量 子 力 学.

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1 量 子 力 学

2 课程简介 量子力学是反映微观粒子运动规律的理论，是20世纪自然科学的重大进展之一。本课程是物理学专业的专业必修课程之一。设置量子力学课程的主要目的是： ⑴ 使学生了解微观世界矛盾的特殊性和微观粒子的运动规律，初步掌握量子力学的基本原理和一些重要方法，并初步具有运用这些方法解决较简单问题的能力。⑵ 使学生了解量子力学在现代科学技术中的广泛应用，深化和扩大在普通物理中学过的有关内容，为学生以后的物理教学或进一步学习与提高打下必要的基础。

3 研 究 对 象 基本粒子 原子核 原子 分子 团簇 纳米体系 介观体系 天体物理 宇宙学 能源 化学 生物学 材料科学

4 目 的 要 求 学习方法 1. 深入理解微观粒子的运动特性。 掌握描述微观粒子运动的方法， 即量子力学的数学框架。
1. 深入理解微观粒子的运动特性。 掌握描述微观粒子运动的方法， 即量子力学的数学框架。 3. 初步掌握应用量子力学处理简单体系的方法。 学习方法 少问为什么 多问是什么

5 主 要 内 容 I.   绪论：量子力学的研究对象和方法特点，经典物理学的困难，量子力学发展简史，光的波粒二象性，Bohr的量子论，微观粒子的波粒二象性。 II.   波函数和薛定谔方程：波函数的统计解释，测不准原理和态迭加原理，薛定谔方程，一维定态问题。 III. 力学量的算符表示：表示力学量的算符，算符的本征值和本征函数，动量算符和角动量算符，厄米算符本征函数的正交性，算符与力学量的关系，算符的对易关系，两个力学量同时有确定值的条件，测不准关系，力学量平均值随时间的变化，对称性与守恒律，电子在库仑场中的的运动，氢原子。

6 IV.  态和力学量的表象：态的表象，算符的矩阵表示，量子力学公式的矩阵表述，幺正变换。
VI.  电子自旋与角动量：电子自旋，自旋算符和波函数，角动量耦合，涉及自旋-轨道耦合时哈密顿的处理方法。 VII. 全同粒子体系：全同粒子的特性，玻色子与费密子，全同粒子体系的波函数，泡利原理，两个电子的自旋波函数，氦原子，氢分子。 VIII.  散射：散射过程的一般描述，散射截面，分波法，玻恩近似，方形势阱与势垒所产生的散射。

7 参 考 教 材 1．周世勋，量子力学教程，人民教育出版社。 2．曾谨言，量子力学，科学出版社。
3．L. I. 希夫，量子力学，人民教育出版社。 4．A. 梅西亚，量子力学，人民教育出版社。 5．钱伯初、曾谨言，量子力学习题精选与剖析。

8 第一章 绪论 §1.1 量子力学发展简史 §1.2 经典物理学的困难 §1.3 光的量子性 §1.4 玻尔的量子论
第一章 绪论 §1.1 量子力学发展简史 §1.2 经典物理学的困难 §1.3 光的量子性 §1.4 玻尔的量子论 §1.5 微观粒子的波粒二象性 §1.6 波函数的统计解释

9 §1.1 量子力学发展简史 1896年 气体放电管，发现阴极射线。 1897年 J.J Thomson 通过测定荷质比， 确定了电子的存在。
§1.1 量子力学发展简史 1896年 气体放电管，发现阴极射线。 1897年 J.J Thomson 通过测定荷质比， 确定了电子的存在。 1900年 M.Plank 提出了量子化假说， 成功地解释了黑体辐射问题。 1905年 A.Einstein 将量子化概念明确为光子 的概念，并解释了光电效应。 同年创立了狭义相对论。

10 1911年 E.Rutherfold 确定了原子核式结构
1913年 N.Bohr 提出了原子结构的量子化 理论（旧量子论） 1923年 A.H.Compton散射证实了光子的基本 公式 的正确性，并证实在微观碰撞过程中能量守恒、动量守恒成立。 1924年 L.de Bröglie 提出了“物质波”思想。

