结构力学课堂教学软件 高等教育出版社 高等教育电子音像出版社.

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1 结构力学课堂教学软件 高等教育出版社 高等教育电子音像出版社

2 《结构力学》 第1章 绪论 第2章 平面体系的机动分析 第3章 静定梁与静定刚架 第4章 静定拱 第5章 静定平面桁架 第6章 结构位移计算
第1章 绪论 第2章 平面体系的机动分析 第3章 静定梁与静定刚架 第4章 静定拱 第5章 静定平面桁架 第6章 结构位移计算 第7章 力法 第8章 位移法 第9章 渐近法

3 《结构力学》 第10章 矩阵位移法 第11章 影响线及其应用 第12章 结构的极限荷载 第13章 结构弹性稳定 第14章 结构动力学
第10章 矩阵位移法 第11章 影响线及其应用 第12章 结构的极限荷载 第13章 结构弹性稳定 第14章 结构动力学 第15章 悬索计算

4 第一章 绪论 §1-1 结构力学的研究对象和任务 §1-2 荷载的分类 §1-3 结构的计算简图 §1-4 支座和结点的类型
第一章 绪论 §1-1 结构力学的研究对象和任务 §1-2 荷载的分类 §1-3 结构的计算简图 §1-4 支座和结点的类型 §1-5 结构的分类

5 §1-1 结构力学的研究对象和任务 结构：工程中担负预定任务、支承荷载的建筑物。 如：房屋、塔架、桥梁、隧道、挡土墙、水坝等。
研究对象：杆件结构 任务： 计算结构在荷载等因素作用下的内力和位移； 结构的稳定性计算，及动力荷载作用下的反应； 结构的组成规则等。

6 §1-2荷载的分类 荷载：作用在结构上的主动力 按作用时间久暂分 恒载：长期作用在结构上，如自重、土压力等；
活载：暂时作用在结构上，如列车、人群、风、雪等。 按作用位置是否变化分 固定荷载：恒载及某些活载，如风、雪等； 移动荷载：在结构上移动的，如列车、汽车、吊车等。

7 §1-2荷载的分类 按动力效应分 静力荷载：大小、方向和位置不随时间变化或变化很 缓慢的荷载，可以略去惯性力的影响；
动力荷载：随时间迅速变化的荷载，是结构产生不容 忽视的加速度，必须考虑惯性力的影响。 其他因素：温度变化、支座沉陷、制造误差、材料收 缩等也可以使结构产生内力和位移。

8 §1-3 结构的计算简图 结构计算简图 表现其主要特点，略去次要因素，代替实际结构的简化图形。 杆件的简化： 以轴线代替；
支座和结点的简化； 荷载的简化： 集中荷载和线分布荷载； 体系的简化： 空间结构简化为平面结构。

9 §1-4 支座和结点的类型 支座：连接结构与基础的装置。 （1）活动铰支座 允许结构在支承处绕铰A转动和沿m-n的方向移动。

10 §1-4 支座和结点的类型 （2）固定铰支座 允许结构在支承处绕铰A转动，A不能作水平和竖向移动。

11 §1-4 支座和结点的类型 （3）固定支座 不允许结构在支承处发生任何移动和转动。

12 §1-4 支座和结点的类型 （4）滑动支座（定向支座） 结构在支承处不能转动，不能沿垂直于支承面的方向移动，但可沿支承面方向滑动。 图2
图1 图2

13 §1-4 支座和结点的类型 结点：结构中杆件相互连接处。 （1）铰结点 各杆端不能相对移动但可相对转动，可以传递力但不能传递力矩。

14 §1-4 支座和结点的类型 （2）刚结点 各杆端不能相对移动也不能相对转动，可以传递力也能传递力矩。

15 §1-4 支座和结点的类型 （3）组合结点：部分刚结部分铰结的结点。

16 §1-5 结构的分类 按几何特征分 杆件结构 长度远大于其他两个尺度的杆件组成。 薄壁结构 其厚度远小于其他两个尺度的结构。 实体结构
三个方向尺度相近的结构。

17 §1-5 结构的分类 杆件结构按其受力特性分 （1）梁：受弯杆件，轴线一般为直线。 有单跨的和多垮的。

18 §1-5 结构的分类 （2）拱：拱的轴线为曲线，在竖向荷载作用下会产生 水平反力。 （3）刚架：受弯直杆组成并有刚结点。

19 §1-5 结构的分类 （4）桁架：有直杆组成，结点均为铰结点，作用结点荷 载，杆件只产生轴力。
（5）组合结构：由桁架和梁（或刚架）组合的结构。

20 §1-5 结构的分类 （6）悬索结构：主要承重构件为悬挂于塔、柱上的缆索， 索只受轴向拉力。

21 §1-5 结构的分类 按杆轴线和外力的空间位置分 平面结构：各杆轴线及外力均在同一平面内的结构。
空间结构：各杆轴线及外力不在同一平面内的结构。

22 §1-5 结构的分类 按内力是否静定分 静定结构：在任意荷载作用下，结构的全部反力和内力 都可以由静力平衡条件确定。
超静定结构：在任意荷载作用下，结构的全部反力和 内力不能由静力平衡条件确定。

23 第二章 平面体系的机动分析 §2-1 概述 §2-2 平面体系的计算自由度 §2-3 几何不变体系的基本组成规则 §2-4 瞬变体系
第二章 平面体系的机动分析 §2-1 概述 §2-2 平面体系的计算自由度 §2-3 几何不变体系的基本组成规则 §2-4 瞬变体系 §2-5 机动分析示例 §2-6 三刚片体系中虚铰在无穷远处的情况 §2-7 几何构造与静定性的关系

24 §2-1 概述 一般结构必须是 几何不变体系 几何不变体系—在不考虑材料应变的条件下，体系的位置 和形状是不能改变的。（图a）
几何可变体系—在不考虑材料应变的条件下，体系的位置和 形状是可以改变的。（图b）

25 §2-2 平面体系的计算自由度 自由度：确定体系位置所需的独立坐标数 一个点的自由度=2 一个刚片的自由度=2

26 §2-2 平面体系的计算自由度 联系：限制运动的装置，也称为约束。 复铰：连接两个以上刚片的铰称为复铰。 连接n个刚片的复铰相当于
一个链杆为 一个联系 一个单铰为 两个联系

27 §2-2 平面体系的计算自由度 体系=刚片+铰+支座链杆 m ：刚片数 h ： 单铰数 r ：支座链杆数 体系的自由度W为
W=3m-（2h+r） 实际上：每一个联系不一定减少一个自由度，所以 W称为体系的计算自由度。

28 §2-2 平面体系的计算自由度 图示体系 刚片数：m=8 单铰数：h=10 支座链杆数：r=4 体系的计算自由度为 W=3m-（2h+r）
=3×8-（2×10+4）=0 D结点：折算单铰数为2 固定支座A：3个联系相当于3根链杆

29 §2-2 平面体系的计算自由度 图示铰接链杆体系 j ：结点数 b: 杆件数 体系的计算自由度为 W=2j-（b+r） 结点数：j=6

30 §2-2 平面体系的计算自由度 体系计算自由度的计算结果 （1）W>0：表示体系缺少足够的联系，是几何可变的；
数目，而布置不当会成为几何可变； 图示体系计算自由度W=0， 但布置不当，上部有多余联系， 下部缺少联系，是几何可变的。 体系计算自由度W≤0， 是体系几何不变的必要条件。

31 §2-3 几何不变体系的基本组成规则 三刚片规则 三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两相连，组成的体系是几何不变的，且没有多余联系。如图。

32 §2-3 几何不变体系的基本组成规则 二元体：两根不在一直线上的链杆连接成一个新结点的构 造称为二元体。 二元体规则
在一个体系上增加或拆除二元体，不会改变原有体系的几何构造性质。 铰结点 链杆 体系

33 §2-3 几何不变体系的基本组成规则 分析图示铰结体系 以铰结三角形123为基础，增加一个二元体得结点4，
1234为几何不变体系；如此依次增加二元体，最后的体系为几何不变体系，没有多余联系。 或：从结点10开始拆除二元体，依次拆除结点9，8，7…，最后剩下铰结三角形123，它是几何不变的，故原体系为几何不变体系，没有多余联系。

34 §2-3 几何不变体系的基本组成规则 两刚片规则 两个刚片用一个铰和一根不通过此铰的链杆相连，组成的体系是几何不变的，且没有多余联系。如图。
图示体系也是按三刚片规则组成的。将链杆看作一个刚片，组成的体系是几何不变的，且没有多余联系。

35 §2-3 几何不变体系的基本组成规则 如图所示，刚片I和刚片II可以绕O点转动；O点成为刚片I和II的相对转动瞬心。
虚铰：连接两个刚片的两根连杆的作用相当于其交点 处的一个单铰，而这个铰的位置随着链杆的转 动而改变，称其为虚铰。

36 §2-3 几何不变体系的基本组成规则 分析图示体系：
把链杆AB、CD看作是其交点O处的一个铰，刚片I和II相当于用铰O和链杆EF相连，故为几何不变体系，没有多余联系。 分析图示体系： 把BCE部分作为一个刚片，基础作为一个刚片，折线AB的作用与虚线相同，故为几何不变体系，没有多余联系。

37 §2-4 瞬变体系 分析图示体系： 把链杆AC、BC在C点可沿竖直方向移动，一旦发生微小位移后，三铰就不再共线，运动也就不再继续发生。称为瞬变体系。 分析图示体系的内力： 由平衡条件AC杆BC杆的轴力为：

38 §2-4 瞬变体系 分析图示体系： 两刚片用三根交于同一点的链杆相连，可绕交点O作相对转动，但发生微小转动后，三根杆就不再交于同一点，运动也就不再继续发生。体系为瞬变体系。

39 §2-4 瞬变体系 分析图示体系： 三根链杆平行不等长时，交于无穷远处的同一点，两刚片可相对平动，发生微小相对移动后，三杆不再全平行。体系为瞬变体系。 分析图示体系： 三根链杆平行且等长时，两刚片的相对平动一直持续下去。体系为可（常）变体系。

40 §2-4 瞬变体系 分析图示体系： 三根链杆平行且等长从异侧连出时。体系为瞬变体系。

41 §2-5 机动分析示例 例2-1 试分析图所示多跨静定梁的几何构造。 解：地基与AB段梁看作一个刚片（两刚片规则）；
例2-1 试分析图所示多跨静定梁的几何构造。 解：地基与AB段梁看作一个刚片（两刚片规则）； 上述刚片与BC段梁扩大成一个刚片（两刚片规则）； 上述大刚片与CD段梁又扩大成一个刚片（两刚片规则）； DE段梁同样分析（两刚片规则）； 体系为几何不变，且无多余联系。

42 §2-5 机动分析示例 例2-2 试对图（a）所示体系进行机动分析。 解：体系的支座链杆有三根， 只需分析体系本身即可。 如图（b）。
从左右两边按结点1，2，3…的顺序拆去二元体，当拆到结点6时，两链杆在一条直线上。 体系为瞬变体系。

43 §2-5 机动分析示例 例2-3 试分析图所示桁架的几何构造。 解：ADCF和BECG都是几何 不变的部分，可作为刚片， 地基作为一个刚片。
例2-3 试分析图所示桁架的几何构造。 解：ADCF和BECG都是几何 不变的部分，可作为刚片， 地基作为一个刚片。 几何不变体系， 且无多余联系(三刚片规则) 刚片I和II用铰C相连， 刚片I和III相当于用虚铰O相连， 刚片II和III相当于用虚铰O’相连，

44 §2-5 机动分析示例 例2-4 试对图（a）所示体系进行机动分析。 解：地基作为刚片III， 三角形ABD和BCE作为
刚片I、II（图b）。 刚片I和II用铰B相连， 刚片I和III用铰A相连， 刚片II和III？ 分析无法进行下去

45 §2-5 机动分析示例 另选刚片 地基作为刚片III， 杆件DF和三角形BCE 作为刚片I、II（图c）。
刚片I和II用链杆BD、EF相连，虚铰O在两杆延长线的无 穷远处； 刚片I和III用链杆AD、FG相连，虚铰在F点； 刚片II和III用链杆AB、CH相连，虚铰在C点。 三铰在一条直线上，体系为瞬变体系

46 §2-6 三刚片体系中虚铰在无穷远处的情况 一铰无穷远 几何不变体系 瞬变体系 可变体系

47 §2-6 三刚片体系中虚铰在无穷远处的情况 两铰无穷远 几何不变体系 瞬变体系 可变体系

48 §2-6 三刚片体系中虚铰在无穷远处的情况 无穷远元素的性质： 一组平行直线相交于同一个无穷远点； 方向不同的平行直线相交于不同的无穷远点；
平面上所有的无穷远点均在同一条直线上。 三铰无穷远 瞬变体系 可变体系 瞬变体系

49 §2-7 几何构造与静定性的关系 无多余联系 静定结构 (形状、位置不变) 有多余联系 超静定结构 体系 可变体系 (形状、位置可变)
几何不变体系 (形状、位置不变) 有多余联系 超静定结构 体系 可变体系 几何可变体系 (形状、位置可变) 瞬变体系

50 §2-7 几何构造与静定性的关系 分析图a所示体系 无多余联系的几何不变体系 由平衡方程→三个支反力 →截面内力→静定结构
有多余联系的几何不变体系 分析图b所示体系 由平衡方程不能求全部反力 超静定结构

51 第三章 静定梁与静定刚架 §3-1 单跨静定梁 §3-2 多跨静定梁 §3-3 静定平面刚架 §3-4 少求或不求反力绘制弯矩图
§3-1 单跨静定梁 §3-2 多跨静定梁 §3-3 静定平面刚架 §3-4 少求或不求反力绘制弯矩图 §3-5 静定结构的特性 §3-6 静定空间刚架

52 §3-1 单跨静定梁 单跨静定梁的种类 简支梁 伸臂梁 悬臂梁 三个支座反力，可由三个平衡方程求解

53 §3-1 单跨静定梁 截面法求内力 内力符号的规定： 轴力：以拉力为正； 剪力：以绕隔离体顺时针方向转动为正； 弯矩：使梁的下侧受拉为正。
§3-1 单跨静定梁 截面法求内力 内力符号的规定： 轴力：以拉力为正； 剪力：以绕隔离体顺时针方向转动为正； 弯矩：使梁的下侧受拉为正。 轴力=截面一侧所有外力延截面法线方向投影的代数和； 剪力=截面一侧所有外力沿截面方向投影的代数和； 弯矩=截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和。

54 §3-1 单跨静定梁 内力与外力间的微分关系及内力图形状判断

55 §3-1 单跨静定梁 直梁内力图的形状特征 梁上 情况 q(x)=0 q(x)=常数 横向集中力 F 作用 集中力偶 M 作用 铰处 剪力图
§3-1 单跨静定梁 直梁内力图的形状特征 梁上 情况 q(x)=0 q(x)=常数 横向集中力 F 作用 集中力偶 M 作用 铰处 剪力图 水平线 斜直线 为0处 有突变 (突变值=F) 如变号 无变化 无影响 弯矩图 抛物线 (凸向同q指向) 有极值 有尖角 (尖角指向同F) (突变值=M) 为0

56 §3-1 单跨静定梁 区段叠加法作弯矩图 作图a所示简支梁的弯矩图 将作用的荷载分解如图b、c MA、MB作用下的弯矩图 F 作用下的弯矩图
§3-1 单跨静定梁 区段叠加法作弯矩图 作图a所示简支梁的弯矩图 将作用的荷载分解如图b、c MA、MB作用下的弯矩图 F 作用下的弯矩图 图b、c 相加后的弯矩图如图d 弯矩图的叠加是指纵坐标叠加

57 §3-1 单跨静定梁 a图梁中区段AB的弯矩图 取出该段为隔离体如图b 图b与图c具有相同的内力图
§3-1 单跨静定梁 a图梁中区段AB的弯矩图 取出该段为隔离体如图b 图b与图c具有相同的内力图 求出端截面的弯矩MA、MB并连接（虚线）；在此直线上叠加相应简支梁在荷载q作用下的弯矩图。 叠加法

58 §3-1 单跨静定梁 绘制内力图的一般步骤 （1）求反力（悬臂梁可不求） （2）分段，外力不连续点作为分段点
§3-1 单跨静定梁 绘制内力图的一般步骤 （1）求反力（悬臂梁可不求） （2）分段，外力不连续点作为分段点 （3）定点，计算控制截面的内力，即内力图上的控制点 （4）连线，将控制点以直线或曲线连接（叠加法）

59 §3-1 单跨静定梁 例3-1 试作图a所示梁的剪力图和弯矩图。 解：计算支反力。 由∑MB=0，得FA=58kN（↑）
§3-1 单跨静定梁 例3-1 试作图a所示梁的剪力图和弯矩图。 解：计算支反力。 由∑MB=0，得FA=58kN（↑） 由∑Fy=0，得FB=12kN（↑）

60 §3-1 单跨静定梁 用截面法计算 控制截面剪力。

61 §3-1 单跨静定梁 用截面法计算 控制截面弯矩。

62 §3-1 单跨静定梁 最大弯矩Mmax应在剪力为0的K截面。 x=1.6

63 §3-2 多跨静定梁 用于公路桥的多跨静定梁 计算简图 层叠图 计算顺序：先附属部分 后基本部分
§3-2 多跨静定梁 用于公路桥的多跨静定梁 计算简图 层叠图 计算顺序：先附属部分 后基本部分 基本部分：不依赖其他部分而独立地维持其几何不变性， 如AB、CD部分； 附属部分：必须依靠基本部分才能维持其几何不变性， 如BC部分；

64 §3-2 多跨静定梁 例3-2 试作图a所示多跨静定梁。 解：AB为基本部分，在竖向荷载作用下CF为基本部分， 层叠图如图b。

65 §3-2 多跨静定梁 各段梁的 隔离体图 如图c。 先算附 属部分； 后算基 本部分； 弯矩图 如图d； 剪力图 如图e。

66 §3-2 多跨静定梁 例3-3 图a所示多跨静定梁，欲使梁上最大正、负弯矩的 绝对值相等，试确定铰B、E的位置。
§3-2 多跨静定梁 例3-3 图a所示多跨静定梁，欲使梁上最大正、负弯矩的 绝对值相等，试确定铰B、E的位置。 最大正弯矩为MI AB段中点I的弯矩为 解：先分析附属部分，后分析基本部分，如图b。 AC段中点H的弯矩为 CD段的最大弯矩发生在跨中G 截面C弯矩的绝对值为 MH >MG

67 §3-2 多跨静定梁 令MI =MC可得 解得 弯矩图如图c 图d为相应多跨梁的弯矩图

68 §3-2 多跨静定梁 例3-4 试作图a所示多跨静定梁的内力图，并求出各支座反力。 解：不算反力 先作弯矩图
§3-2 多跨静定梁 例3-4 试作图a所示多跨静定梁的内力图，并求出各支座反力。 解：不算反力 先作弯矩图 1）绘AB、GH段弯矩图，与悬臂梁相同； 2）GE间无外力，弯矩图为直线，MF=0，可绘出； 同理可绘出CE段； 3）BC段弯矩图用叠加法画。

69 §3-2 多跨静定梁 由弯矩与剪力的微分关系画剪力图 弯矩图为直线：其斜率为剪力。图形从基线顺时针转， 剪力为正，反之为负。
§3-2 多跨静定梁 由弯矩与剪力的微分关系画剪力图 弯矩图为直线：其斜率为剪力。图形从基线顺时针转， 剪力为正，反之为负。 弯矩图为曲线：根据杆端平衡条件求剪力，如图c。 剪力图作出后即可求支座反力 取如图e的隔离体可求支座c的反力

70 §3-3 静定平面刚架 常见静定刚架的型式 悬臂刚架 简支刚架 三铰刚架

71 §3-3 静定平面刚架 静定刚架的内力：弯矩、剪力、轴力 内力表示方法：MAB表示AB杆A端截面的弯矩 FSAC表示AC杆A端截面的剪力
§3-3 静定平面刚架 静定刚架的内力：弯矩、剪力、轴力 内力表示方法：MAB表示AB杆A端截面的弯矩 FSAC表示AC杆A端截面的剪力 内力图：弯矩图绘在杆件受拉边，不注正负号 剪力和轴力的符号规定与梁相同，图形绘法也 相同

72 §3-3 静定平面刚架 例3-5 试作图a所示刚架的内力图。 解：计算支座反力，由刚架的整体平衡 绘弯矩图，控制截面弯矩为 AC段用叠加法
§3-3 静定平面刚架 例3-5 试作图a所示刚架的内力图。 解：计算支座反力，由刚架的整体平衡 绘弯矩图，控制截面弯矩为 AC段用叠加法 （左） （下） （右）

73 §3-3 静定平面刚架 绘剪力图和轴力图控制截面剪力为 同理绘出轴力图如图d 校核计算结果如图e、f 满足结点C平衡条件

74 §3-3 静定平面刚架 例3-6 试作图a所示三铰刚架的内力图。 解：计算支座反力，由刚架的整体平衡 取刚架右半部为隔离体 绘弯矩图 （外）
§3-3 静定平面刚架 例3-6 试作图a所示三铰刚架的内力图。 解：计算支座反力，由刚架的整体平衡 取刚架右半部为隔离体 绘弯矩图 （外） 由图c，结点上无外力距作用的两杆汇交的刚结点，两杆端弯矩大小相等同侧受拉

75 §3-3 静定平面刚架 作剪力图和轴力图 取AD为隔离体如图f。 取CEB为隔离体如图g。

76 §3-3 静定平面刚架 例3-7 绘制图a所示刚架的弯矩图。 解：F 以右部分为基本部分， 是三铰刚架形式； F 以左部分为附属部分。
§3-3 静定平面刚架 例3-7 绘制图a所示刚架的弯矩图。 解：F 以右部分为基本部分， 是三铰刚架形式； F 以左部分为附属部分。 计算附属部分，如图b。 计算基本部分，如图c。 弯矩图如图d。

77 利用特定截面的弯矩及弯矩图的形状特征，快速绘制弯矩图。
§3-4 少求或不求反力绘制弯矩图 利用特定截面的弯矩及弯矩图的形状特征，快速绘制弯矩图。 例3-8 试计算图a所示刚架并绘制内力图。 解： 由刚架整体平衡条件 此时即可绘出刚架弯矩图如图b。 结点C满足力矩平衡条件，如图c。 （上） （上） 结点D满足力矩平衡条件，如图d。

78 §3-4 少求或不求反力绘制弯矩图 根据弯矩图作出剪力图，如图e。 根据各结点的平衡条件作求出各杆端的轴力，如图f。 （压力）
同理可求出C处各杆端的轴力，轴力图如图g。

79 §3-4 少求或不求反力绘制弯矩图 例3-9 试作图示刚架的弯矩图。 解： 三根竖杆为悬臂杆，可绘出其弯矩图；EF也属悬臂部分可绘出；
例3-9 试作图示刚架的弯矩图。 解： 三根竖杆为悬臂杆，可绘出其弯矩图；EF也属悬臂部分可绘出； CD段和DE段的剪力是相等的，因而弯矩图平行； AB段和BC段的剪力是相等的，因而弯矩图平行；

80 §3-5 静定结构的特性 （1） 静力解答的唯一性 （2） 静定结构只有荷载作用引起内力
（1） 静力解答的唯一性 静定结构全部反力和内力可由平衡条件确定，且解答只有一种。 （2） 静定结构只有荷载作用引起内力 温度改变： 有变形，无反力和内力 支座位移： 有位移，无反力和内力

81 §3-5 静定结构的特性 （3） 平衡力系的影响 平衡力系组成的荷载作用于静定结构的某一本身为几何不变的部分上时，只有此部分受力，其余部分的反力和内力为0。 除DE外其余部分内力均为0 除BG外其余部分均不受力 除HBJ外其余部分也受力 特例：KBC的轴力与荷载维持平衡

82 §3-5 静定结构的特性 （4） 荷载等效变换的影响 合力相同的各种荷载称为静力等效的荷载；
（4） 荷载等效变换的影响 合力相同的各种荷载称为静力等效的荷载； 一种荷载变换为另一种静力等效的荷载称为等效变换。 作用在静定结构的某一本身为几何不变部分上的荷载在该部分范围内作等效变换时，只有此部分的内力发生变化，其余部分内力为保持不变。 图a内力=图b内力+图c内力； CD段内，图b荷载是图a荷载的等效变换。 可见：除CD段， 其余部分图b和图a的内力均不改变。

83 §3-6 静定空间刚架 图a所示刚架，杆轴与荷载不在同一平面内，属于空间刚架计算问题。 空间刚架的杆件横截面上有六个内力分量，如图b。
轴力FN—以拉力为正，注明正负； 扭矩Mt—以双箭头矢量与截面的外法线指向一 至为正，注明正负； 弯矩M1—绘在杆件受拉侧，没有正负； 剪力FS—规定正面上的剪力指向某一侧为正， 不注正负，将其绘在正面上的剪力所 指向的一侧，标明杆轴的正方向。

84 §3-6 静定空间刚架 以AB杆为例，取距A端为x的任意截面K以左部分为隔离体，如图b。 根据平衡条件 （上） （正面上剪力向上）
同理，可求出OA、BC两杆的内力。 当刚架各杆轴线位于同一平面，且荷载垂直于此平面时，任一截面只产生三种内力：绕刚架平面内主轴的弯矩M1（M）；垂直于刚架平面的剪力FSz（FS）；扭矩Mt。

