CAI课件 对数函数 设计者：黄剑 2001.11

复习 一般的,函数 y = ax ( a ＞ 0, 且 a ≠ 1 ) 叫做指数函数,其中x是自变量.函数的定义域是 R. 图 象 性 质 图 象 性 质 a > 1 0 < a < 1 y x y=1 (0,1) y=ax (a>1) y x (0,1) y=1 y=ax (0<a<1) 定 义 域 : R 值 域 : ( 0 , + ) 8 过 点 ( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 . 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数

问题 解 指数式和对数式的互化： 将 ab＝ N化成对数式,会得到 logaN ＝ b 求指数函数 y ＝ ax ( a > 0 ,且 a ≠ 1 )的反函数 问题 解 从 y ＝ ax 可以解得：x ＝ logay 因此指数函数 y ＝ ax 的反函数是 y＝logax ( a > 0 ,且 a ≠ 1 ) 又因为 y ＝ ax 的值域为（0，＋∞） 所以 y＝logax ( a > 0 ,且 a ≠ 1 ) 的定义域为（0，＋∞）

函数 y = loga x (a＞0,且a≠ 1 )叫做对数函数， 函数 y = logax (a＞0,且a≠1)是指数函数y = ax的反函数 结论 函数 y = loga x (a＞0,且a≠ 1 )叫做对数函数， 其中 x是自变量，函数的定义域是（ 0 , +∞） 对数函数和指数函数互为反函数

问题:作出函数 y ＝ log 2 x 和函数 y ＝log x的图像. 的反函数为 y =( ) x y= log x y＝ 2x 的反函数为 y＝log2x x y 1 2 3 4 5 6 7 8 8 7 6 5 4 3 2 1 -3 -2 -1 -1 -2 -3 y＝ 2x y =( ) x x 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 -3 -2 -1 -1 -2 -3 y y＝x y＝x y＝log2x y= log x 分析:互为反函数的两个函数图像关于直线y＝x对称

两个对数函数 的图象特征 和性质的分析 y = log2x y ㈠ x 1 ㈡ y = log x 图象特征 函数性质 图像都在 y 轴右侧 x 1 ㈡ y = log x 图象特征 函数性质 图像都在 y 轴右侧 定义域是( 0,＋∞） 图像都经过 (1,0) 点 1 的对数是 0 当底数a＞1时,x＞1 , 则logax＞0 0＜x＜1 ,则 logax＜0 当底数0＜a＜1时,x＞1 , 则logax＜0 0＜x＜1 ,则logax＞0 图像㈠在(1,0)点右边的 纵坐标都大于0,在(1,0)点 左边的纵坐标都小于0; 图像㈡则正好相反 自左向右看, 图像㈠逐渐上升 图像㈡逐渐下降 当a>1时,y=logax在(0,+∞)是增函数 当0<a<1时,y=logax在(0,+∞)是减函数

对数函数的图象和性质 讲解 a ＞ 1 0 ＜ a ＜ 1 图 象 性 质 y x x＝1 y=logax (a＞1) (1,0) 图 象 性 质 a ＞ 1 0 ＜ a ＜ 1 y x x＝1 y=logax (a＞1) (1,0) (1,0) y x y=logax (0＜a＜1) 对数函数的图象和性质 定义域 : ( 0 ,+∞) 值 域 : R 过点 ( 1 , 0 ) , 即当 x ＝1时, y＝0 在 ( 0 ,+∞)上 是增函数 在 ( 0 ,+∞)上 是减函数

例题 例1 比较下列各组数中两个值的大小： ⑵ log 0.31.8 , log 0.32.7 例1 比较下列各组数中两个值的大小： ⑴ log 23.4 , log 28.5 　　⑵ log 0.31.8 , log 0.32.7 　　⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a＞0 , a≠1 ) 例题 解　⑴考察对数函数 y = log 2x， 因为它的底数2＞1, 所以它在(0,+∞)上是增函数, 于是log 23.4＜log 28.5 ⑵考察对数函数 y = log 0.3 x， 因为它的底数为0.3, 即0＜0.3＜1,所以它在(0,+∞)上是减函数,于是log 0.31.8＞log 0.32.7

⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a＞0 , a≠1 ) 例题 对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1.而已知条件中并未指出底数a与1哪个大,因此需要对底数a进行讨论: 当a＞1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是增函数,于是log a5.1＜log a5.9 当0＜a＜1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是减函数,于是log a5.1＞log a5.9 注:例1是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小的, 对底数与1的大小关系未明确指出时,要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小.

比较下列各题中两个值的大小 ⑴ log106 log108 ⑵ log0.56 log0.54 ＜ 练习 ＜ ＜ ＞ ＞

例题 例2 比较下列各组中两个值的大小: ⑴log 67 ,log 7 6 ; ⑵log 3π ,log 2 0.8 例2 比较下列各组中两个值的大小: ⑴log 67 ,log 7 6 ; ⑵log 3π ,log 2 0.8 例题 提示 : log aa＝1 解: ⑴∵log67＞log66＝1 　　　 log76＜log77＝1 　 ∴log67＞log76 提示: log a1＝0 ⑵∵log3π＞log31＝0 log20.8＜log21＝0 ∴ log3π＞log20.8 注：例2是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小。 当不能直接进行比较时,可在两个对数中间插入一 个已知数(如1或0等)，间接比较上述两个对数的大小

例题 例3、求下列函数的定义域 (1) y=loga(x2-3x+2) 解 (1) ∵ x2-3x+2>0 (2)依题意，可知 ∴-2<x<-1或1<x<3 ∴函数的定义域是 {x| -2<x<-1或1<x<3}

小结目录 对数函数的定义 对数函数的图象和性质 比较两个对数值的大小

对数函数定义 小结 函数 y = loga x (a＞0,且a≠ 1 )叫做对数函数.其中 x是自变量,函数的定义域是（ 0 , +∞）

两个对数函数 的图象特征 和性质的分析 y = log2x y ㈠ x 1 ㈡ y = log x 图象特征 函数性质 图像都在 y 轴右侧 x 1 ㈡ y = log x 图象特征 函数性质 图像都在 y 轴右侧 定义域是( 0,＋∞） 图像都经过 (1,0) 点 1 的对数是 0 当底数a＞1时,x＞1 , 则logax＞0 0＜x＜1 ,则 logax＜0 当底数0＜a＜1时,x＞1 , 则logax＜0 0＜x＜1 ,则logax＞0 图像㈠在(1,0)点右边的 纵坐标都大于0,在(1,0)点 左边的纵坐标都小于0; 图像㈡则正好相反 自左向右看, 图像㈠逐渐上升 图像㈡逐渐下降 当a>1时,y=logax在(0,+∞)是增函数 当0<a<1时,y=logax在(0,+∞)是减函数

比较两个对数值的大小 小结 ㈠ 若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断. ㈡ 若底数为同一字母,则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论. ㈢ 若底数、真数都不相同,则常借助1、0、－1等中间量进行比较　

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