高等代数课件 陇南师范高等专科学校数学系 2008年制作

第五章 向量空间 5.1 向量空间的定义 5.2 向量的线性相关性 5.3 基维数和坐标 5.4 子空间 5.5 向量空间的同构

一、向量空间概念的引入 二、向量空间的定义 三、向量空间的例子 四、向量空间的基本性质 §5.1 向量空间的定义 一、向量空间概念的引入 二、向量空间的定义 三、向量空间的例子 四、向量空间的基本性质

一、向量空间概念的引入 b，有a+bC, 对任意的kR ，kaC. 并且复数集合C对数的加 法和乘法运算, 满足下面的运算律： 例1 设C是复数集合，R是实数域，对C中任意两个数a和 b，有a+bC, 对任意的kR ，kaC. 并且复数集合C对数的加 法和乘法运算, 满足下面的运算律： 1) a+b＝b+a； 2) (a+b)+c＝a+(b+c)； 3) 0+a＝a； 4) 对任意aC ，存在bC ，使a+b＝0； 5) k(a+b)＝ka+kb； 6) (k+l)a＝ka+la； 7) (kl)a＝k(la)； 8) 1a＝a. 这里a，b，c是任意复数，k，l是任意实数。

对V2中任意向量X和Y, 用平行四边形法则，有X+YV2. 对 任意实数k以及V2中任一向量X，有kXV2. 并且对任意的X, Y, 例2 在平面上建立直角坐标系后，把从原点出发的一切向 量组成的集合记为V2. 对V2中任意向量X和Y, 用平行四边形法则，有X+YV2. 对 任意实数k以及V2中任一向量X，有kXV2. 并且对任意的X, Y, ZV2，a, bR，有 1) X+Y＝Y+X； 2) (X+Y)+Z＝X+(Y+Z)； 3) 0+X＝X，其中0是V2中的零向量； 4) 对任意XV2，存在Y，使X+Y＝0，其中Y是X的负向量； 5) a(X+Y)＝aX+aY； 6) (a+b)X＝aX+bX； 7) (ab)X＝a(bX)； 8) 1X＝X.

例3 设Fn [x]是次数不超过n的系数在F中的多项式连同零多项式组成的集合 例3 设Fn [x]是次数不超过n的系数在F中的多项式连同零多项式组成的集合. 对任意两个多项式f(x), g(x)Fn [x] ，f(x)+g(x)Fn [x]. 又对F中的任意数k, kf(x)Fn [x]. 并且，对Fn [x]中任意多项式f (x), g(x), h (x)及F中任意数a, b，有 1) f (x)+g(x)＝g(x)+f (x)； 2) [f (x)+g(x)]+h(x)＝f (x)+[g(x)+h(x)]； 3) 0+f (x)＝f (x), 0是Fn [x]中的零多项式； 4) 对任意f (x)  Fn [x]，存在g(x),使f (x)+g(x)＝0； 5) a· (f (x)+g(x))＝a ·f (x) +a·g(x)； 6) (a+b) ·f (x)＝a·f (x)+b·f(x)； 7) (ab) ·f (x)＝a· (b·f(x))； 8) 1·f (x) ＝f (x).

A,BMmn(F) ，A+B  Mmn(F), 对任意的k F，kA  Mmn(F). 例4 设Mmn(F)是数域F上全体mn矩阵的集合，对任意的 A,BMmn(F) ，A+B  Mmn(F), 对任意的k F，kA  Mmn(F). 并且对任意的mXn矩阵A,B,C及任意的F中的数a，b，有 1) A+B=B+A ； 2)(A+B)+C=A+(B+C) ； 3) 0+A=A ； 4) 对任意的A  Mmn(F)，存在B，使得A+B=0 ； 5) a(A+B)=aA+aB ； 6) (a+b)A=aA+bA ； 7) (ab)A=a(bA) ； 8) 1A=A .

上面例子中涉及的数学对象不同，但它们有共同点，即都有一个非空集合，一个数域，有两种运算，并且这两种运算满足8条运算律。 1)  +=  +  ； 2) ( +)+  ＝  + (+ ) 3) 0+  =  4) 对任意 ，存在 ，使得  +  = 0， 称为的负元素； 5) a( +) = a +a ； 6) (a+b) =a +b ； 7) a (b)=(ab) ； 8) 1 = . 例 1： C, R a+b，ka 例 2 ： V2 ， R X+Y ，kX 例 3： Fn[x] ，F f(x)+g(x) , kf(x) 例 4： Mmn(F), F A+B，kA —————————————------——-

二、向量空间的定义 定义1 设V是一个非空集合，F是一个数域. 我们 把V中的元素用小写希腊字母, ，，…来表示， 把F中的元素用a，b，c，…来表示. 如果下列条件 被满足，就称V是F上的一个向量空间： 1 V有一种加法运算. 即对V中任意两个元素和 ，在V中有一个唯一确定的元素与之对应，称为 与的和，记为 . 2 有一个F中元素与V中元素的乘法运算. 即对于 F中的任意数a和V中的任意元素，在V中有一个唯 一确定的元素与之对应，称为a和的数量积，记为 a  .

3 上述加法和数量乘法满足下列运算规律： 1)  =   ； 2) ( )  ＝  ( ) ； 3) 在V中存在一个元素0，使得对于任意V，都有 0  =  ,（具有这个性质的元素0称为V的零元素）; 4) 对于V中的每一个元素，存在V中的元素，使得   ＝0,（具有这个性质的元素叫做的负元素）; 5) a ( ) = a  a  ； 6) (a+b)  =a  b  ； 7) (ab)  =a (b ) ； 8) 1  = . 这里，，是V中的任意元素，a，b是F中的任意数.

三、向量空间的例子 由例1、例2、例3、例4及向量空间的定义知，复数域C作成实数域R上的向量空间；V2作成实数域R上的向量空间； Fn[x] 作成数域F上的向量空间； Mmn (F)作成数域F上的向量空间。 例5 令C [a, b]为闭区间[a, b]上所有实连 续函数的集合，R为实数域。则C [a, b]对函 数的加法和实数与函数的乘法运算作成实数 域R上的向量空间.

例6 设V为正实数集，R为实数域，在V中 规定加法和数量乘法运算如下：   = （即与的积） k  = k （即的k次幂） 其中,  V, kR. 对任意的 ， V , kR，有  =  V,   =  k V.

2) ( )  =()  =() =( )= ( )= (  ) 并且，对任意的 , , V，k,m R，有 1)   = = =  2) ( )  =()  =() =( )= ( )= (  ) 3) I  =1 =  ，1是V中的零向量； 4) 对任意的 V，存在 -1 V，使得  -1 =  -1 =1，  -1是的负向量. 5) k (  )=k ()=()k= k k=k  k  ； 6) (k+m)  =  k+m =km=k  m  7) (km)  =km=(m)k =k m=k (m ) 8) 1  =  1 =  . 所以，v对我们定义的加法和数乘运算作成数域R上的向量空间.

例如，f (x)＝xn－1, g(x)＝－xn+x，则f (x)＋ g(x) =x-1，不再是n次多项式. 例7 令V是次数等于n的全体实系数多项 式组成的集合. 因为两个n次多项式的和未必是n次多项式. 例如，f (x)＝xn－1, g(x)＝－xn+x，则f (x)＋ g(x) =x-1，不再是n次多项式. 所以在多项式的加法及数与多项式的乘法 运算下，V不是实数域R上的向量空间.

例9 实数域中所有收敛于0的无穷序列构成实数域上的一个向量空间. 二. 性质 例8 任意数域F总可以看成它自身上的向量空间. 例9 实数域中所有收敛于0的无穷序列构成实数域上的一个向量空间. 二. 性质 命题5.1.1 在一个向量空间V中, 零向量是唯一的; 对于V中的每一向量, 的负向量是由唯一确定的. 的负向量记作 . 命题5.1.2 对于任意向量和任意数a都有: 0=0, a0=0. a()=(a) = a. a=0a=0 或  =0.