11 第二节§1.2 经典物理学的困难 一、 固体与气体分子的比热 二、 原子的线状光谱与稳定性问题 三、 黑体辐射 四、 光电效应

12 C =3R≈5.96cal/k CV T 一、固体与气体分子的比热 3R 图1.1 固体比热
固体中每个原子在其平衡位置附近作小振动，可以看成是具有三个自由度的粒子。按照经典统计力学，其平均动能与势能均为3kT/2。因此，固体的定容比热为 C =3R≈5.96cal/k v 图1.1 固体比热 实验发现，在极低温度下，固体比热都趋于0，如图所示。此外，若考虑到原子由原子核和若干电子组成，为什么原子核与电子的这样多自由度对于固体比热都没有贡献？ CV T 3R

13 多原子分子的比热也存在类似的问题。例如，双原子分子有6个自由度（三个平动自由度、两个转动自由度、一个振动自由度），比热应该为7R/2。
实际上只有在高温下为7R/2，在常温下，观测结果为5R/2，在低温度下它们的比热都降到了3R/2 。 CV T 3R/2 5R/2 7R/2 双原子分子的比热

14 E 分子的转动与振动能级

15 f(v) f(vp1) T1 m f(v)= 4 v2e -m v /2kT 2 kT T2 f(vp2) T3 f(vp3) vp v
3/2 v2e -m v /2kT 2 T2 f(vp2) T3 f(vp3) vp v 温度越高，速率大的分子数越多

16 1. 原子的稳定性 二、原子的线状光谱与稳定性问题 1895年Röntgen发现X射线 1896年A.H.Bequerrel发现天然放射性
1898年Curie夫妇发现了放射性元素钚与镭 电子与放射性的发现揭示出：原子不再是物质组成的永恒不变的最小单位，它们具有复杂的结构，并可相互转化。原子既然可以放出带负电的β粒子来，那么原子是怎样由带负电的部分（电子）与带正电的部分结合起来的？这样，原子的内部结构及其运动规律的问题就提到日程上来了。

17 1904年Thomson提出有关原子结构的Thomson模型
1911年Rutherford通过α粒子散射实验提出Rutherford模型， 即今天众所周知的“核式结构模型” 由于电子在原子核外做加运动，按照经典电动 力学，加速运动的带电粒子将不断辐射而 丧失 能量。因此，围绕原子核运动的电子，终究会 大量丧失能量而“掉到”原子核中去。这样，原 子也就“崩溃”了。但现实世界表明，原子是稳定 的存 在着。

18 2. 原子的线状光谱及其规律 最早的光谱分析始于牛顿（17世纪），但直到19世 纪中叶，人们把它应用与生产后才得到迅速发展。
由于光谱分析积累了相当丰富的资料，不少人对它们进行了整理与分析。1885年，Balmer发现，氢原子光谱线的波数具有下列规律 6562.8Å 4861.3Å 4340.5Å 4101.7Å Hα Hβ Hδ Hγ H∞ 图1.2 氢原子光谱（Balmer系）

19 Balmer公式与观测结果的惊人符合，引起了光谱学家的注意。紧接着就有不少人对光谱线波长（数）的规律进行了大量分析，发现，每一种原子都有它特有的一系列光谱项T(n)，而原子发出的光谱线的波数，总可以表成两个光谱项之差 其中m, n是某些整数。 显然，光谱项的数目比光谱线的数目要少得多。

20 三、黑体辐射 单色辐出度 辐射出射度 实验表明：一切物体都以电磁波的形式向外辐射能量。 辐射的能量与温度有关，称之为热辐射。
辐射和吸收的能量恰相等时称为热平衡。此时温度恒定不变。 单色辐出度 单位时间、单位表面积 上所辐射出的、单位波长 间隔中的能量。 辐射出射度

21 吸收比 反射比 对于非透明物体 基尔霍夫定律： 在热平衡下，任何物体的单色辐出度 与吸收比之比，是个普适函数。

22  绝对黑体的热辐射规律 对于任意温度、或波长，绝对黑体的吸收比都恒为1 黑体 绝对黑体的辐射出射度 用不透明材料制成一空心容器，
壁上开一小孔，可看成绝对黑体 绝对黑体的辐射出射度

