灰色系統理論中的關聯分析 建國科技大學 温坤禮 電機工程學系 灰色系統粗糙研究室 (Grey System Rough Center: GSRC)

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1 灰色系統理論中的關聯分析 建國科技大學 温坤禮 電機工程學系 灰色系統粗糙研究室 (Grey System Rough Center: GSRC) Email: klw@ctu.edu.tw

2 1. 何謂灰色 ? 2. 灰色系統理論基本觀念 3. 灰色關聯度 4. 灰色權重分析 5. 灰色聚類分析 6. 灰色系統理論參考文獻 目 錄

3 何謂灰色 1-1 灰色 ? 1-2 灰色詞彙 1-3 相關之灰色研究 1

4 4 灰色 ? 1. Not Clear 2. Not Enough 3. Not Certain 1-1

5 5 灰色詞彙 1. 深入 2. 仔細 3. 嚴謹 4. 周到 5. 合邏輯 6. 創見 7. 可精進 1-2

6 6 相關之灰色研究 1. 灰色收入 : 兼職、轉包、專利權轉讓、投稿、 翻譯、股息、紅利及遺產等 2. 白色收入 : 企業單位或公司行號所支付的薪資 ( 包括津貼、獎金、加給等等 ) 3. 黃色收入 : 色情活動所得 4. 黑色收入 : 透過投機、貪污、盜竊、索賄及收賄 5. 紅色收入 : 國家重點所獎勵 ( 包括奧運金牌等 ) 1-3

7 7 6. 灰色文獻 : 不易收集之文獻 (Hard to get literature) 1. 只限贈於特定對象 2. 以少數人為對象 3. 印刷數目有限 ( 幾百份 ) 4. 非賣品且不標定價 5. 不具版權頁或完整書目介紹 6. 出版消息取得極為困難

8 灰色系統理論基本觀念 2-1 灰色系統理論的產生 2-2 灰色系統理論的研究內容 2-3 灰色系統理論的相關知識 2-4 灰色系統理論的未來 2

9 9 灰色系統理論的產生 1945 年控制論學者 N. Wiener 的 Closed Box 和 1953 年 W.R Ashby 的 Black Box 都是用來定義內部結 構、特性及參數全部未知的系統。 1979 年，錢學森教授主持的軍事系統工程學術會 議上，鄧聚龍教授宣讀了 “ 參數不完全大系統的 最小信息鎮定 ” 一文。 1981 年在上海召開的中美控制系統學術會議上， 又宣讀了 “Control Problems of Unknown Systems” 一文，發言中首次使用 “ 灰色系統 (Grey System)” 一詞。 2-1

10 10 1982 年 1 月在自動化學報上發表了 “ 參數不完全系 統的小信息鎮定 ” 一文 1982 年 3 月，在 North-Holland 出版公司出版的國 際雜誌 “Systems & Control Letters” 上發表了 “Control Problems of Grey Systems” ，這代表著 在國際上正式宣告了 “ 灰色系統 ” 的誕生。 同年在中國華中工學院學報上發表了灰色系統的 第一篇中文論文 “ 灰色控制系統 ” 。

11 11 灰色系統理論的研究內容 1. 灰色生成 (Grey Generating) (1) 灰色關聯生成 (Grey Relational Generating Operation; (1) 灰色關聯生成 (Grey Relational Generating Operation; 將數據依實際情形在不失真之下所做的數據處理。 將數據依實際情形在不失真之下所做的數據處理。 (2) 累加生成 (Accumulated Generating Operation; AGO) (2) 累加生成 (Accumulated Generating Operation; AGO) 將數據依次累加。 將數據依次累加。 (3) 逆累加生成 (Inverse Accumulated Generating (3) 逆累加生成 (Inverse Accumulated Generating Operation; IAGO) ：累加生成的逆運算。 Operation; IAGO) ：累加生成的逆運算。 2. 灰色關聯分析 (Grey Relational Analysis) 3. 灰色預測 (Grey Prediction) 4. 灰色決策 (Grey Decision Making) 2-2