三. 约定 设V是数域F上的一个向量空间. 如果a是F中的一个数, 是V中的一个向量, 我们约定 a=a. 设1, 2,…, n,是V中的n个向量, 以它们为元素写成一个1n矩阵(1, 2,…, n). 再设A是F上的一个nm阶矩阵. 则我们可以像普通矩阵的乘法一样, 将(1, 2,…, n)和A相乘, 但是 (1, 2,…, n)A的结果是一个以向量为元素的矩阵, 即: (1, 2,…, n)A=(1,  2,…, m) 其中: 可以证明: (1, 2,…, n)(AB)=((1, 2,…, n)A)B.

5.2 向量的线性相关性 定义1 设1, 2,…, r是向量空间V中的r个向量, 对于数域F中的任意r个数a1, a2,…, ar, 我们把a11+a22+…+ arr称为1, 2,…, r的一个线性组合. 如果向量等于向量1, 2,…, r的某个线性组合, 则称可以由1, 2,…, r线性表示. 定义2 设1, 2,…, r是向量空间V中的r个向量, 如果存在数域F中的r个不全为零的数a1, a2,…, ar, 使得a11+a22+…+ arr=0, 则称1, 2,…, r线性相关. 否则称1, 2,…, r线性无关. 例1 F3中的向量1=(1,2,3), 2=(2,4,6), 3=(3,5,4)线性相关. 例2 判断F3中的向量1=(1,2,3), 2=(2,1,0), 3=(1,7,9)是否线性相关. 例3 在向量空间F[x]中, 对任意非负整数n, 向量1, x, …, xn都线性无关.

命题5.2.1 向量组{1, 2,…, r}中每一向量i都可由这一组向量线性表示. 命题5.2.2 向如果向量可由1, 2,…, r线性表示, 而每一i又可由1, 2,…, s线性表示, 那么可由1, 2,…, s线性表示. 命题5.2.3 如果向量组{1, 2,…, r}线性无关, 则它的任意一部分也线性无关. 等价地,如果向量组{1, 2,…, r}有一部分线性相关, 则整个向量组{1, 2,…, r}线性相关. 命题5.2.4 如果向量组{1, 2,…, r}线性无关,而向量组{1, 2,…, r,}线性相关, 则一定可以由{1, 2,…, r}线性表示. 定理5.2.5 向量1, 2,…, r(r>1)线性相关的充要条件是其中存在一个向量是其余向量的线性组合. 定义 3 设{1, 2,…, r}和{1, 2,…, s}是两个向量组. 如果每一个i都可1, 2,…, s由线性表示, 每一个i也都可由1, 2,…, r线性表示, 则称这两个向量组等价. 向量组的等价具有自反性, 对称性和传递性.

例4 向量组 1=(1, 2, 3), 2=(1, 0, 2) 与 1=(3, 4, 8), 2=(2, 2, 5), 3=(0, 2, 1) 等价. 定理5.2.6(替换定理) 设向量组{1, 2,…, r}线性无关, 并且每一i都可由向量组{1, 2,…, s}线性表示. 那么必有rs, 并且必要时对{1, 2,…, s}重新编号, 使得用1, 2,…, r替换1, 2,…, r后所得向量组{1, 2,…, r, r+1, …, s}与{1, 2,…, s}等价. 推论5.2.7 两个等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量. 定义 4 向量组{1, 2,…, n}一个部分向量组{ }称为一个极大线性无关部分组(简称极大无关组), 如果 (i) 线性无关; (ii) 每一都可以由线性 表示. 推论5.2.8 两个等价的向量组极大无关组含有相同个数的向量. 特别地, 一个向量组的任意两个极大无关组含有相同个数的向量.

5.3 基、维数、坐标 一. 基 二. 维数 三. 关于基和维数的几个结论 四. 坐标 五. 过渡矩阵及向量在不同基下坐标的关系 一. 基 二. 维数 三. 关于基和维数的几个结论 四. 坐标 五. 过渡矩阵及向量在不同基下坐标的关系 六. 过渡矩阵的性质

一. 基的概念 定义1 设V是数域F上的一个向量空间, V中满足下列条件的向量组{1, 2,…, n}叫做V的一个基. (i) 1, 2,…, n线性无关; (ii) V的每一个向量都可以由1, 2,…, n线性表示. 例3 由例1已知{1, 2,…, n}是Fn的一组生成元. 它也是线性无关的. 因此{1, 2,…, n}是Fn的一个基. 称其为Fn的标准基. 例4 在空间V2中, 任意两个不共线的向量1, 2都构成它的一个基. 在空间V3中, 任意三个不共面的向量1,2 ,3都构成它的一 个基. 例5 令M是数域F上的一切mn矩阵所成的向量空间. Eij表示一 个mn矩阵, 除第i行第j列的的元素是1外它的其余元素都是0. 则所有这些Eij(i=1,2,…,m, j=1,2,..n, 共 mn 个)是M的一个基.

二. 维数的定义 如果一个向量空间由有限个向量生成, 它的基可能不只一个. 但是由于所有的基都是等价的, 且每一基都是线性无关的. 因此由推论6.3.7可知一个向量空间的任意两个基所含的向量的个数都相等. 因此我们可以有如下定义 定义2 设V是一个由有限个向量生成的非零向量空间,它的基所含向量的个数叫做V的维数. 零空间的维数定义为0. 如果一个向量空间不能由有限个向量生成, 则称这个向量空间是无限维的. 向量空间V的基记作dimV. 例6 F[x]作为F上的向量空间不是有限生成的, 因而是无限维的.

dim(W1+W2)=dimW1+dimW2dim(W1W2). 三. 关于基和维数的几个结论 定理5.3.2 如果{1, 2,…, n}是向量空间V的一个基, 那么V的每一个向量都可以唯一地表示成1, 2,…, n的线性组合. 定理5.3.3 设V是一个n维向量空间且r>n, 则V中任意r个向量都是线性相关的. 定理5.3.4 设1, 2,…, r是n维向量空间V中的一组线性无关的向量, 那么总可以添加nr个向量r+1,…, n使得{1, 2,…, r, r+1, …, n }构成V的一个基. 特别地, n维向量空间V中任意n个线性无关的向量都构成V的一个基. 定理5.3.5 如果W1和W2是向量空间V的两个有限维子空间, 那么 W1+W2也是有限维的, 且 dim(W1+W2)=dimW1+dimW2dim(W1W2).

四. 坐标 设V是数域F上的n(n >0)维向量空间, {1, 2,…, n}是V的一个基, 则V中的任一向量都可以唯一地表示成 =x11+x22+…+xnn. 因此取定V的一个基{1, 2,…, n}后, V中每一向量都有唯一的n元数列(x1, x2, …, xn)与它对应. 数xi叫做向量关于基{1, 2,…, n}的第i个坐标. (x1, x2, …, xn)叫做向量关于基{1, 2,…, n}的坐标. 例1 取定V3中三个不共面的向量, 那么V3中的任一向量都可以唯一地表示成=x11+x22+x33. 关于基{1, 2,3}的坐标就是(x1, x2, x3). 例2 Fn的向量=(a1, a2, …, an)关于标准基{1, 2,…, n}的坐标就是(a1, a2, …, an). 定理5.3.8 设V是数域F上的n(n >0)维向量空间, {1, 2,…, n}是V的一个基, , V, 它们关于基{1, 2,…, n}的坐标分别是(x1, x2, …, xn)和(y1, y2, …, yn). 那么+关于这个基的坐标就是(x1+y1, x2+y2, …, xn+yn). 再设aF, 则a关于这的基的坐标是(ax1, ax2, …, axn).

