數學概念迷思之探討 柯麗霞 kls5366@gmail.com

大綱 壹、前言 貳、教師扮演的角色 參、學生概念迷思探討及教學策略 肆、如何增進學生的數學成就 伍、結語

壹、前言 傳統的數學教育太過於強調程序性技能 的獲得，因而忽略了陳述性知識的培養，以致於兒童缺乏思考、判斷的能力。 思考的過程要比答案的獲得更重要，數學的學習應該是強調概念的理解，而不只是機械式地練習以尋求正確的答案

貳、教師扮演的角色 一、培養自己隨時具教學反思能力的教 學者 ＊有效率的學習者能夠從錯誤中反思與學習 ＊隨時掌握學習者的狀況，能夠隨時隨地發 現問題，並尋求解決的策略

二、教師必須為學生創造良好的學習情 的知識及如何學習，並且要不斷的挑戰 及支持他們，他們能學習的更好 境，方能幫助學生學習 ＊建立安全無威脅的教室對話情境 ＊有效率的數學教學必須瞭解學生所要學 的知識及如何學習，並且要不斷的挑戰 及支持他們，他們能學習的更好

三、教師在有效率的教學過程中扮演一 個極為重要的角色-佈題者，引導 者，而非解題者(NCTM, 2000) ＊老師是引導學生學習，而不是為他們解 題 ＊重視學生的學習過程，是一種幫助學生 察覺、探索、思考、了解的學習歷程

四、運用「重覆」與「回應」技巧，引 導班級討論的進行 教師在引導班級進行討論時，若有必要時應協助學生清楚的表達（重覆）想法，使得每一位學生都能聽得清楚，並藉以集中學生注意的焦點 五、請學生寫「數學日誌」以記錄學習 心得，如此可以幫助學生自我反省

六、教師必需具備充足的數常識 ＊數學教室的學習情況是千變萬化的，教師 必須從學生的討論中隨時掌握情況，瞭解 學生的迷思概念，問題癥結之所在，並在 適當時機適時介入以引導學生獲得正確的 數學知識。

參、學生概念迷思探討及教學策略-形-常見問題 （ㄧ）平行、垂直 （二）判別長方形、正方形 （三）畫出一個直徑為10公分的圓 （四）角-定義、比較大小 （五）量角器使用 （六）畫出三角形的高

（七）表面積-複合圖形（立體） （八）複合圖形-體積 （九）扇形

（ㄧ）平行、垂直 請將垂直的兩線段打「ｏ」，平行的兩線段打「ｘ」 學生答：沒有垂直也沒有平行

問題探討及策略 學生遇到的問題： 認為斜置的線段便不具垂直和平行的性質 策略： 可以利用三角板輔助 ┐

（二）判別長方形、正方形 下面哪個圖形是長方形？哪一個是正方形？

問題探討及策略 學生遇到的問題： 分不清楚哪一個是正方形？哪一個是長方形？ 策略： －用吸管或牙籤等物品實際做出一個長方形和 正方形 ，並說出其特徵 －多種圖形中請學生找出正方形和長方形 －找找看週遭環境中哪裡有正方形？哪裡有長 方形？

（三）畫出一個直徑為10公分的圓

問題探討及策略 學生遇到的問題： 沒看清楚題目 不明白直徑與半徑的關係 看到數字就直接畫 策略： 呈現圖示 由操作中定義半徑及直徑（實際測量） 指導學生圓規張開長度與半徑關係

再次認識圓 請將圖中框框內的文字調整為圓構造的正確名稱。 X X O X X X O X O X X X O X X X 圓周 直徑 半徑 圓心 X 半徑 X 直徑 X 圓心 O 圓周 X 直徑 O 圓心 X 圓周 X 半徑 X 圓周 O 半徑 X 直徑 X 圓心 X

（四）角與角度的常見問題-1 下面圖形中是角的打「○」，不是角的打「×」

問題探討及策略 學生遇到的問題： 只要是「尖尖的頂點」就稱為角 策略： 再清楚說明「角」定義 －角的構成要素為何 －角的2邊為直線非曲線

定義與澄清 a. 從同一個頂點。 b. 朝不同方向延伸出兩條線。 c. 兩條線之間所構成的旋轉程度稱之為「角」。 邊 角 頂點

問題探討及策略 學生遇到的問題： 策略： 以為邊長較長、較粗、弧度標示較大，角度就比 較大 －以為角度大小會因圖形方位改變而改變 直接比較法 由操作中比較二者關係

角與角度的常見問題-2 下面各組哪一個角比較大，比較大的打「ˇ」，一樣大的打「○」？

我們可以透過旋轉、疊合的方式，比較角的大小。 到底哪個角比較大？ a.首先旋轉小明畫的角。 b.疊合兩個人所畫的角。 c.發現兩個角一樣大。 小明 小華 我們可以透過旋轉、疊合的方式，比較角的大小。

（五）量角器使用 量角器有內圈及外圈的刻度，學生容易看錯 量角度時，頂點沒有與中心點重疊 角的一邊也沒有與始邊重疊

小明和小華各畫出45度的角哪一個正確？ 小明 小華

小華的角應該要比90°來得大，因此小華量錯了 到底是誰量錯了？ 比90°小 90° 比90°大 小明測得45° 小華測得45° 小華的角應該要比90°來得大，因此小華量錯了 90度是直角，若測量角大於直角，則度數必定大於90度， 若測量角小於直角，則度數必定小於90度。

