第 二 章 电路的过渡过程 第一节 电容元件与电感元件 第二节 动态电路的过渡过程和初始条件 小结

第三节 第四节 第五节 一阶电路的零输入响应 一阶电路的零状态响应 一阶电路的全响应

第一节 电容元件与 电感元件 一、电容元件 二、电感元件

电路的过渡过程 第二章 第一节 电容元件与电感元件 一、电容元件 q = C uc q (库仑) C ( 法拉F ) = uc (伏) 1、电容 q = C uc C ( 法拉F ) = q (库仑) uc (伏) uc i C +q -q

i = duc dq C dt i 1F = 10 6 μ F 1μF = 10 6 p F uc C C为常数---线性电容 2、电压与电流关系 i = dq dt = C duc 若 uc=Uc 则 i = 0 * 电容元件对直流相当于开路

关联参考方向下: i = C duc dt 3、能量 电容所储存的能量只与电压uC的大小有关.

二、电感元件 1、电感 φ uL uL L =Ψ / i L 单位是亨利 (H) L 为常数称为线性电感 L 不是常数称为非线性电感 i i

2、电压与电流的关系 * 若 i= I，uL= 0 电感对直流相当于短路 3、能 量 电感所储存的能量只与电流的大小有关。

与 i 2 成正比，与 无关， 当 = 0 仍可能存在; 当 i = 0 转换成其它能。

第 九 讲 2002.8.9上午 录制

第二节 动态电路的过渡过程和初始条件 暂态过程的概念 稳态：电路中的电流，电压稳定不变或者是时间上的周期函数，称为电路处于稳态。 当一个稳态电路的结构或元件参数发生改变时，电路原稳态被破坏，而转变到另一种稳态所经历的过程，称为电路中的过渡过程。由于过渡过程经历的时间很短，所以又称为暂态过程或暂态。

在图示的RL电路中 S t =0 UR US UL S打开时，电路中的电流等于零，这是一种稳态。 + R 若开关在 t = 0 时接通，电路中的电流逐渐增加，最终达到 I = US/R ,这也是一种稳态。中间必然经历一段过渡过程。 US － L UL

产生暂态过程的原因 内因：电路中存在储能元件（C、L） 外因： 换路 开关的接通与断开; 电源改变（大小、频率、波形）; 元件参数改变。

iL ( 0+ ) = iL ( 0－) uC ( 0+ ) = uC ( 0－) 换路定律 通常我们把换路瞬间作为计时起点。即在t=0时换路。把换路前的终了时刻记为 t =0- ,把换路后的初始时刻记为 t =0+ 。 电容元件和电感元件的伏安关系为: 电感中的电流和电容两端的电压不能跃变称为换路定律，可表示为： i = C duc dt iL ( 0+ ) = iL ( 0－) uC ( 0+ ) = uC ( 0－) 显然,电容电压和电感电流不能跃变,否则,电容电流和电感电压将等于无穷大。

换路定律适用于换路瞬间，用它来确定暂态过程的初始值。 若 iL (0+) = iL (0－) = 0，uC (0+) = uC (0－) = 0 换路瞬间，电容相当于短路，电感相当于断路。 若 iL (0+) = iL (0－) ≠0， uC (0+) = uC (0－) ≠0 换路瞬间，电容相当于恒压源，电感相当于恒流源。 电路中其他电压电流在换路瞬间的初始值，用欧姆定律、KVL、KCL定律联合求解。

例2-1 确定图中uc和ic的初始值。设开关断开前电路处于稳态。 解: 4Ω R1 t=0 + US R2 12V 2Ω C

例2-2 确定图中uC、iC、iL 及 iK 的初始值。设开关闭合前电路处于稳态。 解: 开关闭合前, 电容开路 电感短路 iK iC iL IS 电容开路 2Ω 5Ω t=0 + 10A 电感短路 uC (a)