五. 过渡矩阵及向量在不同基下坐标的关系 设{1, 2,…, n}和{1, 2,…, n}是n(n >0)维向量空间V的两个基. 那么j可以由1, 2,…, n线性表示: 其中(a1j, a2j,…, anj )就是关于基{1, 2,…, n}的坐标. 以这n个坐标为列作一个矩阵 矩阵T叫做由基{1, 2,…, n}到基{1, 2,…, n}的过渡矩阵. 利用第一节中的约定, 我们知道这两个基之间的关系是: (1, 2,…, n)=(1, 2,…, n)T.

设V, 它关于基{1, 2,…, n}和{1, 2,…, n}的坐标分别是(x1, x2, …, xn)和(y1, y2, …, yn). 则有 比较上面两个等式可得 定理5.3.9 设V, 它关于基{1, 2,…, n}和基{1, 2,…, n}的坐标分别是(x1, x2, …, xn)和(y1, y2, …, yn). 从基{1, 2,…, n}到基 {1, 2,…, n}的过渡矩阵是T, 则有

例3 设1, 2是V2的两个正交单位向量, 则它构成V2的一个基 例3 设1, 2是V2的两个正交单位向量, 则它构成V2的一个基. 1, 2分别是由1, 2旋转角得到的两个向量, 则它们也构成V2的一个基.我们有 因此从{1, 2}到{1, 2}的过渡矩阵是 设的一个向量关于{1, 2}和{1, 2}的 坐标分别是{x1, x2}到{x1, x2}, 则由定 理5.5.2得: 即 这就是解析几何中旋转坐标轴的坐标变换公式. 2 2 1  O 1

六. 过渡矩阵的性质 设从基{1, 2,…, n}到基{1, 2,…, n}的过渡矩阵是A,从基{1, 2,…, n}到基{1,  2,…,  n}的过渡矩阵是B, 则从基{1, 2,…, n}到基{1,  2,…,  n}的过渡矩阵是AB. 定理5.3.10 设在n(n >0)维向量空间V中从基{1, 2,…, n}到基{1, 2,…, n}的过渡矩阵是A, 则A是一个可逆矩阵, 并且从基{1, 2,…, n} 到基{1, 2,…, n}的过渡矩阵是A1. 任何一个可逆矩阵都可以作为n(n >0)维向量空间中从一个基到另一个基的过渡矩阵. 例 4 已知R3中的向量 1=(2,1,3), 2=(1,0,1), 3=(2,5,1),证明{1, 2, 3}构成R3的一个基, 并求向量=(4,12,6)关于这个基的坐标. 例 5 已知R3的两个基 {1=(3,1,2), 2=(1, 1,1), 3=(2,3,1)}, {1=(1,1,1), 2=(1,2,3), 3=(2,0,1)}. 求从{1, 2, 3}到{1, 2, 3}的过渡矩阵.

5.4 子空间 封闭性 设V是数域F上的一个向量空间, W是V的一个非空子集. 如果W中任意两个向量的和仍是W中的向量, 则称W对于V的加法是封闭的; 如果F中的任意一个数与W中的任意一个向量的积仍是W 中的一个向量, 则称W对于V的纯量乘法是封闭的. 定理5.4.1 设V是数域F上的一个向量空间, W是V的一个非空子集. 如果W对于V的加法及纯量乘法是封闭的, 那么W本身也是F上的一个向量空间. 定义1 设V是数域F上的一个向量空间, W是V的一个非空子集. 如果W对于V的加法及纯量乘法是封闭的, 则称W是V的一个子空间. 例1 向量空间V是其自身的一个子空间. 仅由零向量构成的集合{0}也V的一个子空间, 称其为零空间. 一个向量空间本身和零空间叫做V的平凡子空间. V的非平凡子空间叫做V的真子空间.

例2 在空间V2中平行于一条固定直线的向量构成V2的一个子空间. 在空间V3中平行于一条固定直线或一个固定平面的向量分别构成V3的子空间. 例3 在Fn中一切形如(a1, a2, …, an1, 0)的向量构成Fn的一个子空间. 例4 F[x]中一切次数不大于给定整数n的多项式连同零多项式一起构成F[x]的一个子空间. 例5 闭区间[a, b]上的所有可微函数的集合构成C[a, b]的一个子空间. 定理5.4.2 向量空间V的一个非空子集W是V的一个子空间, 当且仅当对于a,bF, , W, 都有a+bW. 子空间的交与和 设W1, W2是向量空间V的两个子空间, 则W1 W2及W1+W2={1+2 | 1W1, 2W2}也V的子空间, 分别称为子空间W1 与W2的交与和. 有限个子空间的交仍是子空间,有限个子空间的和仍是子空间.

L(1, x, …, xn)={a0+ a1x+ …+ anxn|aF} 生成元、生成子空间 设V是数域F上的一个向量空间, 1, 2,…, nV. 容易证明, 1,2,…, n 的一切线性组合所成的集合是V的一个子空间. 我们把这个子空间称为由1, 2,…, n生成的子空间, 记作L(1, 2,…, n). 把1, 2,…, n称为这个子空间的一组生成元. 例1 考虑Fn中如下n个向量: i=(0,…,0,1,0,…,0), i=1,2,…,n, i中除第i个元素是1外其余位置的元素都是0. 这n个向量是Fn的一组生成元. 例2 考虑F[x]中, 由多项式1, x, …, xn生成的子空间是: L(1, x, …, xn)={a0+ a1x+ …+ anxn|aF} 这就是F[x]的一切次数不大于n的多项式连同零多项式构成的子空间. 定理5.5.1 {1, 2,…,n}是一组不全为零的向量,{ }是他的一个极大线性无关组, 则 L(1, 2,…,n)=L( ).

余子空间、子空间的直和 定义2 设W1和W2是向量空间V的两个子空间, 如果 (i) W1+W2 =V; (ii) W1W2 ={0}; 则称W2是W1的余子空间, W1是W2的余子空间. 此时也称V是W1与W2的直和, 并记作V=W1W2. 定理5.3.6 设向量空间V是W1与W2的直和, 那么V中每一向量都可以唯一地表示成  =1+ 2, 其中1 W1, 2 W2. 定理5.3.7 n维向量空间V的每一子空间W都有余子空间. 如果W’是W的余子空间, 那么 n=dimV=dimW+dimW’.

5.5 向量空间的同构 定义 1 设V和W是数域F上的两个向量空间. V到W的一个映射f叫做一个同构映射, 如果 5.5 向量空间的同构 定义 1 设V和W是数域F上的两个向量空间. V到W的一个映射f叫做一个同构映射, 如果 (1) f是V到W是的双射; (2) 对于任意, V, f(+)=f()+f(); (3) 对于任意aF, V, f(a)=af(). 如果数域F上的两个向量空间V和W之间可以建立一个同构映射, 则称W与V同构, 数记作 . 定理5.5.1 数域F上的任一n维向量空间都与Fn同构.

f(a11+a22+…+ann)=a1f(1)+a2f(2)+…+anf(n). 定理5.5.2 设V和W是数域F上的两个向量空间, f是V到W的一个同构映射. 那么: (i) f(0)=0. (ii) 对任意V, f()=f(). (iii) 对任意iV,aiV, i=1,2,…,n,都有: f(a11+a22+…+ann)=a1f(1)+a2f(2)+…+anf(n). (iv) 1,2,…,n V线性相关f(1),f(2),…,f(n)W线性相关. (v) f的逆映射f1是W到V的同构映射. 定理5.5.3 数域F上的两个有限维向量空间同构的充要条件是它们有相同的维数.