問題到底出在哪裡？ 終邊 始邊 頂點 由始邊(0度)往終邊的方向量 使用量角器時，將頂點擺在中心點，始邊對準橫線，並且往終邊讀取。

如何量出正確角度？ 終邊 始邊 頂點 使用量角器時，都是以0為起點開始測量，不能單從內、外圈進行判讀，或者都是從左、右邊看起。

（六）畫出三角形的高 請畫出三角形ABC，以直線BC為底的高 B A C

問題探討及策略 學生作答情形 B A C ┐ B A C 學生遇到的問題： 對三角形「高」的定義不清楚 認為三角形的高一定在三角形內部

（七）表面積-複合圖形（立體） （八）複合圖形-體積

（九）扇形 下面圖形哪一個是扇形？ 扇形的直線邊和曲線邊是不是同一個圓的二條半徑和一段圓周

幾何（S）教學策略(1/2) 1.透過操弄圖形、做圖形、辨認圖形等等，希望兒童在活動中不僅能辨認圖形，也能形成更精細的空間表徵與空間想像能力。 ①拚圖：「七巧板」都是可以培養兒童空間能力很不錯的媒介物。 ②摺紙、剪紙：一般摺紙與剪紙遊戲可以增加空間想像能力，若特別設計也可以增加兒童對某些圖形的認識，例如：摺紙可以認識垂直與對稱。 2.做圖形：用牙籤、火柴棒、吸管等等仿作各種圖形。

幾何（S）教學策略(2/2) 3.教師提供教學主題有關的資訊（幾何有關的物件或圖片等），讓學生操作和觀察，教師透過和學生的討論，得以明瞭學生對相關知識的想法。 4.教學時能夠多給學生時間操弄幾何圖形。

肆、如何增進學生的數學成就

如何吸引學生學數學¹ 保持實際動手做的學習方式，直到學生能完全理解為止，然後協助他們找出解決相同問題時須具備的技能 用具體物件來察看及操作問題，再把訊息轉譯成數字的符號語言，允許任何時間能與同儕合作學習 數學存在於生活中，隨時提醒數學在哪裡出現 -連結學校數學與學生家庭生活

如何吸引學生學數學² 要求學生注意數學如何被運用在文學之中 在數學問題中使用學生名字及生活中的真實事件 使用音樂、押韻詩歌及饒舌歌曲，幫助孩子用好玩極有效率的方式來學習數字事實 讓學生設定目標，達到目標給予實質獎勵（學生想要的），超過目標可以擁有額外獎勵

如何吸引學生學數學³ 前後一致的對學生強調，提出疑問及犯錯是學會的唯一途徑 教導學生估算技巧，並運用在所有數學作業 要學生利用一種策略解決幾個不同問題，以及用幾個不同策略解決一個問題 －學生領略有許多方法可以解決問題時，就不怕把唯一正確的方法給搞砸

如何吸引學生學數學4 經常複習學會的概念。 -每堂數學課都為學生復習一次 使用多媒體

解決學生學習困難方式¹ 經常示範學到的知識如何在生活中應用 進行演算時，選擇及使用一致的顏色提示：分數教學時分母使用紅色分子使用綠色（顏色提醒有助於學生記住） 認知引導教學法-蘇格拉底提問法 不宜多步驟教學： 一次做一個步驟，當教新概念時，不要求學習困 難學生同時做計算問題（計算周長前先確定周長的意思）

解決學生學習困難方式² 具體-表徵-符號-抽象 （Concrete to Representational to Symbolic to Abstract） 具體階段-使用操作性教具 表徵階段-使用圖片及其他與操作物有直接關係 的視覺性輔助 符號階段-將具體及表徵階段所學以數字呈現 抽象階段-以自然方式進行活動

解決學生學習困難方式³ 分別指定英文26個字母的對應數值，要學生計算不同單字及句子總值是多少。 （姓名遊戲-先訂注音符號對應值再數數看誰的姓名最值錢） 把餐廳的菜單帶到教室，要學生練習點菜、計算帳單，以及平均分攤每個人用餐的費用

解決學生學習困難方式4 利用廣告單進行教學-不必執著於教科書內容 1.日期或時間學習 2.數字大小學習 3.加減能力學習 4.打折、折價的學習 5.數數、錢幣運用的學習 6.基本單位的學習 7.乘除法的學習 8.容量、重量單位的學習

解決學生學習困難方式5 任何可行的時候，讓學生在限定時間內完成較少題目 適時引入遊戲教學 讓學生使用任何可得到的特殊技巧： 手指乘法、手指數學、其他 問題（文字題）簡化策略，提升學生的興趣及信心

肆、結 語 我們相信給孩子一個希望，就是許孩子一個未來！ 唯有教育，才有辦法擺脫弱勢的環境！ 唯有教育，才有機會掌握自己的未來！ 肆、結 語 我們相信給孩子一個希望，就是許孩子一個未來！ 唯有教育，才有辦法擺脫弱勢的環境！ 唯有教育，才有機會掌握自己的未來！ 唯有教育，才能實現屬於自己的夢想！ ～ 永齡基金會董事長郭曉玲小姐 ～

謝謝聆聽敬請指教