Ch8 功與能量 § 8-1 功 § 8-2 動能與功能定理 § 8-3 功率 § 8-4 位能與力學能守恆原理 § 8-5 地表附近的重力位能 § 8-6 彈力位能 § 8-7 重力位能的一般式 § 8-8 能量守恆定律

§ 8-1 功 作功的意義：作功為能量轉移的過程。 定力所作的功： θ

功的單位： 功的符號： 功的性質： 焦耳（J）= 牛頓（N）．公尺（m） 耳格（erg）= 達因（dyne）．公分（cm） 功的量值會隨參考座標不同而改變。 例如當電梯下降時，電梯內的觀察者見重力對電梯內的靜止物體不作功。電梯外的觀察者見重力對該物體作正功。

當物體同時受到幾個力的作用時，合力對物體所作的功等於各分力對物體所作功的代數和。 例題：以下有關功之敘述，何者為正確？ (A)人造衛星繞地球一週，萬有引力對衛星所作之功為零。 (B)手持重物，但手未運動，則手對重物所作之功為零。 (C)單擺運動中，繩之張力對擺錘所作之功為零。 (D)單擺運動中，重力對擺錘所作之功為零。 (E)以手沿一粗糙表面推一重物以等速前進，則手對重物所 作之功為零。 [71 日大] 答案：ABC

例題：一人以繩拖曳質量為 10 kg 之雪撬，使其等速前進，如附圖，若雪撬和地面間的摩擦係數為 0 例題：一人以繩拖曳質量為 10 kg 之雪撬，使其等速前進，如附圖，若雪撬和地面間的摩擦係數為 0.20，拉力與水平成 45o角，問前進 30 m 時此人對雪撬所作的功若干？ 答案：490焦耳

例題：一質量 2 公斤的物體，放在傾斜 37o 的斜面上，物與斜面之間的摩擦係數為 0. 5，將物體等速拉至斜面上 1 例題：一質量 2 公斤的物體，放在傾斜 37o 的斜面上，物與斜面之間的摩擦係數為 0.5，將物體等速拉至斜面上 1.2 公尺的高度，求拉力、重力、摩擦力所作的功分別為何？（ g = 10 m∕s2） N mg F f 37o 1.2m 答案： 拉力：40(J) 重力：－24(J) 摩擦力：－16(J)

例題：質量為 m 之物體作以速度 v 水平拋射，則在第 t 秒內重力所作之功為何？

例題：如圖，人在水平方向行走，而將跨過滑輪懸掛的 25 公斤物體拉起，當此人在平路上行走 2 公尺時，繩與水平的夾角由 53o 變成 37o，若物體是以等速率升高，則人做功__________焦耳。 （g = 9.8 m∕s2） 53o 37o 答案：350

例題： 6. 0N 的水平向右定力與其它力同時作用在質點 P 身上，使 P 自 A 點沿半徑 2 例題： 6.0N 的水平向右定力與其它力同時作用在質點 P 身上，使 P 自 A 點沿半徑 2.0m 的圓周運動 3∕4 圓周到 B 點時，問對 P 共作多少功？ A B 答案：－12焦耳

變力所作的功： 當作用在物體上的力不為定值時，需要利用積分的技巧來計算力量所作的功。觀念上我們將物體的位移細分成許多相等的小段，每一小段功的計算可以將作用力當成定值，如此將每一小段的功算出後再總加起來，所得的值大約等於實際的值。當位移分的越細誤差就越小，在極限的情況時即得到實際值。數學式的表示為 Fx x Δx 物體在一直線上運動，受到的作用力平行於物體的位移，則作用力所作的功等於作用力對位移的關係圖中所圍出來的面積。

例題：一長度為 ℓ，質量為 m 的均勻繩子，其 4∕5 長度置於一無摩擦力之水平桌面上，另外 ℓ∕5 長度則懸吊於桌邊下垂（如圖），將此繩子全部拉回桌面上所需作的功為何？ F ΔS

例題：以 2 牛頓的力量可將一彈簧拉長 5 公分，今施一力將此彈簧由伸長量 20 公分變化至 30 公分，則施力所作的功為何？ 答案：1焦耳 0.2 0.3 Δx (m) F (N) 12 8

