高等代数与空间解析几何 第一章 n阶行列式 1.1 n阶行列式 二阶、三阶行列式 n阶行列式的概念来源于对线性方程组的研究：

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1 高等代数与空间解析几何 第一章 n阶行列式 1.1 n阶行列式 1.1.1 二阶、三阶行列式 n阶行列式的概念来源于对线性方程组的研究：
二阶、三阶行列式 n阶行列式的概念来源于对线性方程组的研究： 设二元线性方程组 （1） 其中 现在讨论线性方程组（1）的求解公式， 对（1）作加减消元得:

2 （2） 式（2）就是式（1）的解，但（2）不易记忆，因此有必要引进新的符号--“行列式”来表示（2）式。 定义: 设 是四个数，称代数和 为二阶行列式，记作

3 称为这个二阶行列式的元素， 的 两个下角标 分别表示所在的行和列的序号， 常称 是行列式的（ ）元素。 对线性方程组（1），记

4 (1)的解（2）可写成 例如，对线性方程组 由于

5 则方程组的解可以写成 为了得出关于三元线性方程组 的类似解法，我们引入三阶行列式。

6 定义: 称 为三阶行列式。

7 例如

8 为了研究n元线性方程组我们把二阶和三阶行列式
1.1.2 全排列的逆序数、对换 为了给出n阶行列式的定义，首先介绍全排列 的“逆序数”与全排列的“对换”。 定义: 把n个不同的元素排成一列，叫做这n个 元素的全排列，或n阶排列（简称排列）。n个不同 元素的排列共有 种

9 为了方便起见，今后把自然数 视为n个不同的元素的代表。用 表示这n个不同的元素中的一个 ，且 时 于是 便是 的一个排列。
例如:自然数1，2，3的排列共有六种： 123，132，213，231，312，321． 为了方便起见，今后把自然数 视为n个不同的元素的代表。用 表示这n个不同的元素中的一个 ，且 时 于是 便是 的一个排列。 对于排列 ， 称排在 前且比 大的数的个数 为 的逆序数，把这个排列中各数的逆序数之和称为这个排列的逆序数，

10 记作： 逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列； 例1: 求排列的逆序数 自然排列: 自然排列: 的逆序数为 排列 的逆序数为

11 定义: 在一个排列中，将某两个数的位置对调（其他数不动）的变动叫做一个对换。
定理1.1 一个排列中的任意两个数对换后，排列 改变奇偶性。 定理1.2 在全部n 阶排列中， 奇偶排列各占 一半。 1.1.3 n阶行列式的定义 定义 n2个元素排成n行n列，称

12 为n阶行列式，其中 是对所有n阶排列 取和。 此行列式可简记 或 。 记一阶行列式 ；

13 例1.5 三角形行列式（或对角形行列式）等于主对角线上n个元素的乘积。
例1.6 负三角形行列式

14 n阶行列式的等价定义：

15 1.2 n 阶行列式的性质 定义: 设 ，称 为 D 的转置行列式。 n 阶行列式的性质 性质1 行列式与转置行列式相等.

16 性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号. 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则该 行列式为零. 性质3 把行列式的某一行（列）的所有元素同乘 以数c，等于用数c乘以这个行列式 推论1 如果行列式某一行（列）有公因子k时， 则该公因子k可以提到行列式的符号外面

17 推论2 如果行列式有两行（列）成比例， 则该行列式为零。 性质4 如果行列式某行（列）的所有元素都是两数之和，则该行列式为两行列式之和，即

18 性质5 把行列式的某一行（列）的各元素同乘以
数c加到另一行（列）的对应元素上去， 则行列式的值不变

19 下面讨论将n阶行列式转化为n-1阶行列式计算
的问题，即： 行列式展开定理。 定义1.6 在给定的n阶行列式 中，把元素 所在的i行和j列的元素划去,剩余元素构成的 n-1阶行列式称为元素 的余子式，记作 ; 而元素 的代数余子式记作 ， 定义

20 例如 在行列式 中

21 性质6 n阶行列式 等于它的任意一行（列） 的所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即 推论 n阶行列式 ，则

22 证明：由 及性质6将G按 j 行展开有 利用Kronecker 符号函数

23 例1.7