12 12 灰色系統理論的相關知識 (Recognition Model) 認知模式 (Recognition Model) 四態 (Four States) 因果關係 1. 白因白果：銀行存款，存款一定，利息固定。 1. 白因白果：銀行存款，存款一定，利息固定。 2. 白因灰果：中國毒奶事件原因明確， 2. 白因灰果：中國毒奶事件原因明確， 受害率為 “ 灰 ” 。 受害率為 “ 灰 ” 。 3. 灰因白果： SARS 感染，原因不明確，結果明確。 3. 灰因白果： SARS 感染，原因不明確，結果明確。 4. 灰因灰果：腸病毒產生漫延率，來源及漫延率 4. 灰因灰果：腸病毒產生漫延率，來源及漫延率 均不明確。 均不明確。灰色系統 1. 白色系統：系統內訊息完全明確。 1. 白色系統：系統內訊息完全明確。 2. 灰色系統：系統內訊息一部份明確， 2. 灰色系統：系統內訊息一部份明確， 一部份不明確。 一部份不明確。 3. 黑色系統： ??????????? 3. 黑色系統： ??????????? 2-3

13 13 灰色系統理論的未來 原創：對灰色理論中不足之處的數學加強， 例如影子方程式。 例如影子方程式。對比：使用灰色理論方式和他它數學模式 做對比差異分析。 做對比差異分析。 驗證：發展工具箱做大量數值之運算及驗證。. 應用：多方面領域之應用，教育、體育等等。 整合：整合其他數學方法，例如 Fuzzy-Grey, Grey-GA, Rough sets-Grey 等等。 Grey-GA, Rough sets-Grey 等等。 2-4

14 灰色關聯度 3-1 灰色關聯度的數學基礎 3-2 灰色關聯度 3-3 整體灰色關聯度 3-4 灰色關聯度電腦工具箱 3

15 15 灰色關聯度的數學基礎 灰關聯度為灰色關聯分析的兩大支柱之一，主要的功能是 做離散序列之間測度的計算。 灰關聯度為灰色關聯分析的兩大支柱之一，主要的功能是 做離散序列之間測度的計算。 3-1 1. 數學基礎 一、因子空間 (Factor Space) 1. 關鍵因子的存在性 (existence) 1. 關鍵因子的存在性 (existence) 2. 內涵因子的可數性 (count ability) 2. 內涵因子的可數性 (count ability) 3. 因子的可擴充性 (expansion) 3. 因子的可擴充性 (expansion) 4. 因子的獨立性 (independence) 4. 因子的獨立性 (independence)

16 16 二、序列之可比性 (Comparison) 二、序列之可比性 (Comparison) 如果序列滿足下列三個條件： 如果序列滿足下列三個條件： 1. 無因次性 (non-dimension) ：不論因子的測度單位為何 1. 無因次性 (non-dimension) ：不論因子的測度單位為何 種型態，必須經過處理成為無因次的型態。 種型態，必須經過處理成為無因次的型態。 2. 同等級性 (scaling) ：各序列中之值均屬於同等級 2. 同等級性 (scaling) ：各序列中之值均屬於同等級 (Order, 十的次方 ) 或等級相差不可大於 2 。 (Order, 十的次方 ) 或等級相差不可大於 2 。 3. 同極性 (polarization) ：序列中的因子描述狀態必須為 3. 同極性 (polarization) ：序列中的因子描述狀態必須為 同方向。 同方向。

17 17 三、灰關聯測度的四項公理 (Axiom) 三、灰關聯測度的四項公理 (Axiom) 1. 規範性 1. 規範性 2. 偶對稱性：當序列只有兩組時 2. 偶對稱性：當序列只有兩組時 3. 整體性：當序列大於三組 ( 含三組 ) 時 3. 整體性：當序列大於三組 ( 含三組 ) 時 4. 接近性：被比較之對象為整個的主控項，亦即灰關 4. 接近性：被比較之對象為整個的主控項，亦即灰關 聯度的大小必須與此項有關 。 聯度的大小必須與此項有關 。

18 18 灰色關聯度 求灰關聯度時，如果在所有的序列中只取序列為 參考序列，其它的序列為比較序列時，則稱為 “ 局 部性 (localization) 灰關聯度 ” 。 如果所有的序列中，任一個序列均可做為參考序 列時，此時稱為 “ 整體性 (globalization) 灰關聯度 ” 。 3-2

19 19 1. 灰色關聯係數、灰色關聯序與辨識係數 求灰關聯度時，傳統的方式必須先求出灰色關聯係 數。 求灰出關聯度後，將結果加以排列，稱為 灰色關聯 序。 在灰關聯係數中，辨識係數的功能主要是作背景值 和待測物之間的對比，數值的大小可以根據實際的 需要做適當之調整。一般而言，辨識係數的數值均 取為 0.5 ，但是為了加大結果的差異性，可以依實際 需要做調整。由實際的數學證明中得知，辨識係數 數值的改變只會變化相對數值的大小，不會影響灰 關聯度的排序。

