数学物理方法 傅立叶变换

傅立叶变换 傅立叶级数 傅立叶变换 狄拉克函数 本章小结

傅立叶级数 三角级数 定义 基本函数族 由周期为2π的正弦和余弦函数的线性组合而成的无穷级数 组成：1，cos(nx)，sin(nx) 性质：任意两个在一个周期上的积分等于0，称为正交性；

傅立叶级数 傅立叶展开 傅立叶展开定理： 狄利克雷收敛定理 周期为2π的函数f(x) 可以展开为三角级数， 展开式系数为 收敛条件 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点； 在一个周期内至多只有有限个极值点。 收敛结果 当x是连续点时，级数收敛于该点的函数值； 当x是间断点时，级数收敛于该点左右极限的平均值。

傅立叶级数 展开举例 对称函数 典型周期函数(周期为2π) 对奇函数： 对偶函数： 函数 展开式 sgn(x) (4/π) (sin x + sin3x/3 + sin5x/5 +) x 2 (sin x  sin2x/2 + sin3x/3  sin4x/4 + sin5x/5 +) |x| π/2  (4/π)(cos x + cos3x/32 + cos5x/52 +  )

傅立叶级数 傅立叶展开的意义： 理论意义：把复杂的周期函数用简单的三角级数表示； 应用意义：用三角函数之和近似表示复杂的周期函数。 例如：对称方波的傅立叶展开

傅立叶级数 重要推广 推广1： 问题：把周期为T=2L的函数f(t)的展开： 方法：对基本公式作变换x→πt/L，

傅立叶级数 推广2 问题：把定义在 [-L, L] 上的函数 f(t)展开； 方法：先把它延拓为周期函数(即把它当成是一个周期 再按推广1展开； 注意：所得到的级数仅在原定义范围中与f(t)一致。 延拓前 延拓后

傅立叶级数 推广3 问题：把定义在 [0, L] 上的函数 f(x)展开； 方法：先把它延拓为[-L, L]上的奇函数或偶函数， 再按推广2把它延拓为周期函数， 最后按推广1展开； 注意：所得到的级数仅在原定义范围中与f(x)一致。 公式：

傅立叶级数 展开的复数形式 展开公式： 基本函数族： 正交性： 展开系数：

傅里叶生平 1768年生于法国 1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数的级数表示” 1822年发表“热的分析理论”，首次提出“任何非周期信号都可用正弦函数的积分表示”

傅立叶变换 非周期函数的傅立叶展开 问题： 思路： 实施： 困难 把定义在（－∞，∞）中的非周期函数 f (x)展开； 把该函数定义在（－L，L）中的部分展开，再令L→∞； 实施： 展开公式 展开系数： 困难 展开系数 cn 为无穷小； 幂指数 nx/L 不确定。

傅立叶变换 解决方法： 公式的新形式： 取极限： 把 nπ/L 作为新变量，即定义ωn = nπ/L ； 把 cnL/π作为新的展开系数，即定义F(ωn)=cnL/π. 公式的新形式： 展开公式： 展开系数： 取极限： 傅立叶变换： 傅立叶积分：

傅立叶变换 例题1 矩形函数的定义为 求矩形脉冲 x (t) = rect(t/2T1)的傅立叶变换。 解：

傅立叶变换 例题2 将矩形脉冲 f (t) = h rect(t/2T)展开为傅立叶积分。 解： 先求出 f (t) 的傅立叶变换 代入傅立叶积分公式，得

傅立叶变换 例题3 求对称指数函数f(t)的傅立叶变换

傅立叶变换 傅立叶变换的意义 数学意义 应用意义 物理意义 物理实现 从一个函数空间(集合)到另一个函数空间(集合)的映射； f(x)称为变换的原函数(相当于自变量)，F(ω)称为象函数。 应用意义 把任意函数分解为简单周期函数之和，F(ω)的自变量为频率，函数值为对应的振幅。 物理意义 把一般运动分解为简谐运动的叠加； 把一般电磁波(光)分解为单色电磁波(光)的叠加。 物理实现 分解方法：棱镜光谱仪、光栅光谱仪； 记录方式：(用照相底版)摄谱仪、(用光电探测器)光度计。 相当于单调函数，可逆。

