第八章 模糊模式识别 §8-1、模糊集的基本概念 第八章 模糊模式识别 §8-1、模糊集的基本概念 1965年美国加利福尼亚大学L.A. Zadeh.”教授首次发表“Fuzzy Sets”重要论文，奠定了模糊数学的理论基础，目前“模糊数学”已广泛应用在系统工程、生物科学、社会科学等领域中。 模糊性:“高矮”、“胖瘦”、“年青”、“年老” 一、模糊集的定义：假设论域E={x}（讨论的区间），模糊集A是由隶属函数μA(x)描述。 μA(x)是定义在E上在闭区间{0，1}中取值的一个函数，反映x对模糊集的隶属程度。 则μA(x)描述了E中的一个模糊子集A。

二、模糊集A 的台：是E中能使μA(x)>0的元素集合。 模糊独点集：它的台只含元素x1，而μ(x1)=μ1，则记为：A＝ μ1/x1（独点集） 若A是有限的台(x1,x2,……,xn)而μ(xi)=μi 则A= μ1/x1+ μ2/x2+…… μn/xn= , μi为隶属函数,xi为元素 若A是无限的台则有无限元素 则

例：在论域E中确定一个模糊子集A，它表示“园块”这一模糊概念。（如右图） E=(a,b,c,d,e, f） μ(a)=1, μ(b)=0.9, μ(c)=0.4, μ(d)=0.2, μ(e)= μ(f)=0 a b c

例：关于“年青”的模糊集为E={A50, A45, A40 ,A35, A30, A25} 三、用α水平集来划分模糊集 设:A为E=（x）中的模糊集 则A={x| μA(x)≥α}称为模糊集A的α水平集， α为阈值在（0，1）间取值（一个模糊集可利用其水平集来划分） A为有限个台时，水平集为 A为无限个台时，水平集为 例：关于“年青”的模糊集为E={A50, A45, A40 ,A35, A30, A25} E中模糊集：A=0/ A50+0.1 / A45 + 0.3/ A40 + 0.5/ A35 + 0.9/ A30 +1 / A25

α =0.1水平集:A=0.1 / A45 + 0.1/ A40 + 0.1/ A35 + 0.1/ A30 +0.1 / A25 ∴不同的α有不同的模糊集 A0.1 ={A45, A40 ,A35, A30, A25} A0.3 ={A40 ,A35, A30, A25} A0.5 ={A35, A30, A25} A0.9 ={A30, A25}

§8-2、模糊集的简单运算及模糊关系 一、并集、交集、补集 设：A,B为E=（x）上的两个模糊集，则它们的并集A∪B、交集A∩B、及A的补集 仍为模糊集，则它们的隶属函数为： 并集:μA∪ B(x)＝max(μA(x) ,μB(x)) 交集: μA∩ B(x)＝min(μA(x) ,μB(x)) 补集: =1- μB(x) , μA(x) ,μB(x) 分别为A、B的隶属函数

例、模糊集 A=0. 3 / x1+ 0. 6/ x2 + 1/ x3 + 0/ x4 +0. 5 / x5 B=0. 4 / x1 + 0 例、模糊集 A=0.3 / x1+ 0.6/ x2 + 1/ x3 + 0/ x4 +0.5 / x5 B=0.4 / x1 + 0.8/ x2 + 0/ x3 + 0.6/ x4 +1 / x5 则 =0.7 / x1+ 0.4/ x2 + 0/ x3 + 1/ x4 +0.5 / x5 =0.6 / x1+ 0.2/ x2 + 1/ x3 + 0.4/ x4 +0/ x5 =0.3 / x1+ 0.6/ x2 + 0/ x3 + 0/ x4 +0.5 / x5 =0.4 / x1+ 0.8/ x2 + 1/ x3 + 0.6/ x4 +0.5 / x5