例題：如附圖，質量為 m 之物體懸掛於一彈簧下端，達力平衡時彈簧伸長 x。今施力將物體下拉 x 距離需作功 W，則將物體再施力下拉 x 需再作功 ____ W；將物體再下拉 x 的過程中，彈力作功為_____W。 答案：3；－3

例題：一均勻圓柱形木棒垂直浮於水中，浸入水中的部分為原體積的一半。若水的密度為ρ，木棒長為 L，截面積為 A，以垂直向下的力，將木棒緩慢壓至恰好完全浸入水中，則所作之功為若干？

§ 8-2 動能與功能定理 動能：物體因運動時所具有對外作功的能力。當一質量為 m 的物體，以 v 的速率運動時，其動能以符號 Ek 表示，定義為 動能為純量，其單位與功的單位相同。 功能定理： 合力對物體所作的功等於物體的動能變化量。

物體所受合力如不為定值，利用微積分的技巧，可以證明功能定理仍然成立。

例題：斜角 37o 斜面底端，有一質量 10 kg 之靜止物體，受一平行斜面之定力推上 5 m 後速率成為 4 m∕s，若物與斜面間之摩擦係數 μ＝0.2，g＝10 m∕s2，則此力作功若干焦耳？ 答案：460

例題：質量 1kg 的物体由靜止受固定方向作用力而直進，F - t 圖如右圖所示，求 (1) 5→10 秒，此力所施之衝量。 (2) 5→10 秒，此力所作之功。 F t 10 5 5 10 答案： (1)12.5 (N-s)；(2)約為547焦耳

例題：一物沿斜面上滑一距離 d 後，又滑回原處；測得上滑之初速為 v，滑回原處之末速為 v∕3。若物體質量為 m，則物體與斜面間之摩擦力為何？

例題：一物體以 v 的速率沿一斜面向上滑行，如重力對其作功的量值為斜面摩擦力對其作功量值的三倍，則物體上到最高點又滑回原處時的速率為_____ v。

例題：某人持一質量為1.0 kg 的鐵鎚，以速度 1.0 m/s 將鐵釘打入一固定的硬木塊中。假設鐵釘在木塊中所受的阻力和其進入的深度成正比，第一次敲擊後，鐵釘深入木塊中的距離為 0.50 cm，則在鐵鎚以同樣的方式總共敲擊 4 次後，鐵釘進入木塊中的總深度為何？ 答案：1cm

§ 8-3 功率 功率的定義：作功的速率。 功率的單位： 瓦特（W）= 焦耳∕秒（J∕s）。 馬力（hp）= 746 瓦特。

功率的關係式：

例題：質量 2 公斤之物，由靜止開始，落下 5 公尺的瞬間，重力對該物作功之功率為何？整個過程的平均功率為何？（g = 10 m∕s2） 答案：200瓦特；100瓦特

例題：一物體以仰角 53o作斜向拋射，經一段時間物體的速度方向和水平面夾 37º仰角，則此時的重力對物體的瞬時功率與這段時間內的平均功率之比為何？ 答案：18：25

例題：假設一船在水中航行時，所受之阻力和速率平方成正比。若欲使船速加倍，則引擎輸出功率必須為原有之： (A)2倍 (B)1∕2倍 (C)4倍 (D)8倍 (E)1∕4倍。 答案：D

例題：有一卷均勻長鐵鏈每公尺質量1kg，平置於光滑水平地面上，將其一端以 4m/s 之速度拉之，則施力之功率為何？ 答案：64 瓦特

§ 8-4 位能與力學能守恆定律 位能： 位能的意義：物體因所在的位置不同，而使得某一力量對其具有不同的作功能力，即稱為物體具有此力量所對應的位能。 位能的特性：當力量對物體作功時與物體移動的路徑無關，只與其前後的位置有關時，才能定義對應的位能，此種力量稱為保守力。非保守力對物體作功的能力與物體移動的路徑有關，物體在不同兩處，非保守力對其作功的能力並沒有固定的差額，因此無法定義對應的位能。 位能的種類：在高中階段能定義位能的保守力只有少數幾個，其中有重力、彈力、電力等。