23 维恩位移定律 实验发现：当绝对黑体的 温度升高时，单色辐出度 最大值m 向短波方向移动。  斯忒藩(Stefan)-玻耳兹曼定律
1700k 1500k 1300k 实验发现：当绝对黑体的 温度升高时，单色辐出度 最大值m 向短波方向移动。

24  经典物理遇到的困难 能量均分定理 电磁理论得出： 只适于长波，有所谓的 “紫外灾难”。  维恩根据经典热力学得出： 实验
瑞利-琼斯线 维恩线 T=1646k  瑞利和琼斯用 能量均分定理 电磁理论得出： 只适于长波，有所谓的 “紫外灾难”。  维恩根据经典热力学得出：

25 实验 瑞利-琼斯线 维恩线 T=1646k 普朗克线 普朗克的拟合结果

26  普朗克能量子假说 * 辐射物体中包含大量谐振子，它们的能量取分立值 * 存在着能量的最小单元（能量子=h) * 振子只能一份一份地按不连续方式辐射或吸收能量 从理论上推出： 分别是玻尔兹曼常数和光速。 h=6.62610-34焦耳。

27 M λ B 实验值 紫 外 灾 难 瑞利--金斯 维恩 o 4 7 λ(μm)

28 四.光电效应 相同频率，不同入射光强度  光电效应的实验规律及经典理论的困难 U G  饱和光电流强度与 入射光强度成正比。
或者说：单位时间内从 金属表面逸出的光电子 数目与入射光强成正比 U0 3 1 2 U I IS 相同频率，不同入射光强度

29 红限频率 U03 U02 U01 3 1 2 U I IS  光电子的初动能与入射光强度 无关，而与入射光的频率有关。
 光电子的初动能与入射光强度 无关，而与入射光的频率有关。 截止电压的大小反映 光电子初动能的大小 相同入射光强度，不同频率 红限频率 截止电压与入射光频率有线性关系

30 经典理论的困难： * 经典认为光强越大，饱和电流应该越大，光电子的 初动能也越大。但实验上光电子的初动能仅与频率 有关而与光强无关。
* 只要频率高于红限，既使光强很弱也有光电流； 频率低于红限时，无论光强再大也没有光电流。 而经典认为有无光电效应不应与频率有关。 * 瞬时性。经典认为光能量分布在波面上，吸收 能量要时间，即需能量的积累过程。

31 当采用了光量子概念后，光电效应问题迎刃而解。当光量子射到金属表面时，一个光子的能量可能立即被一个电子吸收。但只当入射光频率足够大，即每一个光子的能量足够大时，电子才可能克服脱出功而逸出金属表面。逸出表面后，电子的动能为： A 称为逸出功。只与 金属性质有关。与光 的频率无关。 （4） 当 （临界频率）时，电子无法克服金属表面的引力而从金属中逸出，因而没有光电子发出。 Einstein还进一步把能量不连续的概念用到固体中原子的振动上去，成功地解决了固体比热在温度T→0K是趋于0的现象。这时，P lank的光量子能量不连续性概念才引起很多人的注意。

32 §1.3 光的量子性 一、光的量子性 二、Plank-Einstein关系 三、Compton Scattering

33 一、光的量子性 干涉、衍射现象： 光是波 光是电磁波 赫兹： 黑体辐射、光电效应： 光的量子性: 电磁辐射的能量是被一份一份
地发射和吸收的。

34 二、Plank-Einstein关系 Einstein在光子能量量子化的基础上提出光子概念：
即认为辐射场由光量子组成，每一个光量子的能量与辐射场的频率的关系是： 并根据狭义相对论以及光子以光速C运动的事实，得出光子的动量P波长λ的关系：

35 三、Compton散射 Compton散射曾经被认为是光子概念以及Plank-Einstein关系的判定性实验。
早在1912年，C.Sadler 和A.Meshan就发现X射线被轻原子量的物质散射后，波长有变长的现象，Compton把这种现象看成X射线的光子与电子碰撞而产生的。成功地解释了实验结果。