第六章 线性方程组 6.1 消元解法 6.3 齐次线性方程组解的结构 6.4 一般 线性方程组解结构 6.5 秩与线性相关性 第六章 线性方程组 6.1 消元解法 6.3 齐次线性方程组解的结构 6.4 一般 线性方程组解结构 6.5 秩与线性相关性 6.6 特征向量与矩阵的对角化

6.1 消元解法 一. 线性方程组的初等变换 二. 矩阵及其初等变换 三. 矩阵与线性方程组的解 四. 例题

一. 线性方程组的初等变换 例1.用消元法解线性方程组: 线性方程组的初等变换是指线性方程组的下述三种变换: 1) 交换两个方程的位置 2) 用一个非零数乘某一个方程 3) 用一个数乘一个方程后加到另一个方程 定理6.1.1 初等变换把一方程组变一个与它同解的方程组.

二. 矩阵及其初等变换 1.矩阵 由st个数cij排成的一个s行t列的表 叫做一个s行t列(或st)矩阵. cij叫做这个矩阵的元素. 2. 矩阵的初等变换 矩阵的行(列)初等变换是指对矩阵施行的下列变换之一: 1) 交换矩阵的两行(列); 2) 用一个非零数乘矩阵的某一行(列), 即用一个非零数乘矩阵的某一行(列)的每一元素; 3) 用某一数乘矩阵的某一行(列)后加到另一行(列), 即用某一数乘矩阵的某一行(列)的每一元素后加到另一行(列)的对应元素上.

定理4.1.2 设A是一个m行n列的 可进一步化为: 矩阵: 用行初等变换 和第一种列初等变换可以把A化为以下形式: r行

三. 矩阵与线性方程组的解 1.线性方程组的系数矩阵与增广矩阵 称矩阵 和 分别为方程组 的系数矩阵和增广矩阵.

2.线性方程组的解 由定理4.2.1知, 对方程组 的增广矩阵施行行变换和不涉及最后一列的列变换, 可把该增广矩阵化为如下形式:

而对增广矩阵的行的初等变换就是对其对应的方程组的初等变换, 而不涉及最后一列的第一种列变换无非是交换两个未知数的位置 而对增广矩阵的行的初等变换就是对其对应的方程组的初等变换, 而不涉及最后一列的第一种列变换无非是交换两个未知数的位置. 因此矩阵(2)就是一个与方程组(1)同解的方程组 的增广矩阵. 因此要方程组(1)解只需解方程组(3). 方程组(3)的解有以下两种情形: 情形1. 当 r<m, 且dr+1, dr+2, … , dm不全为零时, 方程组(3)无解, 即方程组(1)无解. 情形2. 当r=m或r<m而dr+1, dr+2, … , dm全为零时, 方程组(3)与

同解. 当r=n时, 方程组(4)有唯一解 当r<n时, 方程组(4)可以写为: 此时, 给未知量 任意指定取值, 它们连同它们代入(5) 后所决定的 将是方程组(4), 即方程组(1)的解. 因此, 这 时, 方程组(1)有无穷多个解. 称(5)为方程组(1)的一般解.

四. 线性方程组有解的条件 考虑线性方程组: 分别用A和 表示它的系数矩阵和增广矩阵, 用1, 2,…, n以及表示增广矩阵的列向量. 如果方程组有解, 则存在数x1, x2,…, xn使 x11+ x22+…+ xnn=. 所以系数矩阵的列空间(的维数)与增广矩阵的列空间(的维数)相同. 即秩A=秩 . 反之, 如果A=秩 ,则1, 2,…, n的一个极大无关组也是1, 2,…, n, 的一个极大无关组. 即可用1, 2,…, n线性表示. 这说明线性方程组有解. 我们又一次得到: 线性方程组有解的充要条件是它的系数矩阵与增广矩阵的秩相同.

线性方程组有解的判别法 定理4.2.2 线性方程组有解的充要条件是它的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩. 定理4.2.2 线性方程组有解的充要条件是它的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩. 定理4.2.2 如果一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩r, 那么当r与这个方程组的未知量个数n相等时, 这个方程组有唯一解, 当r<n时, 方程组有无穷多解.

四. 例题 例2.解方程组 例2.解方程组

6.3 齐次 线性方程组解的结构 一. 线性方程组的公式解 定理4.3.1 设线性方程组 6.3 齐次 线性方程组解的结构 一. 线性方程组的公式解 定理4.3.1 设线性方程组 有解, 它的系数矩阵和增广矩阵的秩都是r0. 那么可以在这个方程组的m个方程中选出r个方程, 使得剩下的 m–r 个方程中的每一个都是这r个方程的结果, 因而解方程组 (1)可以归结为解由这r个方程构成的方程组.

说明: 1) 如果方程组(1)的系数矩阵的秩是r, 则它有一个r阶子式D0, 设D的元素分别来自系数矩阵的第i1, i2, … , ir行, 则方程组(1)中的第 i1, i2, … , ir 个方程就是定理中要找的r个方程. 2) 当r=n时, 线性方程组(1)的公式解由克莱姆法则给出 3) 当r<n时, 不妨设由定理4.3.1找出的r个方程就是方程组(1)的前r个方程, 并进一步把这r方程写为 把方程组(2)中等号右边的项看作常数项, 利用克莱姆法则就可以得出方程组(1)的求解公式.

二. 齐次线性方程组的解 定义 称常数项都等于零的线性方程组为齐次线性方程组. 齐次线性方程组的一般形式为: 定义 称常数项都等于零的线性方程组为齐次线性方程组. 齐次线性方程组的一般形式为: 让所有未知数都等于零, 就得到齐次线性方程组(3)的一个解, 称此解为零解. 如果(3)还有其它解, 则称这些解为(3)的非零解. 齐次线性方程组永远有解, 它至少有一个零解. 因此对于齐次线性方程组, 我们关心的是它有没有非零解. 下面的几个结论给出了齐次线性方程组有非零解的条件.

齐次线性方程组有非零解的条件 定理4.3.2 一个齐次线性方程组有非零解的充要条件是: 它的系数矩阵的秩小于它的未知量的个数. 推论4.3.3 含有n个未知量n个方程的齐次线性方程组有非零解的充要条件是: 它的系数行列式等于零. 推论4.3.4 若在一个齐次线性方程组中, 方程的个数小于未知量的个数, 则这个方程组一定有非零解.

三. 齐次线性方程组的解的结构 设一个齐次线性方程组的系数矩阵是A, 我们可以把它写为: 的形式. 齐次线性方程组的每个解都可看做中Fn的一个 向量, 叫做方程组的解向量. 设 是它的两个解, a, b 是F中的任意两个数, 则: 又因为齐次线性方程组至少有一个零解. 所以n元齐次线性方程组的解向量构成Fn的一个子空间, 叫做该方程组的解空间. 方程组(1)

现在设A的秩是r, 那么经过初等行变换和必要的列交换, 可把A 化为: 的形式. 原方程组就转化为 的 形式. 其中y1, y2 ,…, yn是未知量 x1, x2 ,…, xn的一个重新排列(因做必要的列交换引起). 此方程组的nr个自由未知量是yr+1,…, yn. 依次让它们取值(1,0,…,0), (0,1,0,…,0), …,(0,…,0,1), 则得它的nr个解向量: 显然, 这nr个解向量是线性无关的. 方程组(2)

设(k1, k2,…, kn) 是方程组(2)的任一解, 则它满足方程(2), 即: 由此得: 这说明, 方程组(2)的任一解向量都可以用r+1, r+2,…, n线性表示, 因此{r+1, r+2,…, n}告成方程组(2)的解空间的一个基. 适当交换i中坐标的顺序就得的方程组(1)的解空间的一个基.

由上面的讨论可得: 定理5.7.3 数域F中一个n元齐次线性方程组的所有解构成Fn的一个子空间, 称之为该方程组的解空间. 如果方程组的系数矩阵的秩是r, 那么解空间的维数是nr. 齐次线性方程组的解空间的一个基叫做它的一个基础解系. 例 1 求齐次线性方程组 的一个基础解系.

