§18.3 M-B 统计在理想气体中的应用 重点：将M-B统计应用于理想气体得出的几个统计规律 一、麦克斯韦分子速率分布定律

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1 §18.3 M-B 统计在理想气体中的应用 重点：将M-B统计应用于理想气体得出的几个统计规律 一、麦克斯韦分子速率分布定律
条件： 理想气体，平衡态（热动平衡） 宏观： 微观： 各分子不停运动且频繁碰撞， 对大量分子整体而言，气体分子按速率分布具有确定规律。

2 1. 内容： 平衡态下，无外力场作用时，理想气体分子速率在v — v + dv 间的概率为: 分布函数： 分子速率在 v 附近单位速率区间的概率

3 很大的分子所占比率小，具有中等速率分子所占比率大。 v f(v)
2. 麦克斯韦速率分布曲线 讨论: 1）气体分子速率可取 的一切值，但v 很小和v 很大的分子所占比率小，具有中等速率分子所占比率大。 O v f(v) vp 令 数量级：

4 若将 分为相等的速率间隔，则在包含 的间隔中的分子数最多。
O v f(v) vp 物理意义： 若将 分为相等的速率间隔，则在包含 的间隔中的分子数最多。

5 2) 曲线下的面积 讨论： O v f(v) v+dv v1 v2 窄条： 分子速率在 v——v+dv 区间内的概率 部分：

6 O v f(v) v+dv v1 v2 总面积： 归一化条件 练习： 的物理意义?

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8 3) 分布曲线随 m ,T 变化 讨论： m一定, 曲线峰值右移，总面积不变，曲线变平坦

9 T 一定, v f(v) vp2 vp1 曲线峰值左移，总面积不变，曲线变尖锐。 3.分子速率的三种统计平均值 一般情况：
O v f(v) vp2 vp1 m1 m2> m1 T一定 曲线峰值左移，总面积不变，曲线变尖锐。 3.分子速率的三种统计平均值 一般情况：

10 1） 平均速率 2） 方均根速率 3） 最概然速率（最可几速率)

11 三者关系： O v f(v) vp

12 练习1. A. B. C. D.

13 练习2. 图示为氢分子和氧分子在相同温度下的麦克斯韦速率分布曲线，氢分子的最概然速率为 ， 氧分子的最概然速率为 。 1000 4000

14 练习3. 处理理想气体分子速率分布的统计方法可用于金属中自由电子(“电子气”模型),设导体中自由电子数为N,电子速率最大值为费米速率vF且已知电子速率在 v — v+dv 区间概率为： 1. 画出电子气速率分布曲线 2. 3.

15 解: 1. 2. 由归一化条件 3.

16 二、 玻尔兹曼(奥地利1844-1906)粒子数按势能分布规律
或：重力场中粒子数按高度分布规律 无外力场存在时,麦氏分子速率分布定律 麦氏分子速度分布定律

17 保守力场中，粒子不再均匀分布 两点修正 变量间隔改为 在空间小体积 速度在 的分子数： 对所有速度积分得体积元 分子数密度：

18 重力场中，热运动与重力作用相互影响，实现热动平衡时，气体分子数密度随高度上升，按指数规律下降。
恒温气压公式 高度计原理

19 三. 能均分定律 理想气体内能 各种平均能量按自由度均分 1. 模型的改进 推导压强公式： 理想气体分子—— 质点 讨论能量问题： 考虑分子内部结构 —— 质点组 分子热运动 平动 转动 分子内原子间振动 大量分子系统： 各种运动形式的能量分布、平均总能量均遵守统计规律。

20 2.自由度 确定一个物体的空间位置所需的独立坐标数 总自由度数=平动自由度+转动自由度+振动自由度 1） 质点： 只有平动，最多三个自由度 受限制时自由度减少 飞机 t =3 轮船 t =2 火车 t =1 例：

21 2） 刚体 决定质心位置 t =3 过质心转轴方位 刚体相对于轴的方位 r =3 最多6个自由度: i = t + r = 6 定轴刚体 : i = r = 1

22 3）气体分子 单原子分子—自由质点 i = t = 3 双原子分子 — 轻弹簧联系的两个质点 y x z 质心位置 t = 3 m2 m1
O C m2 m1 质心位置 t = 3

23 多原子分子（原子数 n ) 最多可能自由度 i=3n 平动 t =3 转动 r =3 振动 s =3n-6 刚性多原子分子 t = 3 r = 3 s = 0 i = 6 3. 能均分定律 分子的平均总动能: 由M-B统计得,在温度T的平衡态下，物质(固，液，气) 分子的每一个可能的自由度都有相同的平均动能

24 定性说明： 由于分子频繁碰撞，动能在各运动形式、 各自由度之间转移，平衡时，各种平均动能按自由 度均分。 由温度公式 每个自由度上的平均平动动能： 由能均分定律，其它各自由度上平均动能均为

25 平均平动动能 平均转动动能 平均振动动能 平均总动能 注意: 能均分定律是统计规律，反映大量分子系统的整体性质，对个别分子或少数分子不适用。

26 4. 理想气体的内能 1）实际气体的内能：（分子数 N） 所有分子的动能： 与T,V有关 微振动：采用谐振动模型 所有分子内原子振动势能： 分子间相互作用势能： 与体积 有关 2） 理想气体内能：（分子数 N） 模型：分子间无相互作用~无分子相互作用势能 分子动能： 原子振动势能：

27 模型：刚性分子~无振动自由度 分子数为 N 的理想气体的内能为 对 1mol 刚性分子理想气体 单原子分子 刚性双原子分子 刚性多原子分子 温度 T 的单值函数

