量，并进行比较．看是否相等，将数值填人表格内．

物体在某状态时的动能、重力势能和弹性势能的总和叫做物体的机械能。 1.机械能 物体在某状态时的动能、重力势能和弹性势能的总和叫做物体的机械能。

生活中的实例 车站 随着人类能量消耗的迅速增加，如何有效地提高能量的利用率，是人类所面临的一项重要任务，右图是上海“明珠线”某轻轨车站的设计方案，与站台连接的轨道有一个小的坡度。 明珠号列车为什么在站台上要设置一个小小的坡度？ 进站前关闭发动机，机车凭惯性上坡，动能变成势能储存起来，出站时下坡，势能变成动能，节省了能源。

观察 动能与势能的相互转化

mgh = mv 2 gh = v 2 问题1 本实验要不要测量物体的质量？ 1 2 1 2 无需测量物体的质量 如果实验要求计算势能和动能的具体数据，那就必须要知道物体的质量。

gh = v 2 问题1 1 2 x = gt2 = ×9.8×0.022m ≈2×10-3m = 2 mm 起始点 h 纸带上的第一个点为计时起点0 （起始点的速度应该为零，即打点计时器在纸带上打下第一个点时纸带刚开始下落）。 对于实际获得的纸带，如何判定纸带上的第一个点就是纸带刚开始下落时打下的呢？ 1 2 x = gt2 = ×9.8×0.022m ≈2×10-3m = 2 mm 纸带上的头两个点间的距离应接近2mm。

我们可以选取A、B两点，比较它们的机械能EA和EB。若以点B为0 势能点，则有： 思考 可以回避起始点吗（即处理纸带时可以不用到起始点吗）? A B Δh 我们可以选取A、B两点，比较它们的机械能EA和EB。若以点B为0 势能点，则有： EKA＋mgΔh＝EKB

v x = vA(2t) + a(2t)2 x vAC = = vA + at vB = vA + at vB = vAC 问题3 如何测量物体的瞬时速度? x = vA(2t) + a(2t)2 1 2 — v t vA t 2t vB vC vAC = = vA + at x 2t — vB = vA + at vB = vAC 做匀变速运动的纸带上某点的瞬时速度，等于相邻两点间的平均速度。

这种方法是根据机械能守恒定律得到的，而我们的目的就是验证机械能守恒定律，所以不能用。 思考 这种方法是根据机械能守恒定律得到的，而我们的目的就是验证机械能守恒定律，所以不能用。 速度能不能用 v = 2gh 或 v = gt 计算？ 这种方法认为加速度为g ，由于各种摩擦阻力不可避免，所以实际加速度必将小于g，这样将得到机械能增加的结论，有阻力作用机械能应该是减少的，故这种方法也不能用。

探寻动能与势能转化规律 h2 h1 如图，一个质量为m的小球自由下落或做斜抛运动或竖直上抛，经过某高度为h１的A点时速度为v１，下落到某高度为h2的B点时速度为v2，试写出小球在A点时的机械能EA和在B点时的机械能EB，并找出小球在A、B时所具有的机械能EA、EB之间的数量关系。

状态２ 状态１ 状态１ 状态２ 动能和重力势能间的转换 v0 竖直上抛的小球 自由下落的小球 EA＝Ek1+EP1 EB＝Ek2+EP2 O O v0 竖直上抛的小球 自由下落的小球 状态２ B A 状态１ A B 状态１ 状态２ EA＝Ek1+EP1 EB＝Ek2+EP2 Ek2+EP2＝Ek1+EP1 EB＝EA

思考 h1 h2 如图，质量为m的小球从光滑斜面上滑下，小球的机械能守恒？ 假如物体还受其它力,机械能是否还守恒?