傅立叶变换 傅立叶变换的性质 一般假定 奇偶虚实性 线性性质 分析性质 f(x) → F(ω)， g(x) → G(ω) f(x)为偶函数，F(ω)=∫f(x)cos(ωx)dx/(2π)为实函数； f(x)为奇函数，F(ω)=-i∫f(x)sin(ωx)dx/(2π)为虚函数 线性性质 k f(x) → k F(ω)； f(x)+g(x) → F(ω)+ G(ω) 分析性质 f ’(x) → iωF(ω)；

傅立叶变换 位移性质 相似性质 卷积性质 对称性质 f(x-a) → exp(-iωa)F(ω) ； exp(iφx)f(x) → F(ω-φ) 相似性质 f(ax) → F(ω/a)/a； f(x/b)/b → F(bω) 。 卷积性质 f(x)*g(x)≡∫f(ξ)g(x-ξ)dξ → 2πF(ω)G(ω)； f(x)g(x) → F(ω)*G(ω)≡∫ F(φ)G(ω-φ)dφ 对称性质 正变换与逆变换具有某种对称性； 适当调整定义中的系数后，可以使对称性更加明显。

傅立叶变换 应用举例

傅立叶变换 验证

傅立叶变换 推广 推广1 问题：把定义在 [0, ∞) 上的函数 f(t)展开； 方法：先把它延拓为(-∞,∞)上的奇函数或偶函数， 再按公式进行傅立叶变换； 注意： 偶函数满足条件f’(0)=0，形式为 f(|t|)； 奇函数满足条件f(0)=0，形式为 sgn(t)f(|t|). 结果：所得到的傅立叶积分仅在原定义范围中与f(t)一致。

傅立叶变换 推广2 问题：多元函数的傅立叶变换 公式：

傅立叶变换 推广3 傅立叶变换的收敛条件:|F(ω)|≤∫|f(x)|dx<∞ 问题：最简单的函数如多项式不满足傅立叶变换的条件； 方法：对傅立叶变换中的参数ω进行延拓， 定义 p =σ+iω，其实部为正数； 同时把变换的区域改成右半轴。

狄拉克函数 概念 问题 思路 一般定义 质点的密度函数如何表示？ 质点是物体在尺度趋于零时的理想模型； 一个位于原点的单位质点，可以看成一个线密度为h rect(hx)的物体在宽度d=1/h趋向零时的极限； 极限密度为δ(x)=lim h→∞ h rect(hx) 一般定义

狄拉克函数

狄拉克函数 性质 奇偶性质 分析性质 选择性质 变换性质 ∫f(x)δ(x-a)dx=f(a)，∫f ’(x)δ(x-a)dx=-f’(a) δ(-x)=δ(x)， δ’(-x)=δ’(x) 分析性质 选择性质 ∫f(x)δ(x-a)dx=f(a)，∫f ’(x)δ(x-a)dx=-f’(a) 变换性质

狄拉克函数 狄拉克函数的应用 描述功能 分解功能 位于x=a处质量为m的质点，质量线密度为mδ(x-a)； 位于x=a处电量为q的点电荷，电荷线密度为qδ(x-a)； 位于t=a时刻强度为I的脉冲信号，信号函数为Iδ(t-a)； 分解功能 质量密度为ρ(x)的物体，可分解为质点的空间叠加 ρ(x) = ∫ρ(a)δ(a-x)da 电荷密度为ρ(x)的带电体，可分解为点电荷的空间叠加 信号函数为ρ(t)的信号，可分解为脉冲信号的时间叠加 ρ(t) = ∫ρ(a)δ(a-t)da

狄拉克函数 计算功能 例题1 例题2 计算函数在间断点的导数； 计算特别函数的傅立叶变换。 计算f(x) = sgn(x)的导函数。 解： sgn(x) = 2 H(x) - 1 sgn’(x) = 2 H’(x) = 2δ(x) 例题2 计算 f(x) = |x| 的傅立叶变换。 解：

狄拉克函数 狄拉克函数的推广 问题： 三维狄拉克函数： 应用 三维空间中的质点的密度、点电荷的电荷密度。 δ(r)=δ(x,y,z)=δ(x)δ(y)δ(z) 应用 位于r=a处质量为m的质点，质量体密度为mδ(r-a)； 位于r=a处电量为q的点电荷，电荷体密度为qδ(r-a)；

本章小结 傅立叶级数 傅立叶变换 狄拉克函数 周期函数的三角展开公式； 基本三角函数的性质。 非周期函数的三角展开公式； 傅立叶变换的性质。 狄拉克函数概念； 狄拉克函数性质； 狄拉克函数功能。