第二章 函数微分学 §2.3 函数的微分 本节内容 一．微分的定义 二．微分的几何意义 三．微分公式与运算法则.

Presentation on theme: "第二章 函数微分学 §2.3 函数的微分 本节内容 一．微分的定义 二．微分的几何意义 三．微分公式与运算法则."— Presentation transcript:

1 第二章 函数微分学 §2.3 函数的微分 本节内容 一．微分的定义 二．微分的几何意义 三．微分公式与运算法则

2 §2.3 函数的微分 一．微分的定义 引例 : 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 问此薄片面积改变了多少 ? 设薄片边长为 x, 面积为 A, 则 面积的增量为 关于△ x 的 线性主部 高阶无穷小 时为 故 称为函数在 的微分 当 x 在 取 得增量 时,时, 变到 边长由 其

3 §2.3 函数的微分 的微分, 定义 1: 若函数 在点 的增量可表示为 ( A 为不依赖于△ x 的常数 ) 则称函数 而 称为 记作 即 在点 可微,

4 §2.3 函数的微分 定理 1: 函数在点 可微的充要条件是 证 : “ 必要性 ” 已知 在点 可微, 则

5 §2.3 函数的微分 “ 充分性 ”

6 §2.3 函数的微分 说明 : 时,时, 当 所以 时 很小时, 有近似公式 与 是等价无穷小, 故当

7 §2.3 函数的微分 从而 导数也叫作微商

8 §2.3 函数的微分 二、微分的几何意义 切线上点的纵坐标的增量

9 §2.3 函数的微分 设 u(x), v(x) 均可微, 则 (C 为常数 ) 分别可微, 的微分为 微分形式不变 5. 复合函数的微分 则复合函数 三、微分公式与运算法则

10 §2.3 函数的微分 例 1. 求 解:解:

11 §2.3 函数的微分 例 2. 求 解:解:

12 §2.3 函数的微分 例 3. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立 : 说明 : 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.

13 §2.3 函数的微分 若参数方程 可确定一个 y 与 x 之间的函数 可导, 且 则 时, 有 关系,

14 §2.3 函数的微分, 求 解： 例4、 设例4、 设例4、 设例4、 设

15 §2.3 函数的微分 作业 P56: 2, 5,

16 §2.3 函数的微分 思考与练习 1. 设函数 的图形如下, 试在图中标出的点 处的 及 并说明其正负.

17 §2.3 函数的微分 2.