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第十二章 變異數分析 陳順宇 教授 成功大學統計系
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變異數分析是用來 檢定多組平均數是否相等的問題， 不是在檢定變異數相等的問題
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12.1 變異數分析簡介 在第九章例9.6我們檢定甲、乙 兩家公司輪胎平均壽命是否有顯著差異？ 如果要問的是甲、乙、丙、丁
12.1 變異數分析簡介 在第九章例9.6我們檢定甲、乙 兩家公司輪胎平均壽命是否有顯著差異？ 如果要問的是甲、乙、丙、丁 四家公司輪胎平均壽命有無顯著差異， 那要如何進行呢？
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一對對做比較 也許初學者會想這有什麼困難呢？ 只要一對對做比較， 先比較甲、乙兩組有無差異， 再比較甲、丙有無差異，
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如果做兩次的一對對平均數的比較 都沒有差異， 那甲、乙、丙三家廠商輪胎平均壽命 就沒有差異了，
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但問題在於每一次做檢定時， 作決策必有犯錯的風險 (即有犯錯機會，如型I、型II誤差)，
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例如上述做2次比較， 如每次訂的顯著水準是0.05， 則2次合計後犯型I誤差是多少， 就無法真正算出， 可能會高達 = 0.10也不一定。
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例12.1、 有甲、乙、丙三種包裝設計， 比較兩兩組間平均銷售量 是否有顯著差異? 各隨機找10家商店銷售， 結果甲、乙、丙的
樣本平均銷售量與標準差分別如下
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甲 乙 丙 商店數 平均數 標準差 5 5 5
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(1) 檢定甲、乙兩種包裝設計 平均銷售量是否有顯著差異? (2) 檢定甲、丙兩種包裝設計 (3)檢定乙、丙兩種包裝設計
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(1) 甲、乙兩組比較
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甲、乙兩種包裝設計 平均銷售量沒有顯著差異
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(2) 甲、丙兩組比較
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甲、丙兩種包裝設計 平均銷售量沒有顯著差異
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(3) 乙、丙兩組比較
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乙、丙兩種包裝設計 平均銷售量有顯著差異
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12.2 一因子模式
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一因子的配置
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一因子模式(Ⅰ)
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其中
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變異數分析(ANOVA) 用來檢定 k 組母體平均數是否相等問題， 寫成數學式子是檢定
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對誤差項我們有3個基本假設： (1) 常態性(各個誤差取自常態分配) (2) 均質性(各個誤差變異數相等)
(3) 獨立性(各個誤差間無相關)
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一因子模式(Ⅱ)：
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平均數是否有顯著差異？ 即檢定
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式很大時，就應棄卻
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組內平方和(或殘差平方和)
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組間平方和(B) (或因子A的平方和(SSA))
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F檢定
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例12.2 輪胎平均壽命 設陽明貨運公司想從甲、乙、丙、丁 四家輪胎廠商中選一家廠商採購輪胎， 各從四家廠商隨機抽樣10個輪胎做測試
例12.2 輪胎平均壽命 設陽明貨運公司想從甲、乙、丙、丁 四家輪胎廠商中選一家廠商採購輪胎， 各從四家廠商隨機抽樣10個輪胎做測試 試問此四家廠商輪胎平均壽命 是否有顯著差異？( = 0.05)
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表12.3 四種廠牌輪胎壽命
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變異數分析
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組間平方和
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組內平方和
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結論是顯著， 即四組輪胎的平均壽命不相等
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表 四種廠牌輪胎壽命 ANOVA表
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P值與F值的關係圖
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一因子的模式
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平方和分解 (直角三角形畢氏定理)
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例12.3、 某人想研究甲、乙、丙、丁四種不同 包裝設計對某食品銷售量是否有影響？ 隨機找40家規模大致相同的商店， 分成4組，每組10家，
各銷售一種包裝設計食品一個月， 記錄銷售量如下
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表 四種包裝設計銷售量
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試問四種包裝的平均銷售量 是否有顯著差異？
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總平均與標準差分別為 = s =15.091
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組間平方和
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總平方和
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殘差平方和
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結論： 因 F = 33.9 > = 2.87， 所以有證據說四種包裝的平均銷售量 有顯著差異。
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一因子(包裝)ANOVA表
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三種肥料對蕃茄產量的影響 農夫想研究甲、乙、丙 三種肥料對蕃茄產量的影響， 他有一塊長方形土地共1200坪地， 如果他將此土地分成三區，
每區400坪各施一種肥料， 實驗設計配置圖如下
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只有一筆資料無法做統計推論
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每區再細分成幾塊大小相等的地
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無隨機效果混合
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完全隨機實驗配置圖
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例12.6甲、乙、丙三種肥料其蕃茄產量如下
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資料整理
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12.3 各組母體變異數之檢定
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哈雷檢定法
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例12.6、(例12.2續) 試檢定甲、乙、丙、丁四家輪軩公司 輪胎壽命的變異數是否相等(a=0.05)？
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12.4 集區設計 在例12.5農夫研究3種肥料對 蕃茄產量影響的一因子實驗設計， 是利用完全隨機設計做配置， 看起來很公平，
12.4 集區設計 在例12.5農夫研究3種肥料對 蕃茄產量影響的一因子實驗設計， 是利用完全隨機設計做配置， 看起來很公平， 但如果此塊地水源在左邊(或土壤愈左邊愈肥沃)則上面安排顯然對乙肥料較有利 (因抽籤結果乙肥在左邊配置實驗較多次)，
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因此如何消除這種由“抽籤”(不是有意的)
所造成的不公平呢？ 統計學家想到了“集區”設計，
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以水源為集區設計配置圖
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集區設計模式
