次數分配與累積次數 相對次數與累積相對次數 自我評量

我們常從報紙或網路上看到一些由統計數據資料所呈現的統計圖表，例如下圖是臺北市民國97年交通事故肇事原因分析圖，從圖中可以讓我們警覺到開車時容易發生車禍的原因。

（資料來源：臺北市政府警察局交通大隊） 圖2-1 臺北市 民國97年交通事故肇事原因分析圖

這些統計圖表是由統計數據所製作出來的，接下來我們將複習國小曾經學過的長條圖、折線圖與圓形圖。

文星國中的圖書館有18000本圖書，各類書籍的數量如下表： 1 長條圖與圓形圖 文星國中的圖書館有18000本圖書，各類書籍的數量如下表： 分類 總類 哲學 宗教 自然科學 應用科學 社會科學 史地 語文 美術 本數 (本) 500 3500 2500 3000 2000 4500 1000 (1)製作該校各類書籍數量的長條圖。 (2)製作該校各類書籍數量的圓形圖。

解 (1)製作長條圖的方法如下： ● 步驟 1 畫出互相垂直的橫軸與縱軸。 ● 步驟 2 在橫軸標示圖書類別。 ● 步驟 3 在縱軸標示數量與單位（本）。 ● 步驟 4 取適當寬度，在橫軸上依照各類 圖書數量往上畫出矩形。

依照上述步驟畫出可以得到下圖： 文星國中圖書館書籍數量長條圖

● 步驟 1 利用 × 360°計算該類 圖書在圓形圖中所占圓心角度數。 (2)製作圓形圖的方法如下： ● 步驟 1 利用 × 360°計算該類 圖書在圓形圖中所占圓心角度數。 分類 總類 哲學 宗教 自然科學 應用科學 社會科學 史地 語文 美術 本數(本) 500 3500 2500 3000 2000 4500 1000 圓心角 度數(度) 10 70 50 60 40 90 20 ● 步驟 2 依照圓心角畫出代表各類圖書數量 的扇形。

依照上述步驟可以得到下圖： 文星國中圖書館書籍數量圖形圖

承例題1，製作文星國中圖書館各類書籍數量的折線圖。 文星國中圖書館書籍數量折線圖

任何蒐集到的資料，若能做適當的整理與歸納，常常可以將資料當中的資訊清楚的顯示出來，更容易運用這些資料。 次數分配表 下表是三年甲班第一次期中考數學成績的一覽表，從表 2-1 中，我們可以得知每位學生的數學成績，但是如果想進一步知道哪一個區間分數的人最多，或者成績優劣的分布情形，就必須加以整理。

表2-1 三年甲班數學成績一覽表 座號 成績(分) 1 80 11 55 21 66 31 79 2 78 12 85 22 32 45 3 72 13 64 23 38 33 88 4 65 14 98 24 34 75 5 76 15 70 25 84 35 48 6 95 16 26 58 36 100 7 54 17 82 27 89 37 8 87 18 62 28 43 9 77 19 94 29 39 10 20 30 44 40

資料整理的方法如下： ● 步驟 1 將所有資料做適當的分組： 如表2-1中，最低分是36分，所以從30分 開始，每10分為一組，分成30∼40分、 40∼50分、50∼60分、60∼70分、70∼80分 、80∼90分、90∼100分等七組。在本教 材中規定：分組時，「a～b」表示資料 在 a 以上（含a ）而未滿 b（不含b ）， 但特別在處理成績分組時，最後一組 90∼100分也含100分。

30∼40分：成績在30分以上（含30分） 且未滿40分（不含40分）。 40∼50分：成績在40分以上（含40分） 且未滿50分（不含50分）。 90∼100分：成績在90分以上（含90分） 且100分以下（含100分）。 ： 在分組時，每一組的範圍都要相同，像這樣相同的範圍稱為組距。