力學能： 力學能的定義：將物體的動能與位能合稱為力學能。 力學能守恆定律：當只有保守力在對物體作功時，則物體的力學能為守恆量。後面將在各種情況下證明力學能守恆定律。 保守力作正功，則對應的位能減少，保守力作負功，則對應的位能增加。 非保守力所作的功等於力學能的變化量。

§ 8-5 地表附近的重力位能 重力對物體所作的功：質量為 m 的物體，在地球表面，由高度為 h1 處移動到高度為 h2 處，重力對其所作的功與路徑無關，只與其前後位置有關，其值為 mg 1 2 h1 – h2 證明：如右圖，將物體路徑細分成許多小段，每一小段的位移近似直線。將每一小段重力對物體所作的功加總，即得到總功。 這同時也證明了重力對物體所作的功與路徑無關。

重力位能：物體在地表附近時，重力對物體作功的能力與其所在的高度成正比，而與移動的路徑無關。此因物體所在的位置不同而使得重力對其具有不同的作功能力，稱物體具有不同的重力位能。當物體在 h 高度時，重力對其所能作的功比物體在 h = 0 的位置時，重力對其所能作的功多了 mgh 的值。因此物體在 h 高度時，我們說物體具有 mgh 的重力位能。以符號 Ug 表示 力學能守恆定律：物體在地表附近運動，當只有重力對物體作功不為零時，物體的力學能 E 保持定值。

1 2 h1 h2

例題：一物體以 5 公尺∕秒的初速及 53o 的仰角在水平地面上斜向拋出，試利用力學能守恆定律求： (1) 物體所能達到的最大高度 (2) 物體在 0.5 公尺高度時的速率。 （g = 10m∕s2） 答案：(1) 0.8公尺

例題：將總長度 L，有質量，不伸長之繩置於水平光滑桌面上。以手按住，使長度 L∕3 的一段下垂，如右圖。鬆手使繩滑下，則繩完全通過桌緣的瞬間，其速率為何？

例題：如右圖，設平面 AB 與圓形曲面 BCD（半徑為 r）均光滑，一質點以初速 自 A 點朝曲面運動（g 為重力加速）。此質點經 B、C、D 各點落回平面 AB 上。問落點與 B 點的距離為何？ v0 r v

例題：一光滑圓形軌道半徑為 R，軌道平面與水平面垂直。一質點受重力及軌道正向力的作用，在軌道上運動時，其最大速率是最小速率的 6∕5 倍。設重力加速度為 g，則此質點的最小速率為何？ [81.日大] v1 v2

例題：一質量為 m 之質點附在一質量可略去之長桿一端。該長桿能以其另一端為軸在一垂直面上無摩擦地自由旋轉。若長桿最初靜止於與鉛垂線成 60o 角之位置，如圖，則放下後質點落到最低點時長桿之張力為何？ [70.日大] 60o mg T v

例題：擺長 L 之單擺，擺錘質量 m，擺錘自擺角 60o 處釋放。若在懸點正下方 L∕2 處有一橫桿，當擺錘擺至另一側擺角亦為 60o 瞬間，繩的張力為何？

例題：某人由 A 乘坐無動力的小滑車循軌道滑下，希望能夠緊貼著如圖的軌道完成圓圈的打轉而不脫離，假定摩擦可以忽略，圓圈的半徑為 R，則 A 點至少要比 B 點高出多少才行？ [69.日大]

A R O θ N mg 例題：如圖所示，一靜止小物体自半徑 R 的固定光滑半球頂端下滑，而自 A 點滑離球體，則 A 點離地多高？ v

例題：如右圖所示，在水平地面上有一滑車，質量為 M，滑車上有一弧形軌道，軌道底端成水平。有一質量為 m 的物體，從軌道頂端沿著軌道自由滑下，則當物體 m 滑離軌道底端之瞬間，滑車的速度量值為__________。 [80.日大] H M m

