积 分 的 应 用 不定积分的应用 定积分的应用 第四章 微分方程 不定积分的应用 第 一 节第 一 节 学习重点 微分方程的概念 一阶微分方程的求解.

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2 积 分 的 应 用 不定积分的应用 定积分的应用 第四章

3 微分方程

4 不定积分的应用 第 一 节第 一 节 学习重点 微分方程的概念 一阶微分方程的求解

5 微分方程：含有未知函数的导数或微分的方程。如： 等 …… 特点： 和 可以不出现，但 的导数一定要出现。 微分方程的阶：微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数。 上面三个微分方程的阶数分别是二阶、一阶、三阶。 微分方程的解：满足微分方程的函数。 特解：满足微分方程且不含任意常数的函数。 通解：满足 阶微分方程且含 个独立任意常数的函数。 微分方程的概念 微分方程的概念 课堂练习 P175 1 及 2 题

6 例：对微分方程： 即： 是它的解，且是通解。 若给定条件： 则可得特解： 也是一特解，但不含于通解中，特别地称为奇解。 称为初始条件。 微分方程的概念 微分方程的概念 又如：对于微分方程 容易验证 都是微分方程的解。 通解或特解？特解 通解 既非特解也非通解

7 是的解。 即是 验证下列所给函数是所给微分方程的解： 例 1. 验证下列所给函数是所给微分方程的解： 解 解 因为 所以

8 一. 可分离变量的微分方程 求解方法：两边同时积分 理由：设是该微分方程的解，则 一阶微分方程 一阶微分方程

9 求解方法：两边积分 特例：情形，即 一. 可分离变量的微分方程 一阶微分方程 一阶微分方程 两边积分，得 因此，形如 的微分方程的求解方法是： 两边直接积分，得解为

10 解 原方程可变形为（分离变量） 求下列微分方程的通解或特解： 例 2. 求下列微分方程的通解或特解： 两边积分，得 所以，原方程的通解为 （隐函数形式）

11 解 原方程可变形为 （注是一奇解） 求下列微分方程的通解或特解： 例 2. 求下列微分方程的通解或特解： 即 两边积分，得 所以，原方程的通解为

12 解 原方程可变形为. 求下列微分方程的通解或特解： 例 2. 求下列微分方程的通解或特解： 两边积分得 即 得 所以，原方程的通解为

13 解 将初始条件代入，得特解：. 求下列微分方程的通解或特解： 例 2. 求下列微分方程的通解或特解： 原方程可变形为 两边积分 （课堂练习）

14 且线段 PQ 被 Y 轴平分，曲线过点 求该曲线方程。 解：由题设及导数的几何意义，得微分方程： 由曲线过点 得所求曲线方程： （这是一个多值函数） 或 上任一点 P 处的法线与 X 轴有交点 Q ，. 设曲线 例 3. 设曲线

15 若，则称（ 1 ）为齐次的。 若，则称（ 1 ）为非齐次的。 可将其改写成 对一阶线性齐次微分方程 这是一个可分离变量的微分方程。 这是（ 2 ）的通解。 （这里表示某一确定的原函数，不带任意常数。） 二. 一阶线性微分方程 一阶微分方程 一阶微分方程

16 （ 2 ）的通解是： 猜想（ 1 ）的解是： 则 将 代入（ 1 ），得 即 这种方法称作 常数变易法 。 比较方程（ 1 ）、（ 2 ）： 故（ 1 ）的通解是：

17 比较方程（ 1 ）、（ 2 ）： （ 2 ）的通解是： （ 1 ）的通解是： 非齐次线性微分方程的通解 = 非齐次的特解 + 对应齐次的通解 —— 线性微分方程解的结构，称为叠加原理。

18 解 这是一个一阶线性微分方程，方程的通解为 例 4 求解下列微分方程 通解公式 （1）（1）

19 解 原方程的通解为 例 4 （ 2 ） 凑微分

20 解：将原方程化为 例4例4 则方程的通解为 （课堂练习）

21 解：将原方程化为 例 4. 变通公式 原方程的通解为

22 解：原方程可化为 例 4 （ 5 ） 公式的变通：如果微分方程为 则方程的通解为 （课堂练习）

23 型 可降解的高阶微分方程 可降解的高阶微分方程 求解方法：连续积分 n 次。 例 5 （ 1 ）求解微分方程 解 由原方程积分得： 再积分得 所以，原方程的通解为

24 过点例 5 （ 2 ）设曲线满足，且在此点与 直线 相切，试求该曲线的方程。 解 由题设可知： 可得 即： 再由： 得 故所求曲线方程为 由原方程积分得 因为

25 解：令则原方程变为 即： 的通解。 例 5 （ 3 ）求微分方程

26 再 见！