● 步驟 2 統計判斷每一個人的分數歸屬於哪一 組，並在該組的計數符號欄畫記，最後 再統計該組的人數：

表2-2 三年甲班數學成績次數分配表 成績（分） 計數符號欄 次數（人） 30∼40 // 2 40∼50 //// 4 50∼60 60∼70 //// /// 8 70∼80 //// //// 10 80∼90 90∼100 合計 40

表2-2稱為次數分配表（有些次數分配表不含計數符號欄），從表中我們很容易發現70∼80分的人數最多。

下表是珮茹班上同學體重一覽表，請完成該班同學體重次數分配表。 座號 成績(分) 1 51 11 58 21 59 31 68 2 56 12 55 22 49 32 69 3 64 13 47 23 33 54 4 71 14 24 34 77 5 15 25 52 35

座號 成績(分) 6 58 16 57 26 67 36 74 7 50 17 53 27 52 37 61 8 18 66 28 70 38 9 45 19 51 29 48 39 55 10 64 20 63 30 40 62

珮茹班上同學體重次數分配表 40 //// / 6 //// /// 8 //// //// // 12 //// / 6 //// 4 體重（公斤） 計數符號欄 次數（人） 45∼50 50∼55 55∼60 60∼65 65∼70 70∼75 75∼80 合計 40 //// / 6 //// /// 8 //// //// // 12 //// / 6 //// 4 /// 3 / 1

次數分配直方圖與折線圖 在完成次數分配表後，為了讓資料的呈現更容易一目了然，通常會繪製成次數分配直方圖或次數分配折線圖，方法如下： 1. 製作次數分配直方圖： ● 步驟 1 畫出互相垂直的橫軸與縱軸。 ● 步驟 2 在橫軸標示成績及單位(分)，從適當位 置開始，由左到右依次標示各組分數。

● 步驟３在縱軸標示次數及單位(人)。 ● 步驟４分別以各組距為底，該組距次數(人) 為高畫出長方形，注意底部刻度間隔 要相同，且長方形互相鄰接，不可以 有空隙。

依照上述步驟可以得到下圖： 符號「 」表示 中間部分省略。 圖2-2 三年甲班數學成績次數分配直方圖

2. 利用次數分配直方圖製作次數分配折線圖： ● 步驟 1 找出各組的中點，此點稱為組中點， 又稱為組中距。

表2-3 三年甲班數學成績次數分配表 (30＋40)÷2＝35 (40＋50)÷2＝45 (50＋60)÷2＝55 (60＋70)÷2＝65 成績(分) 次數(人) 組中點 30∼40 2 35 40∼50 4 45 50∼60 55 60∼70 8 65 70~80 10 75 80∼90 85 90∼100 95 合計 40 (30＋40)÷2＝35 (40＋50)÷2＝45 (50＋60)÷2＝55 (60＋70)÷2＝65 (70＋80)÷2＝75 (80＋90)÷2＝85 (90＋100)÷2＝95

● 步驟 2 在坐標平面上標出點(35 , 2)、(45 , 4)、 (55 , 4)、(65 , 8)、(75 , 10)、(85 , 8)、 (95 , 4)。 ● 步驟 3 由左至右用線段依序連接這些點。 (35 , 2)表示30≦成績＜40有2人； (45 , 4)表示40≦成績＜50有4人。

依照上述步驟可以得到下圖： 圖2-3 三年甲班數學成績次數分配折線圖

由圖2-2與圖2-3中可知，70∼80分的人數最多，60∼70分與80∼90分的人數其次；成績從50∼60分到60∼70分的人數上升最多。

下表為志傑班上同學體重的次數分配表，請製作該班體重次數分配直方圖與該班體重次數分配折線圖。 搭配習作P25基礎題1 體重(公斤) 次數(人) 45∼50 6 50∼55 8 55∼60 12 60∼65 65∼70 4 70∼75 3 75∼80 1 合計 40 下表為志傑班上同學體重的次數分配表，請製作該班體重次數分配直方圖與該班體重次數分配折線圖。 志傑班上同學體重次數分配表