85 第四章 静定拱 §4-1 概述 §4-2 三铰拱的计算 §4-3 三铰拱的合理拱轴线

86 §4-1 概述 拱：杆轴线为曲线在竖向荷载作用下会产生水平反力的结构。 常用的形式有 三铰拱—静定结构 两铰拱—超静定结构
水平反力指向内方称为推力 两铰拱—超静定结构 无铰拱—超静定结构 竖向荷载作用下会产生水平反力的结构可称为拱式结构或推力结构。

87 §4-1 概述 高跨比：f/l 拉杆拱： 拱两支座间的拉杆代替支座承受水平推力 拉杆做成折线形可获得较大空间 平拱： 两拱趾在同一水平线上
斜拱： 两拱趾不在同一水平线上

88 §4-2 三铰拱的计算 1、支座反力的计算 由拱的整体平衡 取左半拱为隔离体 三铰拱的反力只与荷载及三个铰的位置有关，与拱轴线形状无关；
§4-2 三铰拱的计算 1、支座反力的计算 由拱的整体平衡 取左半拱为隔离体 可得 三铰拱的反力只与荷载及三个铰的位置有关，与拱轴线形状无关； 推力FH 与拱高 f 成反比。 相应简支梁

89 §4-2 三铰拱的计算 2、内力的计算 计算图a所示三铰拱K截面的内力 取隔离体如图b 相应简支梁K截面的弯矩为M 0
§4-2 三铰拱的计算 2、内力的计算 计算图a所示三铰拱K截面的内力 取隔离体如图b 相应简支梁K截面的弯矩为M 0 相应简支梁K截面的剪力为FS0 相应简支梁K截面的轴力为FN0 压力为正 相应简支梁 三铰拱的内力与荷载及三个铰的位置有关，与拱轴线形状有关；

90 §4-2 三铰拱的计算 例4-1 试作图a所示三铰拱的内力图。拱轴线为抛物线，方程 为 解：求支座反力，结果如图a。
§4-2 三铰拱的计算 例4-1 试作图a所示三铰拱的内力图。拱轴线为抛物线，方程 为 解：求支座反力，结果如图a。 求内力，将拱沿水平方向分为 8等分，如图a。

91 §4-2 三铰拱的计算 （a） 计算图（a）斜拱的支反力时为避免解联立方程，可将反力分解如图（b）。 由平衡条件可得 （b）

92 §4-3 三铰拱的合理拱轴线 例4-2 试求图a所示对称三铰拱在图示荷载作用下的合理拱轴 线。
§4-3 三铰拱的合理拱轴线 合理拱轴线：拱上所有截面的弯矩都等于0（剪力也为0），只有轴力 时的拱轴线。 得 由 合理拱轴线方程 例4-2 试求图a所示对称三铰拱在图示荷载作用下的合理拱轴 线。 解：相应简支梁（图b）的弯矩方程为 三铰拱的推力为 合理拱轴线方程为

93 §4-3 三铰拱的合理拱轴线 例4-3 试求图示对称三铰拱在上填料重量作用下的合理拱轴线。
§4-3 三铰拱的合理拱轴线 例4-3 试求图示对称三铰拱在上填料重量作用下的合理拱轴线。 荷载集度q=qc+γy，qc为拱顶处的荷载集度，γ为填料容重。 解：由图中所示的坐标系截面弯矩为 由M=0可得 相应简支梁的弯矩方程无法写出，对上式两边求导得 可得 当q向下为正时 将已知条件代入得 （二阶常系数线性非齐次微分方程）

94 §4-3 三铰拱的合理拱轴线 方程的一般解为 由边界条件 合理拱轴线的方程为

95 §4-3 三铰拱的合理拱轴线 例4-3 试求三铰拱在垂直于拱轴线的均布荷载作用下的合理 拱轴线。 解：由图a，荷载为非竖向荷载。
§4-3 三铰拱的合理拱轴线 例4-3 试求三铰拱在垂直于拱轴线的均布荷载作用下的合理 拱轴线。 解：由图a，荷载为非竖向荷载。 思路：假定拱处于无弯矩状态，根据平衡 条件推求合理拱轴线方程。 取一微段为隔离体如图b。 可得 FN =常数 合理拱轴线方程为 沿s-s 写出投影方程为 因 极小 圆弧线

96 第五章 静定平面桁架 §5-1 平面桁架的计算简图 §5-2 结点法 §5-3 截面法 §5-4 结点法和截面法的联合应用
第五章 静定平面桁架 §5-1 平面桁架的计算简图 §5-2 结点法 §5-3 截面法 §5-4 结点法和截面法的联合应用 §5-5 各式桁架比较 §5-6 组合结构的计算 §5-7 用零载法分析体系的几何构造

97 §5-1 平面桁架的计算简图 桁架：主要承受轴力。 平面桁架的计算简图引入如下假定 （1）各结点都是无摩擦的理想较。
（2）各杆轴都是直线，并在同一平面内且通过铰中心。 （3）荷载作用在结点上并在桁架的平面内。

98 §5-1 平面桁架的计算简图 实际结构与计算简图之间的差别 （1）结点的刚性。 （2）各杆轴不可能绝对平直，在结点处也不可能准确交于一点。
（3）非结点荷载（自重，风荷载等）。 （4）结构的空间作用等。

99 §5-1 平面桁架的计算简图 桁架的分类 根据桁架的外形分 根据几何组成方式分 平行弦桁架 折弦桁架 三角形桁架
简单桁架：图a、b、c；联合桁架：图d、e；复杂桁架：图f。 根据竖向荷载是否引起水平反力分 无推力（梁式）桁架：图a、b、c；有推力（拱式）桁架：图d。

100 结点法：取一个结点为隔离体，计算桁架杆件的内力
§5-2 结点法 结点法：取一个结点为隔离体，计算桁架杆件的内力 汇交力系：两个平衡方程 如图，FN—斜杆的内力 Fx—FN水平分力 Fy—FN竖向分力 l—斜杆的长度 lx—l水平投影 ly—l竖向投影 由比例关系可得

101 §5-2 结点法 （1）由桁架的整体平衡求支反力如图a。 依次取结点F、E、D、C计算可求出所有杆件内力，最后一个结点作为校核用。
§5-2 结点法 （1）由桁架的整体平衡求支反力如图a。 结点G隔离体如图b，由 由比例关系 由 依次取结点F、E、D、C计算可求出所有杆件内力，最后一个结点作为校核用。

102 §5-2 结点法 由图a结点A，需解联立方程计算杆件内力。 如图b，将FN1在B点分解，对C点取矩。

103 §5-2 结点法 几种特殊结点 （1）L 形结点 （2）T 形结点 （3）X 形结点 （4）K 形结点

104 §5-2 结点法 图示桁架中虚线所示杆件的轴力皆为0。

105 截面法：取桁架一部分为隔离体，计算桁架杆件的内力
§5-3 截面法 截面法：取桁架一部分为隔离体，计算桁架杆件的内力 平面力系：三个平衡方程 （1）力矩法 图a 所示简支桁架，设支座反力已求出，现要求EF、ED、CD杆件的内力。 取I-I截面左侧部分为隔离体，如图b。 由力矩平衡方程 下弦杆受拉 分子为相应简支梁E点的弯矩

106 §5-3 截面法 上弦杆受压 （2）投影法 —有时也称为剪力法 取II-II截面左侧部分为隔离体，如图d。 括号内值为相应简支梁DG段的剪力

107 §5-3 截面法 特殊情况 取I-I截面左侧部分为隔离体由 可求得FNa 取I-I截面上侧部分为隔离体由 可求得FNb

108 §5-3 截面法 联合桁架 取I-I截面左（右）侧部分为隔离体，求出DE杆的内力，在分析各简单桁架。
§5-3 截面法 联合桁架 取I-I截面左（右）侧部分为隔离体，求出DE杆的内力，在分析各简单桁架。 计算图a所示桁架，截断两个铰结三角形之间的联系，取隔离体如图b。

109 §5-4 截面法和结点法的联合应用 例5-1 试求图a所示K式桁架中a、b杆的内力。 解：算法一 作截面I-I，取其左侧为隔离体。 由结点K
§5-4 截面法和结点法的联合应用 例5-1 试求图a所示K式桁架中a、b杆的内力。 解：算法一 作截面I-I，取其左侧为隔离体。 由结点K 由∑MC=0可求得FNb。 算法二：作截面II-II，取其左侧为隔离体。

110 §5-4 截面法和结点法的联合应用 例5-2 试求图示桁架HC杆的内力。 由结点E的平衡： FNEC=FNED=112.5kN
§5-4 截面法和结点法的联合应用 例5-2 试求图示桁架HC杆的内力。 由结点E的平衡： FNEC=FNED=112.5kN 将FNHC在C点分解为水平和竖向分力 解：取截面I-I左侧部分为隔离体，由 取截面II-II右侧部分为隔离体，由

111 §5-5 各式桁架比较 弦桁的内力计算公式 M0：相应简支梁与矩心对应的点的弯矩； 平行弦桁架 r ：内力对矩心的力臂。 结论
§5-5 各式桁架比较 弦桁的内力计算公式 M0：相应简支梁与矩心对应的点的弯矩； r ：内力对矩心的力臂。 平行弦桁架 结论 （1）平行弦桁架内力分布不均 匀，弦杆内力向跨中递 增； （2）抛物线形桁架内力分布均 匀，材料使用上最为经济； （3）三角形桁架内力分布不均 匀，弦杆内力在两端最大。 抛物线形桁架 三角形桁架

112 §5-6 组合结构的计算 组合结构：链杆和受弯杆件组成的结构。 例5-3 试分析图a所示组合结构的内力。 解： 整体平衡求支座反力 FAH
§5-6 组合结构的计算 组合结构：链杆和受弯杆件组成的结构。 例5-3 试分析图a所示组合结构的内力。 解： 整体平衡求支座反力 FBV FAH FAV 作截面I-I拆开铰C和截断杆件DE，取隔离体如图b。 FCV FCH FNDE 由∑MC=0可求得FNDE。 由结点D、E 的平衡，可求得各链杆的内力，进而绘出受弯杆件弯矩图。

113 §5-6 组合结构的计算 图a所示为静定拱式组合结构。 链杆拱及加劲梁的竖向反力为
§5-6 组合结构的计算 图a所示为静定拱式组合结构。 拱和梁两部分总的竖向反力等于相应简支梁（图b）的竖向反力。 由链杆拱上每一结点的平衡条件 ∑Fx=0，每一杆件的水平分力 =拱的水平推力FH 取I-I截面左（右）侧为隔离体，被截杆的内力在C’点沿水平和竖向分解，由∑MC=0 链杆拱及加劲梁的竖向反力为

114 §5-7 用零载法分析体系的几何构造 零载法：对于W=0的体系，从零荷载时是否有非零的内力 存在来判定其是否几何不变。
§5-7 用零载法分析体系的几何构造 零载法：对于W=0的体系，从零荷载时是否有非零的内力 存在来判定其是否几何不变。 原理：静定结构静力解答的惟一性。 图a所示体系零荷载时，所有反力和内力均为零，是几何不变体系。 图b、图c所示体系，W=0。零荷载时，除零内力外，其他非零解答也能满足平衡条件，是几何可变体系。

115 §5-7 用零载法分析体系的几何构造 图a所示体系零荷载时，由结点A知AB为零杆，依次分析B，C…，所有反力内力均为零。
§5-7 用零载法分析体系的几何构造 （a） 图a所示体系零荷载时，由结点A知AB为零杆，依次分析B，C…，所有反力内力均为零。 体系为几何不变体系。 图b所示体系零荷载时，可知DH、DE、CG、FB为零杆，其余各杆件不能判断。 （b） 设EH的内力为 ，计算得到其余杆件的内力如图b，能够满足结点平衡条件。 体系为可何不变体系。

116 §5-7 用零载法分析体系的几何构造 零荷载时，体系所有反力均为零，及图中所示4个零杆。 体系为几何不变体系。
§5-7 用零载法分析体系的几何构造 零荷载时，体系所有反力均为零，及图中所示4个零杆。 设AE杆有拉力，由结点A的平衡可得AB杆为压力，依次分析结点B、C、D、E，得出AE杆为压力，与最初假设矛盾。AE杆的内力为零，才能满足平衡条件。 体系为几何不变体系。 图示组合体系，零荷载时，FAH=0；设FAV≠0，由梁上的弯矩图可得B支座的反力向下。显然不满足∑MF=0，FAV应为0。 体系为几何不变体系。

117 §5-7 用零载法分析体系的几何构造 零载法只适用于W=0的体系
§5-7 用零载法分析体系的几何构造 零载法只适用于W=0的体系 图a所示体系是几何可变体系，W=1。如果用零载法会得出是几何不变体系的结论。 图b所示体系是几何不变且有多余联系的体系，W=-1。 如果用零载法会得出是几何可变体系的结论。

118 第六章 结构位移计算 §6-1 概述 §6-2 变形体系的虚功原理 §6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法
第六章 结构位移计算 §6-1 概述 §6-2 变形体系的虚功原理 §6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 §6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 §6-5 图乘法 §6-6 静定结构温度变化时的位移计算 §6-7 静定结构支座移动时的位移计算 §6-8 线弹性结构的互等定理 §6-9 空间刚架的位移计算公式

119 §6-1 概述 变形：结构形状的改变。 位移：结构各处位置的移动。 线段AA’—A点的线位移，计为ΔA。 截面A转动的角度—截面A的角位移，
§6-1 概述 变形：结构形状的改变。 位移：结构各处位置的移动。 线段AA’—A点的线位移，计为ΔA。 截面A转动的角度—截面A的角位移， 计为φA。 ΔA—可用水平分量ΔAx和竖向分量 ΔAy 表示。

120 §6-1 概述 产生位移的原因：荷载 温度改变 支座移动 材料收缩 制造误差 —截面A的角位移（顺时针方向） —截面B的角位移（逆时针方向）
§ 概述 产生位移的原因：荷载 温度改变 支座移动 材料收缩 制造误差 —截面A的角位移（顺时针方向） —截面B的角位移（逆时针方向） —截面A、B的相对角位移 —C点水平线位移（向右） —D点水平线位移（向左） —C、D两点的水平相对线位移

121 §6-1 概述 计算结构位移的目的 （1）为了校核结构的刚度。 （2）结构的施工中，也需要结构的位移。 （3）为分析静定结构打下基础。
§ 概述 计算结构位移的目的 （1）为了校核结构的刚度。 （2）结构的施工中，也需要结构的位移。 图示结构进行悬臂拼装时，由于自重及吊车等荷载作用，产生位移fA。必须先计算fA，以便采用相应措施，确保施工安全和拼装就位。 （3）为分析静定结构打下基础。 （4）结构的动力计算和稳定计算中，需要计算结构的位移。

122 §6-2 变形体系的虚功原理 位移状态与 力状态无关 虚位移必须是微小的 变形体系的虚功原理：
§ 变形体系的虚功原理 变形体系的虚功原理： 变形体系处于平衡的必要和充分条件是，对于任何虚位移，外力所做虚功总和等于各微段上的内力在其变形上所作的虚功总和，简单地说，外力虚功等于变形虚功。 位移状态与 力状态无关 虚位移必须是微小的

123 §6-2 变形体系的虚功原理 外力虚功W：整个结构所有外力（荷载与支座反力）在其 相应的虚位移上所作虚功的总和。
§ 变形体系的虚功原理 外力虚功W：整个结构所有外力（荷载与支座反力）在其 相应的虚位移上所作虚功的总和。 变形虚功WV：所有微段两侧截面上的内力在微段的变形上 所作虚功的总和，也称为内力虚功或虚应变能。 略去高阶微量，微段上各力在其变形上所作虚功为： 对整个结构有： 虚功方程为：

124 §6-2 变形体系的虚功原理 虚功原理的应用 虚位移原理： 对于给定的力状态，虚设一个位移状态，利 用虚功方程求解力状态中的未知力。
§ 变形体系的虚功原理 虚功原理的应用 虚位移原理： 对于给定的力状态，虚设一个位移状态，利 用虚功方程求解力状态中的未知力。 虚力原理： 对于给定的位移状态，虚设一个力状态，利用 虚功方程求解位移状态中的位移。

125 §6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 图a所示结构由于荷载、温度变化及支座移动引起了变形，求K点沿任一指定方向k—k的位移△K。
§6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 图a所示结构由于荷载、温度变化及支座移动引起了变形，求K点沿任一指定方向k—k的位移△K。 虚设力状态如图b，使力状态的外力能在位移状态的△K 上作虚功。

126 §6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 外力虚功为 设 FK=1 变形虚功为 由虚功原理 单位荷载法 平面杆件结构位移计算一般公式

127 §6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 广义位移： 线位移、角位移、相对线位移、相对角位移、某一组位移的统称。 广义力：
§6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 图a为求A点水平位移时的虚拟状态 图b为求A截面转角时的虚拟状态 图c为求A、B两点在其连线上相对线位移时的虚拟状态 图d为求A、B两个截面相对转角时的虚拟状态 广义位移： 线位移、角位移、相对线位移、相对角位移、某一组位移的统称。 广义力： 集中力、力偶、一对集中力、一对力偶、某一力系的统称。

128 §6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 求图a所示桁架AB杆的角位移。
§6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 求图a所示桁架AB杆的角位移。 在位移微小的前提下，桁架杆件的角位移=其两端在垂直于杆轴方向上的相对线位移除以杆长，如图b。 AB杆的角位移 荷载所做的虚功

129 §6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 计算对象：线弹性结构，位移与荷载成正比，应力与应变符合 胡克定律。
§6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 计算对象：线弹性结构，位移与荷载成正比，应力与应变符合 胡克定律。 求图a所示结构K点的竖向位移△KP。位移计算公式为 虚拟状态如图b所示。由材料力学 k—剪切变形的 改正系数

130 §6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式为： 梁和刚架（受弯杆件）的位移计算公式为：
§6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式为： 梁和刚架（受弯杆件）的位移计算公式为： 桁架（只有轴力）的位移计算公式为： 组合结构（受弯杆件+链杆）的位移计算公式为：

131 §6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 例6-1 试求图a所示刚架A点的竖向位移△Ay。各杆的材料相 同，截面的I、A均为常数。
§6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 例6-1 试求图a所示刚架A点的竖向位移△Ay。各杆的材料相 同，截面的I、A均为常数。 解：（1）虚拟状态如图b，各杆内力为 AB段： BC段： （2）实际状态中，各杆内力为 AB段： BC段： （3）代入位移计算公式

132 §6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 （4）讨论 上式中：第一项为弯矩的影响，第二、三项分别为轴力、剪力的影响。
§6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 （4）讨论 上式中：第一项为弯矩的影响，第二、三项分别为轴力、剪力的影响。 设：杆件截面为矩形，宽度为b、高度为h，A=bh，I=bh3/12，k=6/5 截面高度与杆长之比h/l愈大，轴力和剪力影响所占比重愈大。 当h/l=1/10，G=0.4E时，计算得 此时轴力和剪力的影响不大，可以略去。

133 §6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 例6-2 试求图a所示等截面圆弧曲梁B点的水平位移△Bx。设 梁的截面厚度远小于其半径R。
§6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 例6-2 试求图a所示等截面圆弧曲梁B点的水平位移△Bx。设 梁的截面厚度远小于其半径R。 解：近似采用直杆的位移计算公式，只考虑弯 矩影响。实际状态中的截面弯矩为 虚拟状态如图b，截面弯矩为 虚拟状态 代入位移计算公式，可得

134 §6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 例6-3 试求图a所示对称桁架结点D的竖向位移△D。图中右半
§6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 例6-3 试求图a所示对称桁架结点D的竖向位移△D。图中右半 部各括号内数值为杆件的截面面积A（×10-4m2）， E=210GPa。 解：实际状态各杆内力 如图a（左半部）。 虚拟状态各杆内力如图b（左半部）。 注意桁架杆件轴力是正对称的

135 §6-5 图乘法 梁和刚架在荷载作用下的位移计算公式为 计算可以简化 如图：ds用dx代替， EI可提到积分号外。
§ 图乘法 梁和刚架在荷载作用下的位移计算公式为 公式中的积分运算比较麻烦，当结构中各杆段满足下列条件时： （1）杆轴为直线； （2）EI=常数； （3） M 和MP两个弯矩图中至少有一个是直线图形。 计算可以简化 如图：ds用dx代替， EI可提到积分号外。 tanα为常数

136 §6-5 图乘法 图乘法 MP图中阴影的微分面积 微分面积对y轴的静矩 Aω—MP图的面积； xC—形心C到y轴的距离。
§ 图乘法 MP图中阴影的微分面积 微分面积对y轴的静矩 Aω—MP图的面积； xC—形心C到y轴的距离。 yC是MP图的形心C所对应的M图的竖标 图乘法

137 §6-5 图乘法 如结构上所有各杆段均可图乘，则位移计算公式可写为 应用图乘法时，应注意下列各点： （1）必须符合上述前提条件。
§ 图乘法 如结构上所有各杆段均可图乘，则位移计算公式可写为 应用图乘法时，应注意下列各点： （1）必须符合上述前提条件。 （2）竖标yC只能取自直线图形。 （3）Aω与yC若在杆件的同侧则乘积取正号，异侧则取负号。

138 § 图乘法 常用简单图形的面积和形心

139 §6-5 图乘法 两个梯形相乘时： 将MP图分解为两个三角形（或一个矩形和一个三角形）。
§ 图乘法 两个梯形相乘时： 将MP图分解为两个三角形（或一个矩形和一个三角形）。 两个图的竖标a、b或c、d不在基线同一测时：可分解为位于基线两侧的两个三角形，在进行图乘。

140 §6-5 图乘法 均布荷载作用下的任何一段直杆： 弯矩图=一个梯形+一个标准抛物线图形如图a。
§ 图乘法 均布荷载作用下的任何一段直杆： 弯矩图=一个梯形+一个标准抛物线图形如图a。 图a的弯矩图与图b所示相应简支梁的弯矩图是相同的，由此可以很方便地进行图乘。

141 § 图乘法 yC所在图形是折线图形时，应分段图乘。如图所示。 杆件为变截面直杆时，应分段图乘。如图所示。

142 §6-5 图乘法 例6-4 试求图a所示刚架C、D两点的距离改变。设EI=常数。 解：实际状态弯矩图如图b所示。 虚拟状态如图c所示。
§ 图乘法 例6-4 试求图a所示刚架C、D两点的距离改变。设EI=常数。 解：实际状态弯矩图如图b所示。 虚拟状态如图c所示。 由图乘法，可得

143 §6-5 图乘法 例6-5 试求图a所示刚架A点的竖向位移△Ay，并勾绘刚架的 变形曲线。 解：实际状态弯矩图如图b所示。
§ 图乘法 例6-5 试求图a所示刚架A点的竖向位移△Ay，并勾绘刚架的 变形曲线。 解：实际状态弯矩图如图b所示。 虚拟状态弯矩图如图c所示。 根据实际状态弯矩图，判定杆件变形后的凸凹方向。

144 §6-5 图乘法 例6-6 试求图a所示外伸梁C点的竖向位移△Cy，梁的EI=常数。 解：实际状态弯矩图如图b所示。
§ 图乘法 例6-6 试求图a所示外伸梁C点的竖向位移△Cy，梁的EI=常数。 解：实际状态弯矩图如图b所示。 虚拟状态弯矩图如图c所示。 将AB段的弯矩图分解为一个三角形和一个标准二次抛物线图形。 由图乘法得

145 § 图乘法 例6-7 图a为一组合结构，试求D点的竖向位移△Dy。 解：实际状态FNP、MP如图b所示。 虚拟状态FN、M如图c所示。

146 §6-6 静定结构温度变化时的位移计算 对于杆件结构温度变化不引起剪切变形，γt=0。
§6-6 静定结构温度变化时的位移计算 试求图a所示结构由于温度变化产生的K点的竖向位移△Kt。α为材料的线膨胀系数。 杆轴线处的温度变化为 杆件截面对称于形心轴 对于杆件结构温度变化不引起剪切变形，γt=0。

147 §6-6 静定结构温度变化时的位移计算 将温度变化引起的微段变形代入位移计算公式可得 若各杆为等截面杆
§6-6 静定结构温度变化时的位移计算 将温度变化引起的微段变形代入位移计算公式可得 若各杆为等截面杆 符号的确定：温度变化以升温为正，轴力以拉力为正； 弯矩M以使t2边受拉为正。 对于桁架 对于桁架由于杆件制造误差

148 §6-6 静定结构温度变化时的位移计算 例6-8 图a所示刚架施工时温度为20℃，试求冬季当外侧温度为
§6-6 静定结构温度变化时的位移计算 例6-8 图a所示刚架施工时温度为20℃，试求冬季当外侧温度为 -10 ℃ ，内侧温度为0 ℃时A点的竖向位移△Ay。已知 l=4m，α=10-5 ℃-1，各杆均为矩形截面，高度h=0.4m。 解：虚拟状态如图b，轴力图、弯矩图如图c、d。外侧温度变化为t1， t1=-30 ℃，内侧温度变化为t2=-20 ℃ 。

149 §6-7 静定结构支座移动时的位移计算 图a所示静定结构，其支座发生了水平位移c1、竖向沉陷c2和转角c3，现要求由此引起的任一点沿任一方向的位移，如K点的竖向位移△Kc。 为虚拟状态的支座反力 与c方向一致时其乘积取正 对于静定结构，支座发生移动并不引起内力，材料不发生变形，此时结构的位移属刚体位移。位移计算一般公式简化为