6.4 一般非齐次线性方程组的解的结构 把非齐次线性方程组(3)的常数项换为零后得到的齐次线性方程组(4)称为方程组(3)的导出齐次方程组. 6.4 一般非齐次线性方程组的解的结构 把非齐次线性方程组(3)的常数项换为零后得到的齐次线性方程组(4)称为方程组(3)的导出齐次方程组. 定理5.7.3 如果方程组(3)有解, 那么方程组(3)的一个解与其导出齐次方程组(4)的任一解的和还是方程组(3)的解. 反之, 方程组(3)的任一解都可写成它的一个固定解与它的导出齐次方程组(4)的某个解的和. 方程组(3) 方程组(4)

第七章 线性变换 7.1 线性变换的定义及性质 7.2 线性变换的运算 7.3 线性变换的矩阵 7.4 不变子空间 第七章 线性变换 7.1 线性变换的定义及性质 7.2 线性变换的运算 7.3 线性变换的矩阵 7.4 不变子空间 7.5 线性变换的本征值和本征向量

7.1 线性变换的定义及性质 假定V和W是数域F上的向量空间. 7.1 线性变换的定义及性质 　　假定V和W是数域F上的向量空间. 　　定义1 设是V到W的一个映射, 如果满足下列条件, 则称是一个从到的线性映射: 　　(i) 对于任意, V, (+)= ()+ (); (ii) 对于任意aF, V, (a)=a(). 可将定义1中条件(i),(ii)换成下面一个条件: 　　(iii) 对任意, V, 任意a, bF, (a+b)=a()+b(). 　　例 1 对于R2中的每一个向量=(x1, x2)定义 ()=(x1, x1x2, x1+x2)R3, 则是一个线性映射. 　　例 2 令H是V3中经过原点的一个平面. 对于V3中的每一个向量, 令()表示在H上的正射影. 则是V3到V3的一个线性映射. 与向量空间同构 的定义比较

　　例 3 令A是数域F上的一们mn矩阵, 对n元列空间Fn中的每一 向量=　　规定: ()=A. 则()是一个m元列向量, 即()Fn. 容 易证明是一个从Fn到Fm的线性映射. 　　例 4 令V和W是数域F上的两个向量空间. 对于V中的每一向量,令W的零向量与它对应. 容易看出这是V到W的一个线性映射, 称之 为零映射. 　　例 5 设V是数域F上的向量空间. 取定F中的一个数k. 对于任意V,令()=k. 则是V到自身的一个线性映射. 称为V的一个位似. 　　例 6 取定数域F中的n个数a1, a2, …, an. 对于Fn中的每一个向量=(x1, x2, …, xn), 定义()=a1x1+a2x2+…+anxnF. 则是从Fn到F的一 个线性映射. 称为F上的一个n元线性函数或Fn上的一个线性型. 　　例 7 F[x]上的求导运算是F[x]到自身的一个线性映射.

　　例 8 对每一f(x)C[a, b], 规定　　　　 . 则是C[a, b]到自身的一个线性有映射. 线性映射把零向量映射为零向量. (a11+a22+…+ann)=a1(1)+a2(2)+…+an(n). 　　设是向量空间V到W的一个线性映射. 如果VV ,则称W的子空间{()| V}是V在下的象, 记作 (V). 如果WW ,则称V的子空间{| ()W}是W在下的原象, 记作 1(V). 　　定理7.1.1 设是向量空间V到W的一个线性映射. V是V 的子空间, W是W的子空间. 则V在下的象是W的子空间, W在下的原象是V的子空间. 　　特别地, 向量空间V在下的象是W的子空间, 称其为的象, 记作 Im(). W的零子空间{0}在下的原象是V的子空间, 称其为的核, 记作 Ker(), 即Ker()={| ()=0}.

　　定理7.1.2 设是向量空间V到W的一个线性映射. 则有 　　(i) 是单射Im()=W. 　　(i) 是满射Ker()={0}. 两个线性映射的合成映射是线性映射. 　　设U, V, W是数域F上的向量空间, : UV, :VW是线性映射.则合成映射:VW是U到W线性映射. 如果线性映射:VW有逆映射 1, 则 1是从W到V的线性映射.

7.2 线性变换的运算 设V是数域F上的向量空间. V到自身的一个线性映射称为V的一 个线性变换. 用L(V)表示V的一切线性变换的集合. 　　负变换: L(V), 的负变换是指V到V的映射 :  | (). 　　变换的加法: ,L(V), 定义V到V的映射+为 +:  | ()+ (). 容易说明+L(V). 称为变换+为变换与的和. 　　变换的减法: ,L(V), 定义变换与的差为=+(). 　　变换的纯量乘法: L(V), kF. 定义V到V的映射 k:  | k(). 则kL(V), 称它为k与的积.

可以验证变换的加法与变换的纯量乘法满足下列规律: + =+ (+)+ =+(+) + = +()= k(+) = k+k (k+l) = k+l (kl) = k(l) 1 = 其中, , 是V到V的任意变换, k, l是F中的任意数. 因此: 　　定理7.2.1 L(V)对于变换的加法和纯量乘法构成数域F上的一个线性空间. 　　变换的乘法: ,L(V), 则它们(作为映射)的合成L(V), 称之为与的积, 记作.

变换的乘法满足结合律. 对于正整数n, 规定n=. . 再规定0=. (表示单位变换) 　　变换的乘法满足结合律. 对于正整数n, 规定n=... . 再规定0=. (表示单位变换). 另可将k简单地记为k, k是F中的一个数. 　　设 是F[x]中的一个多项式, 是一个线性变换, 则 也是一个线性变换, 记作: 若 , A是一 个 n阶方阵, 则

7.3 线性变换的矩阵 一. 线性变换关于一个基的矩阵 二. 线性变换关于不同基的矩阵的关系

一. 线性变换关于一个基的矩阵 　　设V是数域F上的向量空间, {1, 2, …, n}是V的一个基, 是V的一个线性变换. 则对们每一 j=1,2, …,n, (j )都可由1, 2, …, n线性表示. 设 其中, (a1j, a2j,…, anj, )是(j )关于基1, 2, …, n的坐标 j=1,2, …,n,.它们是唯一确定的. 以它为第j列, 做成一个矩阵: n阶矩阵A叫线性变换关于基{1, 2, …, n}的矩阵. 对于给定的线 性变换和取定的基, 它是唯一确定的. 等式(1)

((1), (2), …, (n))=(1, 2, …, n)A. 　　　将等式(1)写为矩阵的形式就是 ((1), (2), …, (n))=(1, 2, …, n)A. 设= x11+x22+…+xnn是V的任一向量. 所以 因此, ()关于基1, 2, …, n的坐标构成的列向量是: 由此我们得到: 　　定理7.3.1 设V是数域F上的向量空间, {1, 2, …, n}是V的一个基, 是V的一个线性变换, A是线性变换关于这个基的矩阵, 与()关于这个坐标分别是(x1,x2,…,xn)和(y1,y2,…,yn). 则有

　　例 1 设1, 2是V2的两个正交单位向量, 则它构成V2的一个基, 是将V2的每一个向量都旋转角的一个线性变换. 则有 因此关于基{1, 2}的矩阵是 设是中V2的一个向量, 它和()关于基 {1, 2}的坐标分别是(x1, x2 )和(y1, y2 ), 则 　　例 2 位似变换关于任意基的矩阵是　　　　　　　.特别地； 单位变换关于任意基的矩阵是单位矩阵, 零变换关于任意基的矩阵是零矩阵. 2 (2) (2)  O 1