志傑班上同學體重次數分配直方圖

志傑班上同學體重次數分配折線圖

累積次數分配表與折線圖 在表 2-2 中，如果想了解成績未達60分有多少人，或者成績為70分以上（含70分）有多少人，通常會整理成累積次數分配表或繪製累積次數分配折線圖，方法如下： 1. 製作累積次數分配表： 將所有資料做成次數分配表後，從成績最少的 一組到成績最高的一組，一組一組的把人數加上去，完成累積次數分配表如表2-4：

表2-4 三年甲班數學成績累積次數分配表 2 4 4 ＋ 2＝ 6 8 4 ＋ 6＝10 8 ＋10＝18 10 ＋18＝28 體重(公斤) 次數(人) 累積次數(人) 30∼40 2 40∼50 4 6 50∼60 10 60∼70 8 18 70∼80 28 80∼90 36 90∼100 40 合計 4 ＋ 2＝ 6 4 ＋ 6＝10 8 ＋10＝18 10 ＋18＝28 8 ＋ 28＝36 4 ＋ 36＝40

2. 利用累積次數分配表製作累積次數分配折線圖： ● 步驟 1 畫出互相垂直的橫軸與縱軸。 ● 步驟 2 在橫軸標示成績及單位(分)。 ● 步驟 3 在縱軸標示累積次數及單位(人)。 ● 步驟 4 在坐標平面上標出點(30 , 0)、(40 , 2)、 (50 , 6)、(60 , 10)、(70 , 18)、(80 , 28)、 (90 , 36)、(100 , 40)。 ● 步驟 5 由左至右用線段將這些點依序連接起 來。 (30 , 0)表示沒有人低於30分； (40 , 2)表示未達40分的有2人。

依照上述步驟可以得到下圖： 由表2-4或圖2-4中可知，成績未達60分有10人；又因為成績累積未達70分有18人，所以成績為70分以上(含70分)有40－18＝22(人)。 圖2-4 三年甲班數學成績累積次數折線圖

完成三年乙班全班同學體重累積次數表，並繪製累積次數分配折線圖： 6 14 26 32 36 39 40 搭配習作P27基礎題2 完成三年乙班全班同學體重累積次數表，並繪製累積次數分配折線圖： 體重(公斤) 次數(人) 累積次數(人) 45∼50 6 50∼55 8 55∼60 12 60∼65 65∼70 4 70∼75 3 75∼80 1 合計 40 6 14 26 32 36 39 三年乙班全班同學體重累積次數分配表 40

三年乙班全班同學累積次數分配折線圖

如果我們想知道各組人數占總人數的百分比，可以將各組人數與總人數的比值用百分比表示，稱為各組人數對總人數的相對次數。 例如：60∼70分有8人，全班共40人，得 ×100％＝20％，所以60∼70分的人數占全班的20％。 接下來，我們分別將各組人數與全班人數的比值用百分比表示，可得相對次數分配表如下：

表2-5 三年甲班數學成績相對次數分配表 成績(分) 次數(人) 相對次數(％) 30∼40 2 5 40∼50 4 10 50∼60 60∼70 8 20 70∼80 25 80∼90 90∼100 合計 40 100

根據表2-5，可以繪製相對次數分配直方圖如下： 圖2-5 三年甲班數學成績相對次數分配直方圖

根據圖2-5 可得相對次數分配折線圖如下： 圖2-6 三年甲班數學成績相對次數分配折線圖

請完成三年乙班全班同學體重相對次數分配表，並繪製相對次數分配直方圖與相對次數分配折線圖。 15 20 30 15 10 7.5 2.5 搭配習作P25基礎題1 體重(公斤) 次數(人) 相對次數(％) 45∼50 6 50∼55 8 55∼60 12 60∼65 65∼70 4 70∼75 3 75∼80 1 合計 40 100 請完成三年乙班全班同學體重相對次數分配表，並繪製相對次數分配直方圖與相對次數分配折線圖。 15 20 30 15 10 7.5 2.5 三年乙班全班同學體重相對次數分配表