150 §6-7 静定结构支座移动时的位移计算 例6-9 图a所示三角刚架右边支座的竖向位移△By=0.06m, 水
§6-7 静定结构支座移动时的位移计算 例6-9 图a所示三角刚架右边支座的竖向位移△By=0.06m, 水 平位移为△Bx=0.06m, 已知l=12m，h=8m。试求由此引 起的A段转角 。 解：虚拟状态及支座反力计算结果如图b。

151 §6-8 线弹性结构的互等定理 （1）功的互等定理 W12—第一状态的外力在第二状态相应的位移上作的虚功
§ 线弹性结构的互等定理 （1）功的互等定理 W12—第一状态的外力在第二状态相应的位移上作的虚功 Wi12—第一状态的内力在第二状态相应的变形上作的虚功 同理 可得 或

152 §6-8 线弹性结构的互等定理 功的互等定理： 第一状态的外力在第二状态的位移上所作的虚功，等于
§ 线弹性结构的互等定理 功的互等定理： 第一状态的外力在第二状态的位移上所作的虚功，等于 第二状态的外力在第一状态的位移上所作的虚功。 （2）位移互等定理 设：F1=1，F2=1，由功的互等定理 可得 单位力引起的位移用小写字母δ12和δ21表示 上式改写为 位移互等定理： 第二个单位力所引起的第一个单位力作用点沿其方向的位移，等 于第一个单位力所引起的第二个单位力作用点沿其方向的位移 。

153 §6-8 线弹性结构的互等定理 单位力可以是广义单位力，位移即是相应的广义位移。如图a、b。 根据位移互等定理，应有 由材料力学
§ 线弹性结构的互等定理 单位力可以是广义单位力，位移即是相应的广义位移。如图a、b。 根据位移互等定理，应有 由材料力学 注意：F=1、M=1的量纲为1， 含义不同，但此时二者在数值上是相等的，量纲也相同。

154 §6-8 线弹性结构的互等定理 （3）反力互等定理 反力互等定理： 支座1发生单位位移所引起的支座2的反力，等于
§ 线弹性结构的互等定理 （3）反力互等定理 由功的互等定理 可得 图a表示支座1发生单位位移的状态，此时支座2产生的反力为r21。 图b表示支座2发生单位位移的状态，此时支座1产生的反力为r12。 反力互等定理： 支座1发生单位位移所引起的支座2的反力，等于 支座2发生单位位移所引起的支座2的反力。

155 §6-8 线弹性结构的互等定理 （4）反力位移互等定理 反力位移互等定理：
§ 线弹性结构的互等定理 （4）反力位移互等定理 由功的互等定理 可得 图a表示F2=1作用时，支座1的反力偶为r12，方向如图。 图b表示支座1顺r12方向发生单位转角时，F2作用点沿其方向的位移为δ21。 反力位移互等定理： 单位力所引起的结构某支座反力，等于该支座发生单位位移时所引起的单位力作用点沿其方向的位移，符号相反。

156 §6-8 空间刚架的位移计算公式 空间刚架的杆件横截面上一般有六个内力分量，如图。 位移计算公式为 对于空间刚架，可略去剪力及轴力的影响。
§ 空间刚架的位移计算公式 空间刚架的杆件横截面上一般有六个内力分量，如图。 当刚架各杆轴线均在同一平面内，外力垂直于此平面，略去剪力影响时，位移计算公式为 位移计算公式为 对于空间刚架，可略去剪力及轴力的影响。

157 第 七 章 力 法 §7-1 概述 §7-2 超静定次数的确定 §7-3 力法的基本概念 §7-4 力法的典型方程
第 七 章 力 法 §7-1 概述 §7-2 超静定次数的确定 §7-3 力法的基本概念 §7-4 力法的典型方程 §7-5 力法的计算步骤和示例 §7-6 对称性的利用 §7-7 超静定结构的位移计算 §7-8 最后内力图的校核 §7-9 温度变化时超静定结构的计算 §7-10 支座位移时超静定结构的计算 §7-11 用弹性中心法计算无铰拱 §7-12 两铰拱及系杆拱 §7-13 超静定结构的特性

158 §7-1 概述 超静定结构：用平衡条件不能确定全部反力和内力的结构。 多余未知力：多余联系中产生的力。如图b中的X1。
图a所示梁仅由平衡条件无法确定竖向反力。 其几何构造特征是具有一个多余联系。 可将任一竖向支座链杆作为多余联系。 图a所示桁架仅由平衡条件无法确定杆件内力。其几何构造特征是具有两个多余联系。 可将两根斜杆作为多余联系如图b。

159 §7-1 概述 常见的超静定结构类型 求解超静定结构的条件 （1）平衡条件： 受力状态满足平衡方程 （2）几何条件： 结构的变形和位移符合支
承约束条件和各部件之间 的变形连续条件 （3）物理条件： 变形或位移与力之间的物 理关系 超静定拱 超静定刚架 超静定桁架

160 §7-2 超静定次数的确定 从几何构造看：超静定次数 = 多余联系的数目 从静力分析看：超静定次数 = 多余未知力的数目
§7-2 超静定次数的确定 从几何构造看：超静定次数 = 多余联系的数目 从静力分析看：超静定次数 = 多余未知力的数目 （1）去掉或切断一根链杆， 相当于去掉一个联系。 （2）拆开一个单铰，相当于 去掉两个联系。 （3）切开一个刚结点，或去掉 一个固定端，相当于去掉 三个联系。 （4）刚结改为单铰联结，相当 于去掉一个联系。

161 §7-2 超静定次数的确定 6次超静定 图a所示结构，在拆开单铰、切断链杆、切开刚结处后，得到图b所示静定结构
§7-2 超静定次数的确定 6次超静定 图a所示结构，在拆开单铰、切断链杆、切开刚结处后，得到图b所示静定结构 同一超静定结构，可以用不同方式去掉多余联系，如图c、d所示静定结构 对于有较多框格的结构，一个封闭无铰的框格，其超静定次数等于3。 21次超静定 16次超静定 9次超静定

162 §7-3 力法的基本概念 基本未知量—多余联系上的多余未知力 基本结构—去掉多余联系后得到的 静定结构 基本体系—基本结构作用原荷载和
§7-3 力法的基本概念 图a所示梁是一次超静定结构。把支座B作为多余联系去掉得到图b中的静定结构。 基本未知量—多余联系上的多余未知力 基本结构—去掉多余联系后得到的 静定结构 基本体系—基本结构作用原荷载和 多余未知力 基本体系 图c表示X1单独作用在基本结构上，B点沿X1方向的位移，沿X1方向为正。 图d表示荷载q单独作用在基本结构上，B点沿X1方向的位移。 原结构B点沿X1方向的位移1 =0。 1=  11 + 1P=0

163 §7-3 力法的基本概念  11 + 1P=0 力法基本方程 δ11—表示X1=1时，B点沿X1方向的位移，Δ11= δ11X1。
§7-3 力法的基本概念 δ11—表示X1=1时，B点沿X1方向的位移，Δ11= δ11X1。  11 + 1P=0 可写为 力法基本方程 绘出基本结构在X1=1、荷载q作用下的弯矩图，如图a、b。 可得 叠加法绘弯矩图

164 §7-4 力法的典型方程 图a是三次超静定结构，去掉固定支座A， 得如图b所示的基本结构。 位移条件：A处不能有任何位移。
§7-4 力法的典型方程 图a是三次超静定结构，去掉固定支座A， 得如图b所示的基本结构。 位移条件：A处不能有任何位移。 1= 0， 2=0， 3=0 和F分别作用于基本结构时 A点沿X1方向的位移分别为 A点沿X2方向的位移分别为 A点沿X3方向的位移分别为 位移条件可写为

165 §7-4 力法的典型方程 n次超静定结构，有n个多余未知力，有n个已知位移条件，可建立n个方程。当n个已知位移条件都为0时，方程为
§7-4 力法的典型方程 n次超静定结构，有n个多余未知力，有n个已知位移条件，可建立n个方程。当n个已知位移条件都为0时，方程为 力法典型方程 柔度方程 主系数，恒大于0。 柔度系数 副系数， 自由项

166 §7-5 力法的计算步骤和示例 图a所示刚架为两次超静定，去掉铰支座B，得基本体系如图b 由B点的位移条件，建立力法典型方程为
§7-5 力法的计算步骤和示例 基本体系 图a所示刚架为两次超静定，去掉铰支座B，得基本体系如图b 由B点的位移条件，建立力法典型方程为 求系数和自由项

167 §7-5 力法的计算步骤和示例 代入典型方程解得 叠加法作弯矩图
§7-5 力法的计算步骤和示例 代入典型方程解得 叠加法作弯矩图 在荷载作用下，超静定结构的内力只与各杆的刚度相对值有关，与其刚度绝对值无关。同一材料组成的结构，内力与材料性质无关。

168 §7-5 力法的计算步骤和示例 力法的计算步骤 （1）确定超静定次数，去掉多余联系，得到静定的基本结构， 以多余未知力代替相应多余联系。
§7-5 力法的计算步骤和示例 力法的计算步骤 （1）确定超静定次数，去掉多余联系，得到静定的基本结构， 以多余未知力代替相应多余联系。 （2）根据多余联系处的位移条件，建立力法的典型方程。 （3）作基本结构各单位内力图和荷载内力图， 计算系数和自由项。 （4）解算典型方程，求出各多余未知力。 （5）由平衡条件或叠加法求得最后内力。

169 §7-5 力法的计算步骤和示例 例7-1 试分析图a所示两端固定梁。EI=常数。 两端固定的梁在垂直于梁轴线的荷载作用下，不产生水平反力。
§7-5 力法的计算步骤和示例 例7-1 试分析图a所示两端固定梁。EI=常数。 解：取简支梁为基本结构，基本体系如图b所示。 典型方程为 基本体系 各弯矩图如图c、d、e、f 。 因 故 可得 两端固定的梁在垂直于梁轴线的荷载作用下，不产生水平反力。

170 §7-5 力法的计算步骤和示例 典型方程变为 求各系数和自由项（只考虑弯矩影响） 最后弯矩图如下图 代入典型方程解得

171 §7-5 力法的计算步骤和示例 例7-2 试用力法计算图a所示超静定桁架的内力。设各杆EA相同。 解：这是一次超静定结构，切断上弦杆用X1
§7-5 力法的计算步骤和示例 例7-2 试用力法计算图a所示超静定桁架的内力。设各杆EA相同。 解：这是一次超静定结构，切断上弦杆用X1 代替，基本体系如图b所示。 位移条件：杆件切口两侧轴向相对位移为0。 典型方程为 各内力图如图c、d。 基本体系

172 §7-5 力法的计算步骤和示例 典型方程的物理意义：基本结构在F和X1共同作用下，结点3、4 所产生的水平相对线位移等于原结构的
§7-5 力法的计算步骤和示例 各杆最后内力按叠加法计算如图。 也可将上弦杆去掉用X1代替，基本体系如图a所示。 典型方程为 典型方程的物理意义：基本结构在F和X1共同作用下，结点3、4 所产生的水平相对线位移等于原结构的 相对线位移。 注意：系数δ11中不包含34杆件。

173 §7-5 力法的计算步骤和示例 例7-3 图a为一加劲梁，横梁I=1×10-4m4，链杆A=1×10-3m2，
§7-5 力法的计算步骤和示例 例7-3 图a为一加劲梁，横梁I=1×10-4m4，链杆A=1×10-3m2， E=常数。试求梁的弯矩图和各杆的轴力，并讨论改变链 杆截面A时的内力变化。 解：这是一次超静定组合结构，切断竖向链杆 用X1代替，基本体系如图b所示。 位移条件：切口处相对轴向位移为0。 典型方程为 各内力图如图c、d。梁只计弯矩影响。 基本体系

174 §7-5 力法的计算步骤和示例 由位移计算公式 解得 最后内力 梁的弯矩、各杆轴力如图e。 与没有链杆时比较最大弯矩值减少了80.7%

175 §7-5 力法的计算步骤和示例 由位移计算公式 A减小时：δ11增大，X1绝对值减小，梁的正弯矩值增大负弯 矩值减小。
§7-5 力法的计算步骤和示例 由位移计算公式 A减小时：δ11增大，X1绝对值减小，梁的正弯矩值增大负弯 矩值减小。 A→0时：梁的弯矩图与简支梁弯矩 图相同。 A增大时：梁的正弯矩值减小负弯矩 值增大。 A→∞时：梁的中点相当于有一刚性支 座，梁的弯矩图与两跨连续 梁的弯矩图相同。如图f。

176 §7-5 力法的计算步骤和示例 例7-4 图a所示为装配式钢筋混凝土单跨单层厂房排架结构的计 算简图，其中左、右柱为阶梯形变截面杆件，横梁为
§7-5 力法的计算步骤和示例 例7-4 图a所示为装配式钢筋混凝土单跨单层厂房排架结构的计 算简图，其中左、右柱为阶梯形变截面杆件，横梁为 EA=∞的二力杆。试用力法求其弯矩图。竖杆E为常数。 解：排架为一次超静定结构，切断二力杆 用X1代替，基本体系如图b所示。 典型方程为 各内力图如图c、d。 基本体系

177 §7-5 力法的计算步骤和示例 计算系数和自由项。 解得 叠加法作弯矩图 弯矩图如图e。

178 §7-6 对称性的利用 1、选取对称的基本结构 对称的意义：（1）结构的几何形状和支承情况对称 （2）各杆的刚度（EI、EA等）也对称
§7-6 对称性的利用 1、选取对称的基本结构 对称的意义：（1）结构的几何形状和支承情况对称 （2）各杆的刚度（EI、EA等）也对称 图a为一对称结构，有一个对称轴。 将对称轴穿过的截面切开，得到一个对称的基本结构如图b。 正对称的力：对称轴两侧的力大小相等，沿 对称轴对折后作用点和作用线 重合且指向相同。 反对称的力：对称轴两侧的力大小相等，沿 对称轴对折后作用点和作用线 重合且指向相反。 X1、X2是正对称的，X3是反对称的。

179 §7-6 对称性的利用 绘出基本结构各单位弯矩图如图a、b、c。 图a、b是正对称的，图c是反对称的。 可得 典型方程简化为
§7-6 对称性的利用 绘出基本结构各单位弯矩图如图a、b、c。 图a、b是正对称的，图c是反对称的。 可得 典型方程简化为 只包含正对称的X1、X2 只包含反对称的X3

180 §7-6 对称性的利用 当结构作用正对称荷载时，如图a。 MP图是正对称的，如图b。
§7-6 对称性的利用 当结构作用正对称荷载时，如图a。 MP图是正对称的，如图b。 只存在正对称的X1、X2，最后弯矩图是正对称的，形状如图c。 注意：剪力图是反对称的。

181 §7-6 对称性的利用 当结构作用反对称荷载时，如图a。 MP图是反对称的，如图b。 只存在反对称的X3，最后弯矩图是反对称的，形状如图c。
§7-6 对称性的利用 当结构作用反对称荷载时，如图a。 MP图是反对称的，如图b。 只存在反对称的X3，最后弯矩图是反对称的，形状如图c。 注意：剪力图是正对称的。

182 §7-6 对称性的利用 对称结构在正对称荷载作用下： 弯矩图和轴力图是正对称的， 剪力图是反对称的； 反力与位移是正对称的。
§7-6 对称性的利用 对称结构在正对称荷载作用下： 弯矩图和轴力图是正对称的， 剪力图是反对称的； 反力与位移是正对称的。 对称结构在反对称荷载作用下： 弯矩图和轴力图是反对称的， 剪力图是正对称的； 反力与位移是反对称的。

183 §7-6 对称性的利用 例7-5 试分析图a所示刚架。设EI=常数。 解：荷载是反对称的，只有反对称的多余未知力， 取对称的基本体系如图b。
§7-6 对称性的利用 例7-5 试分析图a所示刚架。设EI=常数。 解：荷载是反对称的，只有反对称的多余未知力， 取对称的基本体系如图b。 作各弯矩图如图c、d。 基本体系

184 §7-6 对称性的利用 由图乘法 代入典型方程 叠加法作弯矩图

185 §7-6 对称性的利用 2、未知力分组及荷载分组 图a所示对称刚架作用非对称荷载。 基本体系如图b。 为利用对称性，将未知力进行分组。 或
§7-6 对称性的利用 2、未知力分组及荷载分组 图a所示对称刚架作用非对称荷载。 基本体系如图b。 为利用对称性，将未知力进行分组。 或 Y1为一对正对称的未知力组。 基本体系 Y2为一对反对称的未知力组。

186 §7-6 对称性的利用 将求解未知力X1、X2的问题转变为求解两对未知力组Y1、Y2。如图a。 作Y1=1、 Y2=1的弯矩图，如图b、c。
§7-6 对称性的利用 将求解未知力X1、X2的问题转变为求解两对未知力组Y1、Y2。如图a。 作Y1=1、 Y2=1的弯矩图，如图b、c。 图b为正对称的、图c为反对称的。 典型方程简化为 Y1、 Y2为广义力，典型方程的物理意义也转变为相应的广义位移条件。 第一式代表A、B两点同方向的竖向位移之和为0。 第二式代表A、B两点反方向的竖向位移之和为0。

187 §7-6 对称性的利用 对称结构作用一般非对称荷载时，可以将荷载分解为正、反对称两组，如下图。 正对称荷载作用只有正对称的多余未知力，
§7-6 对称性的利用 对称结构作用一般非对称荷载时，可以将荷载分解为正、反对称两组，如下图。 正对称荷载作用只有正对称的多余未知力， 反对称荷载作用只有反对称的多余未知力， 两者叠加即为原结构的解。

188 §7-6 对称性的利用 3、取一半结构计算（利用对称性） （1）奇数跨对称结构
§7-6 对称性的利用 3、取一半结构计算（利用对称性） （1）奇数跨对称结构 作用反对称荷载如图c，C截面不能有竖向位移，只有剪力，截取一半刚架如图d。 作用正对称荷载如图a，C截面只有竖向位移，有弯矩和剪力，截取一半刚架如图b。

189 §7-6 对称性的利用 （2）偶数跨对称结构 作用正对称荷载如图a，C结点不能有任何位移，截取一半刚架如图b。
§7-6 对称性的利用 （2）偶数跨对称结构 作用正对称荷载如图a，C结点不能有任何位移，截取一半刚架如图b。 作用反对称荷载如图c，将中间柱视为两根刚度为I/2的竖杆组成，在顶点与梁刚结。如图e。 剪力FSC对结构的内力和变形无影响。简化的一半刚架如图d。 由于荷载是反对称的，两柱中间的横梁C处只有剪力。如图f。

190 §7-6 对称性的利用 例7-6 试计算图a所示圆环的内力。EI=常数。 解：结构是一个三次超静定结构，有两个对称轴。
§7-6 对称性的利用 例7-6 试计算图a所示圆环的内力。EI=常数。 解：结构是一个三次超静定结构，有两个对称轴。 可取1/4结构分析，计算简图如图b。 基本体系如图c。 取极坐标系， 单位弯矩和荷载弯矩分别为：

191 §7-6 对称性的利用 各弯矩图如图a、b。 位移计算时略去轴力、剪力及曲率影响，只计弯矩一项。则： 可得

192 比较麻烦！ §7-7 超静定结构的位移计算 结构的实际状态及弯矩图如图a。 试求CB杆中点K的竖向位移△Ky。 虚设力状态及弯矩图如图b。
§7-7 超静定结构的位移计算 结构的实际状态及弯矩图如图a。 试求CB杆中点K的竖向位移△Ky。 虚设力状态及弯矩图如图b。 为作出图b，需要解算一个2次超静定结构。 比较麻烦！

193 §7-7 超静定结构的位移计算 由力法计算超静定结构可知： 在荷载及多余未知力共同作用下，基本结构的受力和位移与原结构完全一致。
§7-7 超静定结构的位移计算 由力法计算超静定结构可知： 在荷载及多余未知力共同作用下，基本结构的受力和位移与原结构完全一致。 求超静定结构的位移可以用求基本结构的位移代替。虚拟状态如图c、d。 由图c 由图d

194 §7-7 超静定结构的位移计算 计算超静定结构位移步骤 （1）计算超静定结构，求出实际状态的内力。 （2）任选一种基本结构，虚拟力状态。
§7-7 超静定结构的位移计算 计算超静定结构位移步骤 （1）计算超静定结构，求出实际状态的内力。 （2）任选一种基本结构，虚拟力状态。 （3）计算所求位移。

195 §7-8 最后内力图的校核 平衡条件校核 弯矩图校核： 如图a，取E点为隔离体，如图b。 剪力图和轴力图校核：
§ 最后内力图的校核 平衡条件校核 弯矩图校核： 如图a，取E点为隔离体，如图b。 应满足 即 剪力图和轴力图校核： 可取结点、杆件或结构的一部分为隔离体，考察是否满足： 和

196 §7-8 最后内力图的校核 位移条件校核 图a为刚架的最后弯矩图。检查A处的水平位移是否为0，虚拟力状态并作弯矩图如图b。
§ 最后内力图的校核 位移条件校核 图a为刚架的最后弯矩图。检查A处的水平位移是否为0，虚拟力状态并作弯矩图如图b。 利用图a与图b图乘，得 满足位移条件

197 §7-8 最后内力图的校核 对于具有封闭无铰框格的刚架如图a，取图b所示的虚拟力状态，检查K截面相对转角是否为0。
§ 最后内力图的校核 对于具有封闭无铰框格的刚架如图a，取图b所示的虚拟力状态，检查K截面相对转角是否为0。 上式表明，在任一封闭无铰的框格上，弯矩图的面积除以相应刚度的代数和等于0。

198 §7-9 温度变化时超静定结构的计算 图a所示静定梁，当温度改变时，梁可以自由地变形不受任何阻碍。
§ 温度变化时超静定结构的计算 图a所示静定梁，当温度改变时，梁可以自由地变形不受任何阻碍。 图b所示超静定梁，当温度改变时，梁的变形受到两端支座的限制，因而产生支座反力及内力。 图c所示刚架，温度改变如图。取图d所示基本体系。 基本结构在外因和多余未知力共同作用下，去掉多余联系处的位移与原结构的位移相符。

199 §7-9 温度变化时超静定结构的计算 典型方程为 式中系数的计算与以前相同，与外因无关。自由项为基本结构由于温度变化引起的位移，计算式为
§ 温度变化时超静定结构的计算 典型方程为 式中系数的计算与以前相同，与外因无关。自由项为基本结构由于温度变化引起的位移，计算式为 最后弯矩为 对于刚架位移计算公式为 对多余未知力Xi方向的位移校核式为

200 §7-9 温度变化时超静定结构的计算 例7-7 图a所示刚架外侧温度升高25℃，内侧温度升高35 ℃，试
§ 温度变化时超静定结构的计算 例7-7 图a所示刚架外侧温度升高25℃，内侧温度升高35 ℃，试 绘制其弯矩图并计算横梁中点的竖向位移。EI=常数，截 面对称于形心轴，高度h=l/10，材料的线膨胀系数为α。 解：这是一次超静定刚架，基本体系如图b。 典型方程为 虚拟力状态及内力图如图c

201 温度变化时，超静定结构的内力与各杆刚度的绝对值有关。
§ 温度变化时超静定结构的计算 解典型方程得 最后弯矩为 弯矩图如图a。 求横梁中点竖向位移虚拟力状态及内力图如图b。 温度变化时，超静定结构的内力与各杆刚度的绝对值有关。

202 §7-10 支座位移时超静定结构的计算 图a所示静定梁，当支座B发生竖向位移时不会受到任何阻碍。结构只随之发生刚体位移，不产生弹性变形和内力。 图b所示超静定梁，当支座B发生竖向位移时将受到AC梁的牵制，使各支座产生反力，梁产生内力。

203 §7-10 支座位移时超静定结构的计算 图a所示刚架，当支座B由于某种原因发生图示位移。基本体系如图b。
§7-10 支座位移时超静定结构的计算 图a所示刚架，当支座B由于某种原因发生图示位移。基本体系如图b。 典型方程为 系数的计算同前。自由项代表基本结构由于支座移动引起的位移，计算式为

204 §7-10 支座位移时超静定结构的计算 多余未知力分别等于1时的弯矩图如图c、d、e。 Xi方向位移条件校核式为 最后弯矩为 位移计算为
§7-10 支座位移时超静定结构的计算 多余未知力分别等于1时的弯矩图如图c、d、e。 Xi方向位移条件校核式为 或为已知值 最后弯矩为 位移计算为

205 §7-10 支座位移时超静定结构的计算 例7-8 图a所示两端固定的等截面梁A段发生了转角，试分析其 内力。 解：取基本体系如图b。
§7-10 支座位移时超静定结构的计算 例7-8 图a所示两端固定的等截面梁A段发生了转角，试分析其 内力。 解：取基本体系如图b。 因X3=0，典型方程为 多余未知力分别等于1时的弯矩图如图c、d。 可得

206 §7-10 支座位移时超静定结构的计算 最后弯矩为 如图e 校核：检查B支座转角是否为0。虚拟力状态及弯矩图如图f。 位移计算为

207 §7-10 支座位移时超静定结构的计算 例7-9 图a所示连续梁EI=常数，B处为弹性支座，弹簧刚度
§7-10 支座位移时超静定结构的计算 例7-9 图a所示连续梁EI=常数，B处为弹性支座，弹簧刚度 k=10EI/l3。试作其弯矩图并求D点的竖向位移。 解：（1）取基本体系一如图b。 典型方程为 相应弯矩图如图c、d。 可得 最后弯矩为 如图e

