數學本質 比、正比與反比 陳小婷 489000967

數學本質概念：比、正比與反比 一、「比」的定義? 2.對等關係是指兩數量A、B之間， 由於 某種原因，而產生一種配 1.對等關係就是一種比的概念。 2.對等關係是指兩數量A、B之間， 由於 某種原因，而產生一種配 對關 係，因此稱此兩數量A與B有 對等關係。

數學本質概念：比、正比與反比 二、「比」的表示方法? 紀錄A與B之間數量對等關係方法 1. 用序數表示： （A，B） 2.用「比」的符號表示： 「A：B」 3.用「比值」表示：

三、「比」的分類? 依據情境（語意）的不同， 對等關係可以分為下列四類： 1.組合關係 2.母子關係 3.交換關係 4.密度關係 數學本質概念：比、正比與反比 三、「比」的分類? 依據情境（語意）的不同， 對等關係可以分為下列四類： 1.組合關係 2.母子關係 3.交換關係 4.密度關係

數學本質概念：比、正比與反比 三、「比」的分類? 相同），且A與B都是同一全體量中的部 分時，可稱為一種組合的對等關係。 ~ 組合關係 ~ 若兩數量A及B為同類量（被測量的性質 相同），且A與B都是同一全體量中的部 分時，可稱為一種組合的對等關係。 例如：一個啦啦隊中6個女生， 搭配3個男生組成。

數學本質概念：比、正比與反比 全體量，另一數量是全體量的部分量 時，可稱為一種母子的對等關係。 例如：這屆師資培育的老師有145個，其 三、「比」的分類? ~ 母子關係 ~ 若此兩數量為同類量，且一數量是 全體量，另一數量是全體量的部分量 時，可稱為一種母子的對等關係。 例如：這屆師資培育的老師有145個，其 中有10個是留在家鄉附近實習。

~ 交換關係 ~ 數學本質概念：比、正比與反比 三、「比」的分類? 若A、B分別代表兩個物件，由於某種 因素，使這兩個物件具有相同的價值， 則可稱為一種交換的對等關係。 例如：班上規定集滿10個星星可以兌換一 次抽獎的機會。

~ 密度關係 ~ 數學本質概念：比、正比與反比 三、「比」的分類? 若A、B不為同類量，且此兩數量是描 述同一物件的不同性質，A、B的比值是 為一種密度的對等關係。 例如：3公升的水重3公斤

3比值 4 最簡單整數比 5交換問題 6 比例的意義 7成比例線段圖 8 比例關係圖 9兩數關係的判斷 數學本質概念：比、正比與反比 四、「比」的相關概念? 1 對等問題 2 比的相等 3比值 4 最簡單整數比 5交換問題 6 比例的意義 7成比例線段圖 8 比例關係圖 9兩數關係的判斷

~ 對等問題 、 比的相等 、比值~ 1 當將Ａ與Ｂ的對等關係與其他Ａm與Ｂm的 四、「比」的相關概念? 數學本質概念：比、正比與反比 ~ 對等問題 、 比的相等 、比值~ 1 當將Ａ與Ｂ的對等關係與其他Ａm與Ｂm的 等關係視為等價類，則「Ａ：Ｂ」蛻變為「每 Ａ個就有Ｂ個」的比的關係 2 採用在量情境中討論，它們是相同的交換方 式，相同的組合方式，相同的含量或相同的密 度，來引入比的相等。 3對等關係（比）的量化是數學上必須的，因為 量化後可比較、運算，而比的量化即為比值。

~ 最簡單整數比、 交換問題~ 數學本質概念：比、正比與反比 四、「比」的相關概念? 1.當存在無限多個等價的比時，其中一個 ~ 最簡單整數比、 交換問題~ 1.當存在無限多個等價的比時，其中一個 前、後項數值為最小的整數比，稱之為此 等價類的「最簡單整數比」，所以最簡單 整數比的前項與後項具有互質的特性。 EX→3.2：8＝（3.2×10）：（8×10）＝32：80＝2：5 2.古代的以物易物；現代以錢幣交換物品 EX→ 張三用2隻牛與李四的100隻雞交換。 必須有幾隻牛才能換到400隻雞？

