第七节 方向导数与梯度 一、方向导数 二、梯度 三、物理意义
一、方向导数 定义: 若函数 在点 处 沿方向 l (方向角为 ) 存在下列极限: 记作 则称 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.
定理: 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 且有 证明: 由函数 在点 P 可微 , 得 故
对于二元函数 向角 为, ) 的方向导数为 特别: • 当 l 与 x 轴同向 • 当 l 与 x 轴反向
例1. 求函数 在点 P(1, 1, 1) 沿向量 3) 的方向导数 . 解: 向量 l 的方向余弦为
在点P(2, 3)沿曲线 例2. 求函数 朝 x 增大方向的方向导数. 解:将已知曲线用参数方程表示为 它在点 P 的切向量为
是曲面 在点 P(1, 1, 1 )处 例3. 设 指向外侧的法向量, 求函数 在点P 处沿 方向 的方向导数. 解: 方向余弦为 而 同理得
二、梯度 方向导数公式 令向量 方向导数取最大值： 方向：f 变化率最大的方向 这说明 模 : f 的最大变化率之值
1. 定义 向量 称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 (gradient), 记作 即 同样可定义二元函数 在点 处的梯度 说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影. 2. 梯度的几何意义
称为函数 f 的等值线 . 则L*上点P 处的法向量为 同样, 对应函数 有等值面(等量面) 当各偏导数不同时为零时, 其上 点P处的法向量为 函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线) , 指向函数增大的方向.
3. 梯度的基本运算公式
例4. 处矢径 r 的模 , 试证 证:
三、物理意义 数量场 (数性函数) 如: 温度场, 电位场等 函数 场 (物理量的分布) 向量场(矢性函数) 如: 力场,速度场等 可微函数 梯度场 ( 势 ) (向量场) 注意: 任意一个向量场不一定是梯度场.
例5. 已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点 处所产生的电位为 试证 证: 利用例4的结果 这说明场强: 垂直于等位面, 且指向电位减少的方向.
内容小结 1. 方向导数 • 三元函数 在点 沿方向 l (方向角 的方向导数为 • 二元函数 在点 沿方向 l (方向角为 的方向导数为
2. 梯度 • 三元函数 在点 处的梯度为 • 二元函数 在点 处的梯度为 3. 关系 • 可微 方向导数存在 偏导数存在 • 梯度在方向 l 上的投影.
思考与练习 1. 设函数 (1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线 在该点切线方向的方向导数; 的夹角 . 2. P131 题 16
解答提示: 1. (1) 曲线 在点 M (1,1,1) 处切线的方向向量 函数沿 l 的方向导数
2. P131 题 16
Ex: 1. 函数 在点 处的梯度 解: 则 注意 x , y , z 具有轮换对称性
2. 函数 在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A 指向 B( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是 . 提示: 则