208 §7-10 支座位移时超静定结构的计算 （2）取基本体系二如图f。 典型方程为 相应弯矩图如图g、h。 可得 弯矩图同e
§7-10 支座位移时超静定结构的计算 （2）取基本体系二如图f。 典型方程为 相应弯矩图如图g、h。 可得 弯矩图同e （3）求D点竖向位移，虚拟状态弯矩图如图i。

209 § 用弹性中心法计算无铰拱 常用超静定拱型式 无铰拱 两铰拱 超静定拱： 弯矩分布比较均匀，够造简单，工程中应用较多。

210 §7-11 用弹性中心法计算无铰拱 计算超静定拱：需事先确定拱轴线方程和截面变化规律。 常用的拱轴线形式：悬链线，抛物线，圆弧，多心圆等。
§ 用弹性中心法计算无铰拱 计算超静定拱：需事先确定拱轴线方程和截面变化规律。 常用的拱轴线形式：悬链线，抛物线，圆弧，多心圆等。 超静拱合理拱轴线：忽略轴向变形影响时，与相应三铰拱相同。 考虑轴向变形时：超静定拱产生弯矩，但数值不大，可进行修 改调整。 超静定拱拱截面：变截面，等截面。 无铰拱截面：拱址处弯矩大，截面常设计成由拱顶向拱址逐渐 增大的形式。

211 §7-11 用弹性中心法计算无铰拱 拱桥设计中的经验公式 IC：拱顶截面二次矩， n ：拱厚变化系数。 IK：拱址处截面二次矩，
§ 用弹性中心法计算无铰拱 拱桥设计中的经验公式 （7-8） IC：拱顶截面二次矩， n ：拱厚变化系数。 IK：拱址处截面二次矩， ：拱址处拱轴切线倾角。 n 愈小，拱厚变化愈激烈。 n的范围：0.25~1。 n =1时 截面面积A近似为 当拱高f<l/8时可近似为 常数

212 §7-11 用弹性中心法计算无铰拱 图a所示无铰拱是三次超静定结构。利用对称性取基本体系如图b。 如何做？
§ 用弹性中心法计算无铰拱 图a所示无铰拱是三次超静定结构。利用对称性取基本体系如图b。 如何做？ 将图a所示无铰拱沿拱顶截面切开，再切口粮边沿对称轴方向引出两个刚度无穷大的刚臂，如图c。 刚臂本身是不变形的，保证切口两边截面无任何相对位移，此结构与原无铰拱的变形一致，可以代替原无铰拱。

213 §7-11 用弹性中心法计算无铰拱 坐标原点：刚臂端点O； 符号规定 坐标方向：x轴向右为正，y轴向下为正； 弯 矩：拱内侧受拉为正；
§ 用弹性中心法计算无铰拱 取基本体系如图d，这是两个带刚臂的悬臂曲梁。 利用对称性，适当选择刚臂的长度，可以使典型方程中全部系数都为0。 坐标原点：刚臂端点O； 坐标方向：x轴向右为正，y轴向下为正； 弯 矩：拱内侧受拉为正； 剪 力：绕隔离体顺时针方向为正； 轴 力：压力为正。 符号规定

214 § 用弹性中心法计算无铰拱 多余未知力分别为1作用时，如图a、b、c。

215 §7-11 用弹性中心法计算无铰拱 弹性中心法：把刚臂端点引到弹性中心上，将X2、X3置于主轴 方向上，使全部系数都等于0。 令
§ 用弹性中心法计算无铰拱 令 沿拱轴线作宽度为1/EI的图形（如图）。 可得刚臂长度yS为 ds/EI代表图中的微面积，ys即为这个图形面积的形心坐标。图形的面积与EI有关—称为弹性面积图，其形心称为弹性形心。 弹性中心法：把刚臂端点引到弹性中心上，将X2、X3置于主轴 方向上，使全部系数都等于0。

216 §7-11 用弹性中心法计算无铰拱 计算系数和自由项时需考虑影响的内力 f hc δ22 δ33 △2P ， △3P f<l/5
§ 用弹性中心法计算无铰拱 典型方程简化为三个独立方程 由于拱的曲率对计算结果影响很小，可用直杆计算公式求系数和自由项，多数情况可忽略轴向变形和剪切变形的影响。如下表 计算系数和自由项时需考虑影响的内力 f hc δ22 δ33 △2P ， △3P f<l/5 M，FN M f>l/5 hc>l/10 M，FN， FS M，FS Hc<l/10

217 § 用弹性中心法计算无铰拱 拱顶截面高度hc<l/10，f<l/5时， f>l/5时，δ22中的轴力影响项可略去。

218 § 用弹性中心法计算无铰拱 当 时 有 可得 用数值积分法即总和法计算 任一截面内力按叠加法求得 基本结构荷载作用下产生的

219 §7-12 两铰拱及系杆拱 图a为一次超静定的两铰拱，支座发生竖向位移时不引起内力，适用于不均匀沉陷的地基。
§ 两铰拱及系杆拱 图a为一次超静定的两铰拱，支座发生竖向位移时不引起内力，适用于不均匀沉陷的地基。 拱址处弯矩为0逐渐向拱顶增大，设截面的变化规律为 当f<l/4时，采用式 基本结构如图b。 典型方程为 略去剪力影响 任一截面内力

220 §7-12 两铰拱及系杆拱 图a为带拉杆的两铰拱，也称系杆拱。基本体系如图b。 典型方程为 计算δ11时考虑轴向变形影响。 代入得
§ 两铰拱及系杆拱 图a为带拉杆的两铰拱，也称系杆拱。基本体系如图b。 典型方程为 计算δ11时考虑轴向变形影响。 代入得 E1A1→∞时，系杆拱的内力与两铰拱相同； E1A1→0时， X1→0，系杆拱成为简支曲梁 丧失拱的特征。

221 §7-12 两铰拱及系杆拱 设拱圈截面二次矩为Ia、系杆为Ib，二者材料相同。如图a。
§ 两铰拱及系杆拱 设拱圈截面二次矩为Ia、系杆为Ib，二者材料相同。如图a。 一次超静定 多次超静定 一次超静定 柔性系杆刚性拱：Ib/Ia=1/80~1/100，系杆只承受轴力。如图b。 刚性系杆柔性拱：Ib/Ia=80~100，拱只承受轴力，系杆可承受弯矩和剪力。如图c 刚性系杆刚性拱：Ib与Ia相差不大，均可承受弯矩和剪力，计算复杂。如图d。

222 §7-12 两铰拱及系杆拱 桁架拱桥： 图a所示桁架拱片是其主要承重结构，包括桁架部分和实腹部分。
§ 两铰拱及系杆拱 桁架拱桥： 图a所示桁架拱片是其主要承重结构，包括桁架部分和实腹部分。 取图b所示的计算简图，为两铰拱。 桁架拱桥的特点：自重较轻，对基础的压力和推力较小。对 软土地基有较好的适应性。

223 §7-12 两铰拱及系杆拱 桁架拱是一次超静定结构，取基本结构如图c。 桁架部分各杆只受轴力，实腹部分主要是弯矩影响，因此有
§ 两铰拱及系杆拱 桁架拱是一次超静定结构，取基本结构如图c。 典型方程为 桁架部分各杆只受轴力，实腹部分主要是弯矩影响，因此有 难于积分，一般用总和法近似求解。

224 §7-13 超静定结构的特性 超静定结构与静定结构的比较 静定结构 超静定结构 非荷载因素作用 内力计算 几何组成性质 内力分布 无内力
§ 超静定结构的特性 超静定结构与静定结构的比较 静定结构 超静定结构 非荷载因素作用 无内力 内力与刚度绝对值成比例 内力计算 由平衡条件确定 与材料性质和截面尺寸无关 平衡条件不能完全确定 必须考虑变形条件 与材料性质和截面尺寸有关 几何组成性质 无多余联系的 几何不变体系 有多余联系的几何不变体系 具有较强的防御能力 内力分布 不均匀 比相应的静定结构刚度大 内力分布较均匀

225 § 超静定结构的特性 图a为三跨连续梁。 变形曲线较平滑。 最大弯矩、最大挠度较小。 二者荷载、跨度、截面相同。 图b为三跨简支梁。

226 §8-1 概述 §8-2 等截面直杆的转角位移方程 §8-3 位移法的基本未知量和基本结构 §8-4 位移法的典型方程及计算步骤
第八章 位 移 法 §8-1 概述 §8-2 等截面直杆的转角位移方程 §8-3 位移法的基本未知量和基本结构 §8-4 位移法的典型方程及计算步骤 §8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程 §8-6 对称性的利用 §8-7 有侧移的斜柱刚架 §8-8 温度变化时的计算

227 位移法：先确定某些位移，再推求内力。 §8-1 概 述 图a所示刚架在荷载F作用下发生虚线所示变形。略去轴向变形，可将结构分解如图b、c。
§8-1 概 述 位移法：先确定某些位移，再推求内力。 图a所示刚架在荷载F作用下发生虚线所示变形。略去轴向变形，可将结构分解如图b、c。 思路：将结点1的角位移Z1 作为基本未知量，求 出Z1，进而求出各杆 内力。 需解决的问题：（1）用力法算出单跨超静定梁在各种外因作用 下的内力 （2）确定哪些位移作为基本未知量 （3）如何求出这些位移

228 §8-2 等截面直杆的转角位移方程 符号规定：杆端弯矩以对杆端顺时针方向为正； 均以顺时针方向为正；
§8-2 等截面直杆的转角位移方程 图a所示两端固定的等截面梁，两端支座发生了位移。取基本结构如图b。 X3对梁的弯矩无影响，可不考虑，只需求解X1、X2。 符号规定：杆端弯矩以对杆端顺时针方向为正； 均以顺时针方向为正； △AB 以使整个杆件顺时针方向转动为正。 力法典型方程为

229 §8-2 等截面直杆的转角位移方程 作X1、X2分别等于1时的弯矩图如图c、d。 由图e可得 βAB—弦转角，顺时针方向为正。 解典型方程得

230 §8-2 等截面直杆的转角位移方程 固端弯矩 ：单跨梁在荷载作用及温度变化时产生的 杆端弯矩。
§8-2 等截面直杆的转角位移方程 令 —杆件的线刚度 MAB=X1，MBA=X2，可得 固端弯矩 ：单跨梁在荷载作用及温度变化时产生的 杆端弯矩。 当单跨梁除支座位移外，还有荷载作用及温度变化时，其杆端弯矩为 转角位移方程

231 §8-2 等截面直杆的转角位移方程 对于一端固定另一端铰支的等截面梁，设B端为铰支，则有 不是独立的 杆端弯矩 杆端剪力

232 §8-3 位移法的基本未知量和基本结构 基本未知量：结点的角位移、线位移。
1、结点的角位移：每一个刚结点有一个独立的角位移未知量。图a所示刚架 独立结点角位移数目为2。 2、结点的线位移：略去受弯杆件的轴向变形，设弯矩变形是微小的。如图a， 4、5、6点不动，三根柱子长度不变，故1、2、3点均无竖 向位移。两根横梁长度不变。因而，1、2、3点有相同的水 平位移。

233 §8-3 位移法的基本未知量和基本结构 确定独立的结点线位移另种一方法 把原结构的所有刚结点和固定支座均改为铰结点→铰结体系，如图b。
此铰结体系为几何不变，原结构无结点线位移。 此铰结体系为几何可变或瞬变，添加最少的支座链杆保证其几何不变，添加的链杆数目既是原结构独立的结点线位移数目。如图b，加一个水平支座链杆，体系成为几何不变的。

234 §8-3 位移法的基本未知量和基本结构 附加刚臂： 阻止刚结点的转动，但不能阻止结点的移动。 附加支座链杆：阻止结点的线位移。
附加刚臂： 阻止刚结点的转动，但不能阻止结点的移动。 附加支座链杆：阻止结点的线位移。 图a所示刚架，在刚结点1、3处分别加上刚臂，在结点3处加上一根水平支座链杆，则原结构的每根杆件都成为单跨超静定梁。 这个单跨超静定梁的组合体称为位移法的基本结构。如图c。

235 §8-3 位移法的基本未知量和基本结构 图a所示刚架，结点角位移数目=4（注意结点2） 结点线位移数目=2
加上4个刚臂，两根支座链杆，可得基本结构如图b。

236 §8-3 位移法的基本未知量和基本结构 图a所示刚架，结点线位移数目=2 图b所示刚架，结点角位移数目=2 结点线位移数目=2

237 §8-4 位移法的典型方程及计算步骤 基本结构在荷载和Z1共同作用下的体系称为基本体系，如图b。
图a所示连续梁（EI为常数），只有一个独立结点角位移Z1。在结点B加一附加刚臂得到基本结构。令基本结构发生与原结构相同的角位移Z1，二者的位移完全一致了。 基本结构在荷载和Z1共同作用下的体系称为基本体系，如图b。 附加刚臂上的反力矩R1=R11（Z1引起的）+R1P（荷载引起的） 原结构没有附加刚臂，所以：R1=R11+R1P=0

238 §8-4 位移法的典型方程及计算步骤 位移法基本方程 设r11表示Z1=1引起的附加刚臂上的反力矩，所以：R11=r11Z1。 可得 系数
自由项 作 及荷载作用下的弯矩图，如图a、b。 由a图，取结点B为隔离体，由∑MB=0，可得r11=3i+3i=6i 由b图，取结点B为隔离体，由∑MB=0，可得R1P=-24kN·m

239 §8-4 位移法的典型方程及计算步骤 将 r11和R1P代入方程求出 结构的最后弯矩图由叠加法绘制

240 §8-4 位移法的典型方程及计算步骤 a图所示刚架，13杆和24杆有侧移产生，称为有侧移结构。基本体系如图b。 由图c、d、e可得

241 §8-4 位移法的典型方程及计算步骤 位移法典型方程
r11、r12分别表示Z1=1、Z2=1引起的刚臂上的反力矩。 r21、r22分别表示Z1=1、Z2=1引起的链杆上的反力。可得 位移法典型方程 物理意义 基本结构在荷载等外因和各结点位移的共同作用下，每一个附加联系上的附加反力矩和附加反力都应等于零。 原结构的静力平衡条件

242 §8-4 位移法的典型方程及计算步骤 为求系数和自由项，绘弯矩图如图a、b、c。

243 §8-4 位移法的典型方程及计算步骤 将系数和自由项代入典型方程并求解，可得 结构的最后弯矩图可由叠加法绘制： 内力图校核同力法，略。

244 §8-4 位移法的典型方程及计算步骤 位移法计算步骤 （1）确定基本未知量：独立的结点角位移和线位移，加入附加 联系得到 基本结构。
（2）建立位移法的典型方程：各附加联系上的反力矩或反力均 应等于零。 （3）绘弯矩图：基本结构在各单位结点位移和外因作用下，由 平衡条件求系数和自由项。 （4）解典型方程：求出作为基本未知量的各结点位移。 （5）绘制最后弯矩图：用叠加法。

245 §8-4 位移法的典型方程及计算步骤 对于具有n个独立结点位移的结构，可建立n个方程如下 典型方程
主系数：主斜线上的系数rii，或称为主反力，恒为正值。 副系数：其他系数rij，或称为副反力，可为正、负或零。 rij= rji。 每个系数都是单位位移引起的反力或反力矩→结构的刚度系数； 位移法典型方程→结构的刚度方程；位移法→刚度法。

246 §8-4 位移法的典型方程及计算步骤 例8-1 试用位移法求图a所示阶梯形变截面梁的弯矩图。E=常数。
解：结构的基本未知量：结点B的角位移Z1、 竖向位移Z2，基本体系如图b。 典型方程为 设 则iAB=3i，iBC=i 绘弯矩图c、d、e。 取结点B处的隔离体。

247 §8-4 位移法的典型方程及计算步骤 代入典型方程解得 由

248 §8-4 位移法的典型方程及计算步骤 例8-2 求图a所示刚架的支座A产生转角 ，支座B产生竖向位移 。试用位移法绘其弯矩图，E为常数。 设
则 解：刚架的基本未知量：结点C的角位移Z1，基本体系如图b。 典型方程为

249 §8-4 位移法的典型方程及计算步骤 绘弯矩图c、d。取结点C为隔离体。 代入典型方程解得 由

250 §8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程 图a所示刚架用位移法求解时有两个基本未知量：刚结点1的转角Z1，结点1、2的水平位移Z2。
如图b，由结点1的力矩平衡条件∑M1=0 如图c，由隔离体的投影平衡条件∑Fx=0 设Z1为顺时针方向，Z2向右，可得

251 §8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程 由平衡条件可得 Z1、Z2 各杆端最后弯矩由转角位移方程求得。

252 §8-6 对称性的利用 图a所示对称刚架，可将荷载分解为正、反对称两组。在正对称荷载作用下只有正对称的基本未知量，如图b。在反对称荷载作用下只有反对称的基本未知量，如图c。 图b利用对称性简化为图d。 图c利用对称性简化为图e。 用位移法求解 用力法求解

253 荷 载 位移法基本未知量数目 力法基本未知量数目 正对称 3（采用） 6 反对称
§8-6 对称性的利用 图a所示对称刚架，可将荷载分解为正、反对称两组。在正（反）对称荷载作用下，基本未知量数目是不同的。如图b、c。 荷 载 位移法基本未知量数目 力法基本未知量数目 正对称 3（采用） 6 反对称

254 §8-6 对称性的利用 例8-3 试计算图a所示弹性支承连续梁，弹性支座刚度 梁的EI=常数。 解：这是一个对称结构承受正对称荷载
§8-6 对称性的利用 例8-3 试计算图a所示弹性支承连续梁，弹性支座刚度 梁的EI=常数。 解：这是一个对称结构承受正对称荷载 取一半结构如图b，基本体系如图c 典型方程为

255 §8-6 对称性的利用 绘弯矩图d、e、g。 解得 由

256 §8-7 有侧移的斜柱刚架 图a所示为一具有斜柱的刚架发生结点线位移的情形。A、D是不动的。 AB：代表AB杆的相对线位移
§8-7 有侧移的斜柱刚架 图a所示为一具有斜柱的刚架发生结点线位移的情形。A、D是不动的。 B点：当位移很小时，在垂直AB方向上运动。 C点：BC杆平移至B’C’’，CC’’=BB’。 C’’在垂直B’C’’方向上运动， 作C’’C’垂直于B’C’’。 同理，作CC’垂直于DC。 CC’与C’’C’的交点C’即C位移后的位置。 在图b中任选一点O为不动点→极点，AD与O重合。 作OB垂直于杆AB；过B作杆BC的垂线；过O作杆CD的垂线，得交点C。 AB：代表AB杆的相对线位移 BC：代表BC杆的相对线位移 CD：代表CD杆的相对线位移 结点位移图

257 §8-7 有侧移的斜柱刚架 例8-4 试用位移法计算图a所示刚架。 解： 基本体系如图b所示。 典型方程为 令 其余杆线刚度如图b
§8-7 有侧移的斜柱刚架 例8-4 试用位移法计算图a所示刚架。 解： 基本体系如图b所示。 典型方程为 令 其余杆线刚度如图b 及 MP图如图c、d

258 §8-7 有侧移的斜柱刚架 设 则结点位移图如图e 图如图f 计算可得 附加链杆上反力的计算如图g。 由∑MO=0有

259 §8-7 有侧移的斜柱刚架 将系数和自由项代入典型方程，可得 叠加原理绘弯矩图

260 §8-8 温度变化时的计算 例8-5 绘图a所示刚架温度变化时的弯矩图。各杆的EI=常数，截
§8-8 温度变化时的计算 例8-5 绘图a所示刚架温度变化时的弯矩图。各杆的EI=常数，截 面为矩形，其高度h=l/10，材料的线膨胀系数为α。 解： 刚架有一个独立的结点角位移Z1，一个独立的结点线位移Z2。基本体系 如图b所示。 典型方程为

261 §8-8 温度变化时的计算 及 图如图c、d

262 §8-8 温度变化时的计算 为便于计算，将杆件两侧的温度变化t1和t2对杆轴线分为正、反对称两部分，如下图。 温度变化之差 平均温度变化

263 §8-8 温度变化时的计算 （1）平均温度变化如图e 可求得各杆两端相对线位移为 查表得各杆端相固端弯矩为

264 §8-8 温度变化时的计算 （2）温度变化之差如图f 此时各杆并不伸长或缩短，查表计算各杆固端弯矩为 总的固端弯矩为（1）+（2）

265 §8-8 温度变化时的计算 可绘Mt图如图g。 可求得 将系数和自由项代入典型方程解得 M图 叠加原理绘弯矩图

266 §9-1 概述 §9-2 力矩分配法的基本原理 §9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 §9-4 无剪力分配法 §9-5 剪力分配法
第 九章 渐进法 §9-1 概述 §9-2 力矩分配法的基本原理 §9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 §9-4 无剪力分配法 §9-5 剪力分配法

267 §9-1 概 述 位移法 力 法 计算超静定结构→ →组成和解算典型方程 力矩分配法 无剪力分配法 迭代法 →位移法的变体
§9-1 概 述 位移法 力 法 计算超静定结构→ →组成和解算典型方程 力矩分配法 无剪力分配法 迭代法 →位移法的变体 →避免组成和解算典型方程 易于掌握，适合手算，可不计算结点位移而直接求得杆端弯矩。

268 §9-2 力矩分配法的基本原理 力矩分配法：适用于连续梁和无结点线位移的刚架计算。 劲度系数
杆件AB（如图）的A断转动单位角时，A端（近端）的弯矩MAB称为该杆端的劲度系数，用SAB表示。 劲度系数标志该杆端抵抗转动能力的大小，又称为转动刚度。与杆件的线刚度有关，与杆件另一端（远端）的支承情况有关。

269 §9-2 力矩分配法的基本原理 传递系数：远端（B端）弯矩与近端（A端）弯矩的比值，用 CAB表示。 等截面直杆的劲度系数和传递系数
远端支承情况 劲度系数S 传递系数C 固 定 4i 0.5 铰 支 3i 滑 动 i -1 自由或轴向支杆

270 §9-2 力矩分配法的基本原理 图a所示刚架用位移法计算时，只有一个结点转角Z1，其典型方程为 图如图b、c 解典型方程得
→刚臂反力矩或结点上的不平衡力矩 →汇交于结点1的各杆端劲度系数总和

271 §9-2 力矩分配法的基本原理 （a）式的第一项为固端弯矩，荷载产生的； 第二项相当于把不平衡力矩反号后按劲度系数大
由叠加法 各杆近端弯矩为 （a）式的第一项为固端弯矩，荷载产生的； 第二项相当于把不平衡力矩反号后按劲度系数大 小的比例分配给各近端→分配弯矩。 分配系数 同一结点

272 §9-2 力矩分配法的基本原理 （b）式的第一项为固端弯矩； 第二项是将各近端的分配弯矩以传递系数的比例 传到各远端→传递弯矩。
各杆远端弯矩为 （b）式的第一项为固端弯矩； 第二项是将各近端的分配弯矩以传递系数的比例 传到各远端→传递弯矩。

273 §9-2 力矩分配法的基本原理 力矩分配法的步骤 （1）固定结点。加入刚臂，产生不平衡力矩；各杆端有 固端弯矩。
（2）放松结点。在结点上加上一个反号的不平衡力矩， 计算各近端的分配弯矩及各远端的传递 弯矩。 （3）各杆端弯矩。近端=固端弯矩+分配弯矩； 远端=固端弯矩+传递弯矩

274 §9-2 力矩分配法的基本原理 例9-1 试作图a所示刚架的弯矩图。 解：（1）计算各杆端分配系数。 （2）计算固端弯矩，查表计算。
令iAB=iAC =EI/4=1，则iAD=2。

275 §9-2 力矩分配法的基本原理 （3）进行力矩的分配和传递。结点A的不平衡力矩为 计算过程如图b。

276 §9-2 力矩分配法的基本原理 （4）计算杆端最后弯矩。并作弯矩图如图c。 近端弯矩=固端弯矩+分配弯矩 远端弯矩=固端弯矩+传递弯矩

277 §9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 对于具有多个结点转角但无侧移的结构，需先固定所有结点，然后各结点轮流放松。把各结点的不平衡力矩轮流地进行分配、传递，直到小到可以停止。 如图所示连续梁 各杆件线刚度为i 分配系数为 固端弯矩为

278 §9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 计算过程如下图
1、放松结点1，其不平衡力矩为 -300kN·m，反号分配并传递，如图。 2、放松结点2，其不平衡力矩为 150+75=225kN·m，反号分配并传递，如图。 3、结点1有了新的不平衡力矩 -64kN·m，反号分配并传递，如图。 如此反复将各结点的不平衡力矩进行分配和传递，直到传递弯矩的数值小到可以略去，停止计算。

279 §9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 例9-2 试用力矩分配法计算图a 所示连续梁，并绘制弯矩图。 各固端弯矩及计算过程如图b
解：EF的内力是 静定可去掉。 1、计算分配系数 设i=2EI/8m。 2、计算固端弯矩 各固端弯矩及计算过程如图b

280 §9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 3、计算杆端最后弯矩，作弯矩图如图c。

281 §9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 例9-3 试用力矩分配法计算图a所示刚架。
解：这是一个对称结构，承受正对称荷载，取一半结构如图b。 设：EI/8m=1， 各杆线刚度如图上 圆圈中所注。

282 §9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 计算过程如图c。 校核各结点处的杆端弯矩是否满足平衡条件：

283 §9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 一半刚架的弯矩图如图d。 原刚架的弯矩图可利用对称性作出。（略）