　　定理7.3.2 设V是数域F上的一个n维向量空间, {1, 2, …, n}是V的一个基, 那么对V中的任意n个向量 1, 2, …, n, 恰有V的一个线性变换, 使得 (i)= i, i=1, 2, …, n. 　　数域F上所有n阶矩阵的集合构成F的一个n2维向量空间, 记之 为Mn(F). 　　定理7.3.3 设V是数域F上的一个n维向量空间, {1, 2, …, n}是V的一个基, 对于V的每个线性变换, 让它对应于它关于基{1, 2, …, n}的矩阵A. 如此建立的对应关系是L(V)到Mn(F)的一个同构(保持加法和纯量乘法的双射). 而且如果变换,分别对应于矩阵A,B, 则变换,的乘积对应于矩阵A,B的乘积AB. (保持乘法) 　　推论7.3.4 设V是数域F上的一个n维向量空间, 是V的一个线性变换, 它关于某个基的矩阵是A. 则变换可逆当且仅当矩阵A可逆, 且1关于这个基的矩阵就是A1. (保持逆)

二. 线性变换关于不同基的矩阵的关系 　　设A, B是两个n阶矩阵, 如果存在n阶可逆矩阵T使得: B=T1AT则称矩阵A与B相似. 矩阵的相似关系是一种等价关系(即相似具有自反性, 对称性和传递性). 　　设V是数域F上的一个n维向量空间, 是V的一个线性变换, 它关于V的两个基{1, 2, …, n}和{1, 2, …, n}的矩阵分别是A, B. 则有 ((1), (2), …, (n))=(1, 2, …, n)A, (( 1), (2), …, (n))=(1, 2, …, n)B. 再设T是从基{1, 2, …, n}到{1, 2, …, n}的过渡矩阵: (1, 2, …, n)=(1, 2, …, n)T. 由此三式可得: (1, 2, …, n)B=(1, 2, …, n)T1AT. 所以 B=T1AT. 即: 　　同一线性变换关于两个基的矩阵是相似的. 　　反之, 两相似矩阵可以看作是同一线性变换关于两个基的矩阵.

7.4 不变子空间 设V是数域F上的一个向量空间, 是V的一个线性变换. 7.4 不变子空间 　　设V是数域F上的一个向量空间, 是V的一个线性变换. 　　定义 设W是V的一个子空间, 如果(W)W, 则称W在线性变换之下不变, 或说W是的一个不变子空间. 　　例 1 V本身和零子空间{V}是任何变换的不变子空间. 　　例 2 的象Im()和核Ker()都是的不变子空间. 　　例 3 任何一个子空间都是位似变换的不变子空间. 　　例 4 设L是V3中一条过程原点的直线, 是V3的一个以为轴的旋转变换. 那么L是的一个一维不变子空间, 过程原点与L垂直的平面H是的一个二维不变子空间. 　　例 5 设F[x]是F上的一元多项式所成的向量空间, Fn[x]是次数不超过n的多项式及零多项式所成的子空间. 则Fn[x]是求导变换的不变子空间.

　　设W是的一个不变子空间, 定义映射|W :WW为 |W ()=(). 则|W是W的一个线性变换, 称它为线性变换在W上的限制. 　　设W是的一个非平凡的不变子空间, 1, 2, …, r是W的一个基, 把它扩充为V的一个基1, 2, …, r , r+1, …, n. 由于W在之下不变, 所以(1), (2), …, (r)仍在W内, 它们可用W的基1, 2, …, r线性表示. 因此 这表明关于这个基的矩阵是 |W关于W的基1, 2, …, r 的矩阵 一个 (nr)r 阶零矩阵

如果V是它的两个子空间W1与W2的直和, 即V=W1W2 　　如果V是它的两个子空间W1与W2的直和, 即V=W1W2. 可用W1的基1, 2, …, r 与W2的基r+1, …, n组成V的一个基. 如果W1与W2是的不变子空间, 则关于这个基的矩阵是 　　例 6 接例4. V3是L与H的直和. 取L上的一个非零向量1作为它的基, 取H上的两个正交单位向量2, 3作为它的基, 那么1, 2, 3组V3的一个基. 关于这个基的矩阵是 |W1关于W1的基1, 2, …, r 的矩阵 |W2关于W2的基r+1, 2, …, n 的矩阵

应该地, 如果V是它的子空间W1, W2, … , Ws的直和, 且每一个都是的不变子空间. 用这些子空间的基组V的一个基 Ai是|Wi关于Wi的基的矩阵. 特别地, 当每一个子空间都是一维空间时, 这个矩阵就是一个对角矩阵.

7.5 线性变换的本征值和本征向量 设V是数域F上的一个向量空间, 是V的一个线性变换. 　　例 1 设H是V3中一个过程原点的平面, 是把V3的每一个向量变成它在H上的正射影的线性变换. 那么H中每一个非零向量都是的属于特征根1的特征向量, 而过原点与H垂直的直线上的每一个非零向量都是的属于特征根0的特征向量. 　　例 2 用D表示实数域上的可微分任意次的实函数所成的向量空间. : f(x)|f (x)是求导运算. 对每一实数都有, (ex)=ex. 因此每一实数都是的特征根, 而ex是的属于特征根的一个特征向量. 　　例 3 用F[x]表示所有一元多项式构成的向量空间. 是把f(x)变为 xf(x)的线性变换. 对任何数都不存在多项式f(x)使 xf(x)=f(x), 因此没有特征根.

　　定义 2 设A=(aij)数域F上的一个n阶矩阵. 行列式 相似矩阵有相同的特征多项式. 　　一个线性变换关于不同的基有不同的矩阵, 但是, 这些矩阵是相似的, 这些矩阵的特征多项式也就是相同的. 因此我们把一个线性变换的特征多项式定义为它关于任何一个基的矩阵的特征多项式, 记作f(x). 　　定理7.5.1 设是数域F上的n维向量空间V的一个线性变换. F是的一个特征根当且仅当是的特征多项式f(x)的一个根.

　　n阶矩阵A=(aij)的主对角线上的元素的和称为矩阵A的迹, 记作Tr(A). 在 fA(x)中最高次项xn的系数是1. 在 fA(x)中, xn1的系数是 Tr(A) . 在 fA(x)的常数项是A的行列式乘以(1)n. 　　例 4 计算　　　的特征多项式. 　　矩阵A的特征多项式 fA(x)在复数域内的根叫做矩阵A的特征根. 设是矩阵A的一个特征根, 则齐次线性方程组 的一个非零解叫做矩阵A的属于特征根的一个特征向量.

　　设1, 2,…, n是矩阵A的全部特征根, 则 　　　　Tr(A)= 1+2+…+n , |A|= 12…n. 　　设是数域F上的n维向量空间V的一个线性变换, 它关于基{1, 2, …, r}的矩阵是A, 是A的特征根, 且F, 那么 是的特征根. 方程组　　　　　　　　的非零解就是的属于 的一个特征向量关于基{1, 2, …, r}的坐标. 　　例 5 设R上三维向量空间的线性变换关于 基{1, 2, 3}的矩阵是:. 求的特征根和相应的 特征向量. 　　例 6 求矩阵A的特征根和相应的特征向量:

　　设是数域F上的n(n >0)维向量空间V的一个 矩阵具有右面的形式, 则称可以对角化. 类似地 如果对于数域F上的一个矩阵A, 存在数域F上的 一个矩阵T, 使得T1AT具有右面的矩阵形式, 则称矩阵A可对角化. 　　定理7.6.1 设是数域F上的维向量空间V的一个线性变换. 如果1, 2,…, n是的属于不同特征根的特征向量, 那么1, 2,…, n线性无关. 　　推论7.6.2 设是数域F上的n(n >0)维向量空间V的一个线性变换. 如果的特征多项式 f (x)在F内有n个单根, 那么存在V的一个基, 使关于这个基的矩阵是对角形式.

