第八章 不定积分 第一节 不定积分概念与基本积分公式 第二节 换元积分法与分部积分法 第三节 有理函数和可化为有理函数的不定积分.

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1 第八章 不定积分 第一节 不定积分概念与基本积分公式 第二节 换元积分法与分部积分法 第三节 有理函数和可化为有理函数的不定积分

2 第一节 不定积分概念与基本积分式 一、原函数与不定积分 二、基本积分表 三、小结

3 一、原函数与不定积分的概念 定义： 例

4 定理 8.1 （原函数存在定理）： 简言之：连续函数一定有原函数. 问题： (1) 原函数是否唯一？ 例 （ 为任意常数） (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ I 使 如果函数 )(xf 在区间 内连续，那么在区间 I 内存在可导函数 )(xF ，，都有 )()(xfxF  .

5 定理 8.2 （ 1 ）若 ，则对于任意常数 ， （ 2 ）若 和 都是 的原函数， 则 设Ｆ是 f 在区间Ｉ上的一个原函数，则 （Ｃ为任意常数）

6 不定积分的定义：

7 显然，求不定积分得到一积分曲线族. 由不定积分的定义，可知 结论： 互逆 微分运算与求不定积分的运算是互逆的.

8 实例 启示能否根据求导公式得出积分公式？ 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的，因 此可以根据求导公式得出积分公式. 二、 基本积分表

9 基本积分表基本积分表 是常数 ); 说明： 简写为

10

11

12 定理 3 若函数与在区间上都存在原函数，为 两个任意常数，则在上也存在原函数，且 （其中 k 1,k 2 不全为零） 注：线性法则的一般形式：

13 例 1 求 例 2 求 例３ 求

14 基本积分表 (1) 原函数的概念： 不定积分的概念： 求微分与求积分的互逆关系 三、 小结

15 思考题 符号函数 在 内是否存在原函数？为什么？

16 思考题解答 不存在. 假设有原函数 故假设错误 所以 在 内不存在原函数. 结论 每一个含有第一类间断点的函数都 没有原函数.

17 第二节 换元积分法和分步积分法 一、换元积分法 二、分步积分法

18 问题 1 解决方法 利用复合函数，设置中间变量. 过程令 一、换元积分法

19 在一般情况下： 设 则 如果 （可微） 由此可得换元法定理

20 第一类换元公式（凑微分法） 说明使用此公式的关键在于将 化为 观察重点不同，所得结论不同. 定理 8.4 （ 1 ）

21 问题 2 解决方法改变中间变量的设置方法. 过程令 （应用 “ 凑微分 ” 即可求出结果）

22 则有换元公式 定理 8.4(2 ） 第二类积分换元公式

23 例 1 求 解 一般地

24 例 2 求 解

25 例 3 求 解

26 例 4 求 解

27 例 5 求 解

28 例 6 求 解

29 例 7 求 解 说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇 次项去凑微分.

30 例 8 求 解（一） （使用了三角函数恒等变形）

31 解（二） 类似地可推出

32 例 9 求 解 令

33 例 10 求 解令

34 例 11 求 解 令

35 说明 以上几例所使用的均为三角代换. 三角代换的目的是化掉根式. 一般规律如下：当被积函数中含有 可令

36 与定理 8.5 若可导, 不定积分 存在, 则也存在, 并有 分部积分公式 二、分部积分法

37 例 12 求 解 令 则 由公式得 :

38 例 13 求 和 解

39 由此得到 解此方程组, 求得

40 三、小结 第一类换元公式（凑微分法） 第二类积分换元公式 分部积分公式

41 第三节 有理函数和可化为 有理函数的不定积分 一、有理函数的不定积分 二、三角函数有理式的不定积分 三、某些无理根式的不定积分

42 一、有理函数的不定积分 有理函数是指由两个多项式函数的商所表示 的函数，其一般形式为： 其中为非负整数，与 都是常数，且 ，则称它为真分式；若若 则称它为假分式。

43 部分分式分解的步骤： 第一步 对分母在实系数内作标准分解： 其中 均为自然数，而且

44 第二步 根据分母的各个因式分别写出与之相应的部 分分式： 对于每个形如，的因式，它所对应的部分分式是 对于每个形如 ，则分解后为 的因式，其中 第三步 确定待定系数

45 真分式化为部分分式之和的待定系数法 例1例1

46 例 2 求积分 解 令

47

48 说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出 现三类情况： 多项式； 讨论积分 令

49 则 记

50 对于 可得递推公式如下：

51 这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数. 结论有理函数的原函数都是初等函数. 整理得：

52 三角有理式的定义： 由三角函数和常数经过有限次四则运算构 成的函数称之．一般记为 二、三角函数有理式的不定积分

53 令 （万能置换公式）

54 例 3 求积分 解由万能置换公式

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56 例 4 求积分 解（一）

57 解（二）修改万能置换公式, 令

58 解（三） 可以不用万能置换公式. 结论 比较以上三种解法, 便知万能置换不一定 是最佳方法, 故三角有理式的计算中先考 虑其它手段, 不得已才用万能置换.

59 讨论类型 解决方法作代换去掉根号. 例 5 求积分 解 令 三、简单无理函数的积分

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61 例 6 求积分 解 令 说明 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.

62 例 7 求积分 解先对分母进行有理化 原式

63 注 1 ：一般地，二次三项式 可利用 欧拉变换。 若则可令 若还可令 注 2 ：通常所说的 “ 求不定积分 ” ，是指用初等函数的 形式把这个不定积分表示出来。在这个意义下，并不 是任何初等函数的不定积分都能 “ 求出 ” 来的。 例如：

64 简单无理式的积分. 有理式分解成部分分式之和的积分. （注意：必须化成真分式） 三角有理式的积分. （万能置换公式） （注意：万能公式并不万能） 四、小结