284 §9-4 无剪力分配法 图a所示单跨对称刚架，可将荷载分为正、反对称两组，如图b、c。 荷载正对称时如图b，
§9-4 无剪力分配法 图a所示单跨对称刚架，可将荷载分为正、反对称两组，如图b、c。 荷载正对称时如图b， 结点只有转角，没有侧移，可用力矩分配法计算。 荷载反对称时如图c， 结点有转角，还有侧移，要采用无剪力分配法计算。

285 §9-4 无剪力分配法 取反对称的半刚架如图a所示。 全部水平荷载由柱的下端剪力平衡。 横梁BC：两端无相对线位移—无侧移杆件
§9-4 无剪力分配法 取反对称的半刚架如图a所示。 查表可得 全部水平荷载由柱的下端剪力平衡。 横梁BC：两端无相对线位移—无侧移杆件 竖柱AB：由于支座C无水平反力，其剪力是静定的 —剪力静定杆件 （1）固定结点。加刚臂阻止结点B转动，不阻止其线位移，如图b。 柱AB上端不能转动，但可自由地水平滑行，相当于下端固定上端滑动的梁， 如图c。 横梁BC因其水平位移并不影响内力，相当于一端固定另一端铰支的梁。

286 §9-4 无剪力分配法 （2）放松结点。结点B即转动Z1角，同时也发生水平位移，如图d。
§9-4 无剪力分配法 （2）放松结点。结点B即转动Z1角，同时也发生水平位移，如图d。 当上端转动时柱AB的剪力为0，处于纯弯曲受力状态，如图e。 与上端固定下端滑动同样角度时的受力和变形状态完全相同，如图f。 因而，可推知其劲度系数为i，传递系数为-1。

287 §9-4 无剪力分配法 在力矩的分配传递过程中，柱中原有的剪力保持不变而不增加新的剪力 —无剪力分配法。
§9-4 无剪力分配法 固定结点时：柱AB的剪力是静定的 。 放松结点时：柱B端的分配弯矩乘以-1传到A端， AB 杆的弯矩为常数而剪力为0。 在力矩的分配传递过程中，柱中原有的剪力保持不变而不增加新的剪力 —无剪力分配法。

288 §9-4 无剪力分配法 图a 所示刚架，各横梁均为无侧移杆，各竖柱均为剪力静定杆。只加刚臂阻止各结点的转动，不阻止其线位移，如图b。
§9-4 无剪力分配法 图a 所示刚架，各横梁均为无侧移杆，各竖柱均为剪力静定杆。只加刚臂阻止各结点的转动，不阻止其线位移，如图b。 此时，各层柱子两端均无转角，只有侧移。分析任一层柱子例如BC两端的相对侧移时，可将其看作是下端固定上端滑动。如图c

289 §9-4 无剪力分配法 推知：不论刚架有多少层，每一层柱子均可视为上端滑动下端固定的梁，
§9-4 无剪力分配法 推知：不论刚架有多少层，每一层柱子均可视为上端滑动下端固定的梁， 除了柱身承受本层荷载外，柱顶处还承受剪力，其值等于柱顶以上 各层所有水平荷载的代数和。 图d为放松结点c时的情形。 结点c转动角度θC，BC、CD两柱将产生相对侧移。 由平衡条件，两柱剪力均为0处于纯弯矩受力状态。 各柱的劲度系数取各自的线刚度i，传递系数为-1。 注意：汇交于结点c的各杆才产生变形而受；。 B以下各层无任何位移固不受力； D以上各层随D点一起运动，各杆两端无相对 侧移，故不受力。 放松结点C时，力矩的分配传递只在CB、CD、CF三杆范围内进行。放松其他结点时同理。

290 §9-4 无剪力分配法 例9-4 试用无剪力分配法计算图a所示刚架。 解： 各柱端的劲度系数=柱的线刚度。 计算固端弯矩，柱AC：
§9-4 无剪力分配法 例9-4 试用无剪力分配法计算图a所示刚架。 解： 各柱端的劲度系数=柱的线刚度。 计算固端弯矩，柱AC： 柱CE：除本层荷载外还有柱顶剪力10kN。 柱EG：除本层荷载外还有柱顶剪力20kN。

291 §9-4 无剪力分配法 计算分配系数，如图b。 整个计算过程如图b。 弯矩图如图c。

292 §9-4 无剪力分配法 例9-5 试作图a所示空腹梁（又称空腹桁架）的弯矩图，并求 结点F的竖向位移。
§9-4 无剪力分配法 例9-5 试作图a所示空腹梁（又称空腹桁架）的弯矩图，并求 结点F的竖向位移。 解： 将支座去掉以反力代替其作用， 利用对称性，将荷载和反力分解为 对x轴正、反对称两组。 正对称时：略去轴向变形影响，各杆弯矩皆为0； 反对称时：可用无剪力分配法求解，如图b。

293 §9-4 无剪力分配法 图b所示结构外力平衡，有确定的内力和变形，但可以有任意的刚体位移。假设H点不动，B点无水平位移，如图c。图c与图b受力相同。 取一半结构计算，如图d。 由于假设H点无水平位移，此时竖杆均为无侧移杆，所有横梁都是剪力静定杆→可用无剪力分配法求解。

294 §9-4 无剪力分配法 计算过程如图a。

295 §9-4 无剪力分配法 弯矩图如图b。 求F点的竖向位移时，静定的基本体系如图c。

296 §9-5 剪力分配法 适用于所有横梁为刚性杆、竖柱为弹性杆的框架结构。
§9-5 剪力分配法 适用于所有横梁为刚性杆、竖柱为弹性杆的框架结构。 图a所示排架的横梁为刚性二力杆，只有一个独立结点线位移Z1。为求此位移，将各柱顶截开，得隔离体如图b所示。 各柱顶剪力与柱顶水平位移Z1的关系可查表得

297 侧移刚度：即杆件发生单位侧移时，所产生的杆端剪力。 剪力分配法：利用剪力分配系数求柱顶剪力的方法。
§9-5 剪力分配法 令 侧移刚度：即杆件发生单位侧移时，所产生的杆端剪力。 将剪力代入平衡条件，可求出线位移 从而可得各柱顶剪力为 式中 剪力分配系数 各柱固定端的弯矩为 剪力分配法：利用剪力分配系数求柱顶剪力的方法。

298 §9-5 剪力分配法 图a所示结构，荷载作用在柱上。将结构分解为只有结点线位移和只有荷载q的单独作用，如图b、c所示。
§9-5 剪力分配法 图a所示结构，荷载作用在柱上。将结构分解为只有结点线位移和只有荷载q的单独作用，如图b、c所示。 图b中各柱的内力可查表得到，从而求出附加链杆上的反力F1。 图c可用剪力分配法进行计算。 原结构内力=图b结构的内力+图c结构的内力

299 §9-5 剪力分配法 由剪力分配系数求得各柱顶剪力； 各柱的杆端弯矩=柱顶剪力×h/2。 由剪力可确定各竖柱的弯矩。
§9-5 剪力分配法 图示结构只有一个独立结点线位移，可采用剪力分配法进行计算。各住的侧移刚度为 由剪力分配系数求得各柱顶剪力； 各柱的杆端弯矩=柱顶剪力×h/2。 图示结构由水平投影平衡条件可知，任一层的总剪力等于该层以上所有水平荷载的代数和，并按剪力分配系数分配到该层的各个柱顶。 由剪力可确定各竖柱的弯矩。

300 §9-5 剪力分配法 例9-6 试用剪力分配法求图a所示刚架竖柱的弯矩图。竖柱E 为常数。 解：为计算方便，设12EI/h3=1。
§9-5 剪力分配法 例9-6 试用剪力分配法求图a所示刚架竖柱的弯矩图。竖柱E 为常数。 解：为计算方便，设12EI/h3=1。 则上层各竖柱的侧移刚度为 D1=D2=D3=1 下层各竖柱（左到右）的侧移刚度为 上、下层各柱顶的剪力分配系数为

301 §9-5 剪力分配法 各竖柱弯矩求出后，确定刚性横梁的弯矩。 结点连接一根刚性横梁： 由结点的力矩平衡条件确定横梁在该结点的杆端弯矩。
§9-5 剪力分配法 各柱顶的剪力分别为 各柱端的弯矩分别为 各竖柱弯矩求出后，确定刚性横梁的弯矩。 结点连接一根刚性横梁： 由结点的力矩平衡条件确定横梁在该结点的杆端弯矩。 结点连接两根刚性横梁： 近似认为两根横梁的转动刚度相同，从而分配到相同的杆端弯矩。

302 §9-5 剪力分配法 实际结构： 横梁刚度并非无穷大，各柱的反弯点高度在不同处。当I梁/I柱>5时计算结果足够精确。
§9-5 剪力分配法 弯矩图如图b 实际结构： 横梁刚度并非无穷大，各柱的反弯点高度在不同处。当I梁/I柱>5时计算结果足够精确。 当I梁/I柱逐渐减小时： 底层柱的反弯点位置逐渐升高； 顶部层柱的反弯点位置逐渐降低； 中间各层柱的反弯点位置在中点附近。 剪力分配法的假设： 横梁刚度无穷大，各刚结点均无转角，各柱的反弯点在其高度一半处。

303 第十章 矩阵位移法 § 概述 § 单元刚度矩阵 § 单元刚度矩阵的坐标转换 § 结构的原始刚度矩阵 § 支承条件的引入 § 非结点荷载的处理 § 计算步骤和算例 § 几点补充说明

304 §10-1 概述 结构矩阵分析方法： 以传统结构力学为理论基础； 以矩阵作为数学表述形式； 以计算机作为计算手段。 结构矩阵分析的内容：
§10-1 概述 结构矩阵分析方法： 以传统结构力学为理论基础； 以矩阵作为数学表述形式； 以计算机作为计算手段。 结构矩阵分析的内容： （1）离散：将整个结构分解为有限个单元，分析单元内的内力与位 移的关系—单元分析； （2）集合：将单元按一定的条件集合成整体，满足原结构的几何条 件和平衡条件，求解原结构的位移和内力。

305 §10-2 单元刚度矩阵 一般单元 图a为等截面直杆：在结构中的编号为e，联结两个结点i、j。
§ 单元刚度矩阵 一般单元 图a为等截面直杆：在结构中的编号为e，联结两个结点i、j。 局部坐标系： 轴的正向—以i为原点，从i向j的方向； 轴的正向—以 轴的正向逆时针转90。。

306 给出六个杆端位移分量（杆上无荷载作用）→确定相应的六个杆端力分量
§ 单元刚度矩阵 杆端轴力 ：以同 轴正向指向为正； 杆端剪力 ：以同 轴正向指向为正。 杆端弯矩 ：以逆时针方向为正。 杆端力符号规定 杆端位移的符号规定与杆端力相同 给出六个杆端位移分量（杆上无荷载作用）→确定相应的六个杆端力分量 由图a、d，根据叠加原理可写出

307 § 单元刚度矩阵 可写出

308 § 单元刚度矩阵 写成矩阵形式 称为单元刚度方程，简写为

309 § 单元刚度矩阵 杆端位移列向量 杆端力列向量 单元刚度矩阵（简称单刚）

310 §10-2 单元刚度矩阵 单元刚度矩阵的性质 （1）对称性。单元刚度矩阵ke 是一个对称矩阵，即位于主
§ 单元刚度矩阵 单元刚度矩阵的性质 （1）对称性。单元刚度矩阵ke 是一个对称矩阵，即位于主 对角线两边对称位置的两个元素是相等的。 （2）奇异性。单元刚度矩阵ke 是奇异矩阵，将第1行（或 列）元素与第4行（或列）元素相加，则所得 的一行（或列）元素全为0。 表明矩阵相应的行列式等于0，其逆阵不存在。

311 § 单元刚度矩阵 平面桁架单元 单元刚度方程为 单元刚度矩阵为 写成4×4阶矩阵

312 §10-3 单元刚度矩阵的坐标转换 杆件i、j在整体坐标系Oxy中杆端力列向量、杆端位移列向量为
§ 单元刚度矩阵的坐标转换 杆件i、j在整体坐标系Oxy中杆端力列向量、杆端位移列向量为 整体坐标系（结构坐标系）：整个结构统一的坐标系。 由投影关系可得

313 § 单元刚度矩阵的坐标转换 写成矩阵形式有 坐标转换阵T 简写为

314 §10-3 单元刚度矩阵的坐标转换 等式两边同乘T-1得 可写为 式中 T是一个正交矩阵，有 单元刚度矩阵坐标转换公式
§ 单元刚度矩阵的坐标转换 等式两边同乘T-1得 可写为 式中 T是一个正交矩阵，有 单元刚度矩阵坐标转换公式 杆端位移之间的转换关系为 Ke：整体坐标系中的单 元刚度矩阵。 由 可得

315 §10-3 单元刚度矩阵的坐标转换 将单元刚度方程按端结点i、j 进行分块，可写为 单元刚度矩阵 ke的四个子块 每个子块都是3×3阶方阵
§ 单元刚度矩阵的坐标转换 将单元刚度方程按端结点i、j 进行分块，可写为 单元刚度矩阵 ke的四个子块 每个子块都是3×3阶方阵 式中 i端杆端力 j端杆端力 i端杆端位移 j端杆端位移 可得

316 § 单元刚度矩阵的坐标转换 图示平面桁架杆件，两端只承受轴力，整体坐标系中 由投影关系得坐标转换矩阵T为

317 §10-4 结构的原始刚度矩阵 整体分析的目的：建立求解基本未知量的结构刚度方程。
§ 结构的原始刚度矩阵 整体分析的目的：建立求解基本未知量的结构刚度方程。 图a所示刚架：单元结点编号如图a。整体坐标系和局部坐标系如图b。 各单元刚度矩阵的四个子块为

318 §10-4 结构的原始刚度矩阵 结构的结点位移列向量为 式中 与结点位移列向量对应的结点外力（荷载和反力）列向量为 式中
§ 结构的原始刚度矩阵 结构的结点位移列向量为 式中 与结点位移列向量对应的结点外力（荷载和反力）列向量为 式中 结点2、3处：结点外力F2、F3是给定的结点荷载； 支座1、4处：结点外力F1、F4是支座反力，如支座有给定结点荷 载，则F1、F4为结点荷载与支座反力的代数和。

319 § 结构的原始刚度矩阵 如图c，以结点2为例，由平衡条件可得 平衡条件 写成矩阵形式 可简写为 杆端力列向量用 杆端位移列向量表示

320 §10-4 结构的原始刚度矩阵 变形连续条件 将式b、c代入式a可得用结点位移表示的结点2的平衡方程：
§ 结构的原始刚度矩阵 将式b、c代入式a可得用结点位移表示的结点2的平衡方程： 变形连续条件 同理，对于结点1、3、4都可以列出类似的方程。汇集一起就有 写成矩阵形式

321 § 结构的原始刚度矩阵 写成矩阵形式 简写为 原始刚度方程 原始： 未进行支承条件处理。 结构原始刚度矩阵（总刚）

322 §10-4 结构的原始刚度矩阵 原始刚度矩阵K为 K的每一个子块都是3×3阶方阵，故K为12×12阶方阵。 每一元素的物理意义：
§ 结构的原始刚度矩阵 原始刚度矩阵K为 K的每一个子块都是3×3阶方阵，故K为12×12阶方阵。 每一元素的物理意义： 所在列对应的结点位移分量=1（其余位移分量均为0）时， 所在行对应的结点外力分量所应有的数值。

323 结构原始刚度矩阵K的组成规律：各单刚子块“对号入座”。
§ 结构的原始刚度矩阵 结构原始刚度矩阵K的性质 （1）对称性。由反力互等定理可得。 （2）奇异性。建立原始刚度方程时，没有考虑结构的支承约束条件。 结构原始刚度矩阵K的组成规律：各单刚子块“对号入座”。 k②= 以单元②的四个子块为例，其入座位置如图所示。 直接刚度法 某单刚子块 应放到总刚中第i行j列的位置上。利用坐标转换后的单刚子块对号入座而直接形成总刚的方法。

324 §10-4 结构的原始刚度矩阵 主子块：主对角线上的子块Kii； 副子块：其余子块Kij。 相关单元：同交于一个结点的各杆件；
§ 结构的原始刚度矩阵 主子块：主对角线上的子块Kii； 副子块：其余子块Kij。 相关单元：同交于一个结点的各杆件； 相关结点：两个结点之间有杆件直接相联。 总刚的形成 （1）主子块Kii是由结点i的各相关单元的主子块叠加求得 （2）副子块Kim，当i、m为相关结点时即为联结它们的单元的 相应副子块， ；当i、m为非相关结点时即为零子块。

325 §10-4 结构的原始刚度矩阵 例10-1 试求图中所示刚架的原始总刚度矩阵。各杆材料及截
§ 结构的原始刚度矩阵 例10-1 试求图中所示刚架的原始总刚度矩阵。各杆材料及截 面均相同，E=200GPa，I=32×10-5m4，A=1×10-2m2。 解：（1）编号：单元、结点，整体坐标、各单 元局部坐标如图所示。 （2）各单元刚度矩阵：在整体坐标系下。

326 §10-4 结构的原始刚度矩阵 单元①

327 § 结构的原始刚度矩阵 单元②和单元③

328 § 结构的原始刚度矩阵 （3）总刚：各单刚子块对号入座 总刚K为12×12阶的方阵。

329 §10-5 支承条件的引入 上节建立的刚架原始刚度方程为 上式中： F2、F3是已知的结点荷载，对应的Δ2、Δ3是待求的未知结点位移；
§ 支承条件的引入 上节建立的刚架原始刚度方程为 上式中： F2、F3是已知的结点荷载，对应的Δ2、Δ3是待求的未知结点位移； F1、F4是未知的支座反力，对应的Δ1、Δ4是已知的结点位移。 结点1、4为固定端，故支承约束条件为

330 §10-5 支承条件的引入 结构刚度方程 由矩阵的乘法运算可得 （a） 式中：F只包括已知结点荷载， Δ只包括未知结点位移。
§ 支承条件的引入 由矩阵的乘法运算可得 （a） 结构刚度方程 式中：F只包括已知结点荷载， Δ只包括未知结点位移。 K为结构的刚度矩阵， 或称缩减的总刚。 整体坐标系中杆端力计算式为 局部坐标系中杆端力计算式为 局部坐标系中杆端结点位移为 局部坐标系中杆端力计算式为

331 §10-6 非结点荷载的处理 等效结点荷载 等效：图a与图c结点位移是相等的。 图a的内力=图b的内力+图c的内力。
§ 非结点荷载的处理 图a所示刚架作用非结点荷载，利用叠加法将其进行分解，如图b、c。 图b：加上附加链杆和附加刚臂阻止所有结点的线位移 和角位移。此时各单元有杆端力（固端力），附 加链杆和附加刚臂上有附加反力和反力矩。 图c：取消附加链杆和附加刚臂，将图b的附加反力和 反力矩反号后作为荷载加在结点上。 等效结点荷载 等效：图a与图c结点位移是相等的。 图a的内力=图b的内力+图c的内力。

332 §10-6 非结点荷载的处理 计算过程 （1）单元e在局部坐标系中，非结点荷 整体坐标系中的固端力为 载作用下的固端力（查表）为
§ 非结点荷载的处理 计算过程 （1）单元e在局部坐标系中，非结点荷 载作用下的固端力（查表）为 整体坐标系中的固端力为 （2）等效结点荷载=固端力代数和的相反数。 任一结点i上等效结点荷载FEi将是

333 §10-6 非结点荷载的处理 （3）综合结点荷载Fi：FDi为直接作用在结点i上的荷载。 i点总的结点荷载为 整个结构的综合结点荷载列阵为
§ 非结点荷载的处理 （3）综合结点荷载Fi：FDi为直接作用在结点i上的荷载。 i点总的结点荷载为 整个结构的综合结点荷载列阵为 各单元最后杆端力为 局部坐标系中杆端力为 或

334 §10-7 矩阵位移法的计算步骤及示例 矩阵位移法的计算步骤 （1）编号：结点、单元，选定整体坐标系和局部坐标系。
§10-7 矩阵位移法的计算步骤及示例 矩阵位移法的计算步骤 （1）编号：结点、单元，选定整体坐标系和局部坐标系。 （2）单元分析：计算各杆的单元刚度矩阵。 （3）结构原始刚度矩阵：对号入座。 （4）荷载计算：固端力、等效结点荷载、综合结点荷载。 （5）引入支承条件：修改结构原始刚度方程。 （6）解算结构刚度方程：求出结点位移。 （7）计算各单元杆端力。

335 §10-7 矩阵位移法的计算步骤及示例 例10-2 试求图示刚架的内力。已知E=200GPa，I=32×10-5m4，
§10-7 矩阵位移法的计算步骤及示例 例10-2 试求图示刚架的内力。已知E=200GPa，I=32×10-5m4， A=1×10-2m2。 解：（1）单元结点编号，确定坐标系如图。 （2）单元刚度矩阵，见例10-1。 （3）对号入座→结构原始刚度矩阵，见例10-1。 （4）各单元固端力、等效结点荷载、综合结点荷载计算。

336 §10-7 矩阵位移法的计算步骤及示例 单元① 单元②③ 坐标转换，求出各单元整体坐标系中的固端力。

337 §10-7 矩阵位移法的计算步骤及示例 结点2、3上的等效结点荷载为 结构的结点外力列向量为 结点2、3上的综合结点荷载为

338 §10-7 矩阵位移法的计算步骤及示例 原始刚度矩阵中删去与零位移对应的行和列 结点位移列向量中删去相应的行 结点外力列向量中删去相应的行
§10-7 矩阵位移法的计算步骤及示例 （5）引入支承条件，修改原始刚度方程。 已知 原始刚度矩阵中删去与零位移对应的行和列 结点位移列向量中删去相应的行 结点外力列向量中删去相应的行 得到修改后的结构刚度方程为

339 §10-7 矩阵位移法的计算步骤及示例 修改原始刚度方程

340 §10-7 矩阵位移法的计算步骤及示例 （6）解方程，求得未知结点位移为 单元② （7）计算各单元杆端力 单元①

341 §10-7 矩阵位移法的计算步骤及示例 单元③ 刚架的弯矩图如图所示

342 §10-7 矩阵位移法的计算步骤及示例 例10-3 试用矩阵位移法计算图示桁架的内力。各杆EA均相同。 解：结点、单元编号，选定整体坐标
§10-7 矩阵位移法的计算步骤及示例 例10-3 试用矩阵位移法计算图示桁架的内力。各杆EA均相同。 解：结点、单元编号，选定整体坐标 系如图。 局部坐标系：由i→j，设定i<j 各单元刚度矩阵的子块为

343 §10-7 矩阵位移法的计算步骤及示例

344 §10-7 矩阵位移法的计算步骤及示例 将各单元刚度矩阵的子块对号入座→总刚（略）。
§10-7 矩阵位移法的计算步骤及示例 将各单元刚度矩阵的子块对号入座→总刚（略）。 支承条件为：u1=v1=v6=0，原始刚度方程中去掉与零位移对应 的行与列，得到结构的刚度方程为 解方程得

345 §10-7 矩阵位移法的计算步骤及示例 计算各杆内力，如

346 §10-7 几点补充说明 1、结点位移分量的编号，单元定位向量 刚架单元、结点和结点位移分量编号如图所示，他们的对应关系如表所列。
§10-7 几点补充说明 1、结点位移分量的编号，单元定位向量 刚架单元、结点和结点位移分量编号如图所示，他们的对应关系如表所列。 结点位移分量编号也是结点外力分量的编号，二者一一对应。 单 元 始末端结点号 i j 结点位移分量编号（单元定位向量） ui vi uj vj ① ② ③ 2 3

347 §10-7 几点补充说明 这6个号码称为单元定位向量。 单元②的单刚元素 的入座位置如图。 单元②的定位向量是
§10-7 几点补充说明 单元②的单刚元素 的入座位置如图。 单元②的定位向量是 一个平面刚架的一般单元有6个杆端结点位移分量编号，根据这6个号码，其单刚的36个元素才能确定在总刚的位置。 这6个号码称为单元定位向量。

348 §10-7 几点补充说明 2、总刚的带宽与存储方式 当刚架的所有结点都是刚结点时，每个结点的位移分量数均为3，
§10-7 几点补充说明 当刚架的所有结点都是刚结点时，每个结点的位移分量数均为3， 结点i的3个位移分量ui、 vi、 依次编号为3i-2、 3i-1、 3i。 2、总刚的带宽与存储方式 稀疏矩阵：有大量零元素的矩阵。 带状矩阵：总纲中的非零元素通常集中在主对角线附近的斜带形区域 内，如图所示。 行（列）带宽： 每行（列）从主对角线元素起到该行（列）最外一个非零元素止所包含的元素个数。 行（列）带宽=该行（列）结点位移分量号 -最小相关结点位移分量号+1 最大带宽：所有各行（列）带宽中的最大值 最大带宽=相关结点位移分量号的最大差值+1

349 §10-7 几点补充说明 满阵存储：将总刚的全部元素存储起来。 等带宽存储：对称带状矩阵，只存储其下半带（或上半带）在最大带宽
§10-7 几点补充说明 满阵存储：将总刚的全部元素存储起来。 等带宽存储：对称带状矩阵，只存储其下半带（或上半带）在最大带宽 范围内的元素。 最大带宽愈大，存储量也愈大。 对结点编号时，应力求使相关结点编号的最大差值为最小。如图a、b。 图b的编号优于图a的编号。 对矩形刚架，应沿短边（结点少的边）方向顺次编号。