动能和弹性势能间的转化 弹簧的弹性势能与小球的动能相互转化 v 在只有弹力做功的物体系统内，动能和弹力势能可以相互转化，但机械能的总量保持不变。

mgh2+mv22/2=mgh1+mv12/2 ΔE减=ΔE增 结论 在只有重力或弹力做功的物体系统内，物体的动能和势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。 内容 EK2+EP2=EK1+EP1 即E2=E1 表达式 mgh2+mv22/2=mgh1+mv12/2 ΔE减=ΔE增 说明 中间式中参考面一般选地面

注意事项 1、安装打点计时器时，必须使两纸带限位孔在同一竖直线上，以减小摩擦阻力。 2、应选用质量和密度较大的重物，增大重力可可使阻力的影响相对减小，增大密度可以减小体积，可使空气阻力减小。 3、选用纸带时应尽量挑选第一、二点间距接近2mm的点迹清晰且各点呈一条直线的纸带。 4、实验用的纸带一般小于1m ，从起始点开始大约能打出20 个点左右。末位置的点可选择倒数第一个点或倒数第二个点，从这一个点向前数4～6 个点当初位置的点，可以减小这两个点的瞬时速度以及两点之间距离（高度h）测量的误差。

误差分析 1、偶然误差： 测量长度时会带来误差 2、系统误差： 实验中重物和纸带下落过程中要克服阻力（主要是打点计时器的阻力）做功，故动能的增加量ΔEK 必定稍小于势能的减少量ΔEP 。

数据记录 测量点n 1 2 3 4 5 6 高度hn /m 速度vn /m/s 势能EP /J 动能EK /J 可不可以用图象处理数据?

图像法处理数据 gh = v 2 1 2 h v 2 1 2 为什么图象通过原点？ 该图象的斜率表示什么？

课堂练习 甲 重力远远大于阻力 1、在用自由落体运动验证机械能守恒定律的实中， (1)若用公式v=gt计算瞬时速度进行验证，打点计时器所接交流的频率为50Hz，甲、乙两条实验纸带，应选________________纸带为好（图） (2)若通过测量纸带上某两点间距离来计算瞬时速度进行验证的话，设已测得点2到4点之间距离为s1，点0到点3之间距离为s2，打点周期为T，为验证自重物开始下落到打点计时器打下点3这段时间内机械能守恒，实验结果应满足s1、s2、T之间的关系为_______________________． (3)重物选取的原则应是_________________________ 甲 s2=s12/(8gT2) 重力远远大于阻力

2、为了验证物体在自由下落过程中机械能是守恒的，将m=0 2、为了验证物体在自由下落过程中机械能是守恒的，将m=0.5kg的重物系上一纸带，并将纸带穿过打点计时器，当重物自由下落时，得到如图所示的记录纸带，已知打点周期T=0.02s（设当地的重力加速度g=9.9m/s2） ①计算打A、B两点时重物下落的速率vA=_________________， vB =_____________． ②以A、B两点为例，验证机械能是否守恒?△Ek=_____________，mgh=_______________．结论_____________________________． 1.5m/s 2.1m/s 0.54J 0.53J 在误差允许范围内机械能守恒．

3、斜面长100cm，高60cm，某同学以质量为400g的小车沿斜面下滑来验证机械能守恒定律，他从记录小车运动的打点纸带上选取了A、B、C、D四个计数点，已知每相邻两点间对应的时间间隔为0.1s，A与B、B与C、C与D之间的距离分别为10cm、15cm、20cm，则小车由纸带上对应打B点时运动到打C点时，小车动能增加了_____J，重力势能减小了_______J．实际上此过程机械能并不守恒是由于______________________________，若减小斜面倾角，将使本实验的误差________．（填“增大”、“减小”、“不变”）． 0.3 0.35 摩擦力对小车做了功 增大

