國中自然與生活科技 三年級 第一章 直線運動

本章學習目標 學習自然與生活科技主要是為了解是大自然中的現象；除了要有定性(快、慢)的描述，還要有定量(5km/s、3km/s)的描述。而這章主要是描寫時間與空間的關係。

時間 時間的量測、單位的定義

空間 一維空間(數線) 阿胖說：學校在我家前面十大步。 小明說：學校在我家後面五步。 請問學校到底在哪呢？

座標系 原點(參考點)、方向、單位長 小英說:路燈在樹前面十公尺，電線桿在樹後面三公尺 則我們以樹為原點(參考點) ，樹的前方為正向，樹的後方為負向(方向)，一公尺為一單位長 則可以把路燈的位置記為+10，樹的位置記為0，電線桿的位置記為-3

為何需要訂定座標系 座標系提供精確的空間上描述

位移與路徑長 位移的定義為 (終點位置) - (起始點位置) 路徑長的定義為實際移動的總長度(恆大於零) 小英從樹往後方跑8公尺，則位移為-8，路徑長為8 小晶不動，則位移與路徑長皆為0 小明從樹往前方走5公尺，再往後走4公尺，路徑長為9公尺，位移為+1

速率-平均速率 速率是為了定量形容物體移動之快慢之數值 平均速率定義為：路徑長(恆正)/所經過時間 小明100公尺跑了八秒；平均速率為100/8=12.5 (公尺/秒) 小英100公尺跑了十秒；平均速率為 100/10=10 (公尺/秒) 我們知道小明跑得比小英快，而小明的平均速率也很自然的比小英的平均速率大

速率-瞬時速率 瞬時速率是表示物體在某一瞬間的運動快慢的量值，簡稱速率 爸爸的汽車儀表板上顯示，時速60公里，這就是一種瞬時速率；如果爸爸維持這個運動的快慢，則一個小時可以前進60公里。

例題 爸爸以瞬時速率50公里/小時，移動一小時；再以70公里/小時，移動一小時，請問爸爸走了多遠呢？平均速率為何？ 答:全程的路徑長為50x1+70x1=120公里 則全程平均速率為120/2=60公里/小時。 (不等於50、70)

延伸思考 瞬時速率為一極短時間間隔(一瞬間)之內物體運動之平均速率，因此可視作物體在某一瞬間的運動快慢，簡稱速率

速度 平均速度定義為：位移/所經過時間 (平均速率定義為：路徑長/所經過時間)

例題 小明由原點直線向前跑一百公尺花了十秒，則其平均速度為(100-0)/10=+10公尺/秒 小英由原點直線向後跑三十公尺花了三秒，則其平均速度為(-30-0)/3=-10公尺/秒 小英之平均速率=30/3=10=100/10=小明之平均速率。 小明由原點向前跑五十公尺，再向後跑五十公尺，共花了二十秒，平均速率=(50+50)/20=5公尺/秒， 平均速度=(0-0)/20=0公尺/秒。

瞬時速度 瞬時速度為極短時間 (一瞬間)內所得之平均速度即為瞬時速度，可表示在那瞬間的速度快慢與方向。

例題 爸爸以瞬時速度+50公里/小時，移動一小時；再以-70公里 /小時，移動一小時，請問爸爸的位移為?平均速度為何? 答:位移為+50x1+(-70)x1=-20公里 則全程平均速度為-20/2=-10公里/小時。

位置-時間圖(x-t圖) 我們為了形容一個物體位置與時間的連續關係，可以以位置為縱軸，時間為橫軸將每一瞬間物體的位置對時間描繪在此圖形上，藉此描繪一段時間內物體之位置與時間關係。 我們可以從圖中快速的看出物體位置的變化。

由上圖我們知道小英在第一秒時在+3的位置，而隨著時間的增加小英的位置不斷上升，因此我們知道小英不斷向前行進，除了三到四秒間的短暫靜止。小明則在前四秒向前移動後，開始向後方移動。

速度-時間圖(v-t圖) 我們為了形容一個物體速度與時間的連續關係，可以以物體瞬間速度為縱軸，時間為橫軸將每一瞬間物體的速度對時間描繪在此圖形上，藉此描繪一段時間內物體之速度與時間關係。 從圖中可以看出物體運動狀態(快慢與方向)與其改變。

