12 向量值函數 Vector-Valued Functions Copyright © Cengage Learning. All rights reserved.
12.1 向量值函數 Vector-Valued Functions Copyright © Cengage Learning. All rights reserved.
目的 分析以及繪出向量值函數 將極限以及連續性推廣至向量值函數
Space Curves and Vector-Valued Functions 空間曲線以及向量值函數 Space Curves and Vector-Valued Functions
空間曲線以及向量值函數 說例: 一平面曲線(plane curve)是由(f(t), g(t)) 的有序對的集合來定義。其中包含參數方程式 x = f(t) 、 y = g(t) ， 變數 t 在區間 I 內 f 和 g 是連續函數。
空間曲線以及向量值函數 這個定義可以被推廣到三度空間 假設一空間曲線(space curve) C 是由(f(t), g(t), h(t))的有序三元組的集合來定義。其中包含參數方程式 x = f(t) 、y = g(t) 、z = h(t) ， 變數 t 在區間 I 內 f 、 g、h 是連續函數。 這種新型態的函數叫作向量值函數(vector-valued function )，將實數映射至向量。
空間曲線以及向量值函數 定義: 向量值函數 一個函數具備有 的型式是向量值函數，而分量函數 f、g、h是依賴參數 t 的實數函數。 向量值函數也可以表示成
空間曲線以及向量值函數 技術上來說，平面上或空間上的曲線是由點集合與參數方程式組成。 兩個不同的曲線可以擁有相同的圖形，譬如 r(t) = sin t i + cos t j 與 r(t) = sin t2 i + cos t2 j 它們擁有相同的單位圓圖形；因為這是兩個不同的行徑的圓，這兩個函數並不表示相同的曲線。
空間曲線以及向量值函數 確定你能夠辨別向量值函數 r 與實數值函數 f、 g、h之間的差異。 r(t)是向量，而 f(t) 、g(t) 、h(t)是實數(分別為 t 所帶入時產生的特定值) 。
空間曲線以及向量值函數 向量值函數在曲線中扮演兩種角色。 其一是藉由參數 t 來表示時間，這樣可以藉由向量值函數來呈現出曲線的移動(motion) 。 或者是在許多更一般情況，你可以使用向量值函數去追蹤曲線的圖形。
空間曲線以及向量值函數 無論哪種情況，向量r(t) 是由點(x, y)或 (x, y, z)所構成，如下圖:
空間曲線以及向量值函數 曲線的箭頭表示曲線的指向: 當 t 增加時，曲線上點移動的方向。 除非例子有另外說明，不然向量值函數r 的定義域(domain) 通常都是考慮成它的分量函數 f、 g、 h 定義域的交集。 如 ，它的定義域是區間(0, 1] 。
例題1-繪出平面曲線 解: 繪出 r(t) = 2cos t i – 3sin t j, 0 ≤ t ≤ 2 的平面曲線。 從位置向量r(t)，寫出它的參數式 x = 2cos t 、y = –3sin t。 始用三角等式cos2 t + sin2 t = 1 解出以下直角座標方程式: Rectangular equation
例題一:解 如右圖是直角座標方程式所描繪出的圖 。 它是一個逆時針方向的橢圓。 如果 t 從0增加至2 時，這個位置向量 cont’d 如右圖是直角座標方程式所描繪出的圖 。 它是一個逆時針方向的橢圓。 如果 t 從0增加至2 時，這個位置向量 r(t)會逆時針方向移動，最後會形成橢 圓形。
極限以及連續性 Limits and Continuity
極限以及連續性 定義: 向量值函數的極限值 1. 令r是一個二維向量值函數 。如果當 t 趨近於a時，f 和 g 都有極限值，則 2. 令r是一個三維向量值函數 。如果當 t 趨近於a時，f 、g、h都有極限值，則 。 。
極限以及連續性 如果當 t 趨近於a時，向量值函數r(t)逼近於向量L，則向量r(t) – L 的長度逼近於 0。 如下圖所表示:
極限以及連續性 定義: 向量值函數的連續性 如果當 t 趨近於a時，向量值函數 r 的極限值存在且 ，則 r 在 t=a 時連續。 如果 r 在此區間 I 的任何一點都連續，則它在區間 I 連續。
例題五-向量值函數的連續性 討論向量值函數 r(t) = t i + aj + (a2 – t2)k 在 t=0 時的連續性。 解:
例題五-解 因為 r(0) = (0)i + (a)j + (a2)k = aj + a2k 得到在 t =0 時 r 是連續的。 cont’d 因為 r(0) = (0)i + (a)j + (a2)k = aj + a2k 得到在 t =0 時 r 是連續的。 藉由相似的理由，你可以得到向量值函數 r 在任何實數 t 都是連續的。