§ 8-6 彈力位能 彈力所作的功：一彈簧在彈性限度內對物體的彈力大小 F，依據虎克定律為 F = kx，k 為彈力常數，x 為彈簧的伸縮量。如右圖，當物體受到彈力的作用從彈簧的伸縮量為 x1 處移動到伸縮量為 x2 處時，彈力對其所作的功為 x x1 x2 x1 x2 x F kx1 kx2 證明：如右上圖，彈力所作的功為 F – x 圖中所為面積，

彈力位能：根據上面的結論，一條彈簧對物體作功的能力與其伸縮量有關，伸縮量越大對外作功的能力越多。因此定彈簧處於原長時之彈力位能為零，則當彈簧的伸縮量為 x 時，其對外所能作的功即為彈簧的彈力位能，以符號 US 表示， 力學能守恆定律：物體在一直線上運動，當只有彈力對物體作功不為零時，物體的力學能 E 為守恆量， 證明：同前，自己練習。

例題：一條彈力常數為 k 的彈簧，平放在光滑水平面上，一端固定於牆上。如有質量為 m 的木塊以速率 v 撞向彈簧的另一端，則彈簧的最大壓縮長度為 __________。 [82.日大]

例題：一彈簧置於一水平光滑平面上，一端固定，另一端連結一木塊作簡諧運動。當木塊離平衡點的位移為最大位移的2∕3 時，其動能為最大動能的 __________倍。 [83.日大] - R 0 R

例題：在光滑水平桌面上，有質量分別為 m1 及 m2 之兩方塊。m2 起初靜止，m1 以初速 v 向 m2 接近。m2 之前端有力常數為 k 之彈簧，彈簧質量可以不計。求在正面彈性碰撞過程中彈簧被壓縮成最短時，其縮短量為若干？ m2 m1 v

同時有重力與彈力對物體作功： 物體在一直線上運動，如同時有且只有重力與彈力對物體作功，則物體的力學能 E 為守恆量 原長 x0 x 鉛直懸掛的彈簧：質量 m 的物體，掛在彈力常數為 k 的彈簧上，在鉛直方向上作簡諧振盪。在平衡點時物體受到的合力為零，因此在平衡點時，彈簧的伸長量如為 x0 釋放點必為簡諧振盪的其中一個端點。因此釋放點與平衡點的距離即為簡諧振盪的振幅 R。

物體相對於平衡點的位移如為 x ，則物體受到的合力 F，若令向下為正，則 原長 x0 x 即如以相對於平衡點來計算彈簧的伸長量時，物體相當於只受到彈力的作用，因此考慮物體的力學能時，無需計算重力位能，即力學能 E 可寫成 其中 x 為彈簧相對於平衡點的伸縮量。 因此物體掛在彈簧上作鉛直方向的簡諧振盪與水平方向的簡諧振盪的差別就在平衡點的位置不同。

例題：一彈力常數為 98牛頓∕公尺，原長 2 公尺，質量可以忽略之彈簧，置於與水平面成角之光滑斜面的底部。若有一質量為 40 公克之靜止鋼塊自斜面頂端沿斜面滑落後，最多將此彈簧壓縮 20 公分。 (1)試問鋼塊在到達最低點時在斜面上所滑行的距離為何？ (2)滑行過程中，鋼塊初接觸彈簧時的速率為何？ [85.夜大] 答案：(1) 10 m；(2) 9.8 m∕s 30o

例題：一條質輕的線性彈簧，彈力常數為 100 牛頓∕公尺，一質量 4 公斤的小球，置於彈簧上端並下壓 1 公尺後放手，則小球上彈的最大位移 Δx 為若干？（g = 10 m∕s2）

例題：一電梯以等速度上升，一彈力長數為 k 的彈簧（質量可不計）被垂直懸吊於此電梯天花板上的一點。今在彈簧下端繫一質量為 m 的物體，且使之自由下墜。設開始下墜時，彈簧的長度為其自然長度，則彈簧的最大伸長量為何？物體的最大速率為何？ [80.日大]