4、在验证机械能守恒定律时，将重物自由下落，纸带记录如图所示．（计算结果取2位有效数字）T=0 4、在验证机械能守恒定律时，将重物自由下落，纸带记录如图所示．（计算结果取2位有效数字）T=0.02s图中纸带左端为与重物相连端，0点为重物静止时所记录的点，ABC三个记数点为打点计时之点，则重物下落hB距离时，其速度VB可用计算式VB=_________ 进行计算，根据图示数据求出VB=__________m/s；重物重力势能减少量为___________，动能增加量为__________________，两者不完全相同的原因是__________________．实验中需要的测量仪器是_________________________________________________． (AB+BC)/2T 1.6 1.5J 1.3J 打点计时器,刻度尺 下落过程中,重物克服摩擦和空气阻力做功,部分机械能转化为内能

探讨守恒的条件 假如物体还受其它力做功机械能是否还守恒? 在只有重力做功的物体系统内，物体的动能和重力势能可以相互转化时，机械能守恒

只有重力、弹力做功 条件 在具体判断机械能是否守恒时，一般从以下两方面考虑： ①对于某个物体，只受重力（弹力）做功；受其它力，而其他力不做功，则该物体的机械能守恒。 ②对于由两个或两个以上物体(包括弹簧在内组成的系统，如果系统只有重力做功或弹力做功，物体间只有动能、重力势能和弹性势能之间的相互转化，系统与外界没有机械能的转移，系统内部没有机械能与其他形式能的转化系统的机械能就守恒。 条件 只有重力、弹力做功

ΔE减=ΔE增 mgh2+mv22/2=mgh1+mv12/2 小结 2、机械能守恒定律： 1、机械能：E=EK+EP （1）内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，物体的动能和势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。 （2）表达式：EK2+EP2=EK1+EP1 ΔE减=ΔE增 mgh2+mv22/2=mgh1+mv12/2 （3）条件：只有重力、弹力做功

下列实例中哪些情况机械能是守恒的 跳伞员利用降落伞在空中匀速下落 v 抛出的篮球在空中运动（不计阻力） 说一说 下列实例中哪些情况机械能是守恒的 抛出的篮球在空中运动（不计阻力） 跳伞员利用降落伞在空中匀速下落 用绳拉着一个物体沿着光滑的斜面匀速上升。 光滑水平面上运动的小球，把弹簧压缩后又被弹回来。 v

mgh = mv 2 gh = v 2 问题1 本实验要不要测量物体的质量？ 1 2 1 2 无需测量物体的质量 如果实验要求计算势能和动能的具体数据，那就必须要知道物体的质量。

gh = v 2 问题2 1 2 x = gt2 = ×9.8×0.022m ≈2×10-3m = 2 mm 起始点 h 纸带上的第一个点为计时起点0 （起始点的速度应该为零，即打点计时器在纸带上打下第一个点时纸带刚开始下落）。 对于实际获得的纸带，如何判定纸带上的第一个点就是纸带刚开始下落时打下的呢？ 1 2 x = gt2 = ×9.8×0.022m ≈2×10-3m = 2 mm 纸带上的头两个点间的距离应接近2mm。

我们可以选取A、B两点，比较它们的机械能EA和EB。若以点B为0 势能点，则有： 思考 可以回避起始点吗（即处理纸带时可以不用到起始点吗）? A B Δh 我们可以选取A、B两点，比较它们的机械能EA和EB。若以点B为0 势能点，则有： EKA＋mgΔh＝EKB

v x = vA(2t) + a(2t)2 x vAC = = vA + at vB = vA + at vB = vAC 问题3 如何测量物体的瞬时速度? x = vA(2t) + a(2t)2 1 2 — v t vA t 2t vB vC vAC = = vA + at x 2t — vB = vA + at vB = vAC 做匀变速运动的纸带上某点的瞬时速度，等于相邻两点间的平均速度。

思考 速度能不能用 v = 2gh 或 v = gt 计算？ 这种方法是根据机械能守恒定律得到的，而我们的目的就是验证机械能守恒定律，所以不能用。 速度能不能用 v = 2gh 或 v = gt 计算？ 这种方法认为加速度为g ，由于各种摩擦阻力不可避免，所以实际加速度必将小于g，这样将得到机械能增加的结论，有阻力作用机械能应该是减少的，故这种方法也不能用。

