§3 空间解析几何.

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1 §3 空间解析几何

2 主 目 录( 1— 30 ) 1 空间直角坐标系 2 两矢量和在轴上的投影 3 矢量积的分配律的证明 4 混合积的几何意义
主 目 录( 1— 30 ) 1 空间直角坐标系 两矢量和在轴上的投影 3 矢量积的分配律的证明 混合积的几何意义 5 一般柱面 F(x,y)= 一般柱面 F(y,z)=0 7 椭圆柱面 双曲柱面 9 抛物柱面 旋转面的方程 11 双叶旋转双曲面 单叶旋转双曲面 13 旋转锥面 旋转抛物面 15 环面 椭球面 17 椭圆抛物面 双曲抛物面 19 双曲面的渐近锥面 单叶双曲面是直纹面 双曲抛物面是直纹面 一般锥面 23 空间曲线——圆柱螺线 空间曲线在坐标面上的投影 25 空间曲线作为投影柱面的交线(1) 26 空间曲线作为投影柱面的交线(2) 27 作出平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的立体图形

3 28 29 30 .

4 15.环面 绕 y轴 旋转所成曲面 y x o r R

5 15.环面 绕 y轴 旋转所成曲面 y x o z .

6 15.环面 绕 y轴 旋转所成曲面 y x o 生活中见过这个曲面吗？ z . 环面方程 . .

7 15.环面 . 救生圈

8 16. 椭球面 y x z o c 截痕法 用z = h截曲面 b 用y = m截曲面 用x = n截曲面 a

9 17. 椭圆抛物面 x z y 截痕法 用z = a截曲面 用y = b截曲面 用x = c截曲面

10 17. 椭圆抛物面 x z y 截痕法 用z = a截曲面 用y = b截曲面 用x = c截曲面 .

11 18. 双曲抛物面 （马鞍面） x z y 截痕法 用z = a截曲面 用y = 0截曲面 用x = b截曲面

12 18. 双曲抛物面 （马鞍面） x z y 截痕法 用z = a截曲面 用y = 0截曲面 用x = b截曲面 .

13 18. 双曲抛物面 （马鞍面） x z y 截痕法 用z = a截曲面 用y = 0截曲面 用x = b截曲面 .

14 双曲面的截口椭圆与它的渐进锥面的截口椭圆任意接近，即：双曲面和锥面任意接近。
19. 双曲面的渐进锥面 y x z o 双叶： 渐进锥面： 单叶： . . . 在平面上，双曲线有渐进线。 相仿，单叶双曲面和双叶双曲面 有渐进锥面。 用z=h去截它们，当|h|无限增大时， 双曲面的截口椭圆与它的渐进锥面 的截口椭圆任意接近，即： 双曲面和锥面任意接近。 在平面上，双曲线有渐进线。相仿， 单叶双曲面和双叶双曲面有渐进锥面。 用z=h去截它们，当|h|无限增大时， 双曲面的截口椭圆与它的渐进锥面的截口椭圆任意接近，即：双曲面和锥面任意接近。

15 单叶双曲面是双重的直纹面，即：它有两个直母线系。
20. 单叶双曲面是直纹面 含两个直母线系 . 直纹面在建筑学上有意义 例如，储水塔、 电视塔等建筑都 有用这种结构的。 单叶双曲面是直纹面（定义见马鞍 面）。 单叶双曲面是双重的直纹面，即：它有两个直母线系。

16 直纹面 一曲面S称为直纹面：如果有一族直线，这一族中每一条直线全在S上，并且S上每一点都在这一族的某一条直线上。
21. 双曲抛物面是直纹面 含两个直母线系 马鞍面是直纹面。 直纹面 一曲面S称为直纹面：如果有一族直线，这一族中每一条直线全在S上，并且S上每一点都在这一族的某一条直线上。 这样一族直线称为曲面S的一族直母线。 马鞍面有两个直母线系。

17 单叶双曲面是双重的直纹面，即：它有两个直母线系。
22. 一般锥面 方程 F(x,y,z)= 0是 n次齐次的： t是任意数 n次齐次方程 F(x,y,z)= 0 的图形是以原点为顶点的锥面； x z y 准线 单叶双曲面是直纹面（定义见马鞍 面）。 单叶双曲面是双重的直纹面，即：它有两个直母线系。 顶点 反之，以原点为顶点的锥面的方程是 n次齐次方程 F(x,y,z)= 0. 锥面是直纹面

18 acos t x = y = asin t z = bt 23. 空间曲线——圆柱螺线 当 t 从 0  2， 螺线从点P  Q
点P在圆柱面上等速地绕z轴旋转； 同时又在平行于z轴的方向 等速地上升。 其轨迹就是圆柱螺线。 圆柱面 y z x M(x,y,z) x = y = z = acos t asin t bt （移动及转动都是等速进 行，所以z与t成正比。) Q 当 t 从 0  2， 螺线从点P  Q M 叫螺距 a t P N .