开关闭合后瞬间, 电感等效为电流源 电容等效为电压源 iC(0+) iL(0+) IS iK(0+) 2Ω 5Ω + 10A uC(0+) 50V (b)

t = 0+ t = 0－ uC(t) + - 开路 短路 元件 特征 L iL(t) t = ∞ uC(0－ ) uC(0+) =U0 iL(0+) = I0 iL(0－) = I0 iL(0-)=0 iL(0+) = 0

第 十 讲 2002.8.9上午 录制

第三节 一阶电路的零 输入响应 一、RC 电路的零输入响应 二、RL 电路的零输入响应

第三节 一阶电路的零输入响应 一、RC电路的零输入响应 如果在换路瞬间储能元件原来就有能量储存，那么即使电路中并无外施电源存在，换路后电路中仍将有电压电流。这是因为储能元件要释放能量。 　 因此，将电路中无输入信号作用，由电路内部在初始时刻的储能所产生的响应称为零输入响应。 返回

1. 换路后电路的微分方程 S在2位置 uR + uC = 0 ∵ uR = i R i = C duC / dt 1. 换路后电路的微分方程 i 1 S在1位置 　uC(0) = U0 (初始条件) S + 2 S在2位置 uR + uC = 0 　∵ uR = i R 　 i = C duC / dt ∴ 得到一阶常系数线性齐次微分方程 R U0 －

2. 解微分方程 ∵ uC( 0 ) = U0 ∴有 A = U0 令它的通解形式为: uC = A e pt 代入方程得: ( RC p + 1 ) A e pt = 0 ∴特征方程 : RC p + 1 = 0 uC( t ) = A e －t / RC p =－1 / RC ∵ uC( 0 ) = U0 ∴有 A = U0 ∴ 解为 uC( t ) = U0 e －t / RC

uR( t ) = －uC( t ) =－U0 e－t / RC i ( t ) = uR / R =－(U0 / R) e－t / RC u.i t ０ 变化曲线为: U0 uC( t ) － U0/R i( t ) －U0 uR( t )

显然 uC、uR 、 i 都是按同样的指数规律变化的，且都是按指数规律衰减，最后趋于零。 3、时间常数 令 τ = RC，称为RC串联电路的时间常数，单位秒（s）。 uC( t ) = U0 e －t /τ t τ 2τ 3τ 4τ 5τ uC U0 0.368U0 0.135U0 0.05U0 0.018U0 0.007U0

显然，零输入响应的初始值经过一个τ ，衰减为原来的36.8％。 一般在 t =(3～5)τ 时 uC( t )的值已很小,可认为暂态结束。 τ值越小,暂态过程进行得越快. τ值越大,暂态过程进行得越慢.

放电过程中，电容不断释放能量，电阻不断消耗能量，最终电容上的电场能全部被电阻吸收而转换为热能。 uC U0 0.368U0 t τ1 τ2 τ3 τ1＜τ2＜τ3 放电过程中，电容不断释放能量，电阻不断消耗能量，最终电容上的电场能全部被电阻吸收而转换为热能。

例2-3 解: 如图所示电路，开关闭合前电路处于稳定状态，试求开关闭合后电容电压uC。 2Ω 6Ω uC + R + + 12V 12Ω 5F uC 解:

二、RL电路的零输入响应 求解RL电路的暂态过程与求解RC电路的暂态过程的步骤相同,所不同的是RL电路的时间常数为 τ= L / R0 L单位为（H），R单位为（Ω）时, τ是秒。

例： K iL + uL L R uＲ (b) iL I0 R L (a) 对图(a)，在t=0-时刻有

由初始条件 RL电路的零输入响应曲线 ０ I0 t iL ０ t uL

第四节 一阶电路的零 状态响应 一、RC 电路的零状态响应 二、RL 电路的零状态响应

一阶电路的零状态响应 第四节 一、RC电路的零状态响应 与零输入相反，如果在换路瞬间储能元件没有能量储存，这种状态称为零状态。 此时，将电路中输入信号时，所产生的响应称为零状态响应。