注意事项 1、安装打点计时器时，必须使两纸带限位孔在同一竖直线上，以减小摩擦阻力。 2、应选用质量和密度较大的重物，增大重力可可使阻力的影响相对减小，增大密度可以减小体积，可使空气阻力减小。 3、选用纸带时应尽量挑选第一、二点间距接近2mm的点迹清晰且各点呈一条直线的纸带。 4、实验用的纸带一般小于1m ，从起始点开始大约能打出20 个点左右。末位置的点可选择倒数第一个点或倒数第二个点，从这一个点向前数4～6 个点当初位置的点，可以减小这两个点的瞬时速度以及两点之间距离（高度h）测量的误差。

误差分析 1、偶然误差： 测量长度时会带来误差 2、系统误差： 实验中重物和纸带下落过程中要克服阻力（主要是打点计时器的阻力）做功，故动能的增加量ΔEK 必定稍小于势能的减少量ΔEP 。

数据记录 测量点n 1 2 3 4 5 6 高度hn /m 速度vn /m/s 势能EP /J 动能EK /J 可不可以用图象处理数据?

图象法处理数据 gh = v 2 1 2 h v 2 1 2 为什么图象通过原点？ 该图象的斜率表示什么？

点评：机械能是否守恒与物体的运动状态无关 随堂练习 多项 下列几种情况中，机械能一定守恒的是： A.做匀速直线（F合=0）运动的物体 B.水平抛出的物体（不计空气阻力） C.固定光滑曲面上运动的物体，如图所示 D.物体以0.8g的加速度竖直向上做匀减速运动 BC 点评：机械能是否守恒与物体的运动状态无关

下列关于物体机械能守恒的说法中，正确的是： 1.考查守恒条件理解 单项 下列关于物体机械能守恒的说法中，正确的是： A.做匀速直线运动的物体机械能一定守恒 B.合外力对物体不做功，物体的机械能一定守恒 C.物体只发生动能与势能的相互转化时，物体的机械能守恒 D.运动的物体，若受合外力为零，则其机械能一定守恒 E.做匀变速运动的物体的机械能不可能守恒 C 点评：机械能是否守恒与物体的运动状态无关

D 3.如图，一子弹以水平速度射入木块并留在其中，再与木块一起共同摆到最大高度的过程中，下列说法正确的是 A、子弹的机械能守恒。 B、木块的机械能守恒。 C、子弹和木块的总机械能守恒。 D、以上说法都不对 D 1、子弹射中木块的过程机械能不守恒 2、整体从最低位置摆到最高位置的过程机械能守恒

应用：课本例题

把一个小球用细绳悬挂起来，就成为一个摆，摆长为l，最大偏角为θ。小球运动到最低位置时的速度是多大？ O B A θ l G FT 课本例题 把一个小球用细绳悬挂起来，就成为一个摆，摆长为l，最大偏角为θ。小球运动到最低位置时的速度是多大？ 小结 应用机械能守恒定律解题，只需考虑过程的初、末状态，不必考虑两个状态间过程的细节，这是它的优点。

ΔE减=ΔE增 mgh2+mv22/2=mgh1+mv12/2 知识回顾 机械能（E=EK+EP）守恒定律： （1）内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，物体的动能和势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。 （2）表达式：EK2+EP2=EK1+EP1 ΔE减=ΔE增 mgh2+mv22/2=mgh1+mv12/2 （3）条件：只有重力、弹力做功

(3)判定各个力是否做功，并分析是否符合机械能守恒的条件 小结：应用机械能守恒定律的解题步骤 (1)确定研究对象 (2)对研究对象进行正确的受力分析 (3)判定各个力是否做功，并分析是否符合机械能守恒的条件 (4)视解题方便选取零势能参考平面，并确定研究对象在始、末状态时的机械能。 (5)根据机械能守恒定律列出方程，或再辅之以其他方程，进行求解。