從上圖可知小華在第一秒時速度為+1，而在第二秒時加速至+3。而其速度皆為正值，故我們亦可知道小華在這段時間內不斷向前行進。創創則由一開始的向前移動漸漸開始減速變慢。最後漸漸開始向後方移動且速率越來越大，速度越來越小。

速率-時間圖 我們為了形容一個物體速率與時間的連續關係，可以以物體瞬間速率為縱軸，時間為橫軸將每一瞬間物體的速率對時間描繪在此圖形上，藉此描繪一段時間內物體之速率與時間關係。 從圖中僅可看出物體運動快慢與其改變，但無法得知其運動方向。

等速率運動 物體在運動時快慢(瞬時速率)保持不變(方向可能有所改變)則稱為等速率運動。

等速度直線運動 物體在運動時，速度保持不變(快慢、方向固定)，故軌跡必為直線，因此稱為等速度直線運動。 而我們知道一等速運動(速度V0)物體在一特定時間之內(t1到t2)之位移(X)間之關係為: X / (t2 - t1)= V0 ∴X = V0 * (t2 - t1)

而我們從此物體之速度-時間圖中可以發現t2到t1間直線下方之面積為V0 * (t2 - t1) ，與此段時間內之位移相同！ 也因此我們可以用速度-時間圖下方的面積來計算特定時間內之物體位移 V0 V0

滑車實驗 點與點之位移為滑車之速度x時間

加速度 爸爸開車從靜止啟動，然後開上道路，期間碰到紅綠燈踩剎車停止；這段期間車子快慢有所改變，而為了定量形容速度的改變，我們定義: 平均加速度為(末速度-初速度)/所經過時間 瞬時加速度則可視為在時間間隔很短時之平均加速度，可代表物體在某一瞬間的運動速度變化，簡稱加速度。 (講解加速度大小所代表的意義，例如正、負加速度)

例題 車子從靜止加速到10m/s花了10 秒 其加速度=(10-0)/10=1(m/s2) 若車子花了五秒從10m/s剎車到5m/s

等加速度運動 物體在運動過程中，加速度始終保持一定，這樣的運動稱為等加速度運動(平均加速度等於瞬時加速度)

等加速度運動 而我們知道一等加速運動(加速度a0)物體在一特定時間之內(t1到t2)之速度變化量(ΔV)間之關係為: ΔV / (t2 - t1)= a0 ∴ΔV = a0 * (t2 - t1)

而我們從此物體之加速度-時間圖中可以發現t2到t1間直線下方之面積為a0 * (t2 - t1) ，與此段時間內之速度變化量相同！ 也因此我們可以用加速度-時間圖下方的面積來計算特定時間內之物體速度變化。 a0 a0

等加速度運動下之位移 而我們又要怎麼求得等加速度運動下某一時段內之位移呢？ 我們可以藉由速度-時間關係圖下之面積來求得。 那麼我們要怎麼畫出等加速度運動下之速度-時間關係圖呢？

假設: 初始時間為0，其瞬時速度V0 時間t時，其瞬時速度V 則: (V - V0) / (t - 0) = a0 ∴ V = V0 + a0 * t 因此我們得到了物體速度對時間的關係，藉此畫出我們所需的速度-時間關係圖。

而我們現在想知道一等加速運動(加速度a)物體t時間內之位移(X)時即可借助圖形(梯形)下之面積來求得: X = (V0+V)*(t-0)/2 = [V0+(V0+a*t)]*(t-0)/2 = V0 * t + ( a * t * t / 2 )

而當V0 = 0時 X = a * t * t / 2

而我們現在想知道一等加速運動(加速度a)物體在一特定時間之內(t1到t2)之位移(X)時即可借助圖形(梯形)下之面積來求得: X = (V1+V2)*(t2-t1)/2 = [(V0+a*t1)+(V0+a*t2)]*(t2-t1)/2

綜合討論

例題 自由落體

製作團隊 臺大電機系 鄭宇翔 高幼鈞 賴季群 呂紹綸 陳俊瑋 林子喬 指導老師： 闕志達教授