28 指出下列各量的物理意义 平衡态下，物质分子每个自由度上的平均动能 平衡态下，物质分子的平均平动动能 平衡态下，物质分子的平均总动能 平衡态下，1mol理想气体内能

29 四. 分子碰撞的统计规律 分子速率分布 都是依赖分子间频繁碰撞实现的 平均动能按自由度分布 每个分子1秒内与其它分子相撞次数
只能求统计平均值，寻求其统计规律。 每个分子1秒内与其它分子相撞次数 连续两次相撞间经过的时间间隔 连续两次相撞间通过的路程 均不确定

30 单位时间内每个分子平均与其它分子相撞次数
1 . 分子平均碰撞频率 单位时间内每个分子平均与其它分子相撞次数 思考： 是否可以象求 p 那样视为质点？ 1） 模型的改变： 分析分子碰撞的过程 分子间相互作用

31 分子相撞——视为直径为 d 的刚性小球的弹性碰撞
两分子相碰过程（经典模型） A B d 分子间最小距离 d 与分子初动能有关，其统计平均值—分子的有效直径。 A B d 分子相撞——视为直径为 d 的刚性小球的弹性碰撞

32 2) 推导公式： “跟踪”一个分子A，认为其它分子不动，A以平均相对速率 相对其它分子运动。 A球心轨迹：折线 质心与折线距离 < d 的分子将与A相碰； 质心与折线距离 > d 的分子将不与A相碰 时间 t 内，A通过的折线长 以折线为轴的曲折圆柱体积 圆柱内分子数

33 单位时间内平均碰撞次数 平均相对速率 A B u r 平均碰撞频率 一般：

34 2.分子平均自由程 1） 定义 分子在连续两次碰撞间通过的自由路程的平均值。 2） 常温常压下： 为分子有效直径的数百倍 注意：

35 习题课. 第18章重点： M—B统计在理想气体中的应用 两个基本概念： p, T 四个统计规律 麦克斯韦分子速率分布 玻尔兹曼粒子按势能分布 能均分定律 分子平均碰撞频率和平均自由程

36 解： 1. 2克氢气与2克氦气分别装在两容积相同的封闭空间，温度相同。则： 1） 氢分子与氦分子平均平动动能之比： 2） 氢气与氦气压强之比： 3） 氢气与氦气内能之比： 练习 1 ：1 2 ：1 10 ：3

37 练习 解： 2. 一定量的理想气体，经等压过程从 V V 则表述分子运动的下列各量与原来的量值之比是： 1） 平均自由程：___________ 2） 平均速率：___________ 3） 平均动能：___________ 2 ： 1 2 ： 1

38 练习 3..容器中储有一定量理想气体,温度为 T ,分子质量为 m ,则分子速度在 x 方向的分量的平均值为: （A） （C） （B） （D） [ D ] 4.标准状态下,若氧气和氦气的体积比V1/V2 = 1/2, 则其内能 E1/E2 为: （A）1/2 ; （B）5/6 ; （C）3/2 ; （D）1/3 . [ B ]

39 5. 水蒸气分解为同温度 T 的氢气和氧气,即 H2OH2+0.5O2 内能增加了多少？ （A）50% （B）25% （C）66.7% （D）0. 练习 [ B ]

40 练习 6.在恒定不变的压强下，气体分子的平均碰撞频率 与气体的热力学温度 T 的关系为: (A) 与T 无关。 (B) 与 成正比。 (C) 与 成反比。 (D) 与T 成正比。 [ C ]

41 练习 7.下列各式中哪一种表示气体分子的平均平动动能？（式中 M 为气体的质量,m 为气体分子的质量, N 为气体分子总数目, n 为气体分子密度, N0 为阿伏加德罗常数, Mmol为摩尔质量。） （A） （C） （B） （D） [ A ]

42 练习 8.一瓶氦气 He 和一瓶氮气 N2 质量密度相同,分子平均平动动能相同,而且都处于平衡状态,则它们： （A）温度相同、压强相同。 （B）温度、压强都不同。 （C）温度相同,但氦气的压强大于氮气的压强。 （D）温度相同,但氦气的压强小于氮气的压强。 [ C ]

43 练习 9. 有一截面均匀的封闭圆筒，中间被一光滑的活塞分割成两边，如果其中的一边装有0.1kg某一温度的氢气，为了使活塞停留在圆筒的正中央，则另一边应装入同一温度的氧气质量为：　　　　　　　　　　　　 [ C ]

44 练习 10.汽缸内盛有一定的理想气体,当温度不变,压强增大一倍时,该分子的平均碰撞频率和平均自由程的变化情况是： （A） 和 都增大一倍； （B） 和 都减为原来的一半； （C） 增大一倍而 减为原来的一半； （D） 减为原来的一半而 增大一倍。 [ C ]

45 练习 11. 一定量理想气体, vP1, vP2 分别是分子在温度 T1、T2 时的最概然速率,相应的分子速率分布函数的最大值分别为f（vP1）和f（vP2）,当T1> T2时, （A）vP1 > vP f（vP1）< f（vP2）; （B）vP1 < vP f（vP1）< f（vP2）; （C）vP1 > vP f（vP1）> f（vP2）; （D）vP1 < vP f（vP1）> f（vP2）. [ A ] m一定

46 12.已知氢气与氧气的温度相同，请判断下列说法哪个正确？
（A）氧分子的质量比氢分子大，所以氧气的压强一定大于氢气的压强。 （B）氧分子的质量比氢分子大，所以氧气密度一定大于氢气的密度。 （C）氧分子的质量比氢分子大，所以氢分子的速率一定比氧分子的速率大。 （D）氧分子的质量比氢分子大，所以氢分子的方均根速率一定比氧分子的方均根速率大。 练习 [ D ]