三年乙班全班同學體重相對次數分配直方圖

三年乙班全班同學體重相對次數分配折線圖

為了看出某一層次以上或未達某一層次所占的比例，我們可以製作累積相對次數分配表。如果想知道70分以上（含70 分）的人數占全班的百分比，或未達60分的人數占全班的百分比，只要將相對次數累加，就可以得到累積相對次數分配表如下：

表2-6 三年甲班數學成績累積相對次數分配表 10＋ 5＝ 15 10＋15＝ 25 20＋25＝ 45 25＋45＝ 70 (公斤) 次數 (人) 累積 相對 (％) 累積相 對次數 30∼40 2 5 40∼50 4 6 10 15 50∼60 25 60∼70 8 18 20 45 70∼80 28 70 80∼90 36 90 90∼100 40 100 合計 10＋ 5＝ 15 10＋15＝ 25 20＋25＝ 45 25＋45＝ 70 20＋70＝ 90 10＋90＝100

從表2-6可以知道，未達60分的人數有25％；因為未達70分的人有45％，所以70分以上（含70 分）的人有55％（1－45％＝55％）。 利用累積相對次數分配表可以繪製累積相對次數分配折線圖，步驟如下： ● 步驟 1 畫出互相垂直的橫軸與縱軸。 ● 步驟 2 在橫軸標示成績及單位(分)。 ● 步驟 3 在縱軸標示累積相對次數及單位(％)。

● 步驟 4 在坐標平面上標出點(30 , 0)、(40 , 5)、(50 , 15)、(60 , 25)、(70 , 45)、(80 , 70)、(90 , 90)、(100 , 100)。 ● 步驟 5 由左至右用線段將這些點依序連接起來。 (40 , 5)表示成績未達40分的有5％； (50 , 15)表示成績未達50分的有15％。

依照上述步驟可以得到累積相對次數分配折線圖如下： 圖2-7 三年甲班數學成 績累積相對次數 分配折線圖

完成三年乙班全班同學體重累積相對次數分配表，並繪製累積相對次數分配折線圖。 搭配習作P25基礎題1 完成三年乙班全班同學體重累積相對次數分配表，並繪製累積相對次數分配折線圖。 三年乙班全班同學體重累積相對次數分配表

體重 (公斤) 次數 （人） 相對次數 (％) 累積相對次數 （％） 45∼50 6 50∼55 8 55∼60 12 60∼65 65∼70 4 70∼75 3 75∼80 1 合計 40 100 15 15 20 35 30 65 15 80 10 90 7.5 97.5 2.5 100

三年乙班全班同學體重累積相對次數分配折線圖 搭配習作P25基礎題1 三年乙班全班同學體重累積相對次數分配折線圖

2 報讀次數分配直方圖 佩君從大賣場買了50個電 池來測試它們的使用時間 ，測試完畢後，將其使用 時間畫成次數分配直方圖 ，如右圖所示，回答下列 問題： (1)使用時間在8∼9小時的電池有多少個？ (2)使用時間少於6小時的電池有多少個？

解 (1)從圖中可以知道電池使用時間在8∼9小時的有10個； (2)∵使用時間在4∼5小時有4個，5∼6小時有6個， ∴電池使用時間少於6小時的有4＋6＝10(個)。

右圖是三年丙班週休二日的讀書時間次數分配折線圖，回答下列問題： (1)多少人的讀書時間為 6∼8小時？ (2)多少人的讀書時間大 於10小時？ 10 人 7＋6＋4＝17（人）

3 報讀累積相對次數分配折線圖 下圖是將正義國中三年級1200位學生數學成績分組統計後所繪製的累積相對次數分配折線圖。 正義國中三年級學生數學成績累積相對次數分配折線圖