36 康普顿散射的实验规律：  入射X光 散射X光  散射角 1、散射线波长的改变量  随散射角  增加而增加。
1、散射线波长的改变量  随散射角  增加而增加。 2、在同一散射角下 相同 , 与散射物质和入射光波长无关。 3、原子量较小的物质,康普顿散射较强。

37 Compton认为X射线的光子与电子碰撞而发生散射。假设在碰撞过程中能量与动量是守恒的，由于反冲，电子带走一部分能量与动量，因而散射出去的光子的能量与动量都相应减小，即X射线频率变小而波长增大。

38  入射X光  散射X光 散射角 （5） （6） 并利用相对论中能量动量关系式

39 可得 （7） 对于光子， 则 代入式（7），可解出 （8） 或

40 由式（9）可清楚地看出，散射光的波长随角度增大而增加。理论计算所得公式与实验结果完全符合。
利用 上式改写成 （9） 令 （电子的Compton波长） （10） （11） 由式（9）可清楚地看出，散射光的波长随角度增大而增加。理论计算所得公式与实验结果完全符合。

41 从式（9）可以看出，散射的X射线波长与角度的依赖关系中包含了Plank常数K。因此，它是经典物理学无法解释的。
Compton散射实验是对光量子概念的一个直接的强有力支持，因为在上述推导中，假设了整个光子（而不是它的一部分）被散射。此外，Compton散射实验还证实： Plank-Einstein关系在定量上是正确的 在微观的单个碰撞事件中，动量及能量守恒定律仍然是成立的（不仅是平均值守恒）

42 §1.4 玻耳的量子论 一、原子的线状光谱和稳定性 二、Bohr的量子论

43 一、原子的线状光谱和稳定性 组合原理： 氢原子：

44 二、Bohr的量子论（1913） Bohr量子论的两个重要假定： 1、定态假定：原子能够，而且只能够存在于 分立的能量相应的一系列状态中。
（频率条件） 2、跃迁频率法则：原子在两个定态之间跃迁 时，吸收或发射的辐射的频率ν是

45 §1.5 微观粒子的波粒二象性 一、德布罗意的物质波 二、电子衍射实验 三、微观粒子的波粒二象性

46 德布罗意 (due de Broglie, 1892-1960) 一、德布罗意的物质波
德布罗意原来学习历史，后来改学理论物理学。他善于用历史的观点，用对比的方法分析问题。 1923年，德布罗意试图把粒子性和波动性统一起来。1924年，在博士论文《关于量子理论的研究》中提出德布罗意波,同时提出用电子在晶体上作衍射实验的想法。 爱因斯坦觉察到德布罗意物质波思想的重大意义，誉之为“揭开一幅大幕的一角”。 法国物理学家，1929年诺贝尔物理学奖获得者，波动力学的创始人，量子力学的奠基人之一。

47 一个质量为m的实物粒子以速率v 运动时，即具有以能量E和动量P所描述的粒子性，同时也具有以频率n和波长l所描述的波动性。
德布罗意关系 如速度v=5.0102m/s飞行的子弹，质量为m=10-2Kg，对应的德布罗意波长为： 如电子m=9.110-31Kg，速度v=5.0107m/s, 对应的德布罗意波长为： 太小测不到！ X射线波段

48 二、电子衍射实验 1、戴维逊-革末实验 实验装置： G M
戴维逊和革末的实验是用电子束垂直投射到镍单晶，电子束被散射。其强度分布可用德布罗意关系和衍射理论给以解释，从而验证了物质波的存在。1937年他们与G. P.汤姆孙一起获得Nobel物理学奖。 K 实验装置： 电子从灯丝K飞出，经电势差为U的加速电场，通过狭缝后成为很细的电子束，投射到晶体M上，散射后进入电子探测器，由电流计G测量出电流。 G M

49 实验现象： 实验发现，单调地增加加速电压，电子探测器的电流并不是单调地增加的，而是出现明显的选择性。例如，只有在加速电压U=54V,且θ=500时，探测器中的电流才有极大值。 54 U(V) I O Θ/2 实验解释： Θ/2 Δ