　　推论7.6.3 设A是数域F上的 n 阶矩阵. 如果A的特征多项式 fA (x)在F内有n个单根, 那么存在一个可逆矩阵T, 使 　　设是的一个特征根, 则V={| ()=}=Ker()是V的一个子空间, 称之为的属于特征根的特征子空间. 特征子空间是的不变子空间. 特征子空间V的维数不大于特征根的重数. 　　推论7.6.4 设是数域F上的n(n >0)维向量空间V的一个线性变换. 如果1, 2,…,  tF是的互不相同的特征根, Vi是的属于特征根i的特征子空间, 那么这些子空间的和W= V1+V2+…+V t是直和, 且 W在之下不变.

　　定理7.6.4 设是数域F上的n(n >0)维向量空间V的一个线性变换. 可对角化的充要条件是: 　　(i) 的特征多项式的每一根都在F内; 　　(ii) 对的特征多项式的每一根, 特征子空间V的维数都等于的重数. 　　推论7.6.4 设A是数域F上的n(n >0)阶矩阵. A可对角化的充要条件是: 　　(i) A的特征根都在F内; 　　(ii) 对A的每一特征根, 秩(IA)=ns, 其中s是的重数. 　　例 1 矩阵A=　　　不能对角化.

将矩阵A对角化的步骤(参考下一页图示): 如果A的特征根都在F内, 则对每一特征根, 求出方程组 的一个基础解系. 如果每一个特征根对应的方程组的基础解系中解的个数都等于这个特征根的重数, 则矩阵A可对角化. 以这些解向量为列做一个n阶矩阵T, 则TAT就是一个对角矩阵. 　　例 2 将下面的矩阵A对角化.

1 2  t 求特征根 求基础解系 求矩阵T, 以基础解系为 列, 同一根的解 必须是相邻的列 T1AT 对角线上根的 次序与T中列 向量对应的根 的次序相同 1的重数  t的重数 2的重数

第八章 欧氏空间 8.1 欧氏空间的定义及基本性质 8.2 度量矩阵与正交基 8.3 正交变换与对称变换 8.4 子空间与正交性 第八章 欧氏空间 8.1 欧氏空间的定义及基本性质 8.2 度量矩阵与正交基 8.3 正交变换与对称变换 8.4 子空间与正交性 8.5 对称矩阵的标准形

8.1 欧氏空间的定义及性质 一. 解析几何内容回顾 二. 欧氏空间的定义空间 三. 内积的性质 四. 向量的长度 五. 向量的夹角 8.1 欧氏空间的定义及性质 一. 解析几何内容回顾 二. 欧氏空间的定义空间 三. 内积的性质 四. 向量的长度 五. 向量的夹角 六. 向量的距离

一. 解析几何内容回顾 　　在空间解析几何里, 我们在曾在空间V3中定义了两个向量的内积的概念. V3中的两个向量,的内积是=||||cos, 其中||和||分别表示和的长度, 表示和的夹角. 内积是用长度和夹角定义的.反之, 向量长度和夹角也可用内积来刻划: 　　向量空间是平面空间和立体空间的推广. 本章的目的是把平面空间和立体空间中的类似于长度,夹角等的度量性质推广到一般的向量空间中. 我们的思路是先把内积的概念推广到一般的向量空间, 再用内积定义向量的长度,夹角,距离等概念. 为此先回顾V3中内积的性质: 对中的任意向量 , ,  和任意实数a都有: = ; (+)= +; (a)= a(); 若0则 >0.

二. 欧氏空间的定义 　　定义 1 设V是实数域R上的一个向量空间. 如果对V中任一对向量 , 都有一个确定的记作<  , >的实数与它们对应, 并满足条件: 　　1) < , >=<, >; 　　2) <+, >=<,  >+<,  >; 　　3) <a , >=a< ,  > 　　4) 当0时, < , >＞0. 此处, , 是V中的任意向量, a是任意实数, 那么称< , >为向量与 的内积, 称V为关于这个内积的一个欧几里得空间(简称欧氏空间). 　　例 1 在Rn中, 对任意向量=(x1, x2, …, xn), =(y1, y2, …, yn)规定<,>=x1 y1+x2 y2 +…+xn yn. 则Rn关于这个内积是欧氏空间. 　　例 2 在Rn中, 对任意向量=(x1, x2, …, xn), =(y1, y2, …, yn)规定<,>=x1 y1+2x2 y2 +…+nxn yn. 则Rn关于这个内积也是欧氏空间. 　　例 3 对C[a, b] 中任意函数f(x), g(x), 规定<f , g>= 则C[a, b]对如此规定的内积来说作成欧氏空间.

三. 内积的性质 设V是一个欧氏空间.  V, 都有<0, > = <, 0> = 0 　　由定义中 1), 2), 3)得 < , +>=<  ,  >+< ,  >; < , a>=a< ,  >; 因此对1, 2,…, r , 1, 2,…, sV, a1, a2,…, ar , b1, b2,…, bsR,有

<,>2<,><,>. 四. 向量的长度 　　定义 2 设是欧氏空间的一个向量, 　　　　叫做的长度，记作||. 对任意实数a和向量,有 |a|=|a|||, |+|||+||. 　　例 5 令Rn是例1中的欧氏空间, 向量=(x1, x2, …, xn)的长度是: 　　定理8.1.1 在欧氏空间中, 对任意向量,都有: <,>2<,><,>. 当且仅当与线性相关时等号成立. 　　例 6 (Cauchy不等式)考虑例1的欧氏空间Rn, 由定理8.1.1可知: 对任意实数a1, a2,…, an, b1, b2,…, bn都有: 　　例 7 (Schwartz不等式) 考虑例3的欧氏空间C[a, b], 对区间[a,b]上的任意连续函数f(x), g(x)都有:

五. 向量的夹角 定义 3 设与是欧氏空间的两个非零向量. 与的夹角由以下公式定义: 　　定义 3 设与是欧氏空间的两个非零向量. 与的夹角由以下公式定义: 　　定义 4 设与是欧氏空间的两个向量, 如果<,>=0则称是与 是正交的. 　　定理8.1.2 在欧氏空间中, 如果向量与向量1, 1,…, r中的每一个都正交, 那么与向量1, 1,…, r的任意线性组合都正交.

六.向量的距离 在一个欧氏空间中, 两个向量与的距离是指向量的长度||, 记作d(,). 向量的距离具有如下性质: d(,)=d(,); d(,)d(,)+d(,).

8.2 度量矩阵与正交基 一. 正交基的基本概念 二. 向量在标准正交基下的坐标和距离 三. 正交化方法 四. 正交补与向量的正射影 8.2 度量矩阵与正交基 一. 正交基的基本概念 二. 向量在标准正交基下的坐标和距离 三. 正交化方法 四. 正交补与向量的正射影 五. 标准正交基之间的过渡矩阵 六. 欧氏空间的同构

一. 正交基的基本概念 　　定义 1 是欧氏空间V的一组两两正交的非零向量叫做V的一个正交组. 如果正交组中的每一个向量都是单位向量, 则称此正交组为一个标准正交组. 　　例 1 向量 是R3中的一个标准正交组. 　　例 2 函数 1, cosx, sinx, …, cosnx, sinnx, …是C[0,2]的一个正交组. 　　定理 8.2.1 设{1, 2,…, n}是欧氏空间的一个正交组, 则1, 2,…, n 线性无关. 　　如果n维欧氏空间V中n个1, 2,…, n向量构成一个正交组, 则由定理8.2.1这n个向量构成V的一个基. 这种两两正交的向量构成的基叫做V的正交基. 两两正交的单位向量构成的基叫做标准正交基.

二. 向量在标准正交基组的坐标和距离 　　例 3 欧氏空间Rn的的基 i=(0,…,0,1,0,…,0), i=1,2,…n,是Rn的标准正交基.. 容易看出一个向量=(x1, x1,…, xn)的坐标 xi 就是它与 i 的内积<, i >. 　　设1, 2,…, n是欧氏空间V的一个基, =x11+x11+…+xnn, =y11+y11+…+ynn如果还1, 2,…, n是一个标准正交基, 则 因此: 向量 关于一个标准正交基的第 i 个坐标就是 与第个 i 基向量的内积.