19 24. 空间曲线在坐标面上的投影 y x z o 解 由 得交线L： 1 .

20 24. 空间曲线在坐标面上的投影 y x z o 投影柱面 解 由 L 得交线L： 1 z =0 . . . . .

21 25. 空间曲线作为投影柱面的交线(1) L: x z y y2 = – 4x ( ) 消去z y2 = – 4x

22 25. 空间曲线作为投影柱面的交线(1) y2+(z – 2)2 = 4 L: z y2 = – 4x ( ) 消去z
y2 = – 4x ( ) 消去z y2+(z – 2)2 = 4 (消去x ) y2 = – 4x .

23 25. 空间曲线作为投影柱面的交线(1) 转动坐标系，有下页图 转动坐标系，有下页图 y2+(z – 2)2 = 4 L: z
x z y y2 = – 4x ( ) 消去z L： y2+(z – 2)2 = 4 (消去x ) . L y2 = – 4x 转动坐标系，有下页图 转动坐标系，有下页图 .

24 26. 空间曲线作为投影柱面的交线(2) y 2 + (z – 2)2 = 4 (消去x) L： y2 = – 4x (消去z) z
26. 空间曲线作为投影柱面的交线(2) y 2 + (z – 2)2 = 4 (消去x) L： y2 = – 4x (消去z) x z y y2+(z – 2)2 = 4 y2 = – 4x L

25 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
27. 作图练习 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图 x z y 6 x+y+z=6 3x+y=6 6 2 6

26 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
27. 作图练习 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图 x z y 6 x+y+z=6 3x+y=6 6 . 2 6

27 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
27. 作图练习 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图 x z y 6 x+y+z=6 3x+y=6 3x+2y=12 6 2 . 4 6

28 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
27. 作图练习 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图 x z y 6 x+y+z=6 3x+y=6 3x+2y=12 6 2 . 4 6

29 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
27. 作图练习 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图 x z y 6 x+y+z=6 6 2 . 4 6

30 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图
27. 作图练习 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图 x z y 6 6 2 . 4 6

31 28. 作图练习 x z y a a

32 28. 作图练习 x z y y = 0 x = 0 . z = 0 a a

33 28. 作图练习 学画草图 x z y a . a a

34 29. 作图练习 z 1 y 1 x –1

35 本题作为画立体图的练习，先让学生思考，后画出四个平面，红的虚线是斜面与三个坐标面的交线；红的实线是斜面与三个已知面的交线。
30. 作图练习 x z y a a 本题作为画立体图的练习，先让学生思考，后画出四个平面，红的虚线是斜面与三个坐标面的交线；红的实线是斜面与三个已知面的交线。 再问： ‘那些部分不属于所围区域，应删去？’（删三个角） 那些部分开放，需用坐标面贴补？ （出现三个贴补面）。 a

36 本题作为画立体图的练习，先让学生思考，后画出四个平面，红的虚线是斜面与三个坐标面的交线；红的实线是斜面与三个已知面的交线。
30. 作图练习 x z y a a 本题作为画立体图的练习，先让学生思考，后画出四个平面，红的虚线是斜面与三个坐标面的交线；红的实线是斜面与三个已知面的交线。 再问： ‘那些部分不属于所围区域，应删去？’（删三个角） 那些部分开放，需用坐标面贴补？ （出现三个贴补面）。 . a

37 本题作为画立体图的练习，先让学生思考，后画出四个平面，红的虚线是斜面与三个坐标面的交线；红的实线是斜面与三个已知面的交线。
30. 作图练习 x z y a a 本题作为画立体图的练习，先让学生思考，后画出四个平面，红的虚线是斜面与三个坐标面的交线；红的实线是斜面与三个已知面的交线。 再问： ‘那些部分不属于所围区域，应删去？’（删三个角） 那些部分开放，需用坐标面贴补？ （出现三个贴补面）。 . a

38 这是个七面体 30. 作图练习 问题： 这是个怎样的立体？
x z y 这是个七面体 a x=0 y=0 a 本题作为画立体图的练习，先让学生思考，后画出四个平面，红的虚线是斜面与三个坐标面的交线；红的实线是斜面与三个已知面的交线。 再问： ‘那些部分不属于所围区域，应删去？’（删三个角） 那些部分开放，需用坐标面贴补？ （出现三个贴补面）。 z=0 a .

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