1 （三）偏微分方程的数值离散方法 3.1 有限差分法 3.2 有限体积法 ( 有限元，谱方法，谱元，无网格，有限 解析，边界元，特征线）

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1 1 （三）偏微分方程的数值离散方法 3.1 有限差分法 3.2 有限体积法 ( 有限元，谱方法，谱元，无网格，有限 解析，边界元，特征线）

2 2 3.1 有限差分法 3.1.1 模型方程的差分逼近 3.1.2 差分格式的构造 3.1.3 差分方程的修正方程 3.1.4 差分方法的理论基础 3.1.5 守恒型差分格式 3.1.6 偏微分方程的全离散方法

3 3 3.1.1 模型方程的差分逼近

4 4 3.1.2 差分格式的构造

5 5 3.1.3 差分方程的修正方程 差分方程所精确逼近的微分方程称为修正方程 对于时间发展方程，利用展开的方程逐步消去带时间的高阶导数，只留空间导数。 Warming-Hyett 方法： 差分方程 (2) 写成算子的形式：

6 6 3.1.3 差分方程的修正方程 ( 续 )

7 7

8 8 3.1.4 差分方法的理论基础 相容性，稳定性，收敛性 等价性定理 Fourier 稳定性分析

9 9 3.1.4 差分方法的理论基础（续） Fourier (Von Neumann) 稳定性分析

10 10 3.1.4 差分方法的理论基础（续） Fourier (Von Neumann) 稳定性分（续） 称为 CFL 条件 (Courant, Friedrichs, Levy)

11 11 3.1.5 守恒型差分格式 流体力学方程组描述物理量的守恒性；守恒律组： 定义

12 12 3.1.5 守恒型差分格式（续） 守恒性质： 非守恒的差分格式一般没有对应于原始守恒律的 “ 离散守恒律 ” 。

13 13 3.1.5 守恒型差分格式（续） 守恒型差分格式的 Lax-Wendroff 定理： 如果守恒型差分格式 是和守恒律 相容的，且当时间和空间步长趋于零时，差分解一致有界，几乎处处收敛于 分片连续可微的函数，则这个收敛的函数就是守恒律的一个弱解。 推论：守恒型差分各式的收敛解能自动满足间断关系。 用途 : ( 加上熵条件）可以得到正确的激波，研究中大量使用 例如： Lax-Friedrichs 格式， Lax-Wendroff 格式， Mac Cormack 格式

14 14 3.1.6 偏微分方程的全离散方法 对差分格式的一般要求： – 有精度、格式稳定、求解效率高 特殊要求 – 物理定律（守恒性）、物理特征（激波、湍 流、旋涡、多介质、化学反应等）、有界性 ( 正密度、正温度、正湍动能、正组分浓度 等 ) 主要指非定常方程的时间离散

15 15 3.1.6 偏微分方程的全离散方法 ( 续） 两层格式 –Crank-Nicolson 格式、 P-C 格式、 Lax- Wendroff 格式、 MacCormack 格式 –Runge-Kutta 方法 – 时空全守恒：如 Godunov 格式、 central- upwind 格式、 CESE 方法 多层格式 –Leap-Frog 格式、 Adams-Bashforth 格式、后 三点隐格式

16 16 3.1.6.1 两层格式 Crank-Nicolson 格式 Predictor-Corrector 格式 Lax-Wendroff 格式 Mac Cormack 格式 Runge-Kutta 方法

17 17 3.1.6.1 两层格式 (cont. ） Lax-Wendroff 格式 一步 LW 格式

18 18 3.1.6.1 两层格式 (cont. ） Lax-Wendroff 格式 两步 LW 格式 常系数 Jacobian 时与单步 LW 等价。但计算更简单，不涉及矩阵相 乘。

19 19 3.1.6.1 两层格式 (cont. ） Mac Cormack 格式 (1969) 两步格式 比 LW 更简单，不需要计算函数在半点上的值。 LW 两步格式和 MC 各式的缺点：定常解的误差依赖于时间步长。

20 20 Mac Cormack 格式的构造

21 21 3.1.6.2 三层 格式 Leap-Frog 格式 Adams-Bashforth 格式

22 22 第二课后阅读提示 傅德薰《计算流体力学》， 3.1 – 3.3 水鸿寿《一维流体力学数值方法》 3.1 《 Computational Methods for Fluid Dynamics 》, Ferziger and Peric, Springer Chap. 6

23 23 作业 2 1. 用 Fourier 法分析 3.1.6.1 节中 Crank-Nicolson 格式的稳 定性。 2. 分析前面 3.1.6 节中 Mac Cormack 格式是几阶精度。

24 24 3.2 有限体积法 出发方程为积分型守恒方程（直角坐标、 柱坐标、球坐标） 以控制体为离散量 计算体积分和面积分需要适当的插值公 式和积分公式 (quadrature formula) 适用于任意形状的网格，复杂几何形状 缺点：难以构造大于二阶以上的格式

25 25 3.2.1 定常守恒型方程和控制体

26 26 3.2.2 面积分的逼近 面积分用积分点的值表示 (quadrature) 积分点的值用 CV 的值表示 (interpolation) 对于 Simpson 公式, 对积分点的插值需要四阶精度

27 27 3.2.4 体积分的逼近 当被积函数为某种型函数时，可以得到精确的 积分，逼近精度取决于型函数的精度。

28 28 3.2.4 体积分的逼近 四阶精度： 2D 直角坐标网格 最后一式可以四阶精度逼近 3D 的面积分

29 29 3.2.5 插值和微分 积分点的函数值和其法向梯度 1st UDS: 取上风点的值

30 30 插值 2nd order: 向积分点线性插值 等价于中心差分 (CDS)

31 31 插值 当积分点的函数是线性插值时 Second order

32 32 插值 QUICK (quadratic upwind interpolation for convective kinematics) 插值三阶精度，但积分（差分）往往只有二阶精度。

33 33 插值 高精度： N 阶精度的 quadrture 需要 N-1 阶多项式插值公 式。 界面上导数可以用插值公式的微分求出。

34 34 3.2.5 有限体积法的边界条件 用边界条件替代面积分 – 入口：通常给定对流通量 (mass, momentum, energy, etc.) – 壁面和对称面：通量为零 – 边界上函数值给定：和内部 CV 的值共同构建边界 上的导数

35 35 FV 例子

36 36 3.2.6 守恒律的有限体积方法 Godunov 格式

37 37

38 38 3.2.6.1 Godunov 方法的思想

39 39 一阶迎风格式 (CIR 格式 )

40 40 用 Godunov 思想 说明 CIR 格式 =Godunov 格式

41 41

42 42 Riemann 解图示

43 43

44 44 3.2.6.1 1D Euler 方程组的 Godunov 格式 Godunov 格式是基于 积分形式的方程组, 间断关系自动满足， 不需要另外考虑间断 线上的间断关系

45 45 移动网格上的积分回路

46 46 移动网格上的 Godunov 格式

47 47 固定网格上的 Godunov 格式

48 48 Lagrange 网格上的 Godunov 格式

49 49 Euler 方程组的 Riemann 问题的解 理想气体的 5 种解

50 50

51 51 二维 Euler 方程组的 Riemann 问题

52 52

53 53 仅是局部化的 1D RP

54 54 第 3 课后阅读提示 傅德薰《计算流体力学》， 6.3 水鸿寿《一维流体力学数值方法》 Godnov 格式一节 《 Computational Methods for Fluid Dynamics 》, Ferziger and Peric, Springer Chap. 4

55 55 作业 3 傅《书》习题 3-13. 傅《书》习题 3-12.