例題：一自然長度為 12L 的彈簧，上端固定，下端掛一質量為m的物體，並使物體在鉛垂方向作簡諧運動。設重力加速度為g，運動過程中彈簧的長度最短是 11L，最長時是 15L，則下列敘述何者為正確？﹙彈簧的質量不計﹚ (A)彈簧的彈力常數是 k = mg∕L (B)當物體的速率最大時，彈簧的長度 13L (C)物體的最大動能是 2mgL (D)當彈簧長度是 11L 及15L 時，彈簧的彈性位能相同 (E)當彈簧長度是 12L 及 14L 時，物體的動能相同。 [87.日大] 11L12L13L14L15L 答案：ABCE

例題：如右圖，彈力常數為 k 鉛直懸吊的彈簧，下端掛有質量分別為 m1 與 m2 的物體，開始時處於靜止狀態，若突然割斷 m1 與 m2 之間的細線，則 m1 的最大速率將為何？

例題：如右圖，電梯內有一彈簧（質量不計，彈力常數為 k ），其下掛一質量為 m 的物體，電梯原本以等速度 v 下降，某瞬間電梯突然停止不動，則彈簧繼續下降的最大距離為何？

§ 8-7 重力位能的一般式 重力對物體所作的功：當一質量為 m 的物體與另一質量為 M 的靜止物體，由相距為 r1 處移動至相距為 r2 處，重力對其所作的功與路徑無關，只與其前後的距離有關，其值為 r1 r2 M m F r r2 r1

重力位能：上面的公式告訴我們當兩物體相距為 r1 時，重力所能做的功比相距為 r2 時所能作的功相差 此即為系統前後兩處重力位能的差值。 一般我們定兩物體相距無限遠時，其重力位能為零，則當兩物體相距為 r 時的重力位能以符號 U 表示 力學能守恆定律：當質量分別為 m1 與 m2 的兩物體系統，只有彼此間的重力對其作功，則系統的力學能為守恆量。力學能

例題：若不計空氣阻力，地球半徑為 R，質量為 M，則質量為 m 的物體自離地面高度 R 處，由靜止自由落下，則落地前的速率為何？

例題：一人造衛星質量為 m，以橢圓形軌道繞地球運行；衛星離地球中心最近的距離為 R，離地心最遠的距離為 3R。設地球之質量為 M，重力常數為 G，試求 (1)衛星在離地心最近和最遠處之動能比。 (2)衛星在離地心最近和最遠處之動能差。 [86.日大] (3)衛星在離地心最近時的動能；該處的軌道曲率半徑。

例題：某行星質量 m，以橢圓形軌道繞太陽運行，它和太陽之距離於近日點和遠點之比為 1：3。若該星在遠日點時速率為 v，則此星由近日點繞行至遠日點之時距內，重力對其所作的功為若干？

例題：太空梭沿半徑為 3R（R為地球半徑）的圓形軌道繞地球運動，當太空梭要返回地面時，可在軌道的某一點 A 將速率降低到適當的數值，使太空梭沿著以地心為焦點的橢圓形軌道運行，如下圖，則太空梭在 A 處進入橢圓形軌道之速率為原來圓形軌道速率的若干倍？ R0 R A B

作圓形軌道運行的人造衛星： 質量為 m 的衛星，繞著質量為 M 的星球，做半徑為 r 的圓形軌道運行。根據牛頓第二運動定律 m M r 因此衛星的

例題：一人造衛星環繞地球做圓形軌道運行。如持續受到微小摩擦力的作用，它 的什麼量會漸漸減小？ (A)動能 (B)重力位能 (C)動能與重力位能的和 (D)向心加速度的絕對值 (E)它與地球的距離。 [73.日大] 答案：BCE

例題：將一人造衛星自地面送至距地面 2R（R 為地球半徑）處，至少須供給能量 E 。如欲使其在此高度上做圓形軌道的運行，則至少還需供給能量 ________ E。

例題：一人造衛星質量為 m，以橢圓形軌道繞地球運行；衛星離地球中心最近的距離為 R，離地心最遠的距離為 3R。設地球之質量為 M，重力常數為 G，今欲將此衛星改為半徑為 3R 的圓形軌道上運動，則須對衛星供給的能量為若干？