回答下列問題： (1)70分以上（含70分）占全班的百分比是多少？ (2)不及格（未滿60分）有多少人？ (3)70∼90分（含70分，不含90分）有多少人？ 從累積相對次數分配折線圖可以知道： (1)未達70分的人數占全班的80％， ∴70分以上(含70 分)的人數占全班的 1－80％＝20％。 解

解 (2)不及格(未滿60分)的人數占全班的60％， ∴不及格(未滿60分)有1200× ＝720(人)。 (3)未滿90分占全班的90％， 未滿70分(不含70分)占全班的80％， ∴ 70∼90分的人數占全班的 90％－80％＝10％。 故70∼90分有1200× ＝120(人)。

三年戊班共50人， 右圖是該班學生的 身高累積相對次數 分配折線圖，則160 公分(含160公分)以 上且未達170公分(不含170公分)有多少人？ 三年戊班學生身高累積相對次數分配折線圖 70％－40％＝30％ 50×30％＝15（人）

1.次數分配表： 將所有資料適當的分組，並把每一個資料畫 記到其中一組作為一次，最後再將該組次數 統計，所得到的統計表稱為次數分配表。 2.次數分配直方圖： 以各組為橫軸，次數為縱軸，構成坐標平面 ，再以各組為底，該組次數為高，畫出長方 形，所得到的直方圖稱為次數分配直方圖。

3.次數分配折線圖： 以各組為橫軸，次數為縱軸，構成坐標平 面，再以各組的組中點與該組的次數之數對 為坐標畫點，再依序連接各點，所得到的折 線圖稱為次數分配折線圖。 4.累積次數分配表： 在次數分配表中，將各組次數依序累加，所 得到的統計表稱為累積次數分配表。

5.相對次數分配表： 在次數分配表中，將各組資料的次數與全部 資料的比值用百分比表示，所得到的統計表 稱為相對次數分配表。 6.累積相對次數分配表： 在相對次數分配表中，將各組相對次數依序 累加，所得到的統計表稱為累積相對次數分 配表。

1.惠雯班上同學的身高如下表，回答下列問題： 2-1 自我評量 1.惠雯班上同學的身高如下表，回答下列問題： 惠雯班上同學身高一覽表

座號 身高(公分) 1 181 11 154 21 174 2 175 12 155 22 168 3 13 161 23 163 4 172 14 182 24 162 5 160 15 176 25 170 6 147 16 169 26 153 7 159 17 146 27 165 8 178 18 156 28 180 9 19 143 29 158 10 20 150 30 167

(1) 完成累積相對次數分配表： 140∼150 150∼160 160∼170 170∼180 180∼190 合計 30 100 /// 身高(公分) 計數符號欄 次數(人) 相對次數(％) 累積相對次數(％) 140∼150 150∼160 160∼170 170∼180 180∼190 合計 30 100 /// 3 10 10 //// //// 9 30 40 //// //// 9 30 70 //// / 6 20 90 /// 3 10 100

(2)繪製次數分配直方圖： 惠雯班上同學身高次數分配直方圖

(3)繪製相對次數分配折線圖： 惠雯班上同學身高相對次數分配折線圖

(4)繪製累積相對次數分配折線圖： 惠雯班上同學身高累積相對次數分配折線圖

(1)完成三年乙班國文成績累積次數分配表： 5 13 22 34 41 50 2.回答下列問題： 三年乙班國文成績累積次數分配表 (1)完成三年乙班國文成績累積次數分配表： 成績(分) 次數(人) 累積次數(人) 40∼50 5 50∼60 8 60∼70 9 70∼80 12 80∼90 7 90∼100 合計 50 5 13 22 34 41 50

(2)繪製三年乙班國文成績累積次數分配折線圖： 三年乙班國文成績累積次數折線圖

3.大成里共有1200人，右圖是大成里全部里民年齡的累積相對次數折線圖，則在30歲(含30歲)以上未達50歲(不含50歲)有多少人？ 80％－40％＝40％ 1200×40％＝480(人) 大成里全部里民年齡累積相對次數分配折線圖