350 §10-7 几点补充说明 3、关于支承条件的引入 设δj=Cj（含Cj=0） Kjj改为N（充分大的数） 外力列向量中的Fj换为NCj
§10-7 几点补充说明 3、关于支承条件的引入 删去对应零位移的行和列—引入支承条件：改变总刚原来的行列编号 不方便电算 （1）置大数法：设结构的原始刚度方程（按元素表示）为 设δj=Cj（含Cj=0） Kjj改为N（充分大的数） 外力列向量中的Fj换为NCj (a)式中第j个方程成为 可精确解出δj=Cj 支承条件

351 §10-7 几点补充说明 设δj=Cj（含Cj=0）， Kjj=1 j行和j列的其他元素均改为零； 外力列向量中的Fj改为Cj，
§10-7 几点补充说明 （2）划零置一法 设δj=Cj（含Cj=0）， Kjj=1 j行和j列的其他元素均改为零； 外力列向量中的Fj改为Cj， 其余分量Fi改为Fi－KijCj 修改后的方程组成为 精确方法 第j个方程为 可得δj=Cj 支承条件

352 §10-7 几点补充说明 4、铰结点的处理 方法一：引用具有铰结端的单元刚度矩阵。 方法二：将各铰结端的转角作为基本未知量求解。
§10-7 几点补充说明 4、铰结点的处理 方法一：引用具有铰结端的单元刚度矩阵。 方法二：将各铰结端的转角作为基本未知量求解。 图a的结点位移分量编号与结点编号i之间没有3i-2、3i-1、3i的关系。 图b将增加的转角未知量（单元②的2端转角）最后编号，可保持如上关系。 可能使总纲中某些行（列）的带宽变大。

353 §10-7 几点补充说明 5、先处理支承条件及忽略轴向变形影响 后处理法：先形成总刚，再处理支承条件的方法。
§10-7 几点补充说明 5、先处理支承条件及忽略轴向变形影响 后处理法：先形成总刚，再处理支承条件的方法。 先处理法：先考虑支承条件，直接形成缩减的总刚的方法。 如图所示刚架，将已知的结点位移分量编号均用0表示。 括号内编号顺序：结点水平位移 竖向位移 角位移 单刚中与0对应的行和列的元素不送入总刚，便可直接形成缩减的总刚。

354 §10-7 几点补充说明 忽略轴向变形时：各结点线位移不再全部独立。如图 只对独立的结点线位移编号，结点线位移分量相等者编号亦相同。
§10-7 几点补充说明 忽略轴向变形时：各结点线位移不再全部独立。如图 只对独立的结点线位移编号，结点线位移分量相等者编号亦相同。 当有斜杆时，这样处理并不方便。 处理方法 将每个结点位移分量均作独立未知量求解， 把杆件的截面面积A输为很大的值（比实际面积大103~106倍）。

355 第十一章 影响线及其应用 §11-1 概述 §11-2 用静力法作单跨静定梁的影响线 §11-3 间接荷载作用下的影响线
第十一章 影响线及其应用 §11-1 概述 §11-2 用静力法作单跨静定梁的影响线 §11-3 间接荷载作用下的影响线 §11-4 用机动法作但跨静定梁的影响线 §11-5 多跨静定梁的影响线 §11-6 桁架的影响线 §11-7 利用影响线求量值 §11-8 铁路和公路的荷载标准值

356 第十一章 影响线及其应用 §11-9 最不利荷载位置 §11-10 换算荷载 §11-11 简支梁的绝对最大弯矩
第十一章 影响线及其应用 §11-9 最不利荷载位置 § 换算荷载 § 简支梁的绝对最大弯矩 § 简支梁的包络图 § 超静定结构影响线作法概述 § 连续梁的均布荷载最不利位置及包络图

357 §11-1 概 述 移动荷载—荷载作用点在结构上是移动的。如行驶的列车等。 影响线—当一个指向不变的单位集中荷载沿结构移动时，表示
§11-1 概 述 移动荷载—荷载作用点在结构上是移动的。如行驶的列车等。 影响线—当一个指向不变的单位集中荷载沿结构移动时，表示 某一指定量变化规律的图形称为该量值的影响线。 如图所示，当汽车由左向右移动时，反力FA将逐渐减小，FB将逐渐增大。 图a所示简支梁，当F=1分别移动到 A、1、2、3、B各等分点时，反力FA 的数值为：1、3/4、1/2、1/4、0。 横坐标：荷载F=1的位置 纵坐标：反力FA的数值 图b即为FA的影响线。

358 §11-2 用静力法作单跨静定梁的影响线 静力法：以横坐标x表示荷载作用点的位置，由平衡方程求出
§11-2 用静力法作单跨静定梁的影响线 静力法：以横坐标x表示荷载作用点的位置，由平衡方程求出 所求量值与x之间的函数关系即影响线方程，从而作 出影响线。 1 简支梁的影响线 （1）反力（向上为正）影响线 由平衡条件∑MB=0可得 ∑MA=0可得 FA、FB的影响线如图b、c所示。是量纲一的量。

359 §11-2 用静力法作单跨静定梁的影响线 （2）弯矩（下侧受拉为正）影响线 MC影响线如图b。其量纲为长度量纲。
§11-2 用静力法作单跨静定梁的影响线 （2）弯矩（下侧受拉为正）影响线 F=1在AC段时 F=1在CB段时 MC影响线如图b。其量纲为长度量纲。 （2）剪力（绕隔离体顺时针转为正） 影响线 F=1在AC段时 F=1在CB段时 FSC影响线如图c。是量纲一的量。

360 §11-2 用静力法作单跨静定梁的影响线 2 伸臂梁的影响线 （1）反力影响线：坐标如图 （2）跨内部分截面内力的 影响线
§11-2 用静力法作单跨静定梁的影响线 2 伸臂梁的影响线 （1）反力影响线：坐标如图 （2）跨内部分截面内力的 影响线 F=1在DC段移动时 F=1在CE段移动时 影响线如图b、c、d、e。

361 §11-2 用静力法作单跨静定梁的影响线 （3）伸臂部分截面内力影响线 影响线如图b、c。 （4）支座处截面的剪力影响线 以支座A为例。
§11-2 用静力法作单跨静定梁的影响线 （3）伸臂部分截面内力影响线 F=1在DK段移动时 F=1在KE段移动时 影响线如图b、c。 （4）支座处截面的剪力影响线 以支座A为例。 支座A左侧截面的剪力 在伸臂部分。 支座A右侧截面的剪力 在跨内部分。 影响线如图d、e。

362 §11-3 间接荷载作用下的影响线 图a为桥梁结构中的纵横梁桥面系统及主梁图。 荷载作用在纵梁上→横梁→主梁—间接荷载或结点荷载。
§11-3 间接荷载作用下的影响线 图a为桥梁结构中的纵横梁桥面系统及主梁图。 荷载作用在纵梁上→横梁→主梁—间接荷载或结点荷载。 荷载F=1移动到各结点处时，与荷载直接作用在主梁上时相同，可先作出直接荷载作用下主梁MC 影响线如图b。 F=1在任意相邻两结点D、E间移动时，根据影响线的定义和叠加原理，MC 的值为 DE段的影响线即为yD和yE的连线，如图c。 在DE段内MC为直线图形

363 §11-3 间接荷载作用下的影响线 间接荷载作用下影响线的作法 （1）作出直接荷载作用下所求量值的影响线。
§11-3 间接荷载作用下的影响线 间接荷载作用下影响线的作法 （1）作出直接荷载作用下所求量值的影响线。 （2）取各结点处的竖标，将其顶点在每一纵梁范 围内连直线。

364 §11-4 用机动法作单跨静定梁的影响线 机动法作影响线的依据：刚体体系的虚位移原理。 作图a所示简支梁FA的影响线。
§11-4 用机动法作单跨静定梁的影响线 机动法作影响线的依据：刚体体系的虚位移原理。 作图a所示简支梁FA的影响线。 去掉A处的支座链杆，用正向的FA代替。如图b。 原结构变成几何可变体系。使刚片AB绕B作微小转动。如图b。 由刚体的虚位移原理，体系的虚功方程为 δA是常数，δP为荷载所在位置的竖向虚位移图。 FA的影响线如图c 令δA=1

365 §11-4 用机动法作单跨静定梁的影响线 机动法作影响线的步骤 （1）去掉与某一量值S相应的联系。
§11-4 用机动法作单跨静定梁的影响线 机动法作影响线的步骤 （1）去掉与某一量值S相应的联系。 （2）使所得体系沿S的正方向发生单位位移。 （3）由此得到的荷载作用点的竖向位移图即代表S影响线。

366 §11-4 用机动法作单跨静定梁的影响线 机动法作图a所示简支梁截面C弯矩和剪力的影响线。
§11-4 用机动法作单跨静定梁的影响线 机动法作图a所示简支梁截面C弯矩和剪力的影响线。 作弯矩MC影响线时，去掉与MC相应的联系，将截面C处改为铰结。 使AC、BC两刚片沿MC的正方向发生虚位移，如图b。 体系的虚功方程为 令α+β=1，则所得竖向虚位移图即为MC影响线。如图c。

367 §11-4 用机动法作单跨静定梁的影响线 作剪力FSC影响线时，去掉与FSC相应的联系，将截面C处改为用两根水平链杆相联。
§11-4 用机动法作单跨静定梁的影响线 作剪力FSC影响线时，去掉与FSC相应的联系，将截面C处改为用两根水平链杆相联。 使体系沿FSC的正方向发生虚位移，如图d。 体系的虚功方程为 可得 令CC1+CC2=1，虚位移图中AC1和C2B应为两条平行线影响线。FSC影响线如图e。

368 §11-5 多跨静定梁的影响线 作图a所示多跨静定梁MK的影响线，图b为其层叠图。 F=1在CE段移动时，MK=0，只考虑荷载在CF段移动。
§11-5 多跨静定梁的影响线 作图a所示多跨静定梁MK的影响线，图b为其层叠图。 F=1在CE段移动时，MK=0，只考虑荷载在CF段移动。 荷载在EF段移动时的计算如图c。 荷载在CE段移动时的计算同伸臂梁。 MK的影响线如图d。

369 §11-5 多跨静定梁的影响线 多跨静定梁任一反力或内力影响线的作法 （1）F=1在量值本身所在梁段上移动时，量值影响线与相应
§11-5 多跨静定梁的影响线 多跨静定梁任一反力或内力影响线的作法 （1）F=1在量值本身所在梁段上移动时，量值影响线与相应 单跨静定梁相同。 （2）F=1在对于量值所在部分来说是基本部分的梁段上移动 时，量值为0。 （3） F=1在对于量值所在部分来说是附属部分的梁段上移动 时，量值影响线为直线。 由此可作出FF和 影响线如图e、f。

370 §11-6 桁架的影响线 1、力矩法 结点1、2之间连以直线，FN12影响线如图c。 图a所示桁架荷载F=1沿下弦移动。
§11-6 桁架的影响线 1、力矩法 图a所示桁架荷载F=1沿下弦移动。 求下弦杆1-2的内力影响线。作截面I-I。 F=1在A、1间移动时，取右部分为隔离体 F=1在2、B间移动时，取左部分为隔离体 结点1、2之间连以直线，FN12影响线如图c。

371 §11-6 桁架的影响线 结点1、2之间连以直线，Fx45影响线如图d。
§11-6 桁架的影响线 求4-5杆内力影响线。取截面I-I。将杆轴力在K点分解为水平和竖向分力。 F=1在A、1间移动时，取右部分为隔离体 F=1在2、B间移动时，取左部分为隔离体 结点1、2之间连以直线，Fx45影响线如图d。 可得 为相应简支梁矩心1处的弯矩 则

372 §11-6 桁架的影响线 结点1、2之间连以直线，Fy15影响线如图e。
§11-6 桁架的影响线 求1-5杆内力影响线。取截面I-I。将杆轴力在O点分解为水平和竖向分力。 F=1在A、1间移动时，取右部分为隔离体 F=1在2、B间移动时，取左部分为隔离体 结点1、2之间连以直线，Fy15影响线如图e。

373 §11-6 桁架的影响线 2、投影法 结点1、2之间连以直线，Fy25影响线如图f。 Fy25可合并为
§11-6 桁架的影响线 2、投影法 求2-5杆内力影响线。取截面II-II。 F=1在A、1间移动时，取右部分为隔离体 F=1在2、B间移动时，取左部分为隔离体 结点1、2之间连以直线，Fy25影响线如图f。 Fy25可合并为 是相应简支梁节间1-2中任意截面的剪力

374 §11-6 桁架的影响线 3、结点法 FyA4影响线如图g 注意： 荷载在上弦移动时，量值影响线是不同的。
§11-6 桁架的影响线 求1-4杆内力影响线。取结点A为隔离体。 3、结点法 F=1不在结点A，在1、B间移动时 FyA4影响线如图g F=1作用在结点A时 注意： 荷载在上弦移动时，量值影响线是不同的。

375 §11-6 桁架的影响线 例11-1 试求图a所示桁架竖杆a的内力影响线，荷载沿下弦移动。
§11-6 桁架的影响线 例11-1 试求图a所示桁架竖杆a的内力影响线，荷载沿下弦移动。 解：（1）作b杆内力影响线。由结点K的平衡条件Fxb=-Fxd。 作I-I截面，F=1在结点0、2间移动时Fyb=FB/2 作I-I截面，F=1在结点3、6间移动时Fyb=-FA/2 节间部分以直线相连，Fyb影响线如图b。

376 §11-6 桁架的影响线 （2）作c杆内力影响线。 Fyc影响线如图c。 （3）作a杆内力影响线。由结点3’的平衡 FNa影响线如图d。

377 §11-7 利用影响线求量值 荷载作用于已知位置时，利用影响线求量值 1、集中荷载作用
§11-7 利用影响线求量值 荷载作用于已知位置时，利用影响线求量值 1、集中荷载作用 设量值S影响线如图所示。n 个竖向集中荷载作用位置如图， 相应影响线上的竖标为y1， y2， …，yn。 根据叠加原理，当有若干个集中荷载作用时，所产生的S值为

378 §11-7 利用影响线求量值 当n 个竖向集中荷载作用在影响线某一段直线范围内时，如图。 为简化计算，可用它们的合力来代替。
§11-7 利用影响线求量值 当n 个竖向集中荷载作用在影响线某一段直线范围内时，如图。 为简化计算，可用它们的合力来代替。 x—合力作用点的位置。 y—合力作用点对应的影响线 竖标。

379 §11-7 利用影响线求量值 1、分布荷载作用 每一微段dx上的荷载qxdx可作为一集中荷载，如图。 故在ab区段内的分布荷载所产生的量值S为 若qx为均布荷载（如图），则在ab区段内的分布荷载所产生的量值S为 Aω为影响线在均布荷载范围ab内的面积。

380 §11-8 铁路和公路的标准荷载制 中—活载：我国铁路桥涵设计使用的标准荷载。 普通活载：如图a； 特种活载：如图b。
§11-8 铁路和公路的标准荷载制 中—活载：我国铁路桥涵设计使用的标准荷载。 普通活载：如图a； 特种活载：如图b。 代表一台蒸汽机车的五个轴重。 代表煤水车和与之连挂的另一台机车及煤水车的平均重量。 代表车辆的平均重量。 代表某些机车、车辆的较大轴重。

381 §11-8 铁路和公路的标准荷载制 我国公路桥涵设计使用的标准荷载：计算荷载、验算荷载 计算荷载有四个等级，如图所示。
§11-8 铁路和公路的标准荷载制 我国公路桥涵设计使用的标准荷载：计算荷载、验算荷载 计算荷载有四个等级，如图所示。 各车辆之间距离不得小于图示距离。 验算荷载见有关规范。

382 §11-9 最不利荷载位置 最不利荷载位置： 使某一量值发生最大（或最小）值的荷载位置。 可以任意断续布置的均布荷载，最不利荷载位置为
§11-9 最不利荷载位置 最不利荷载位置： 使某一量值发生最大（或最小）值的荷载位置。 可以任意断续布置的均布荷载，最不利荷载位置为 只有一个荷载作用时，最不利荷载位置为

383 §11-9 最不利荷载位置 行列荷载：一系列间距不变的移动集中荷载（包括均布荷载） 某量值S影响线如图a所示。
§11-9 最不利荷载位置 行列荷载：一系列间距不变的移动集中荷载（包括均布荷载） 某量值S影响线如图a所示。 一组集中荷载处在图b所示位置。 FR1、FR2等为每一段直线范围内荷载的合力。 整个荷载组向右移动一微小距离△x时，相应的量值S2为 S的增量为

384 §11-9 最不利荷载位置 写为变化率的形式 使S成为极大的条件是： 荷载自该位置向左或向右移动微小距离，S均将减小，△S<0。
§11-9 最不利荷载位置 写为变化率的形式 使S成为极大的条件是： 荷载自该位置向左或向右移动微小距离，S均将减小，△S<0。 荷载左移时△x<0，荷载右移时△x>0 ，故S为极大时应有 当荷载向左、右移动时， ∑FRitanαi必须由正变负。 当荷载向左、右移动时，∑FRitanαi由负变正，S在该位置有极小值，S为极小时应有 当荷载向左、右移动△x时， ∑FRitanαi必须变号，S才有可能是极值。

385 §11-9 最不利荷载位置 ∑FRitanαi如何变号？ tanαi—影响线各段直线的斜率，是常数。
§11-9 最不利荷载位置 ∑FRitanαi如何变号？ tanαi—影响线各段直线的斜率，是常数。 ∑FRitanαi变号—必须是各段上的合力FRi的数值发生改变。 当有一个集中荷载恰好作用在影响线的某一 顶点（转折点）处时，才有可能。 临界荷载：使∑FRitanαi变号的集中荷载。 临界位置：使∑FRitanαi变号的荷载位置。 临界位置判别式

386 §11-9 最不利荷载位置 例11-2 试求图a所示简支梁在中—活载作用下截面K的最大弯矩。 解：作MK影响线如图b。
§11-9 最不利荷载位置 例11-2 试求图a所示简支梁在中—活载作用下截面K的最大弯矩。 解：作MK影响线如图b。 （1）列车由右向左开行 将轮4置于D点试算如图c： 右移：∑FRitanαi<0 左移：∑FRitanαi<0 轮4在D点不是临界位置。将轮2置于C点如图d 右移：∑FRitanαi<0 左移：∑Fritanαi>0 轮2在C点为一临界位置

387 §11-9 最不利荷载位置 （2）列车由左向右开 行，将轮4置于D点试 算如图e： 右移：∑FRitanαi<0
§11-9 最不利荷载位置 （2）列车由左向右开 行，将轮4置于D点试 算如图e： 右移：∑FRitanαi<0 左移：∑Fritanαi>0 轮4在D点为一临界位置 （3）比较可知，图d为最不利荷载位置，截面K的最大弯矩为

388 §11-9 最不利荷载位置 设临界荷载Fcr处于三角形影响线的顶点。 FRa—Fcr以左荷载的合力 FRb—Fcr以右荷载的合力
§11-9 最不利荷载位置 设临界荷载Fcr处于三角形影响线的顶点。 FRa—Fcr以左荷载的合力 FRb—Fcr以右荷载的合力 可写出如下不等式 将tanα=h/a和tanβ=h/b代入，得 三角形影响线的判别式

389 §11-9 最不利荷载位置 均布荷载跨过三角形影响线的顶点。由 确定临界位置，此时 可得 左、右两边平均荷载相等

390 §11-9 最不利荷载位置 竖标有突变的影响线，判别式不再适用。由直观判定最不利荷载位置。
§11-9 最不利荷载位置 竖标有突变的影响线，判别式不再适用。由直观判定最不利荷载位置。 如图，对于中—活载，显然第一轮位于影响线顶点时所产生的S值最大，故为最不利荷载位置。 如图，吊车荷载F1=F2>F3=F4， 需将F1、F2分别置于影响线突变的正号竖标处，求出量值S。 其中最大S值对应的荷载位置即为使S为最大值的最不利荷载位置。

391 §11-9 最不利荷载位置 例11-3 图a所示简支吊车梁，受到两台吊车荷载作用，已知
§11-9 最不利荷载位置 例11-3 图a所示简支吊车梁，受到两台吊车荷载作用，已知 F1=F2=115kN，F3=F4=155kN。试求C截面的最大弯矩。 解：作MC影响线如图b所示。 将F2置于C点如图c。试算有 两者均为临界位置 将F3置于C点如图d。试算有 图c临界位置对应的 C截面最大弯矩 图d临界位置对应的

392 §11-10 换算荷载 换算荷载：所产生的某一量值与所给移动荷载产生的该量值的 最大值Smax相等的均布荷载K。即 Aω—量值S影响线的面积
§ 换算荷载 换算荷载：所产生的某一量值与所给移动荷载产生的该量值的 最大值Smax相等的均布荷载K。即 Aω—量值S影响线的面积 换算荷载可查表，使用时应注意： （1）加载长度（荷载长度）l指同符号影响线长度。 （2）αl是顶点至较近零点的水平距离，α=0~0.5。 （3）K值可按直线内插法求得。

393 §11-11 简支梁的绝对最大弯矩 确定简支梁绝对最大弯矩：绝对最大弯矩发生的截面？ 此截面发生最大弯矩时的荷载位置。
§ 简支梁的绝对最大弯矩 确定简支梁绝对最大弯矩：绝对最大弯矩发生的截面？ 此截面发生最大弯矩时的荷载位置。 绝对最大弯矩一定发生在某一集中荷载作用点处的截面上。 设FK为发生绝对最大弯矩的临界荷载，FR为梁上荷载的合力。 FK作用点截面的弯矩为 由极值条件 MK—FK以左梁上荷载对FK作用 点的力矩总和，为常数。 得 FK与FR的位置对称于梁的中点时，FK所在截面的弯矩达到最大。

394 § 简支梁的绝对最大弯矩 最大弯矩为 若FR位于FK的左边，则式中a/2前的减号改为加号。计算中采用使简支梁中点截面产生最大弯矩的临界荷载作为FK。 计算绝对最大弯矩的步骤 （1）确定使梁中点截面发生最大弯矩的临界荷载FK； （2）使FK与FR的位置对称于梁的中点； （3）计算FK作用点截面的弯矩，即为绝对最大弯矩Mmax。

395 §11-11 简支梁的绝对最大弯矩 例11-5 试求图a所示简支梁在汽车—10级作用下的绝对最大 弯矩，并与跨中截面最大弯矩比较。
§ 简支梁的绝对最大弯矩 例11-5 试求图a所示简支梁在汽车—10级作用下的绝对最大 弯矩，并与跨中截面最大弯矩比较。 解：（1）求跨中截面C的最大弯矩 作MC的影响线如图b。 显然临界荷载为100kN，如图a。 MC 最大值为 （2）求绝对最大弯矩 梁上合力为 临界荷载100kN与FR的距离 100kN与FR对称于梁的中点，如图c。

396 内力包络图：联结各截面的最大、最小内力的图形。
§ 简支梁的包络图 内力包络图：联结各截面的最大、最小内力的图形。 设：q —为梁承受的均布荷载；K—活载的换算均布荷载； Aω+、Aω-、∑Aω—某一内力S影响线的正、负面积 及总面积。 在恒载和活载共同作用下，该内力的最大、最小值为

397 §11-12 简支梁的包络图 例11-6 一跨度为16m的单线铁路钢筋混凝土简支梁桥，有两片
§ 简支梁的包络图 例11-6 一跨度为16m的单线铁路钢筋混凝土简支梁桥，有两片 梁，恒载为q=2×54.1kN/m，承受中—活载，冲击系数 1+μ=1.261。试绘制一片梁的弯矩和剪力包络图。 解：将梁分成8等分，计算各 等分点截面面的最大、最 小弯矩和剪力。如图a。 1 作各截面的弯矩、剪力影响线。 2 由(a)式计算最大、最小内力。 3 作弯矩包络图如图b。

398 § 简支梁的包络图 4 作剪力包络图如图c。 实用中，只求出梁端和跨中的最大、最小剪力，连以直线，既可作为近似的剪力包罗图。如图d。

399 §11-13 超静定结构影响线作法概述 试求图a所示超静定梁右端支座反力影响线。 1、静力法 以该支座为多余联系，取基本体系如图b。
§ 超静定结构影响线作法概述 试求图a所示超静定梁右端支座反力影响线。 1、静力法 以该支座为多余联系，取基本体系如图b。 由力法典型方程可得 作M1、MP图如图c、d，由图乘法得 δ1P是位置x的函数，其图形便是基本结构右端沿X1方向的位移影响线。 X1影响线如图e。

400 § 超静定结构影响线作法概述 2、机动法 由位移互等定理 δ1P是基本结构在移动荷载F=1作用下沿X1方向的位移影响线。 δP1是基本结构在固定荷载X1=1作用下沿F=1方向的位移。因F=1是移动的，故δP1就是基本结构在X1=1作用下的竖向位移图。如图c。 此位移图δP1除以常数δ11并反号便是X1影响线。如图d。 利用基本结构δP1影响线 求超静定结构X1影响线

401 §11-13 超静定结构影响线作法概述 X1影响线的作法与静定结构影响线的机动法是类似的。不同之处：超静定结构的位移图是曲线形的。
§ 超静定结构影响线作法概述 X1影响线的作法与静定结构影响线的机动法是类似的。不同之处：超静定结构的位移图是曲线形的。 图a所示n次超静定连续梁， 求反力XK影响线。 去掉相应联系用反力代替， 得到（n-1）次超静定结构如图b。 建立力法典型方程 由位移互等定理 可得 δPK为基本结构在XK=1作用下的竖向位移图 将位移图δPK的竖标除以常数δKK并反号，便是所求XK影响线，如图d。