50 实验结果： 当加速电压U=54V，加速电子的能量eU=mv2/2，电子的德布罗意波长为 X射线实验测得镍单晶的晶格常数d=0.215nm
理论值(θ=500)与实验结果(θ=510)相差很小，表明电子电子确实具有波动性，德布罗意关于实物具有波动性的假设是正确的。

51 2、汤姆逊实验 1927年，汤姆逊在实验中，让电子束通过薄金属膜后射到照相底片上，结果发现，与X射线通过金箔时一样，也产生了清晰的电子衍射图样。 1993年，Crommie等人用扫描隧道显微镜技术，把蒸发到铜（111）表面上的铁原子排列成半径为7.13nm的圆环形量子围栏，用实验观测到了在围栏内形成的同心圆状的驻波(“量子围栏”)，直观地证实了电子的波动性。 3、电子通过狭缝的衍射实验： 1961年，约恩孙 (Jonsson)制成长为50mm，宽为0.3mm ，缝间距为1.0mm的多缝。用50V的加速电压加速电子，使电子束分别通过单缝、双缝等，均得到衍射图样。

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55 X射线经晶体的衍射图 电子射线经晶体的衍射图

56 三、微观粒子的波粒二象性 经典粒子 “颗粒性” 轨道 各种力学量可以描述，并且是确定的 经典的波 粒子性：“颗粒性” 波动性：“相干迭加性”

57 §1.6 波函数的统计解释 （一）波函数 （二）波函数的解释 （三）波函数的性质 （四）自由粒子的波函数

58 （一）波函数 3个问题？ (1)  是怎样描述粒子的状态呢？ (2)  如何体现波粒二象性的？ (3)  描写的是什么样的波呢？
(1)  是怎样描述粒子的状态呢？ (2)  如何体现波粒二象性的？ (3)  描写的是什么样的波呢？ 返 回§1

59 如，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布。 这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍射实验。
（二）波函数的解释 P Q 电子源 感光屏 O （1）两种错误的看法 1. 波由粒子组成 如，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布。 这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍射实验。 电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增加呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象，单个电子就具有波动性。 事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量子现象。 波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。

60 2. 粒子由波组成 电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。 什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。 平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，与实验事实相矛盾。 实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小≈1 Å 。 电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？ “ 电子既不是粒子也不是波 ”，既不是经典的粒子也不是经典的波， 但是我们也可以说，“ 电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。” 这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。

61 （2）Born 波函数的统计解释 几率波 O 经典概念中 1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;
经典概念中 有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性; 粒子意味着 2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。 经典概念中 实在的物理量的空间分布作周期性的变化; 波意味着 ．干涉、衍射现象，即相干叠加性。 （2）Born 波函数的统计解释 几率波 我们再看一下电子的衍射实验 P 电子源 感光屏 O Q

62 r 点附近衍射花样的强度 正比于该点附近感光点的数目， 正比于该点附近出现的电子数目， 正比于电子出现在 r 点附近的几 率。
结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个 电子在许多次相同实验中的统计结果。 波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基 础上，Born 提出了波函数意义的统计解释。 在电子衍射实验中，照相底片上 r 点附近衍射花样的强度 正比于该点附近感光点的数目， 正比于该点附近出现的电子数目， 正比于电子出现在 r 点附近的几 率。

63 返 回 假设衍射波波幅用 Ψ (r) 描述，与经典波相似， 衍射花纹的强度则用 |Ψ (r)|2 描述，但意义与经典波不同。
|Ψ (r)|2 的意义是代表电子出现在 r 点附近几率的大小， 确切的说， |Ψ (r)|2 Δx Δy Δz 表示在 r 点处，体积元Δx Δy Δz 中找到粒子的几率。波函数在空间某点的强度（振幅 绝对 值的平方）和在这点找到粒子的几率成比例， 据此，描写粒子的波可以认为是几率波，反映微观客体运 动的一 种统计规律性，波函数Ψ (r)有时也称为几率幅。 这就是首先由 Born 提出的波函数的几率解释，它是量子 力学的基本原理。 返 回

