第2章　椭圆、双曲线、抛物线 2.1　椭圆.

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1 第2章　椭圆、双曲线、抛物线 2.1　椭圆

2 创设情境 兴趣引入 我们已经学习过直线与圆的方程．知道二元一次 为直线的方程，二元二次方程 方程 为圆的 方程．
下面将陆续研究一些新的二元二次方程及其对应 的曲线．

3 创设情境 兴趣引入 先来做一个实验： 准备一条长度一定的线绳、两枚钉子和一支铅笔按照下 面的步骤画一个椭圆：
（1）如图所示，将绳子的两端固定在画板上的 和 两 点，并使绳长大于 和 的距离． （2）用铅笔尖将线绳拉紧，并保持线绳的拉紧状态，笔 尖在画板上慢慢移动一周，观察所画出的图形． 从实验中可以看到，笔尖（即点M）在移动过程中，与 两个定点 和 的距离之和始终保持不变（等于这条绳子的 长度）． 我们将平面内与两个定点 的距离之和为常数（大于 ）的点的轨迹（或集合）叫 做椭圆．这两个定点叫做椭圆的 焦点，两个焦点间的距离叫做焦 距．

4 实验画出的图形就是椭圆．下面我们根据实验的步骤来
研究椭圆的方程． 动脑思考 探索新知

5 动脑思考 探索新知 实验画出的图形就是椭圆．下面我们根据实验的步骤来 研究椭圆的方程． 取过焦点 的直线为x轴，线段 的垂直平分线为
y轴，建立平面直角坐标系，如图所示． 设M(x，y)是椭圆上的任一点，椭圆的焦距为2c（c＞0）， 椭圆上的点与两个定点 的距 离之和为2a（a＞0），则 的 坐标分别为（－c，0）， （c，0）， 由条件 得

6 动脑思考 探索新知 实验画出的图形就是椭圆．下面我们根据实验的步骤来 研究椭圆的方程． 移项得 取过焦点 的直线为x轴，线段 的垂直平分线为
设 ， 不仅使得方程变得 简单规整，同时在后 面讨论椭圆的集 合性质时，还会看 到它有明确的几何 意义． 两边平方得 y轴，建立平面直角坐标系，如图所示． 整理得 设M(x，y)是椭圆上的任一点，椭圆的焦距为2c（c＞0）， 两边平方后，整理得 椭圆上的点与两个定点 的距 离之和为2a（a＞0），则 的 由椭圆的定义得2a＞2c＞0，即a＞c＞0， 坐标分别为（－c，0）， （c，0）， 所以 由条件 得 设 则 等式两边同时除以 得

7 动脑思考 探索新知 （2.1） 方程（2.1）叫做焦点在x轴上的椭圆的标准方程．它 所表示的椭圆的焦点是 并且

8 动脑思考 探索新知 （2.2） 方程（2.2）叫做焦点在y轴上的椭圆的标准方程．它 所表示的椭圆的焦点是 并 想一想
想一想　 已知一个椭圆的标准方程，如何判定焦点在x轴还是在y轴？ 所表示的椭圆的焦点是 并

9 巩固知识 典型例题 例1 已知椭圆的焦点在x轴上，焦距为8，椭圆上的 点到两个焦点的距离之和为10．求椭圆的标准方程．
解 由于2c = 8，2a = 10，即c = 4，a = 5，所以 想一想　 将例1中的条件“椭圆的焦点在x轴上”去掉，其余的条件不变，你能写出椭圆的标准方程吗？ 由于椭圆的焦点在x轴上，因此椭圆的标准方程为 即

10 巩固知识 典型例题 例2 求下列椭圆的焦点和焦距． （1） （2） 分析
例2　求下列椭圆的焦点和焦距． （1） （2） 巩固知识 典型例题 分析 　解题关键是判断椭圆的焦点在哪个数轴．方法是观察标准方程中含x项与含y项的分母，哪项的分母大，焦点就在哪个数轴．

11 巩固知识 典型例题 例2 求下列椭圆的焦点和焦距． （1） （2） 解 （1）因为5＞4，所以椭圆的焦点在x轴上，并且 故
例2　求下列椭圆的焦点和焦距． （1） （2） 巩固知识 典型例题 解 （1）因为5＞4，所以椭圆的焦点在x轴上，并且 故 因此 c = 1，2c = 2． 所以，椭圆的焦点为 焦距为2．

12 巩固知识 典型例题 例2 求下列椭圆的焦点和焦距． （1） （2） （2）将方程化成标准方程，为 因为16＞8，所以椭圆的焦点在y轴上，并且
例2　求下列椭圆的焦点和焦距． （1） （2） 巩固知识 典型例题 （2）将方程化成标准方程，为 因为16＞8，所以椭圆的焦点在y轴上，并且 故 因此 所以，椭圆的焦点为 焦距为

13 运用知识 强化练习 1．已知椭圆的焦点为 椭圆上的点到两个 焦点的距离之和为8．求椭圆的标准方程． 2．写出下列椭圆的焦点坐标和焦距．
（1） （2）

14 写出焦点在x轴焦点在y轴的椭圆的标准方程
理论升华 整体建构 焦点在x轴上的椭圆的标准方程是 焦点在y轴上的椭圆的标准方程是

15 学习效果 自我反思 目标检测 学习行为 学习方法

16 自我反思 目标检测 已知椭圆的焦距为6，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为10．求椭圆的标准方程．

17 继续探索 活动探究 读书部分：阅读教材相关章节 书面作业：教材习题2.1（必做） 学习指导2.1（选做） 实践调查：用本课所学知识解决
生活中的实际问题