402 §11-13 超静定结构影响线作法概述 δKK 、δPK：（n-1）次超静定结构的位移，计算较为麻烦。
§ 超静定结构影响线作法概述 δKK 、δPK：（n-1）次超静定结构的位移，计算较为麻烦。 若只需了解影响线的大致形状，则凭直观可勾绘出位移图δPK的轮廓如图c，这就是XK影响线的形状。 求图a所示连续梁Mi、Ma、FSa影响线形状。 分别解除与各力相应的联系，加上正向的多余未知力。绘出结构的位移图，就是所求各力影响线的形状。如图b、c、d。

403 连续梁在均布活载作用下内力最不利荷载位值的确定
§ 连续梁的均布荷载最不利位置及包络图 连续梁在均布活载作用下内力最不利荷载位值的确定 确定图a所示连续梁各量值影响线轮廓及相应的最不利荷载位置。 （1）作各量值影响线轮廓。 （2）由S=qAω 当荷载q布满影响线正号面积部分时，S产生最大值；反之，S产生最小值。如图。

404 § 连续梁的均布荷载最不利位置及包络图 连续梁各截面内力影响线大多是在某一跨内不变号的。因此，相应最大、最小值的最不利荷载位置，大多是在若干跨内布满荷载。 例11-7 图a所示三跨等截面连续梁，承受恒载q、活载p。试作 其弯矩包络图及剪力包络图。 解： （1）作恒载q作用下的 弯矩图如图b。 （2）作各跨分别承受 活载p时的弯矩图 如图c、d、e。

405 §11-14 连续梁的均布荷载最不利位置及包络图 将图b中的竖标与图c、d、e中对应的正（负）值竖标相加，即得最大（小）弯矩值。如支座1处
§ 连续梁的均布荷载最不利位置及包络图 将图b中的竖标与图c、d、e中对应的正（负）值竖标相加，即得最大（小）弯矩值。如支座1处 将各跨分为四等分，算出各等分点的最大、最小弯矩值，即得弯矩包络图如图f。

406 §11-14 连续梁的均布荷载最不利位置及包络图 （3）作恒载q作用时的剪力 图如图a。 （4）作各跨分别承受活载p时
§ 连续梁的均布荷载最不利位置及包络图 （3）作恒载q作用时的剪力 图如图a。 （4）作各跨分别承受活载p时 的剪力图如图b、c、d。 将图a中的竖标与图b、c、d中对应的正（负）值竖标相加，即得最大（小）剪力值。如支座1左侧截面 设计中主要用到支座附近截面上的剪力，因此只求出各支座两侧截面上的最大、最小剪力，每跨中近似用直线相连，作为剪力包络图如图e。

407 §11-14 连续梁的均布荷载最不利位置及包络图 图a为刚架某跨中截面C的弯矩MC影响线形状。
§ 连续梁的均布荷载最不利位置及包络图 图a为刚架某跨中截面C的弯矩MC影响线形状。 求该截面最大弯矩时的加载情况如图b所示（求最大负弯矩则应在其余各跨加载）。 计算过程与求连续梁在均布荷载下的包络图相同。 逐跨加载组合法

408 第十二章 结构的极限荷载 §12-1 概述 §12-2 极限弯矩和塑性铰·破坏机构·静定梁的计算 §12-3 单跨静定梁的极限荷载
§ 极限弯矩和塑性铰·破坏机构·静定梁的计算 §12-3 单跨静定梁的极限荷载 §12-4 比例加载时有关极限荷载的几个定理 §12-5 计算极限荷载的穷举法和试算法 §12-6 连续梁的极限荷载 §12-7 刚架的极限荷载 §12-8 矩阵位移法求刚架极限荷载的概念

409 §12-1 概述 1、弹性分析方法 把结构当作理想弹性体，用容许应力法计算结构的强度。 其强度条件为 2、塑性分析方法
σmax—结构的实际最大应力；[σ]—材料的容许应力； σu—材料的极限应力； k—安全系数。 2、塑性分析方法 按极限荷载计算结构强度，以结构进入塑性阶段并最后丧失 承载能力时的极限状态作为结构破坏的标志。强度条件为 F—结构实际承受的荷载；Fu—极限荷载； K—安全系数。

410 §12-1 概述 OA段：材料是理想弹性的，应力 与应变成正比。 AB段：材料是理想塑性的，应力不 变，应变可以任意增长。
CD段：应力减为零时，有残余应 变OD。 结构塑性分析中，为简化计算，把材料的应力与应变关系作合理地简化。简化为理想弹塑性材料。如图所示。 结构的塑性分析中，叠加原理不再适用。只考虑荷载一次加于结构，且各荷载按同一比例增加—比例加载。

411 §12-2 极限弯矩和塑性铰·破坏机构·静定 梁的计算
§12-2 极限弯矩和塑性铰·破坏机构·静定 梁的计算 图a所示梁的横截面有一对称轴，承受位于对称平面内的竖向荷载作用。随荷载的增大，梁截面应力变化为 图(b)：荷载较小时，弹性阶段，截面应力σ<σS。 图(c)：荷载加大到一定值，最外边缘应力达到屈服极限σS， 对应的弯矩称为屈服弯矩MS

412 §12-2 极限弯矩和塑性铰·破坏机构·静定 梁的计算
§12-2 极限弯矩和塑性铰·破坏机构·静定 梁的计算 塑性铰的特点： 可以承受极限弯矩Mu。 (2) 是单向铰，只沿弯矩的方向转动。弯矩减小时，材料恢复弹性，塑性铰消失。 图(d)：荷载再增加，截面由外向内有更多部分的应力为σS， 其余纤维处于弹性阶段—塑性流动阶段。 图(e)：荷载继续增加，整个截面的应力都达到了屈服极限σS， 弯矩达到了最大—极限弯矩Mu。此时，截面弯矩不再增 大，但弯曲变形可任意增长，相当于在该截面处出现了 一个铰—塑性铰。

413 §12-2 极限弯矩和塑性铰·破坏机构·静定 梁的计算
§12-2 极限弯矩和塑性铰·破坏机构·静定 梁的计算 由图(e)可推得 WS—塑性截面系数，受压和受拉部分面积对等分截面轴的静矩之和。 当截面为bh的矩形时 故 弹性截面系数为 屈服弯矩为 对矩形截面梁来说，按塑性计算比按弹性计算截面的承载能力提高50%。

414 §12-2 极限弯矩和塑性铰·破坏机构·静定 梁的计算
§12-2 极限弯矩和塑性铰·破坏机构·静定 梁的计算 破坏机构 结构出现若干塑性铰而成为几何可变体系或瞬变体系。 静定结构出现一个塑性铰即成为破坏机构。对等截面梁，塑性铰出现在|M|max处。 图a所示截面简支梁，跨中截面弯矩最大，该处出现塑性铰时梁成为机构如图b。同时该截面弯矩达到极限弯矩Mu。 由平衡条件作M图如c。 由 求得极限荷载为

415 §12-3 单跨超静定梁的极限荷载 超静定梁：具有多余联系，只有出现足够多的塑性铰，才能 使其成为破坏机构。
§12-3 单跨超静定梁的极限荷载 超静定梁：具有多余联系，只有出现足够多的塑性铰，才能 使其成为破坏机构。 图(a)所示等截面梁，梁在弹性阶段的弯矩图如图b，截面A的弯矩最大。 荷载增大到一定值时，A先出现塑性铰。如图c，A端弯矩为Mu，变成静定的问题。此时梁未破坏，承载能力未达到极限。 荷载继续增大，跨中截面C的弯矩达到Mu，C截面变成塑性铰。如图d，此时梁成为几何可变的机构，达到极限状态。

416 §12-3 单跨超静定梁的极限荷载 按平衡条件作出此时的弯矩图，如图e所示。 由图可得 得极限荷载 静力法求极限荷载—超静定梁
§12-3 单跨超静定梁的极限荷载 按平衡条件作出此时的弯矩图，如图e所示。 由图可得 得极限荷载 静力法求极限荷载—超静定梁 （1）使破坏机构中各塑性铰处的弯矩都等于极限弯矩； （2）按静力平衡条件作出弯矩图，即可确定极限荷载。 机动法求极限荷载—超静定梁 （1）设机构沿荷载正方向产生任意微小的虚位移如图d； （2）由虚功方程 得极限荷载

417 §12-3 单跨超静定梁的极限荷载 例12-1 试求图a所示两端固定的等截面梁的极限荷载。 解：此梁出现三个塑性铰即进入极限状态。
§12-3 单跨超静定梁的极限荷载 例12-1 试求图a所示两端固定的等截面梁的极限荷载。 解：此梁出现三个塑性铰即进入极限状态。 塑性铰出现在最大负弯矩A、B截面及 最大正弯矩C截面。 静力法：作极限状态弯矩图如图b。 由平衡条件有 得极限荷载 机动法：作出机构的虚位移图如图c。 得极限荷载

418 §12-3 单跨超静定梁的极限荷载 例12-2 试求图a所示等截面梁在均布荷载作用时的极限荷载qu。 解：此梁出现两个塑性铰即达到极限状态。
§12-3 单跨超静定梁的极限荷载 例12-2 试求图a所示等截面梁在均布荷载作用时的极限荷载qu。 解：此梁出现两个塑性铰即达到极限状态。 一个塑性铰在A处，另一个塑性铰在 最大弯矩即剪力为零处。 静力法：如图b，由∑MA=0，有 得 最大正弯矩为Mu，故有 解得 求得极限荷载

419 §12-4比例加载时有关极限荷载的几个定理 比例加载：作用于结构上的各个荷载增加时，始终保持它们 之间原有的固定比例关系，且不出现卸载现象。
荷载参数F：所有荷载都包含的一个公共参数。确定极限荷载 实际上就是确定极限状态时的荷载参数Fu。 结构处于极限状态时应同时满足： （1）机构条件。结构出现足够数目的塑性铰而成为机构。 （2）内力局限条件。任一截面的弯矩绝对值|M|≤ Mu。 （3）平衡条件。结构的整体或任一局部仍维持平衡。

420 §12-4比例加载时有关极限荷载的几个定理 可破坏荷载：满足机构条件和平衡条件的荷载，用F +表示。 （不一定满足内力局限条件）
（不一定满足机构条件） 1、极小定理：极限荷载是所有可破坏荷载中的极小者。 2、极大定理：极限荷载是所有可接受荷载中的极大者。 3、惟一性定理：极限荷载只有一个确定值。若某荷载既是可破 坏荷载，又是可接受荷载，则该荷载即为极限 荷载。

421 §12-5 计算极限荷载的穷举法和试算法 1、穷举法：也称机构法或机动法。列举所有可能的破坏机构， 求出相应的荷载，取其最小者即为极限荷载。
§12-5 计算极限荷载的穷举法和试算法 1、穷举法：也称机构法或机动法。列举所有可能的破坏机构， 求出相应的荷载，取其最小者即为极限荷载。 2、试算法：任选一种破坏机构，求出相应荷载，并作弯矩图， 若满足内力局限条件，则该荷载即为极限荷载；如 不满足，则另选一机构再试算……，直至满足。 例12-3 试求图a所示变截面梁的极限荷载。 解：此梁出现两个塑性铰即成为破坏 机构。除最大负弯矩和最大正弯 矩所在的A、C截面外，截面突 变处D右侧也可能出现塑性铰。

422 §12-5 计算极限荷载的穷举法和试算法 1、穷举法 机构1：设A、D处出现塑性铰 得 机构2：设A、C处出现塑性铰 得
§12-5 计算极限荷载的穷举法和试算法 1、穷举法 机构1：设A、D处出现塑性铰 得 机构2：设A、C处出现塑性铰 得 机构3：设D、C处出现塑性铰 极限荷载为 得

423 §12-5 计算极限荷载的穷举法和试算法 2、试算法 选择机构1：求得相应的荷载 作弯矩图如图e。
§12-5 计算极限荷载的穷举法和试算法 2、试算法 选择机构1：求得相应的荷载 作弯矩图如图e。 截面C的弯矩超过了Mu。此机构不是极限状态。 选择机构2：求得相应的荷载 作弯矩图如图f。 所有截面的弯矩均未超过Mu。此时的荷载为可接受荷载，极限荷载为

424 §12-6 连续梁的极限荷载 图a所示连续梁只可能出现某一跨单独破坏的机构如图b、c、d。 也可能由相邻各跨联合形成破坏机构如图e。
§12-6 连续梁的极限荷载 图a所示连续梁只可能出现某一跨单独破坏的机构如图b、c、d。 也可能由相邻各跨联合形成破坏机构如图e。 图e中至少有一跨在中部出现负弯矩的塑性铰，这是不可能出现的。 连续梁的极限荷载计算：只需计算各跨单独破坏时的荷载，取 其最小者即为极限荷载。

425 §12-6 连续梁的极限荷载 例12-4 试求图a所示连续梁的极限荷载。各跨分别为等截面的， 其极限弯矩如图所示。 解：第1跨机构如图b。
§12-6 连续梁的极限荷载 例12-4 试求图a所示连续梁的极限荷载。各跨分别为等截面的， 其极限弯矩如图所示。 解：第1跨机构如图b。 第2跨机构如图c。

426 §12-6 连续梁的极限荷载 第3跨机构如图d。 比较以上结果，按极小定理，第3跨首先破坏。极限荷载为

427 §12-7 刚架的极限荷载 刚架极限荷载计算时忽略轴力和剪力对极限弯矩的影响。 穷举法
§12-7 刚架的极限荷载 刚架极限荷载计算时忽略轴力和剪力对极限弯矩的影响。 穷举法 图a所示刚架，各杆分别为等截面杆，由弯矩图的形状可知，塑性铰只可能在A、B、C（下侧）、E（下侧）、D五个截面出现。 此刚架为3次超静定，只要出现4个塑性铰或一直杆上出现3个塑性铰即成为破坏机构。可能的机构形式有 机构1（图b）：横梁上出现3个塑性铰， 又称“梁机构”

428 §12-7 刚架的极限荷载 机构2（图c）：4个塑性铰出现在A、C、 E、B处，整个刚架侧移， 又称“侧移机构”。
§12-7 刚架的极限荷载 机构2（图c）：4个塑性铰出现在A、C、 E、B处，整个刚架侧移， 又称“侧移机构”。 机构3（图d）：塑性铰出现在A、D、 E、 B处，横梁转折，刚架亦 侧移，又称“联合机构”。

429 §12-7 刚架的极限荷载 机构4（图e）：也称联合机构：右柱向左 转动，D点竖直位移向下 使较大的荷载2F作正功， C点水平荷载F作负功。
§12-7 刚架的极限荷载 机构4（图e）：也称联合机构：右柱向左 转动，D点竖直位移向下 使较大的荷载2F作正功， C点水平荷载F作负功。 若所得F为负值，则需将虚位移反方向。 经分析，无其他可能的机构，按极小值定理取上述F中的最小者为极限荷载 实际的破坏机构为机构3。

430 §12-7 刚架的极限荷载 试算法 选择机构2（图c） 求相应的荷载F=2.67Mu/a。 作弯矩图如图a。 D点处弯矩为
§12-7 刚架的极限荷载 试算法 选择机构2（图c） 求相应的荷载F=2.67Mu/a。 作弯矩图如图a。 D点处弯矩为 不满足内力局限条件，荷载是不可承受的。

431 §12-7 刚架的极限荷载 选择机构3（图d） 求相应的荷载F=2.29Mu/a。 作弯矩图如图b。 结点C处两杆端弯矩为MC
§12-7 刚架的极限荷载 选择机构3（图d） 求相应的荷载F=2.29Mu/a。 作弯矩图如图b。 结点C处两杆端弯矩为MC 满足内力局限条件，此机构即为极限状态，极限荷载为

432 §12-8 矩阵位移法求刚架极限荷载的概念 矩阵位移法适合电算，能解决更复杂的求极限状态的问题。 增量法或变刚度法
§12-8 矩阵位移法求刚架极限荷载的概念 矩阵位移法适合电算，能解决更复杂的求极限状态的问题。 增量法或变刚度法 从弹性阶段开始，每步增加一个塑性铰，并把该处改为铰结； 求出下一个塑性铰出现时荷载的增量，直到成为机构，便可求得极限荷载。 （1）令荷载参数F=1加于结构，用矩阵位移法进行弹性阶段计 算，其弯矩为M1。 第一个塑性铰必出现在 处 此时荷载值为 弯矩为

433 §12-8 矩阵位移法求刚架极限荷载的概念 （2）将第一个塑性铰处改为铰结，结构降低了一次超静定，相
§12-8 矩阵位移法求刚架极限荷载的概念 （2）将第一个塑性铰处改为铰结，结构降低了一次超静定，相 应地修改总刚。令F=1进行第二轮计算（弹性），求得弯 矩为M2。 第二个塑性铰必出现在 处 此时荷载值为 弯矩为 第一、二轮累计

434 §12-8 矩阵位移法求刚架极限荷载的概念 （3）将第二个塑性铰处改为铰结，结构又降低了一次超静定，
§12-8 矩阵位移法求刚架极限荷载的概念 （3）将第二个塑性铰处改为铰结，结构又降低了一次超静定， 然后修改总刚。令F=1作第三轮计算，求得弯矩为M3。 第三个塑性铰出现时荷载及弯矩值为 累计荷载及弯矩值为

435 §12-8 矩阵位移法求刚架极限荷载的概念 （4）如此重复进行下去……，若到第n 轮，总刚成为奇异矩
§12-8 矩阵位移法求刚架极限荷载的概念 （4）如此重复进行下去……，若到第n 轮，总刚成为奇异矩 阵，则结构已成为机构，上一轮的累计荷载值Fn-1即为 极限荷载Fu。 注意：每步计算都应计算各塑性铰处的相对转角，若发生 反方向变形，则恢复为刚结计算。

436 第十三章 结构弹性稳定 §13-1 概述 §13-2 用静力法确定临界荷载 §13-3 具有弹性支座压杆的稳定
第十三章 结构弹性稳定 §13-1 概述 §13-2 用静力法确定临界荷载 §13-3 具有弹性支座压杆的稳定 §13-4 用能量法确定临界荷载 §13-5 变截面压杆的稳定 §13-6 剪力对临界荷载的影响 §13-7 组合压杆的稳定 §13-8 弹性介质上压杆的稳定 §13-9 圆环及拱的稳定 § 窄条梁的稳定 § 用矩阵位移法计算刚架的稳定

437 §13-1 概 述 结构失稳现象分为：第一类失稳现象、第二类失稳现象。
§13-1 概 述 结构失稳现象分为：第一类失稳现象、第二类失稳现象。 图a所示理想中心受压直杆。当F值达到某一特定数值时，由于干扰压杆发生微小弯曲，取消干扰后，压杆将停留在弯曲位置上，不能回到原来的直线位置，如图b。 此时压杆既具有原来只有轴力的直线平衡形式，也具有新的同时受压和受弯的弯曲平衡形式 —这种现象为压杆丧失了第一类稳定性。 分支点失稳

438 §13-1 概 述 图a所示承受均布水压力的圆环，当压力达到临界值qcr时，出现了新的非圆的平衡形式。
§13-1 概 述 图a所示承受均布水压力的圆环，当压力达到临界值qcr时，出现了新的非圆的平衡形式。 图b所示承受均布荷载的抛物线拱，图c 所示刚架，荷载达到临界值之前处于受压状态，荷载达到临界值时出现同时具有压缩和弯曲变形的新的平衡形式。 图c所示工字梁，荷载达到临界值前仅在复板平面内弯曲，荷载达到临界值时发生斜弯曲和扭转。

439 §13-1 概 述 丧失第一类稳定性的特征： 结构的平衡形式及内力和变形状态发生质的突变，
§13-1 概 述 丧失第一类稳定性的特征： 结构的平衡形式及内力和变形状态发生质的突变， 原有平衡形式已不稳定，同时出现新的有质的区别的平衡形式。 图a所示由塑性材料制成的偏心受压直杆，一开始就处于同时受压和弯曲的状态。当F达到临界值Fcr时，荷载不增加或减小，挠度仍继续增加如图b—丧失第二类稳定性。 工程结构实际上均属于第二类稳定问题。可将其简化为一类稳定问题来处理。 极值点失稳

440 §13-1 概 述 确定临界荷载的方法 静力法—应用静力平衡条件求解； 能量法—应用以能量形式表示的平衡条件。
§13-1 概 述 确定临界荷载的方法 静力法—应用静力平衡条件求解； 能量法—应用以能量形式表示的平衡条件。 结构稳定的自由度：为确定结构失稳时所有可能的变形状态 所需的独立参数的数目。 图a所示支承在抗转弹簧上的刚性压杆，确定失稳时变形状态的独立参数为1，只有一个自由度。 图b所示结构，则需两个独立参数，具有两个自由度。 图c所示弹性压杆，则需无限多个独立参数，具有无限多自由度。

441 §13-2 用静力法确定临界荷载 静力法—依据结构失稳时平衡的二重性，应用静力平衡条件， 求解结构在新的形式下能维持平衡的荷载，其最小值
即为临界荷载。 图a所示单自由度结构，设压杆偏离竖直位置时仍处于平衡状态如图b。 由∑MA=0有 位移很小时可认为 故有 当 时上式满足，对应原有的平衡形式 对于新的平衡形式， 则有 稳定方程或特征方程

442 §13-2 用静力法确定临界荷载 由稳定方程解得 结构处于随遇平衡状态，如图c中的AB段。 若采用精确的方程则有
当 时， 与F的数值仍是一一对应的，如图c中的AC段。 若只求临界荷载，可采用近似方程求解。 n个自由度的结构→对新的平衡形式列出n个平衡方程 系数行列式D=0的条件 n个独立参数的齐次方程 建立稳定方程 n个根中的最小值为临界荷载

443 §13-2 用静力法确定临界荷载 例13-1 试求图a所示结构的临界荷载。两抗移弹性支座的刚 度均为k。 解：结构有两个自由度，失稳时A、
B点的位移如图b。 设位移是微小的，由∑MB=0，∑MC=0 即 y1、y2不全为零，则应有 展开 解得 临界荷载

444 实际结构必先以图d的形式失稳，图c只是理论上存在。
§13-2 用静力法确定临界荷载 由(a)式不能求得y1、y2的确定解答，但可以求出两者的比值。 将 代回(a)式可得 相应的位移图如图c。 将 代回(a)式可得 相应的位移图如图d。 实际结构必先以图d的形式失稳，图c只是理论上存在。

445 §13-2 用静力法确定临界荷载 图a所示一端固定另一端铰支的等截面中心受压弹性直杆，设其已处于新的曲线平衡形式，则任一截面的弯矩为
挠曲线的近似微分方程为 令 微分方程的通解为 (b) 边界条件为 代入通解得

446 §13-2 用静力法确定临界荷载 方程(b)是关于A、B、FS/F的齐次方程组，A=B=FS/F=0时满足，此时各点位移y均为零。对新的平衡形式要求三者不全为零，方程(b)的系数行列式应为零，得稳定方程为 展开 此超越方程图解法求解，如图b。 与 交点的横坐标即为方程的根。最小根nl在3π/2≈4.7左侧附近，试算求得准确解。 求得临界荷载值为

447 §13-3 具有弹性支座的压杆稳定 图a所示刚架，AB杆上端铰支；下端不能移动但可转动，其转动受BC杆的弹性约束，可用抗转弹簧表示，如图b。
抗转弹簧刚度k1：使梁BC的B端发生单位转角时所需的力矩。由图c可得 图b所示压杆失稳时， 由∑MB=0可得

448 §13-3 具有弹性支座的压杆稳定 压杆挠曲线的平衡微分方程为 A、B和 不能全为零，则 稳定方程 令 通解为 式中三个未知常数A、B、
边界条件为 k1给定→nl 最小正根→Fcr k1=0时sinnl =0：两端铰支 可建立 k1=∞时tannl =nl： 一端铰支一端固定

449 §13-3 具有弹性支座的压杆稳定 一端弹性固定 另一端自由的压杆 一端固定另一端有 抗移弹簧支座的压杆 稳定方程为 稳定方程为

450 §13-3 具有弹性支座的压杆稳定 两端各有一抗转弹簧，上端有一抗移弹簧的压杆如图c 按静力法导出稳定方程为 弹性支座压杆稳定方程的一般形式
其他各种特殊情况的稳定方程均可由此推求。

451 §13-3 具有弹性支座的压杆稳定 例13-2 试求图a所示刚架的临界荷载。 解：此为对称刚架承受正对称荷载，其失稳形式为正对称
的如图b或反对称的如图c。

452 §13-3 具有弹性支座的压杆稳定 正对称失稳时，取半结构计算如图d。 立柱为下端铰支上端弹性固定的压杆，弹性固定端的抗转刚度为
求得稳定方程为 试算法解得最小正根为nl=3.83 临界荷载为

453 §13-3 具有弹性支座的压杆稳定 反对称失稳时，取半结构计算如图e。
立柱为上端弹性固定，上下两端有相对侧移而无水平反力。弹性固定端的抗转刚度为 求得稳定方程为 试算法解得最小正根为nl=1.45 临界荷载为 结构以反对称形式失稳，临界荷载为

454 §13-4 用能量法确定临界荷载 势能驻值原理：对于弹性结构，在满足支承条件及位移连续条件 的一切虚位移中，同时又满足平衡条件的位移
（就是真实的位移）使结构的势能EP为驻值，即 Vε—结构的应变能； V—外力势能。 Fi —结构上的外力 Δi —与外力相应的虚位移 外力势能定义为 有限自由度结构→所有可能的位移状态只用有限个独立参数a1，a2，…，an即可表示，EP只是这有限个独立参数的函数。 单自由度结构→EP只是参数a1的一元函数，势能的变分为 故 结构处于平衡时 是任意的