64 d W( r, t) = C|Ψ (r,t)|2 dτ， 其中，C是比例系数。
（三）波函数的性质 （1）几率和几率密度 根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质： 在 t 时刻， r 点，d τ = dx dy dz 体积内，找到由波函数 Ψ (r,t)描写的粒子的几率是： d W( r, t) = C|Ψ (r,t)|2 dτ， 其中，C是比例系数。 在 t 时刻 r 点，单位体积内找到粒子的几率是： ω( r, t ) = {dW(r, t )/ dτ} = C |Ψ (r,t)|2 称为几率密度。 在体积 V 内，t 时刻找到粒子的几率为： W(t) = ∫V dW = ∫Vω( r, t ) dτ= C∫V |Ψ (r,t)|2 dτ

65 这即是要求描写粒子量子状态的波函数Ψ必须是绝对值平方可积的函数。
（2） 平方可积 由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况），所以在全空间找到粒子的几率应为一，即： C∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ= 1, 从而得常数 C 之值为： C = 1/ ∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ 这即是要求描写粒子量子状态的波函数Ψ必须是绝对值平方可积的函数。 若 ∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ  ∞, 则 C  0, 这是没有意义的。

66 （3）归一化波函数 Ψ (r , t ) 和 CΨ (r , t ) 所描写状态的相对几率是相同的，这里的 C 是常数。 因为在 t 时刻，空间任意两点 r1 和 r2 处找到粒子的相对几率之比是： 可见，Ψ (r , t ) 和 CΨ (r , t ) 描述的是同一几率波，所以波函数有一常数因子不定性。 由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即 Ψ (r, t) 和 CΨ (r, t) 描述同一状态 这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的 2 倍），则相应的波动能量将为原来的 4 倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波无归一化问题。

67 归一化常数 若 Ψ (r , t ) 没有归一化， ∫∞ |Ψ (r , t )|2 dτ= A （A 是大于零的常数），则有
∫∞ |(A)-1/2Ψ (r , t )|2 dτ= 1 也就是说，(A)-1/2Ψ (r , t )是归一化的波函数，与Ψ (r,t )描写同一几率波，(A)-1/2 称为归一化因子。 注意：对归一化波函数仍有一个模为一的因子不定性。 若Ψ (r , t )是归一化波函数，那末，exp{iα}Ψ (r , t ) 也是归一化波函数（其中α是实数），与前者描述同一几率波。

68 (四） 自由粒子的波函数 自由粒子， 确定 平面单色波

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71 作业： 1：计算O2的转动动能和振动动能。 2： Compton散射的解释 1ev～12.000K(温度表能量) 单位换算： （频率表能量）
（波长）

72 附录 量子力学的建立及相关科学家传略 量子力学的建立
附录 量子力学的建立及相关科学家传略 量子力学的建立 量子力学是现代物理学的理论基础之一，是研究微观粒子运动规律的科学，使人们对物质世界的认识从宏观层次跨进了微观层次。自1900年普朗克提出量子假设以来，量子力学便以前所未有的速度发展起来，紧接着是1905年爱因斯坦提出光量子假说，直接推动了量子力学的产生与发展。而玻尔运用量子理论和核式结构模型解决了氢原子光谱之谜。之后德布罗意的物质波理论使经典物理学的卫道士们大吃一惊。海森堡的矩阵力学、“不确定原理”和薛定谔的波动力学成了量子力学独当一面的基础。而数学高手狄拉克在此基础上进一步实现了量子力学的统一，建立了著名的“狄拉克方程”。泡利的“不相容原理”又给量子力学抹上了灿烂的一笔。

73 综观其发展史可谓是群星璀璨、光彩纷呈。它不仅较大地推动了原子物理、原子核物理、光学、固体材料、化学等科学理论的发展，还引发了人们对哲学意义上的思考。
相关科学巨匠 马克斯.普朗克（ ） 德国理论物理学家。1874年进入慕尼黑大学。最初他主攻数学，随后又爱上了物理学。虽然他的老师冯.诺里曾对他谈到物理学已经是一门高度发展、几乎完美的学科。 普朗克的一生在科学上提出了许多创见，但贡献最大的还是1900年提出的量子假设。他指出，辐射过程不是连续的而是以最小的分量一份一份地放射出来，这个最小能量