20 20 2. 定性化的灰色關聯度 鄧聚龍 -Deng ：

21 21 翁慶昌 -Wong ：

22 22 3. 定量化的灰色關聯度 吳漢雄 - Wu ：

23 23 溫坤禮 - Wen ：

24 24 夏郭賢 - Hsia ：

25 25 永井正武 - Nagai ：

26 26 整體灰色關聯度 在整體性灰關聯度中，由於每一個序列均可以成 為標準序列，因此在求出所有的灰關聯度後，可 以用特徵值方式 (eigen-vector method) 加以排序。 3-3

27 27 建立所求目標之矩陣 建立所求目標之矩陣 求出矩陣的特徵值 求出矩陣的特徵值 求出矩陣的特徵向量 (P): 形成 求出矩陣的特徵向量 (P): 形成 取最大之特徵值 所對應的特徵向量，則其中 該特徵向量中的各對應元素的數值大小即為權重 ( 取絕對值 ) 。 取最大之特徵值 所對應的特徵向量，則其中 該特徵向量中的各對應元素的數值大小即為權重 ( 取絕對值 ) 。

28 28 灰色關聯度電腦工具箱 3-4 1. 局部性灰色關聯度

29 29 2. 整體性灰色關聯度

30 灰色權重分析 4-1 灰色熵模型 4-2 灰色 GM(1,N) 模型 4-3 灰色 GM(0,N) 模型 4-4 灰色權重電腦工具箱 4

31 31 權重 (weighting) 在統計學上的意義是在 “ 系統 中某一因子出現的分佈頻率，通常是做系統分析 之比例使用。 權重 (weighting) 在統計學上的意義是在 “ 系統 中某一因子出現的分佈頻率，通常是做系統分析 之比例使用。

32 32 灰色熵模型 根據熵的定義，重新定義一個新的熵，稱為灰色熵 “Grey Entropy” 根據熵的定義，重新定義一個新的熵，稱為灰色熵 “Grey Entropy” 其中： i. 取 ，得到 ii. ii. 4-1

33 33 1. 灰色熵圖形

34 34 2. 灰色熵計算步驟 1. 設定欲求之序列 1. 設定欲求之序列 2. 計算各個因子屬性 (attribute) 的總和 2. 計算各個因子屬性 (attribute) 的總和 3. 計算正規化係數 3. 計算正規化係數 4. 計算各個因子的熵 4. 計算各個因子的熵

35 35 5. 計算各個因子熵的總和 5. 計算各個因子熵的總和 6. 計算計算相對的權重 6. 計算計算相對的權重 7. 計算正規化權重 7. 計算正規化權重

36 36 灰色 GM(1,N) 模型 根據灰色系統理論的定義， GM(1,N) 模型的方程式為 根據灰色系統理論的定義， GM(1,N) 模型的方程式為 其中： i. 及 為係數。 ii. ：為標準序列， ：為比較序列。 ii. ：為標準序列， ：為比較序列。 iii. iii. 在灰色系統理論中，如果在序列中， 為系統的主要 行為，而 為影響主行為之因子，則可以利用 GM(1,N) 模型做分析 。 在灰色系統理論中，如果在序列中， 為系統的主要 行為，而 為影響主行為之因子，則可以利用 GM(1,N) 模型做分析 。 4-2

37 37 1. 建立原始序列 1. 建立原始序列 2. 建立 AGO 序列 2. 建立 AGO 序列

38 38 3. 寫出標準型式 3. 寫出標準型式 4. 求解 4. 求解

39 39 利用 利用 求出主行為因子和各個子因子之間的關係，得知是做系 統的輸出與輸入之綜合研究，除此之外，也可以了解系 統中各個環節的發展變化。 求出主行為因子和各個子因子之間的關係，得知是做系 統的輸出與輸入之綜合研究，除此之外，也可以了解系 統中各個環節的發展變化。

40 40 灰色 GM(0,N) 模型 GM(0,N) 模型是 GM(1,N) 模型的特列，主要的作 用為研究個變數之間的 “ 量化關係 ” ，屬於靜態因 子的分析。 GM(0,N) 模型是 GM(1,N) 模型的特列，主要的作 用為研究個變數之間的 “ 量化關係 ” ，屬於靜態因 子的分析。 根據灰色系統理論的定義， GM(0,N) 模型的方程 式為 根據灰色系統理論的定義， GM(0,N) 模型的方程 式為 其中：參數和 GM(1,N) 模型相同。 其中：參數和 GM(1,N) 模型相同。 4-3