1、换路后的微分方程 uR + uC = US i + 得到一阶常系数线性非齐次微分方程 S S在2位置 － u R = i R uC i = C duC / dt 得到一阶常系数线性非齐次微分方程

第 十一 讲 2002.8.9上午 录制

uR( t ) = US－uC( t ) = US e－t / τ 2 、解微分方程 uC( t ) = US +A e －t / RC uC( ∞ ) = US ∵ uC( 0 ) = 0 ∴有 A =－US －t /τ 令τ = RC uC( t ) = US (1－e ) uR( t ) = US－uC( t ) = US e－t / τ i ( t ) = uR( t ) /R = (US / R) e－t /τ

显然 i、uR 是按指数规律衰减，最后趋于零。uC 随 t 不断增加，最后趋于US 。 变化曲线如图 u.i US uR uC US/R i t τ 反映 RC电路充电的速度。一般，经过（3～5)τ 的时间，可认为暂态结束。

当t = τ 时 uc( t ) = Us ( 1－e －1) = 0.632 Us u US uC( t ) 0.632US t τ

例2-5 下图所示电路换路前处于稳态，试求换路后uC和uS。 解: R3 uC + C RO UO iC (b) t=0 3Ω 5A C + 12Ω 36Ω 2F IS (a) 解:

R3 t=0 12Ω 5A C + + R1 R2 uS uC 12Ω 12Ω 2F IS (a)

二、RL电路的零状态响应 在直流电源作用下RL电路的零状态响应，其分析方法与RC电路类似。

０ t uL ０ t iL US US /R RL电路的零状态响应曲线

　 可见，一阶电路的零状态响应是由初始值向稳态值变化的过程，其中主要是uC和iL这两个响应，他们都由零值变化到稳态值。 　 在零状态响应的动态过程中，电源提供的能量一部分被电阻消耗掉，一部分转换成电场能储存在电容元件中，或者转换成磁场能储存在电感元件中。

下图中，开关K原是闭合的，电路处于稳态，t =0 时刻断开。已知I0=2A , L=2H , R1=8 Ω , R2=20 Ω , R3=30 Ω 。求换路后的iL、uL。 例2-6 iL + uL R2 R1 R3 K I0 a b iL + uL L R I0 稳态时:

iL I0 + L uL R

第五节 一阶电路的全响应 一、RC 电路的全响应 二、RL 电路的全响应

第五节 一阶电路的全响应 换路前,储能元件有储能,即非零状态, 这种状态下的电路与电源接通，储能元件的初始储能与外加电源共同引起的响应，称为全响应。 对于线性电路，全响应为零输入响应和零状态响应的叠加。

一、RC电路的全响应 1、换路后的微分方程 初始条件为: uC(0+) = uC(0－) = U0 t = 0 S闭合 i S 1、换路后的微分方程 (t = 0) R uR 初始条件为: 　uC(0+) = uC(0－) = U0 + Us C － uC t = 0　 S闭合 　 uR + uC = UＳ 得到一阶常系数线性非齐次微分方程

uC( t ) =US +( U0－US ) e－t /τ 2、解微分方程 通解形式为: uC( t ) = US + A e－t / τ ∵ uC( 0 ) = U0 ∴ U0 = US + A A = U0－US 所以RC电路的全响应为 uC( t ) =US +( U0－US ) e－t /τ

对全响应的讨论 uC( t ) = UＳ + ( U0－UＳ) e－t /τ 全响应 = 稳态解 + 暂态解 (1) 全响应 = 稳态解 + 暂态解 U0 < US 此时电容将充电，最后达到稳态值 US。 U0 > US 此时电容将放电，最后达到稳态值 US。

变化曲线 uC U0 三要素法 U0>US 放电 US 充电 U0<US U0 t

= U0 e－t /τ + US ( 1－e－t /τ ) 符合叠加原理! uC( t ) = US + ( U0－US ) e－t /τ ( 2 ) uC( t ) = US + ( U0－US ) e－t /τ = US －US e－t /τ + U0 e－t /τ = U0 e－t /τ + US ( 1－e－t /τ ) 全响应 = 零输入响应 + 零状态响应 符合叠加原理!