74 单位叫量子，并且还给出了公式。普朗克公式是一个与实验结果完全一致的公式。量子假说的提出对量子论的发展起了重大的作用。因此，普朗克于1918年获得了诺贝尔物理学奖。爱因斯坦在1948年悼念普朗克的会上所致的悼词中说道“一个以伟大的创造性观念造福于世界的人，不需要后人来赞扬。他的成就本身就以给了他一个更高的报答。 玻尔( ) 1885年10月7日,出生于丹麦哥本哈根。由于对原子结构和辐射研究的贡献，他于1912年获得了诺贝尔物理学奖。 1913年，玻尔发表了三篇论文，把核式结构模型与量子论结合起来，解释了许多已知的实验现象，如氢原子光谱问题，正确预言了在复杂原子中的电子必须以“壳层”形式存在，还指出最外层电子个数决定元素的化学性质。

75 玻尔的预言以及他的理论与经典理论的矛盾强烈地扰动着物理界。在之后短短三十年内，海森堡的矩阵力学等理论相继发表，创造出一门全新而成熟的量子力学来。玻尔在近代物理的发展史上的地位是极其崇高的，他不仅对量子力学的发展作出了开创性贡献，而且在国际物理界创立了一种独特的学术气氛，人们称之为“哥本哈根精神”。他还创立了尼尔.玻尔研究所，被许多物理学家称为“物理学的圣地” 德布罗意 法国著名物理学家，1892年出生于第厄普的一个贵族世家。在中学时期，他的兴趣是文科，在20岁时志趣转向自然科学，并用两年时间学习了自然科学的基础课程。德布罗意的治学原则是：广见闻、多浏览、勤实验。他认为环境和出身不能决定一个人的志向，重要的是在学术上要善于独立思考，不迷信权威。

76 1920年他指出，一切物质都具有粒子和波的两重性，这就是著名的物质波理论。这个大胆的创造性假设轰动了整个学术界，因为按照经典物理的观念，粒子与波是完全不同的两种物质形态，根本不可能融合在一起，因此许多学者都对次持怀疑态度。但爱因斯坦对此却十分赞赏，说道：“一幅巨大帷幕的一角卷起来了”。很快，在1927年由实验证实了德布罗意的物质波的真实性，德布罗意也因提出物质波理论而获得1923年诺贝尔物理学奖。 海森堡（ ） 德国著名的现代物理学家。1924年进入哥廷根大学深造，先后拜师于玻尔和波恩门下。特别是在与玻尔交往的三年中，他们经常通宵达旦地讨论问题，是他的学术水平大大提高。 1925年海森堡发表了矩阵力学理论，认为人不能够确定

77 某时刻电子在空间的位置，也不能在轨道上跟踪它。波恩把它与爱因斯坦抛弃绝对时空观概念相媲美。1927年海森堡第一次提出了“不确定关系”，指出在同一时刻以相同的精度测定粒子的位置与动量是不可能的，只能精确确定两者之一。由于海森堡的重大贡献，他被世人认为是量子力学的重要创始人之一，而“不确定关系”也成为量子力学基本原理之一，他因此于1932年荣获诺贝尔物理学奖。他那种勇于创新、大胆思维的科学精神很值得后人学习。 狄拉克(Diract) 由于发现原子理论的有效新形式，而与奥地利科学家薛定谔共同获得1933年诺贝尔物理学奖。开始他只对精确的方程式感兴趣，不善于用近似的方法来处理实际问题。但他逐渐认识到“在现实生活中方程都是近似的，当然我们应当使它们越来越精确，不过即使是近似的方程也能显示出美来”。