例題：一質量為 m 的人造衛星，如定其在地表處的重力位能為零（g 為地表處的重力加速度），則當此衛星在軌道半徑為 3R（R為地球半徑）上運行時，其重力位能為若干？力學能為若干？

例題：將一物體鉛直上拋，物體終究會掉下來，但是假如我們給予物體足夠大的初速，則物體將脫離地球引力範圍。此給予物體脫離某一星球的最小初速稱之為脫離速率。如地球的質量為 M，半徑為 R，試求在地球表面物體的脫離速率。

例題：如地球的質量為 M，半徑為 R，試求在地球表面將一物體拋出後不再掉回地面所需的最小速率為何？ v M

例題：人造衛星以速率 v 繞地球做圓形軌道運行，如人造衛星欲脫離地球重力場的束縛，則其速率應變為若干？

雙星系統：兩星球以彼此間的萬有引力相吸，繞著共同的質心做圓形軌道運行，構成雙星系統。如兩星球的質量各為 m1、m2 ，相距為 d，則 r1 r2

例題：設有二星球其質量均為 m，在相互吸引之重力作用下同時以半徑 r 對此二星球之質心做圓周運動，如右圖所示，則至少需多少能量才能將此二星球拆散成相距無限遠？（G 為重力常數） [84日大]

例題：設宇宙中有質量 m 及 2m 的雙子星，二星相距 d，繞其共同質心作等速率圓週運動，則此雙星系統的總動能和力學能分別為若干？

例題：一系統由可視為質點的甲、乙兩星球組成，其質量分別為 m 與 M（M > m），在彼此間的重力作用下，分別以半徑 r 與 R 繞系統的質心 O 做圓周運動。若質心 O 靜止不動，兩星球相距無窮遠時，系統的總重力位能為零，則下列敘述，哪些正確？（G 為重力常數，亦即萬有引力常數） (A) 兩星球的動量和為零 (B) 兩星球的動能相等 (C) 兩星球繞 O 運動的週期相等 (D) 兩星球的質量與繞行半徑有 mR = Mr 的關係 [94.指定科考] 答案：AC

§ 8-8 能量守恆定律 保守力作功，能量只會在動能與位能兩種能量形式之間做轉換，因此如只有保守力作功，則系統的力學能必守恆。 非保守力作功，則會把力學能與其它的能量形式做轉換，如摩擦力會把力學能轉換成熱能。由功的意義可得到非保守力對系統作的功會等於系統力學能的變化量。 由經驗與無數的實驗，物理學家深信能量形式不管如何轉換，整個宇宙的總能量為一定值。此即為能量守恆定律。 能量守恆定律：在一孤立系統中，能量可以從一種形式轉換為另一種形式，但系統的總能量保持不變。

總結： 合力所作的功等於物體的動能變化量（末動能減初動能） 保守力作的功等於減少的位能（初位能減末位能）。 非保守力所做的功等於力學能變化量。

例題：有一 10 公斤之物體從光滑斜面滑下後，在動摩擦係數為 0. 4 之平面上滑行 5 公尺後停止。物體原在斜面上之高度為 (A) 0 例題：有一 10 公斤之物體從光滑斜面滑下後，在動摩擦係數為 0.4 之平面上滑行 5 公尺後停止。物體原在斜面上之高度為 (A) 0.4 (B) 1 (C) 2 (D) 5 (E) 9.8 公尺。 [67 日大] 答案：C

例題：一跳傘員自高空跳下，由於空氣的阻力，在着地前有一段時間他是等速度下降的。設着地前之終端速度是 10 m/s，此人體重及裝備共重 100 kg，則在此段等速度下降的時間內每秒產生之熱能約為幾焦耳？ (A) 102 (B) 103 (C) 104 (D) 105 [69.日大] 答案：C

例題：一子彈質量為 m，以水平速度 v，射擊一質量為 M，固定在水平面上的木塊，則可射入的深度為 d。如將木塊靜置於光滑的水平面上，以同樣的子彈，相同的速度射擊木塊。設木塊對子彈的阻力為定值，則可射入木塊的深度為何？

THE END