41 41 1. 建立原始序列 1. 建立原始序列 2. 建立 AGO 序列 2. 建立 AGO 序列

42 42 3. 寫出標準型式 3. 寫出標準型式 4. 求解 4. 求解

43 43 利用 其中 利用 其中 而 的數值大小即表示比較序列對標準序列的權重大小。 而 的數值大小即表示比較序列對標準序列的權重大小。

44 44 GM(0,N) 模型 GM(1,N) 模型

45 45 灰色權重電腦工具箱 4-4 1. 灰色熵電腦工具箱

46 46 2. GM(1,N) 及 GM(0.N) 電腦工具箱

47 灰色聚類分析 5-1 灰色聚類模型 5-2 灰色聚類電腦工具箱 5

48 48 聚類 (clustering) 為統計學中的一種群聚的方式，以下 透過數學方法，將灰色理論中有關的聚類分析方式加以 說明。 聚類 (clustering) 為統計學中的一種群聚的方式，以下 透過數學方法，將灰色理論中有關的聚類分析方式加以 說明。

49 49 灰色聚類模型 1. 灰量的白化權函數 白化權函數 ( 高、中及低 ) 5-1

50 50 2. 灰色聚類數學模型 1. 統計對象 1. 統計對象 2. 統計指標 2. 統計指標 3. 給定灰數的白化權函數 3. 給定灰數的白化權函數 其中 其中 實數 為第 i 個統計對象對第 j 個統計指標的樣本數值。亦 即 實數 為第 i 個統計對象對第 j 個統計指標的樣本數值。亦 即

51 51 4. D 為以 為元素之矩陣 4. D 為以 為元素之矩陣 5. F 為一映射， 為 的運算 5. F 為一映射， 為 的運算 稱為權向量序列， F 稱為灰色統計 稱為權向量序列， F 稱為灰色統計

52 52 3. 灰色聚類計算步驟 1. 主觀地給定白化權函數之數值。 1. 主觀地給定白化權函數之數值。 2. 計算統計指標 j 對所有給定白化權函數的對應值 2. 計算統計指標 j 對所有給定白化權函數的對應值 ………………………… ………………………… 3. 計算所有給定白化權函數的對應值的總和 3. 計算所有給定白化權函數的對應值的總和

53 53 4. 計算並正規化在統計指標 j 之下各個統計指標相對於給 定白化權函數之權向量 4. 計算並正規化在統計指標 j 之下各個統計指標相對於給 定白化權函數之權向量 5. 取權向量之最大值 (maximum value) ，即為該 5. 取權向量之最大值 (maximum value) ，即為該 統計對象相對之統計灰類。 統計對象相對之統計灰類。 6. 重複 (1) 至 (5) 的步驟，依此類推可以求出其它統 6. 重複 (1) 至 (5) 的步驟，依此類推可以求出其它統 計對象之統計灰類類別。 計對象之統計灰類類別。

54 54 灰色聚類電腦工具箱 5-2

55 灰色系統理論參考文獻 6

56 56 1. Ju-Long Deng, 1982, Control Problems of Grey System, System and Control Letters. 2. 鄧聚龍， 1988 ，灰色系統基本方法，華中理工大學出版社。 3. Ju-Long Deng, 1988, Essential Topics on Grey System: Theory And Application, China Ocean Press. 4. 袁嘉祖， 1991 ，灰色系統理論及其應用，科學出版社。 5. 傅立， 1991 ，灰色系統理論及其應用，科學技術文獻出版 社。 6. 鄧聚龍， 1992 ，灰數學引論 ─ 灰色朦朧集，華中理工大學 出版社。

57 57 7. 鄧聚龍， 1992 ，灰色系統理論教程，華中理工大學出版社。 8. 徐忠祥，吳國平， 1993 ，灰色系統理論與礦床灰色預測， 中國地質大學出版社。 9. 史開泉，吳國威，黃有評， 1994 ，灰色信息關係論，全華 科技圖書公司。 10. 鄧聚龍，郭洪， 1996 ，灰預測原理及應用，全華圖書公 司。 11. 鄧聚龍， 1996 ，灰色系統新進展，華中理工大學出版社。 12. 吳漢雄，鄧聚龍，溫坤禮， 1996 ，灰色分析入門，高立圖 書公司。

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