78 1926年冬，狄拉克证明海森堡的矩阵力学与薛定谔的波动方程是等价的，之后狄拉克又提出了著名的“狄拉克方程”（即相对论方程），他从这一方程的负能态解出发，预言了正电子的存在。这是关于反物质的第一次假设。他解释道：真空根本就不是空的，里面充满着正电子与电子。由于某中原因可以使真空中跳出正电子和电子，也能够使一个电子与正电子相遇放出光子，双双湮灭为真空。人们起初认为这纯属数学趣事，但一年后，美国人安德森在宇宙射线中找到了正电子。狄拉克喜欢独立思考，在科学上独树一帜。他对量子力学的精辟论述和他的思想所表现出来的非凡洞察力，使一代物理学家以为神异。

79 薛定谔 (Erwin Schrödinger, 1887–1961)
一. 量子力学简介 薛定谔 (Erwin Schrödinger, 1887–1961) 　　薛定谔在德布罗意思想的基础上，于1926年在《量子化就是本征值问题》的论文中，提出氢原子中电子所遵循的波动方程(薛定谔方程)，并建立了以薛定谔方程为基础的波动力学和量子力学的近似方法。薛定谔方程在量子力学中占有极其重要的地位，它与经典力学中的牛顿运动定律的价值相似。薛定谔对原子理论的发展贡献卓著，因而于1933年同英国物理学家狄拉克共获诺贝尔物理奖金。 薛定谔还是现代分子生物学的奠基人，1944年，他发表一本名为《什么是生命 ——活细胞的物理面貌》的书，从能量、遗传和信息方面来探讨生命的奥秘。 奥地利著名的理论物理学家，量子力学的重要奠基人之一，同时在固体的比热、统计热力学、原子光谱及镭的放射性等方面的研究都有很大成就。

80 狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac，1902-1984）
英国理论物理学家。1925年，他作为一名研究生便提出了非对易代数理论，而成为量子力学的创立者之一。第二年提出全同粒子的费米-狄拉克统计方法。1928年提出了电子的相对论性运动方程，奠定了相对论性量子力学的基础，并由此预言了正负电子偶的湮没与产生，导致承认反物质的存在，使人们对物质世界的认识更加深入。他还有许多创见（如磁单极子等）都是当代物理学中的基本问题。由于他对量子力学所作的贡献，他与薛定谔共同获得1933年诺贝尔物理学奖金。

81 一、波函数的统计解释 1、光的衍射 根据光的波动性，光是一种电磁波，在衍射图样中，亮处波的强度大，暗处波的强度小。而波的强度与振幅的平方成正比，所以衍射图样中，亮处的波的振幅的平方大，暗处的波的振幅平方小。 根据光的粒子性：某处光的强度大，表示单位时间内到达该处的光子数多；某处光的强度小，表示单位时间内到达该处的光子数少。 从统计的观点来看：相当于光子到达亮处的概率要远大于光子到达暗处的概率。因此可以说，粒子在某处出现附近出现的概率是与该处波的强度成正比的，而波的强度与波的振幅的平方成正比，所以也可以说，粒子在某处附近出现的概率是与该处的波的振幅的平方成正比的。

82 2．德布罗意波统计解释 3．德布罗意波与经典波的不同
从粒子的观点看，衍射图样的出现，是由于电子不均匀地射向照相底片各处形成的，有些地方电子密集，有些地方电子稀疏，表示电子射到各处的概率是不同的，电子密集的地方概率大，电子稀疏的地方概率小。 从波动的观点来看，电子密集的地方表示波的强度大，电子稀疏的地方表示波的强度小，所以，某处附近电子出现的概率就反映了在该处德布罗意波的强度。对电子是如此，对其它粒子也是如此。 普遍地说，在某处德布罗意波的振幅平方是与粒子在该处出现的概率成正比的。这就是德布罗意波的统计解释。 3．德布罗意波与经典波的不同 机械波——机械振动在空间的传播 德布罗意波——是对微观粒子运动的统计描述，它的振幅的平方表示粒子出现的概率，故是概率波。

83 1925年 W.Heisenberg 建立了量子力学的 “矩阵形式”
1926年 E.Schrödinger 建立了量子力学的 “波动形式” 并证明了与“矩阵形式”等价。 1927年 Davission, Germer 电子衍射实验。 1927年 Dirac 发展了电磁场的量子理论 1928年 Dirac 建立了相对论量子力学（ Dirac方程）