§4.1.2 圆的一般方程.

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1 §4.1.2 圆的一般方程

2 引入新课 将圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2展开， 可得： x2+y2-2ax-2by+(a2+b2-r2)=0
如果D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,得到方程X2+y2+Dx+Ey+F=0 ，这说明圆的方程还可以表示成另外一种非标准方程的形式. 能不能说方程X2+y2+Dx+Ey+F=0所表示的曲线一定是圆呢？

3 (1)圆的一般方程和Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 比较，在形式上有什么突出的特点?
任何一个圆的方程都可以写成X2+y2+Dx+Ey+F=0的 形式，反过来，当D2+E2-4F>0时，方程表示一个圆. 它叫做圆的一般方程. (1)圆的一般方程和Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 比较，在形式上有什么突出的特点? (2)要求出圆的一般方程，必须先求出什么？ 可用什么方法求？

4 例题分析 例4、求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2) 的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标.
例5、已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A 在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨 迹方程，

5 小结 （1）任何一个圆的方程都可以写X2+y2+Dx+Ey+F=0的 形式，但是方程X2+y2+Dx+Ey+F=0的曲线不一定是圆，
只有在D2+E2-4F>0时，方程表示圆心为 ，半径 为 的圆。 （2）利用待定系数法求圆的方程，对于已知条件容易求出圆心坐标和半径或需用圆心坐标列方程的问题，一般采用圆的标准方程，否则用圆的一般方程。

6 圆的参数方程 y x O P r θ

7 怎样得到圆心在O1(a,b)，半径为r的圆的 参数方程呢？
O1(a,b) P(x,y) P1(x1,y1) y x o

8 一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数，即
参数方程的定义： 一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数，即 ③ ), ( î í ì = t g y f x 并且对于t的每一个允许值，由方程组③所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组③就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数.

9 对于参数方程，要注意以下几点： (1)x,y都是同一变量t的函数; (2)该函数对曲线上任意一点都适合;
(3)对于t的每一个允许值, x、y都有唯一的值 与之对应; 81页练习1、2 (4)参数t的取值范围要受限制,它不能使x,y的取 值范围扩大,也不能使x,y的取值范围缩小; (5)学会将简单的曲线参数方程与普通方程互化.

10 互化例子

11 例题分析 例6、如图，已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点， 点A是x轴上的定点，坐标为（12，0），当点P在
圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹是什么？ P M A x o y θ

12 参数法解题 的最大值和最小值。 求函数 2 cos 1 sin ) ( - = q f