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各種平方和
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例12.7、設三種肥料對蕃茄產量影響之集區設計
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資料如下
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ANOVA表
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例12.8、(例12.3續) 如果我們改為先將40家商店 依其規模(營業額)大小分成10組， 每組4家，每組內再抽籤決定
各有一家商店銷售一種包裝， 此為RBD的設計， 假設資料仍與例12.3相同。
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試問： (1)四種包包裝的平均銷售量 是否有顯著差異？ (2)商店的集區效用是否顯著？
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各集區平均銷售量
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集區效用平方和
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一因子集區設計ANOVA
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結論： (1)四種包裝的平均銷售量有顯著差異 (2)商店的集區效用是顯著的
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12.5 因子設計 在例12.5中水源是影響蕃茄產量的因素， 農夫感興趣的是肥料與澆水量 如何影響產量，
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這包括三個問題 (1)肥料是否影響產量？ (2)澆水量多少是否會影響產量？ (3)那一種配方可使產量最多 (即肥料與澆水量一起考量) 。
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此為二因子的實驗設計問題 (1)、(2)兩個問題分別是討論 肥料與澆水量的主效用， (3)就要考量肥料與澆水量是否 有“交互作用”的問題了？
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實驗的配置圖可能如下
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表 二因子樣本平均數表
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表 二因子母體平均數表
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配方模式
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例12.9、 若以12.4配置圖做實驗結果產量如下 試問6種肥料與澆水量配方的蕃茄 平均產量是否有差異？
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表 肥料與澆水量對蕃茄產量影響之資料
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表12.13 因子A,B 各水準下蕃茄產量的平均數與標準差
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由所有30筆產量的標準差
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總平方和
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組間平方和
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組內平方和
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故有證據說6種配方之平均產量 有顯著差異
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二因子模式 (有交互作用)
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可加性
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不是可加性
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二因子(有重覆實驗)設計模式
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檢定的是交互作用存不存在的問題，即檢定
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A, B兩種主效用是否顯著，即檢定
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平方和
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表 二因子設計ANOVA表
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例12.10、三種肥料與 二種澆水量對蕃茄產量影響 試檢定 (1)肥料因素與澆水量因素 是否對產量有交互作用？
(2)肥料因素的主效用是否存在？ (3)澆水量因素的主效用是否存在？
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表 肥料與澆水量對蕃茄產量之影響資料
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平均數與標準差分別
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交互作用平方和
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由例12.9得殘差平方和
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肥料的因素平方和
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各種肥料對蕃茄平均 產量有顯著差異
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澆水量的因素平方和
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澆水量對蕃茄平均產量 有顯著差異
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例12.13(例12.12續) 若四種包裝甲、乙、丙、丁設計分別是： 甲是彩色、凱蒂貓， 乙是彩色、皮卡丘， 丙是黑白、凱蒂貓，
丁是黑白、皮卡丘，
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故四種包裝設計分成兩個因子，分別為 因子A色彩(分成彩色與黑白兩水準)， 因子B玩偶(凱蒂貓與皮卡丘兩水準)，：
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其水準配合(配方)可以下列 交叉設計表示
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資料如表12.16，試問 (1) 色彩(因子A)的主效用是否顯著？ (2) 玩偶(因子B)的主效用是否顯著？ (3) AB交互作用是否顯著？
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兩因子各種配方平均數
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二維模式ANOVA表
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結論： (1)色彩(因子A)是顯著的， 即不同色彩兩種包裝設計會影響銷售量。 (2)玩偶(因子B)是顯著的， 即不同玩偶會影響銷售量。
(3)色彩與玩偶的交互作用是不顯著的。
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第十二章 摘要 1.變異數分析(ANOVA) 不是在檢定幾組母體變異數是否相等 而是在檢定幾組母體的平均數是否相等
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2.了解由兩組獨立樣本的t檢定 擴充到多組獨立樣本的檢定。
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4.一因子模式為 右邊有(總平均)，(因子A)與(殘差) 三項，故ANOVA表中有三個平方和
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5. 二因子模式(有交互作用)為 右邊有(總平均)，(因子A)，(因子B)， (交互作用)，(殘差)五項， 故ANOVA表中有五個平方和
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6. 集區設計模式為 右邊有(總平均)，(因子A)，(因子B)， (殘差)四項， 故ANOVA表中有四個平方和
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7. 集區設計模式與 二因子(無交互作用)模式完全相同， 但以設計角度看是不同的想法
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8. 集區設計是兩組相關樣本(成對)的擴充，所以也可以集區設計來做成對資料的檢定。
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11.了解ANOVA中可控因子的水準與 配方之意義，以及 不可控因子(誤差項)的基本假設 (均質性、常態性、獨立性)。
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12.了解實驗設計的基本觀念， 以及實驗資料與觀察資料的異同。
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13.了解集區設計的重要性， 並知道它與二因子設計的差異
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14.知道二因子交互作用的意義， 明瞭不用一個因子做完 再做另一個因子的兩次單因子實驗設計， 而只要用一次的二因子實驗設計的理由
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15.以圖解與分析兩種方式探討 因子間的交互作用是否存在？ 並且知道在交互作用不存在時， 如何簡化模式與分析資料
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