三. 正交化方法 　　定理 8.2.2 设{1, 2,…, m}是欧氏空间V的一个无关组, 那么可以求出的一个正交组1, 2,…, m, 使得k可用1, 2,…, m 线性表示, k=1,2,…,m. 　　正交化方法: 　　定理 8.2.3 任意n(n >0)维欧氏空间必有正交基, 因而必有标准正交基.

W={V |<, W>=0} 四. 正交补与向量的正射影 　　设W是欧氏空间V的一个非空子集,是V的一个向量. 如果与 W的每一个向量正交, 则称 与 W正交, 记作< , W >=0. 令 W={V |<, W>=0} 则W是V的一个子空间. 若W是V的一个子空间, 称W为W的正交补. 　　定理 8.2.4 设W是V的一个有限维子空间, 那么V=WW. 因而V的每一向量可以唯一地写成=+, 其中W,<, W>=0. 称为在子空间W上的正射影. 　　定理 8.2.5 设W是V的一个有限维子空间, 是V的任意向量, 是在W上的正射影, 那么对W中任意向量', 都有 ||<|-‘|.

五. 标准正交基之间的过渡矩阵 　　设U=(uij)是从标准正交基{1, 2,…, n}到标准正交基{1, 2,…, n}的过渡矩阵. 则 于是:U 'U=UU '=I.我们把满足U 'U=UU '=I的实矩阵U称为正交矩阵. 　　定理 8.2.6 在欧氏空间中从一个标准正交基到另一个标准正交基的过渡矩阵是一个正交矩阵.

< , >=<f(), f()>. 六. 欧氏空间的同构 　　定义 3 设V与V' 是两个欧氏空间, 如果 　　(i) 作为实数域上的向量空间, 存在V 到V' 的一个同构影射 f: V V'. 　　(ii) 对任意,V, 都有: < , >=<f(), f()>. 则称V与V' 是同构的. 　　定理 8.2.6 两个有限维欧氏空间同构的充要条件是它们的维数相等. 　　推论 8.2.6 任意n维欧氏空间都与Rn同构.

8.3 正交变换与对称变换

一 、 正交变换的定义及性质 定义1 欧氏空间V的线性变换称为正 交变换, 如果它保持任意两个向量的内积不 变, 即对任意, V，有  (),  ()＝, .

例1 在欧氏空间V2 中， 是把V2 中任意向量 都沿逆时针方向旋转θ 角的变换， 则是正交变换.

例2 在欧氏空间V3 中,设M是过原点的一个 平面,是V3 中任意向量 关于M的镜面反射， 则 是正交变换.

(ii) 如果{1, 2, …, n}是规范正交基, 那么 { (1),  (2), …,  (n)}也是规范正交基； 定理8.3.1 设是n(0)维欧氏空间V的一个线性变 换, 则下面四个命题等价. (i) 是正交变换； (ii) 如果{1, 2, …, n}是规范正交基, 那么 { (1),  (2), …,  (n)}也是规范正交基； (iii)  在任一个规范正交基下的矩阵是正交矩阵； (iv) 任意的V, | ()|＝| |.

(i)(ii) 证明： 设{1, 2, …, n}是一规范正交基, 即 i, j＝ 因为是正交变换, 那么

( (1),  (2), …,  (n))＝(1, 2, …, n )A (ii) (iii) 即 (ii) 如果{1, 2, …, n}是规范正 交基, 那么 { (1), (2), …,  (n)} 也是规范正交基; (iii)  在任一个规范正交 基下的矩阵是正交矩阵. 设在{1, 2, …, n }下的矩阵为A, 即 ( (1),  (2), …,  (n))＝(1, 2, …, n )A 因为{1, 2, …, n }与{ (1),  (2), …,  (n)}都是规 范正交基, 所以A是正交矩阵.

( (1),  (2), …,  (n))＝(1, 2, …, n )A (iii)(iv) (iv) 任意的V, | ()|＝| |. 即(iii)  在任一个规范正交 基下的矩阵是正交矩阵； 设在V的规范正交基{1, 2, …, n }下的矩阵是A=(aij)n×n， 即 ( (1),  (2), …,  (n))＝(1, 2, …, n )A  (i)＝ , i＝1, 2, … , n 由于A是正交矩阵，因此  (i),  (j)＝ k, l ＝ ＝

而 是矩阵ATA(＝In)的第i行第j列交点处的元素，故 任意V, 设 〈, 〉 那么 另一方面, 由 〈 (),  ()〉 得 所以 即

(iv) (i) (i) 是正交变换. 对任意, V，由(iv)知, 把最后一个等式展开, 得 利用前两个等式, 就有 即 (iv) 任意的V, | ()|＝| |; 对任意, V，由(iv)知,  (),  ()＝, ,  (),  ()＝, ,  (＋),  (＋)＝＋, ＋. 把最后一个等式展开, 得  (),  ()＋2 (),  ()＋ (),  ()＝, ＋2, ＋, . 利用前两个等式, 就有  (),  ()＝, . 也就是说 是正交变换. 这样,就证明了(i), (ii), (iii), (iv)的等价性.

定义2 是欧氏空间V的一个线性变换. 二、对称变换的定义及性质 如果对V中任意两个向量, , 都有 〈 (), 〉＝〈,  ()〉， 那么称为一个对称变换.

例3 在欧氏空间R2 中，\是把R2中任意向 量作χ轴的正投影， 则 是对称变换.

例4 在欧氏空间 R2中, 是把R2中任意 向量变换成关于直线 Y=X的对称向量, 则 是一个对称变换.

定理8.3.2 n维欧氏空间V的线性 变换为对称变换的充分必要条件是 在任一规范正交基下的矩阵为对称 矩阵.

证明： （必要性） 如果是n维欧氏空间V的一个对称变 换, {1, 2, …, n}是V的一个规范正 交基, 且在这个基下的矩阵是

〈 (i), j〉＝〈a1 i1＋a2i2＋…＋anin , j〉＝aji, 于是 〈 (i), j〉＝〈a1 i1＋a2i2＋…＋anin , j〉＝aji, 〈i,  (j) 〉＝〈i , a1j1＋a2j2＋…＋anjn〉＝aij. 由〈 (i), j〉＝〈i,  (j) 〉, 得 aij＝aji，i, j＝1, 2, …, n. 这说明A是一个对称矩阵, 这个条件也是为对称变换的 充分条件.

课 堂 小 结 本节内容主要讲解两个问题： 1．正交变换的定义和性质； 2．对称变换的定义和性质.

8.5 对称矩阵的标准形 　　定理 8.5.1 对于数域F上的任何一个n阶对称矩阵A, 总存在F上的一个n阶矩阵P使得:P'AP是一个对角矩阵. 即数域F上的任何一个n阶对称矩阵都与一个对角矩阵合同. 　把一个对称矩阵对角化的方法是: 对 i=1,2,..,n : 　第一步 如果第 i 行(第 i 列)中的元素都是零, 则处理i+1. 　第二步 如果 aii0, 则转第三步; 否则, 在第 i 行中找一个非零元素aij, 把第 j 行加到第 i 行,把第 j 列加到第 i 列. 　第三步 把第 i 行的适当倍数加到其它行,把第 i 列的适当倍数加到其它列, 以使第 i 行和第 i 列中除 aii 外的元素都是零. 　　注: 在进行完上述变换后, 得到的对角矩阵中, 对角线上的零元素和非零元素可能是交叉出现的. 再进行适当的行交换与列交换, 就可使对角线上所有的非零元素都在零元素的前面. 例如 aii=0, ajj0, i<j, 则可交换第 i 行和第 j 行, 交换第 i 列和第 j 列.