~ 比例的意義、 成比例線段~ 數學本質概念：比、正比與反比 四、「比」的相關概念? 1. 「比例」是表示兩數量對應關係的變化情形。 ~ 比例的意義、 成比例線段~ 1. 「比例」是表示兩數量對應關係的變化情形。 2.使用線段圖來表現文字描述的問題，常能使問 題中數量間的關係具體化 。當學童能用成比例 的線段圖來表現對等關係或分數問題中的數量 EX：哥哥有28顆電池，弟弟有的電池是哥哥的4/7倍

比例關係圖 數學本質概念：比、正比與反比 （m） 正比例： 反比例： （km） 15 100 80 10 60 40 5 20 ● ● 80 ● ● 10 60 ● ● 40 ● ● 5 ● 20 ● ● ● 0 1 2 3 4 5（h） 0 5 10 15（m） 正比例： 速度一定時的時間、距離關係 反比例： 面積一定時的長、寬關係

正比例：先求取對應項的比的比值，當所有對應 數學本質概念：比、正比與反比 四、「比」的相關概念 ~兩數關係的判斷~ 正比例：先求取對應項的比的比值，當所有對應 項的比的比值都相同 反比例：把一組數量先取倒數，再求這組倒數和 這一組數量的對應項的比的比值，如果 這些比值都相同 正比：乙÷甲的商不變 反比：甲×乙的積不變 非正、反比：甲和乙的和不變→長方形長寬對應 甲和乙的差不變→父母年紀的差別

數學本質概念：比、正比與反比 五 ~兒童比例推理現象~ (1)不同比值的難度中: 解決整數比值的問題較容易 五 ~兒童比例推理現象~ (1)不同比值的難度中: 解決整數比值的問題較容易 (2)在分離量與連續量的問題上: 處理分離量的能 力，大於處理連續量的能力。 (3)解決正比的問題能力，大於反比的問題能力，大 於比例問題的能力。 (4)在不同情境中的問題無法轉移應用：解電流的 問題能力，未能移轉至解濃度的問題上。

數學本質概念：比、正比與反比 六 ~兒童處理比例有意義解題方法~ 媽媽在做年糕的時候，用2小包的糖配6公斤的米，如果要 做出一樣甜的年糕，用5小包的糖要配多少公斤的米？ 1.比例公式型： (1)列出2：6=5：□的式子，再求未知數。 2.單價型：(1)列出6/2=3的式子，求1包糖配3公斤的米。 　　　　 (2)再列出5×3=15的式子。 3.倍數型：(1)列出5÷2=2.5，求5包糖是2包糖的倍數。 　　　　 (2)再列出2.5×6=15。 4.折半相加型：(1)列出5-2=3，求5小包比2小包多多少？ 　　　　 (2)再列出3/2=1.5，求5包是2包的一包半。 　　　　 (3)再列出6+9=15 5.累加型：(1)列出1小包配3公斤米。 　　　　 (2)再列出5小包配15公斤米。

數學本質概念：比、正比與反比 七、兒童迷思與解決方法 1 將x：y寫成分數形式時，學生會寫成 ， 應是 才是正確的寫法。 前項：後項＝（ ） 應是 才是正確的寫法。 前項：後項＝（ ） 老師教學生口訣「後母」，讓學生自然而然 地聯想到後項要放在分母的位置。

星星5個可換一張貼紙，那麼想要3張貼紙需要多 數學本質概念：比、正比與反比 七、兒童迷思與解決方法 2 比的問題(交換問題) 星星5個可換一張貼紙，那麼想要3張貼紙需要多 少個星星？如果剛好是整數倍關係，學生計算較沒 問題，但如果反過來問15個星星換3張貼紙，2張 貼紙需要多少星星(或10個星星可以換幾張貼紙？) 或非整數倍則學生比較不會算。 1先列式 15：3=( ) ：2？ 2算出一公斤再推算 15÷3=5(每張貼紙需要5個星星) 52=10個星星

數學本質概念：比、正比與反比 八、教學策略及注意事項 (1)強調學童相互討論→師生討論→教師指導。 (2)透過實際的測量活動，去經驗、察覺兩數量對 應關係的變化情形，進而了解「比例」的意義。 (3)進行兩個對等關係「等價」或「不等價」的 判斷時，只紀錄「＝或＝」。並不介紹「大 於」與「小於」的關係。 (4)有學童會採用成人公式「A：B＝C：D」，即 A×D＝B×C，此時要請學童說明此方法的解題 原因，而不能只是套公式而已。

數學本質概念：比、正比與反比 謝謝聆聽