二、距离的定义： 若A,B为E=（x）上的模糊集，E中有n个元素 则A,B的线性距离为: A,B的欧氏距离为 我们可以利用模糊集间的距离对模糊集进行分类和聚类。

三、模糊关系： 设U,V为两个模糊集,则u,v的笛卡儿乘积集记为：U×V={(u,v)|u∈U,v∈V}, (u,v)是 U,V元素间的一种无约束搭配，若把这种搭配加某种限制， U,V间的这种特殊关系叫模糊关系R。 （∴模糊关系是笛卡儿乘积集的一个子集，不是无约束的） 隶属度R(u,v)表示u,v具有关系R的程度 例： u为身高， v为体重 u=（1.4,1.5,1.6,1.7,1.8）（单位m） v = (40,50,60,70,80) （单位kg）

模糊矩阵（模糊关系） 40 50 60 70 80 1.4 1 0.8 0.2 1.5 1.6 1.7 1.8

模糊关系为： 这样的矩阵（元素介于0，1之间）称为模糊矩阵,即模糊关系。

四、复合矩阵 设： 例：

相乘时取最小，相加时取最大。

五、模糊关系的性质 1、自反性：对E×E中的模糊关系 ， 为 内的元素,若 成立，则 有自反性。 2、对称性：若对(x,y)∈E×E都有 则 有对称性。矩阵对角线元素对称， μij= μji。

具有自反性对称性的模糊关系称为相似关系（或类似关系） 3、传递性:若矩阵 中 有: 具有自反性、对称性、传递性的模糊关系称为等价关系。

§8-3、模糊识别方法 －、隶属原则识别法 设： A1, A2,…. ,An是E中的n个模糊子集， x0为E中的一个元素，若有隶属函数 μi(xo) =max(μ1(xo), μ2(xo),….. μn(xo)),则xo∈ μi。 则xo∈Ai 若有了隶属函数μ (x)，我们把隶属函数作为判别函数使用即可。 此法的关键是求隶属函数

二、择近原则识别法 1、定义：两个模糊子集间的贴近度 设：A，B为E上的两个模糊集。则它的贴近度为：

例：E=(a,b,c,d,e,f)

三、模糊聚类分析： 基于模糊等价关系的聚类方法 2、设：E上有n个模糊子集 及另一模糊子集 。若贴近度 设： 是E上一个模糊关系，若满足： （a）、自反性：μij＝1 （b）、对称性： μij＝ μji （c）、传递性： 则称 是E上一个模糊等价关系。

定理：若 是E上的一个等价关系。则对任意阈值α(0≤ α ≤1)则模糊水平集R α也是E上的一个等价关系。 α水平集： R α =[x| μA(x)≥α] 例：利用α水平集可以聚类 设X＝ {x1、x2、x3、x4、 x5 }

可以证明 是一个模糊等价关系 ∴ α水平集为： 把x聚为一类 x聚为二类即{x1,x3,x4, x5 } {x2}

x分为三类即{x1, x3} {x2,} {x4, x5 } x分为四类即{x1, x3} {x2} {x4 } {x5 }

x分为五类即{x1} {x2} {x3 } {x4 } {x5 }

模糊聚类算法： ㈠设x是要分类的对象全体，建立x上的模糊关系 。它满足自反性、对称性，即：μij＝1，μij＝ μji 此模糊关系为相似关系。 ㈡把相似关系（相似矩阵） 变成等价关系方法为： 取 的乘幂为 （三）选择适当α值，取等价关系R的α水平集，根据水平集确定样本的类别。

例：设X＝{x1,x2,……,x5}五个人的集合。x1为父亲，x2为儿子，x3为女儿，x4为叔叔，x5为母亲，x上的模糊关系 表示他们间的相象关系。 其中μij表示第i个人xi与第j个人xj的面貌相似程度。 它满足自反性μii＝1， 、对称性 μij＝ μji，但是不满足传递性。 ∴是相似关系，利用以上方法改造成等价关系。

应分类为： {x1},{x2},{ x3, x5 },{x4 }

应分类为： {x1},{x2,x3, x5 },{x4 } 应分类为： {x1,x2,x3, x5 },{x4 }

聚类图 求模糊等价关系的算法 设： 为相似关系，