幾何圖形的混沌-碎形(fractal) Mandelbrot(1983) 歐式幾何 碎形幾何 具有特徵尺度 無特徵尺度 整數維度 分數維度 尺度不變性 (scale-invariance):對幾何物體以不 同的尺度量測發現其幾何特徵不變 自我相似性:物體整體外觀與其部分組成之形 狀具有相似性 分為完全相似自我碎形(如Koch曲線)或統計 自相似曲線
科克曲線特徵 1.一條永不相交的封 閉曲線 2.長度無限 3.限制在一個有限的 面積內 統計自相似曲線
碎形維度:用以描述幾何物體的不規則程度 相似維度 對於滿足自我相似性要求之幾何物體,可定 義一相似維度 Ds=ln (N) / ln (r) r:尺度比例 N:子集合個數 Ex:如科克曲線 Ｄ= ln (N) / ln (r) = ln 4 / ln 3 =1.2618
奇異吸引子 經典動力學理論找到了三種吸引子:不動 點,極限環和環面吸引子. 奇異吸引子對系統的行為具有吸引性 創造奇異吸引子
一.非線性系統內在的隨機性 混沌所表現的隨機性是確定性系統內在 的隨機性. 二.渾沌具對初始條件的敏感依賴性 具渾沌現象的系統,其長期行為對初始 條件十分敏感. 三.渾沌是一種全新的序 混沌是一種不具週期性和明顯對稱性的 有序 四.如何描述 時空結構可以用分形來刻畫,它的行為必 須用奇異吸引子來 描述.
非線性系統導致混沌 非線性因素與線性因素互相影響達成某種平衡時: 系統運動在確定且穩定的範圍內隨機發展,使系統在有序和無序間動盪,在確定性和隨機性的統一體內發展,進入渾沌. 通往渾沌的道路-倍週期分岔道路(bisection) logestic function 0＜Xn＜1, a＞0 混沌中的普遍性 1.結構普遍性 2.測度普遍性
系統內渾沌現象的啟示 1.系統的短期預測較有把握 2.注意掌握渾沌混沌現象之關鍵參數(系統 主客觀分類),嚴防小失誤造成大危害 3.在觀察體系中,下層結構的競爭/合作現象 表現於上層結構的特徵