例2-8 电路换路前处于稳态，试求换路后的全响应uc(t)。图中R1=10 Ω,R2=10 Ω, R3=20 Ω,C=0.01F,IS=1A,US=10V。 IS uC + C t=0 R3 R1 R2 US (a) uC + R2 IS R3 US 换路前 解: （1）

IS uC + C t=0 R3 R1 R2 US （2） IS + R3 R1 R2 US i3 换路后

（3） IS uC + C t=0 R3 R1 R2 US + C R3 R1 R2 除源电路

利用三要素法求uC( t ) （４）

例: = 80+(50.56－80) e－t/τ i 解: (1) 0 < t < 0.1ms (2) t > 0.1ms 　　　已知R1=R2 =10Ω ，US=80V，C=10μF, 　　　t = 0 开关S1闭合，0.1ms后，再将S2断开，　　　　　　　求uC的变化规律.(C上初始能量为零) 例: i S1 (2) t > 0.1ms uC(t1+)=uC(t1 －)=50.56V 全响应 uC(t)=US+(U０－US)e－t/τ = 80+(50.56－80) e－t/τ τ=(R1+R2)C=2×10－4 uC( t )=80 －29.44e－5000( t－t1 ) 解: (1) 0 < t < 0.1ms uC(0+)=uC(0－)=0 R1 + S2 零状态响应 UＳ C － uC(t)=US(1－e ) －t/R1C R2 = 80(1－e－10000t ) t1 = 0.1ms uC( t1) = 50.56V

第 十二 讲 2002.8.15上午 录制

二、RL电路的全响应 与RC电路相似，将iL的全响应用其初值iL(0+)，终值iL(∞）和τ这三要素表示出来，则有:

RL电路的全响应曲线 i ( 0+) > i (∞) 释放能量 储存能量 i ( 0+) < i (∞) t i L

例2-9 如图所示电路，换路前处于稳态。试求换路后iL和iS。 解: 换路前： 换路后稳态时： i3=0 iS R1 R2 15Ω 10Ω + Us iL 24V i3 R3 L 30Ω 2H i3=0 换路后稳态时：

iS R1 R2 15Ω 10Ω + Us iL 24V i3 R3 L 30Ω 2H 利用三要素法：

iL L + Us R1 R3 R2 15Ω 30Ω 10Ω 2H 24V iS i3 先由iL计算i3

本章小结 (1) 理想电路元件电感、电容也是电路的基本模型。它们的变量之间的关系为： 贮能元件

（2） 含有贮能元件的电路从一个稳定状态转变为另一个稳定状态的过程叫做电路的过渡过程。产生过渡过程的内在原因是电路有贮能元件，外部原因是换路。 （3） 电容器两端的电压和电感线圈中的电流都不能跃变，电容器两端的电压和电感线圈中的电流在换路前和换路后的瞬间应保持不变，这就是换路定律，其数学表达式是：

（4） 初始状态为零的响应叫做零状态响应。零状态响应是由输入激励产生的；输入激励为零的响应叫做零输入响应，它是由电路的初始贮能引起的。 过渡过程中的暂态分量（又称自由 分量）随时间的增长逐渐衰减并最后为零，其变化规律与输入激励无关； 而稳态分量（又称强制分量）的大小和变化规律则由输入激励决定。

（5） 由于考虑的角度不同，一阶线性电路的完全响应可以分解为零状态响应与零输入响应之和，也可以分解为暂态分量与稳态分量之和，即

（6）f (∞）、f (0+)、和τ称为一阶电路的三要素。只要知道了这三个要素，把它们代入小结 ( 5 ) 中的公式，待求量便可立即求得。这个方法就叫作求解一阶电路的三要素法。