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Published by部钗崇 司马 Modified 7年之前
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像上面兩個二元一次方程式x+y=70 和x+2y=115,雖然各自有解,但是當聯立在一起時,我們要找的就是同時能讓兩個方程式等號成立的x、y 值,此時的x 與y 就是這兩個方程式的一組共同解,也就是聯立方程式的解。 但是,要如何求出二元一次聯立方程式的解呢?讓我們先以二元一次方程式x+y=70 為例來說明。
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x 2 1 3 … y 4
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8 1 2 2
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將x=2,y=1代入得 所以x=2,y=1不是 的解。 將x=2,y=-1代入得 所以x=2,y=-1是 的解。 將x=1,y=-2代入得 所以x=1,y=-2不是 的解。
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太棒了!原來找二元一次聯立方程式的解這麼簡單,只要找到合適的數值代入判斷就行了。
妳真的這麼想嗎?那我們不妨用這個方法試一次,但是妳從x=1 開始找,而我從y=1開始,同意吧! 太棒了!原來找二元一次聯立方程式的解這麼簡單,只要找到合適的數值代入判斷就行了。
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解仍是x=-2,y=4,因為聯立方程式的解是共同解,不論代入哪個式子,結果應該都一樣。
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由①式代入②式得 由①式代入②式得 2(-2y) +y=9, y+2y=6,3y=6,y=2 -3y=9,y=-3 再代回①式得x=2
………... ① …….... ② 由①式代入②式得 2(-2y) +y=9, -3y=9,y=-3 再代回①式得x=6 …………... ① …….... ② 由①式代入②式得 y+2y=6,3y=6,y=2 再代回①式得x=2
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像例題4、例題5 這種解聯立方程式的方法,稱為代入消去法。
其它的聯立方程式,若能像例題4 或例題5 恰好可以用x=…或y=…直接代入方程式求解,就仿照其解題步驟求解,但若不是這樣,此時可以先整理方 程式,將其中一個方程式寫成x=…或y=…,再以代入消去法求聯立方程式的解,接下來就用例題6 來說明這個求解的過程。
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…………... ① ……… ② 由①式得x=6-y 代入②式 即(6-y )+2y=8,y=2 再代回①式得x=4 …………... ① ……… ② 由①式得x=5-3y 代入②式 即2(5-3y)+y=5, 10-6y+y =5, -5y=-5,y=1 再代回①式得x=2
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前面幾個例題中,算出x 和y 的值以後,都會把這兩個值代入聯立方程式中驗算,但如果小心計算,也可以把驗算省略。下面的例題,我們就把驗算省略了。
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將原聯立方程式整理可得 將原聯立方程式整理可得 由①式得x=41-6y 代入②式 由①式得y=145-2x 代入②式
123-18y+4y=39,14y=84 故y=6再代回①式得x=5 ① ② 將原聯立方程式整理可得 由①式得y=145-2x 代入②式 即5x +2(145-2x)=340, 5x+290-4x=340,x=50 再代回①式得y=45 ① ②
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喂!阿光,這幅小型拼圖和上回在量販店看到的一樣耶!你記不記得那時1 幅多少錢?
嗯……單價不大記得了,倒是記得拼圖分大、中、小三種型號。我買2 幅中型、2 幅小型,共花掉600 元。 喂!阿光,這幅小型拼圖和上回在量販店看到的一樣耶!你記不記得那時1 幅多少錢?
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被你這麼一講,我也想起來了,當時我是買2幅中型、5 幅小型,也花掉900 元。可是你還是沒回答我的問題呀!
哎唷!資料這麼齊全, 妳就自己算算看吧!
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所以一幅小型拼圖的售價為100 元,又因為2 幅中型、2 幅小型拼圖共600 元,
即量販店的中、小型拼圖,每幅售價各為200 元及100 元。
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像例題8 這種將兩個式子以相減或相加,消去聯立方程式其中一個未知數的方法,稱為加減消去法。
解 觀察聯立方程式,若將①式等號左邊的式子與②式等號左邊的式子相加,可消去未知數y,寫成①+② 即 3x+5y=4 +) 2x-5y=11 —————— 5x =15 x =3 將x=3 代入①式,得3×3+5y=4 5y=4-9 5y=-5 y=-1 所以x=3,y=-1 是原聯立方程式的解 像例題8 這種將兩個式子以相減或相加,消去聯立方程式其中一個未知數的方法,稱為加減消去法。
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夜市中有撈魚和用飛鏢射氣球的遊戲,小翰玩了四次撈魚和五次射氣球的遊戲,付給老闆160 元;小敏玩了二次撈魚和二次射氣球的遊戲,付給老闆70 元。那麼你知道這兩種遊戲玩一次的費用各是多少元嗎?
解 仿照前面圖示的經驗來解題: 設撈一次魚的費用是x元,射一次氣球的費用是y元
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所以撈一次魚的費用是15元,射一次氣球的費用是20元。
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解 觀察聯立方程式,發現第①式中有-2y,第②式中有4y 因此將第①式乘以2,即①×2,可得10x-4y=-8……③
—————— 13x =0 x =0 將x=0 代入②式中,可得3×0+4y=8 4y=8-0 y=2 所以x=0,y=2 是原聯立方程式的解
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1. 二元一次聯立方程式:將兩個二元一次方程式並列,來表示題目中的數量關係。
2. 若有一組x、y 值,能使得聯立方程式中兩個方程式的等號都成立,則這一組x、y 值就是此聯立方程式的解。 3. 代入消去法:解聯立方程式時,將一個未知數以另一個未知數表示,使其中一個方程式變成一元一次方程式,就可以利用一元一次方程式求解的方法,分別求出兩個未知數的值。
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4. 加減消去法:解聯立方程式的過程中,將兩個式子相加或相減,以消去聯立方程式中的一個未知數,再利用一元一次方程式分別求出兩個未知數的解的方法。
5. 使用加減消去法解題時,有時須將兩個方程式分別乘以某個數,以便在相加或相減時能消去一個未知數。
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