455 §13-4 用能量法确定临界荷载 由 可建立稳定方程以求解临界荷载。 多自由度结构势能的变分为
由δEP=0及δa1， δa2，… ，δan的任意性，必须有 由此获得一组含a1， a2，… ，an的齐次线性代数方程，要使a1， a2，… ，an不全为零，则此方程组的系数行列式应为零→建立稳定方程→确定临界荷载。

456 §13-4 用能量法确定临界荷载 例13-3 图a所示压杆EI为无穷大，上端水平弹簧的刚度为k， 试确定其临界荷载。
解：单自由度结构失稳时发生微小的偏 离如图b。 弹簧的应变能为 外力势能为 结构的势能为 若图b结构能维持平衡则有 y1≠0，故 临界荷载为

457 §13-4 用能量法确定临界荷载 例13-4 用能量法求图a所示结构的临界荷载。 解：结构具有两个自由度，失稳时发生 图b所示位移。
结构的势能为 y1、y2不能全为零 结构处于平衡时

458 §13-4 用能量法确定临界荷载 解得 展开整理得 最小值为临界荷载 图示弹性压杆为无限自由度结构，失稳时发生弯矩变形，应变能为： 代入 将
任一微段ds与其投影dx之差为 此式沿杆长l积分得

459 §13-4 用能量法确定临界荷载 外力势能为 结构的势能为 挠曲线y是未知的，它可以看作无限多个独立参数。
EP是挠曲线函数y的函数，即是一个泛函，δEP=0是求泛函极值的问题—变分问题。 瑞利-李兹法：将无限自由度近似简化为有限自由度。 设 —满足位移边界条件的已知函数 —任意参数 结构所有变形状态由a1，a2，…，an所确定，简化为n个自由度。

460 通常取某一横向荷载作用下的挠曲线作为失稳时的近似挠曲线
§13-4 用能量法确定临界荷载 如果在(1)式中只取一项： 是简化为单自由度求解。 通常取某一横向荷载作用下的挠曲线作为失稳时的近似挠曲线 例13-5 试求图a所示两端铰支等截面压杆的临界荷载。 解：挠曲线函数只取一项，即简化为单自由度 结构计算。 (1) 设挠曲线为正弦曲线 显然y满足位移边界条件 结构的势能为

461 §13-4 用能量法确定临界荷载 而a≠0，故有 得 —与精确解相同，特殊情形。 (2) 设挠曲线为抛物线 —满足位移边界条件 由
—误差达21.6%。

462 §13-4 用能量法确定临界荷载 (3) 图b所示挠曲线作为近似曲线 由 和a≠0，可求得 —误差仅为1.3%。

463 §13-4 用能量法确定临界荷载 例13-6 试求图示压杆的临界荷载。 解：按两个自由度计算，查表取级数的 前两项 整理得
例13-6 试求图示压杆的临界荷载。 解：按两个自由度计算，查表取级数的 前两项 整理得 a1、a2不全为零应有 —比精确解大3.6%。

464 §13-4 用能量法确定临界荷载 例13-7 试求图a所示等截面竖直压杆在自重作用下的临界荷载。 解：压杆承受的是均布荷载。
如图b，微段ds的转角为y’(x)，微段以上部分的竖向位移为 微段以上部分荷载FS=q(l-x)在此位移上作功为 外力势能为 查表取三角级数的前两项有

465 §13-4 用能量法确定临界荷载

466 §13-4 用能量法确定临界荷载 a1、a2不全为零应有 整理得 方程的最小根即为临界荷载 此问题的精确解为

467 §13-5 变截面压杆的稳定 工程中变截面压杆的类型：阶形杆， 截面惯性矩按幂函数连续变化。
图a为一阶形直杆，以y1、y2分别表示压杆失稳时上、下两部分的挠度，如图b。两部分的平衡微分方程为 通解为 式中 是五个未知常数。 边界条件

468 §13-5 变截面压杆的稳定 由边界条件(1)、(2)可得 将y2和y1代入边界条件(3)、(4) 、(5)可得齐次方程组 稳定方程为
展开整理得 给出I1/I2和l1/l2时才能求解

469 §13-5 变截面压杆的稳定 当柱顶承受F1，在截面突变处承受F2作用时，可推得稳定方程为 式中
给出I1/I2、l1/l2和F1/F2时才能求解。 如图所示压杆 稳定方程(c)成为 最小根为 可得临界荷载为

470 §13-5 变截面压杆的稳定 图a所示压杆的截面惯性矩按幂函数变化，任一截面的惯性矩为 I1—柱顶截面惯性矩 I2—柱底截面惯性矩 有
不同的m值对应不同形状的杆件 如图b，具有直线外形的圆形截面或正方形截面的实心压杆，m=4。

471 §13-5 变截面压杆的稳定 如图c，具有直线外形由四个截面不变的角钢组成的组合压杆，m=2。 图b、图c两种情况
图d所示压杆，m=2时微分方程为 或 令t=lnx 变系数微分方程 令 常系数方程 解为

472 §13-5 变截面压杆的稳定 将t=lnx代入 边界条件 由条件(1)：B=0 令 由条件(2)得稳定方程为
若γ已知，可用试算法解出k的最小根，进而求得临界荷载Fcr。 令 m=4时微分方程为 解为 边界条件 导出稳定方程为

473 §13-6 剪力对临界荷载的影响 设yM和yS分别表示弯矩和剪力影响所产生的挠度，总的挠度为 对x求二阶导数可得曲率的近似公式
弯矩引起的曲率为 如图a、b，先求由剪力引起的杆轴切线的附加转角 。 从而有 挠曲线微分方程为 对图a所示结构 可求得

474 §13-6 剪力对临界荷载的影响 令 挠曲线方程可写为 边界条件 微分方程的通解为 导出稳定方程为 最小正根 —欧拉临界荷载 可得
α—修正系数 σE —欧拉临界应力

475 在实体杆件中，剪力影响很小，通常可略去。
§13-6 剪力对临界荷载的影响 设压杆由钢材制成，取σE为比例极限 切变弹性模量G=80GPa，则有 在实体杆件中，剪力影响很小，通常可略去。

476 §13-7 组合压杆的稳定 组合压杆通常由两个型钢用若干联结件相联组成，联结件的形式有：缀条式，缀板式。如图a、b。
当组合压杆的节间数目较多时，其临界荷载可用实体压杆的公式计算。即 (d) 对式中k/GA需另行处理，以反映联结件的影响。 —单位剪力作用下的剪切角。 用γ代替式中的k/GA即可。

477 §13-7 组合压杆的稳定 1、缀条式组合压杆 缀条通常采用单根角钢，其截面较小，其两端可视为铰结。现取出一个节间来分析，如图。 位移 杆长
缀条的横杆 杆长 缀条的斜杆 因而

478 §13-7 组合压杆的稳定 用γ代替(d)式中的k/GA，即得 Ad—主要杆件的截面积；
Id —主要杆件的截面对其本身形心轴的惯性矩，近似认为其 形心轴到z轴的距离为b/2。 当斜杆与横杆EA相同α=45°时，有 斜杆的影响 横杆的影响

479 §13-7 组合压杆的稳定 斜杆比横杆对临界荷载的影响更大，略去横杆的影响，则 Aq—一根斜杆的截面积。 设 临界荷载写成欧拉问题的基本形式
r—两主要杆件的截面对整个截面形心轴z的回转半径。 一般α=30°~60°，设长细比λ=l/r，可得 换算长细比 —钢结构规范中推荐的公式

480 §13-7 组合压杆的稳定 2、缀板式组合压杆 由图b所示弯矩图图乘得
组合压杆采用缀板联结时，缀板与主要杆件的联结可视为刚结。近似认为主要杆件的反弯点在节间中间，剪力平均分配于两主要构件。取图a所示部分分析。

481 §13-7 组合压杆的稳定 用γ代替(d)式中的k/GA，即得
节间长度d增加，修正系数α2减小。一般情况下缀板的刚度很大，近似取EIb=∞，则 整个组合杆件的截面惯性矩 λ—整个组合杆件的长细比； λd—一根主要杆件在一个节间内的长细比。

482 §13-7 组合压杆的稳定 可得 近似地以1代替0.83则有 相应的长度系数为 换算长细比为 规范中确定缀板组合压杆长细比的公式

483 §13-8 弹性介质上压杆的稳定 支承于弹性介质上的压杆由于失稳发生弯曲时，弹性介质将对它产生分布反力。如图所示。
采用文克勒假定：分布反力的集度q与挠度y成正比，即 k—基床系数 设挠曲线为 能量法 压杆弯曲时的应变能为 弹性介质的应变能为 荷载势能为

484 §13-8 弹性介质上压杆的稳定 并有 因 可得 (e) a不能为零，故有 半波数m的确定条件
必须是大于零的整数，否则不能满足两端铰支的边界条件。 (2) 应使特征荷载F值为最小。

485 §13-8 弹性介质上压杆的稳定 F与m的关系曲线如图所示 由极值条件 可得 (f) F虽为极小，但m不一定是整数。
取按(f)式算出的m值的邻近整数mi和mi+1，代入式(e)求F，取其较小者为临界荷载Fcr。 k/EI愈大，m值愈大。即介质与杆件的刚度比愈大时，压干失稳时挠曲线的半波数愈多。 k=0时取m=1，与无介质的两端铰支压杆的结果相符。

486 §13-8 弹性介质上压杆的稳定 半穿式桁架桥的上弦杆在各结点处受到斜杆传来的压力Dicosα如图a，压力由跨中向两端逐渐增大。
上弦杆失稳时将离开原桁架平面发生侧向弯曲，从而受到起横向联结系作用的刚架的抵抗。如图b。 将上弦杆看作在各结点处具有弹性支座，在两端处为刚性铰支座。计算简图如图c。

487 §13-8 弹性介质上压杆的稳定 若将上弦杆看作是支承于连续弹性介质上的压杆，则介质的基床系数可表示为 由图d 可得
d—节间长度；FR0—结点侧向位移为1时弹性支座的反力。 由图d I1、h—竖杆的惯性矩和长度 I2、b—横梁的惯性矩和长度 可得 作用在各结点处的集中力Dicosα近似地用三角形分布荷载代替，如图e。

488 §13-8 弹性介质上压杆的稳定 压杆弯曲时的应变能为 能量法计算 弹性介质的应变能为 x处微段ds倾斜时引起的位移为
使该微段以右（l-x）长度上的外力作功为 推得外力势能为

489 §13-8 弹性介质上压杆的稳定 结构的势能为 采用三角级数表示挠曲线 求得临界压力的近似值，为便于实用将临界压力写为
式中长度系数μ与比值 有关，可查表13-3。

490 §13-9 圆环及拱的稳定 在半径为R的等截面圆弧曲杆上取出长为ds的微段AB，其失稳后的位置为A’B’，如图(a)。
曲率的改变与弯矩之间的关系如下 弯矩M以使曲率减小为正，上式可为 即 设A、B两点的环向位移分别为u、u+du，径向位移分别为w、w+dw。如图b。

491 §13-9 圆环及拱的稳定 当仅发生环向位移时如图c，两截面相对转角为 当仅发生径向位移时如图d，两截面相对转角为

492 §13-9 圆环及拱的稳定 故有 可得 有 代入 得 轴向变形忽略不计，应有 或 (g) 用位移w和弯矩M表达的平衡微分方程

493 §13-9 圆环及拱的稳定 圆形曲杆承受均布径向荷载q时，失稳前只承受轴力，弯矩和剪力均为零，取微段ds如图(a)所示。 由平衡条件
失稳后微段的受力如图(b)所示 其轴力为 由隔离体的平衡方程得

494 §13-9 圆环及拱的稳定 将FN0、FN、ds=Rdθ代入上式有 (h) 将上式整理消去ΔFN和FS可得 (i)
弯矩与位移之间的微分关系 (i) 将(g)式代入(h)式可得 以位移w和荷载q表达的圆形曲杆弯曲平衡微分方程

495 §13-9 圆环及拱的稳定 令 则式(i)的一般解可表示为 (j) 由式(g)有 (k) (m)
对具体问题，根据边界条件写出含积分常数A0~A5的齐次代数方程，其系数行列式应为零→稳定方程→求解临界荷载。

496 §13-9 圆环及拱的稳定 圆环承受均布水压力时的失稳情况如图所示。显然其解答应是以2π为周期的函数。应有 将式(j)代入上式有 题意要求
可推得 应取n=2，可得q的最小值即临界荷载为

497 §13-9 圆环及拱的稳定 两铰圆拱的失稳形式有反对称和正对称两种，如图a、b所示。 反对称失稳时，w和M应为θ的奇函数，由式(m)有
可推得 取q的最小正值为临界荷载，α<π，k=1有 α=π/2时qcr的值与圆环的临界荷载相同

498 §13-9 圆环及拱的稳定 正对称失稳时，w和M应为θ的偶函数， u应为θ的奇函数，故有 边界条件θ=α，u=0，M=0，可建立稳定方程
展开得 给定α→解出n →求得临界荷载。计算表明： 对于两铰圆拱，临界荷载是反对称时的临界荷载。

499 §13-9 圆环及拱的稳定 无铰圆拱的最小临界荷载发生于反对称失稳情况下； 三铰圆拱的最小临界荷载发生于正对称失稳情况下。
各种圆拱的临界荷载可表示为 式中：l—跨度；K1—与高跨比f/l有关的系数，可查表。 抛物线拱在竖向均布荷载作用下的稳定问题很复杂，采用数值积分法求解，其临界荷载也可表示为 系数K2查表可得。

500 §13-10 窄条梁的稳定 图a所示狭长矩形截面梁，两端简支处截面可绕z、y轴转动。两端作用一对xy平面内的力偶。
v、w—梁失稳时任一截面形心的竖向位移、侧向水平位移，与 坐标轴一致为正。 θ—截面绕x轴的转角，右手螺旋规则。如图b、c所示。

501 §13-10 窄条梁的稳定 x’y’z’—截面新位置形心处的坐标系； x’—沿梁轴的切线方向；y’、z’—截面的两主轴。 (n) 可建立方程
GIt—截面抗扭刚度； It—截面抗扭二次矩。 可建立方程 h、b—矩形截面的高度、宽度。 取隔离体如图d 将Mζ沿y’、z’向分解

502 §13-10 窄条梁的稳定 将以上Mi代入式(n)得 整理得 命 (o) 则有 一般解为 边界条件
最小正根为nl=π，代入式(o)得临界弯矩为 得B=0 稳定方程为

503 §13-11 用矩阵位移法计算刚架的稳定 压杆单元：单元分析中考虑轴力对弯矩变形的影响。
图示一等截面压杆，两端压力为F，杆端之间无荷载。不计轴向变形，杆端位移和杆端力列向量可表示为

504 §13-11 用矩阵位移法计算刚架的稳定 假设杆件的挠曲线为 边界条件 求出A、B、C、D代入上式 可写为 式中
分别表示 所引起的挠曲线。未考虑轴向力的影响，是近似的。

505 §13-11 用矩阵位移法计算刚架的稳定 单元的总势能为 由势能驻值原理，体系平衡时 可得 式中

506 §13-11 用矩阵位移法计算刚架的稳定 (p) 压杆单元的刚度方程为 式中 式(p)写成矩阵形式 简写为 或

507 §13-11 用矩阵位移法计算刚架的稳定 整理得 不计纵向力影响的普通单元的刚度矩阵。 考虑纵向力影响的附加刚度矩阵，又称单元几何刚度矩阵。

508 §13-11 用矩阵位移法计算刚架的稳定 补充轴向力和轴向位移间的刚度关系，单元刚度方程仍为 式中 表达式与矩阵位移法相同，略。

509 §13-11 用矩阵位移法计算刚架的稳定 在结构整体坐标系下，单元刚度方程为 式中 整体坐标系中 结构的总刚度方程为
式中：Δ—结点位移列向量；(K-s)—修改后的总刚度矩阵； F—修改后的结点外力列阵，全部元素都是零。 总刚度方程成为 失稳时出现新的弯曲 平衡，Δ不全为零故有： 稳定方程

510 §13-11 用矩阵位移法计算刚架的稳定 例13-8 试用矩阵位移法计算图a所示刚架的临界荷载。 解： (1) 各单元、结点 编号，整体和
(1) 各单元、结点 编号，整体和 各单元局部坐 标系如图b。 (2) 求各单元刚度矩阵。 单元①和③为压杆单元，局部坐标系中的单元刚度阵为

511 §13-11 用矩阵位移法计算刚架的稳定 ①、③单元α=90°，坐标变换后可得整体坐标系中的单元刚度阵。

512 §13-11 用矩阵位移法计算刚架的稳定

513 §13-11 用矩阵位移法计算刚架的稳定 单元②为普通单元α=0°，故有

514 §13-11 用矩阵位移法计算刚架的稳定 (3) 形成并修改总刚。 各单元刚度矩阵对号入座→12×12阶的原始总刚度矩阵。 支承条件
(3) 形成并修改总刚。 各单元刚度矩阵对号入座→12×12阶的原始总刚度矩阵。 支承条件 忽略轴向变形 需求解的独立未知量有 结构的总刚度方程为 式中 即为

515 §13-11 用矩阵位移法计算刚架的稳定 (4) 求临界荷载。 由稳定方程 将总刚度矩阵的行列式展开并令其为零 方程最小根为 临界荷载为
(4) 求临界荷载。 由稳定方程 将总刚度矩阵的行列式展开并令其为零 方程最小根为 临界荷载为 若按先处理法，结点位移编号如图c所示，同样得到上述总刚度方程。 精确解为 误差与Fl2/EI值有关， 当Fl2/EI<10时误差不大； 当Fl2/EI>10时误差较大。

516 第十四章 结构动力学 §14-1 概 述 §14-2 结构振动的自由度 §14-3 单自由度结构的自由振动 §14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 §14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动 §14-6 多自由度结构的自由振动 §14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 §14-8 振型分解法 §14-9 无限自由度结构的振动 § 计算频率的近似法

517 §14-1 概 述 动力荷载作用下，结构将发生振动，各种量值均随时间而变化，要考虑惯性力的影响。 动力荷载的种类
§14-1 概 述 动力荷载作用下，结构将发生振动，各种量值均随时间而变化，要考虑惯性力的影响。 动力荷载的种类 (1) 周期荷载：随时间按一定规律变化的周期性荷载，如按正弦 (或余弦)规律变化的称为简谐周期荷载，也称为 振动荷载。 (2) 冲击荷载：很快地把全部量值加于结构而作用时间很短即行 消失的荷载。 (3) 突加荷载：在一瞬间施加于结构上并继续留在结构上的荷载。

518 §14-1 概 述 (4) 快速移动的荷载。高速移动的列车、汽车等。 (5) 随机荷载：变化规律不能用确定的函数关系表示的荷载。
§14-1 概 述 (4) 快速移动的荷载。高速移动的列车、汽车等。 (5) 随机荷载：变化规律不能用确定的函数关系表示的荷载。 如风的脉动作用、地震等。 结构振动的形式 (1) 自由振动：结构受到外部因素干扰发生振动，而在振动 过程中不再受外部干扰力作用。 (2) 强迫振动：在振动过程中不断受外部干扰力作用。

519 §14-2 结构振动的自由度 结构振动的自由度：结构在弹性变形过程中确定全部质点位 置所需的独立参数的数目。 图a所示简支梁跨中固定一个
§14-2 结构振动的自由度 结构振动的自由度：结构在弹性变形过程中确定全部质点位 置所需的独立参数的数目。 图a所示简支梁跨中固定一个 重量较大的物体，如果梁本身的 自重较小可略去，把重物简化为 一个集中质点，得到图b所示的计 算简图。 梁在振动中的自由度=1 单自由度结构—具有一个自由度的结构。 多自由度结构—自由度大于1的结构。

520 §14-2 结构振动的自由度 图a所示结构有三个集中质点。 自由度=1 图b所示简支梁上有三个集中质量。 自由度=3
§14-2 结构振动的自由度 图a所示结构有三个集中质点。 自由度=1 图b所示简支梁上有三个集中质量。 自由度=3 图c所示刚架有一个集中质点。 自由度=2 自由度的数目不完全取决于质点的数目

521 §14-2 结构振动的自由度 图d所示刚架上有四个集中质点， 但只需要加三根链杆便可限制全部质 点的位置。如图e。 自由度=3
§14-2 结构振动的自由度 图d所示刚架上有四个集中质点， 但只需要加三根链杆便可限制全部质 点的位置。如图e。 自由度=3 图f所示梁，其分布质量集度为m， 可看作有无穷多个mdx的集中质量，是 无限自由度结构。 自由度的数目与结构是否静定或超静定无关

522 §14-2 结构振动的自由度 图a所示机器的块式基础，当机器运转时，若只考虑基础的垂直振动，可用弹簧表示地基的弹性，用一个集中质量代表基础的质量。使结构转化为图示的单自由度结构。 图b所示的水塔，顶部水池较重，塔身重量较轻，略去次要因素后，可简化为图示的直立悬臂梁在顶端支承集中质量的单自由度结构。 实际结构针对具体问题可以进行简化

523 §14-3 单自由度结构的自由振动 如图所示在跨中支承集中质量的简支梁，把质点m拉离原有的弹性平衡位置，然后突然放松，则质点将在原有平衡位置附近往复振动。在振动过程中不受外来干扰，这时的振动即是自由振动。

524 §14-3 单自由度结构的自由振动 1、不考虑阻尼时的自由振动 弹簧拉力(恢复力) Fe=－k11y 惯性力 质点处于动力平衡状态 可得
§14-3 单自由度结构的自由振动 1、不考虑阻尼时的自由振动 弹簧拉力(恢复力) Fe=－k11y 惯性力 质点处于动力平衡状态 可得 图a所示为一个简单的质点弹簧模型。取重物的静力平 衡位置为计算位移y的原点，规定位移y和质点所受的力都已 向下为正。 (1) 列动力平衡方程。取振动任一时刻的质点为隔离体如图b。 单自由度结构 自由振动微分方程 命 则有 (a)

525 §14-3 单自由度结构的自由振动 (2) 列位移方程。如图c。 质点m振动时，把惯性力FI看作是静力荷载作用在体系上，则质点处的位移为
§14-3 单自由度结构的自由振动 (2) 列位移方程。如图c。 质点m振动时，把惯性力FI看作是静力荷载作用在体系上，则质点处的位移为 对单自由度结构有 可得与(1)相同的结果 式(a)为一常系数线性齐次微分方程，其通解为 则有 振动的初始条件为 (b) 可得

526 §14-3 单自由度结构的自由振动 式中y0—初位移， —初速度。 结构的自由振动由两部分组成： 一部分是初位移y0引起的，为余弦规律；
§14-3 单自由度结构的自由振动 式中y0—初位移， —初速度。 结构的自由振动由两部分组成： 一部分是初位移y0引起的，为余弦规律； 一部分是初速度 引起的，为正弦规律。如图a、b。

527 §14-3 单自由度结构的自由振动 则有 令 式(b)可写为 (c) 简谐振动如图c a—为振幅，表示质点的最大位移； —为初相角。 —周期
§14-3 单自由度结构的自由振动 则有 令 式(b)可写为 (c) 简谐振动如图c a—为振幅，表示质点的最大位移； —为初相角。 —周期 —工程频率 —角频率或频率

528 §14-3 单自由度结构的自由振动 可得 (d) g—重力加速度；Δst—重量mg所产生静力位移。
§14-3 单自由度结构的自由振动 可得 (d) g—重力加速度；Δst—重量mg所产生静力位移。 式(d)表明：ω随Δst的增大而减小，即把质点放在结构最大位 移处，则可得到最低的自振频率和最大的振动周期。 例14-1 当不考虑梁的自重时，比较图中所示三种支承情况的梁 的自振周期。

529 §14-3 单自由度结构的自由振动 解：由式(d)可知，应先求结构在重量作用下的静力位移，有 代入式(d)可得 据此有
§14-3 单自由度结构的自由振动 解：由式(d)可知，应先求结构在重量作用下的静力位移，有 代入式(d)可得 据此有 说明：随着结构刚度的增大， 其自振频率也相应地增高。

530 §14-3 单自由度结构的自由振动 2、考虑阻尼作用时的自由振动 阻尼力的产生：外部介质的阻力，支承的摩擦等；
§14-3 单自由度结构的自由振动 2、考虑阻尼作用时的自由振动 阻尼力的产生：外部介质的阻力，支承的摩擦等； 物体内部的作用，材料分子之间的摩擦等。 粘滞阻尼力：阻尼力与其振动的速度成正比，与速度的方向 相反。 —β称为阻尼系数 考虑阻尼力时，质点m的受力图如图所示 由动力平衡得 即 令

531 §14-3 单自由度结构的自由振动 则有 (f) 线性常系数齐次微分方程 设其解为 代入式(f)得特征方程 两个根为 讨论
§14-3 单自由度结构的自由振动 则有 (f) 线性常系数齐次微分方程 设其解为 代入式(f)得特征方程 两个根为 讨论 (1) k<ω—小阻尼情况：r1、r2是两个复数，式(f)的通解为 式中 —有阻尼自振频率 可得 由初始条件 则有

532 §14-3 单自由度结构的自由振动 可写为 (g) 式中 式(g)的位移-时间曲线如图所示。 —衰减的正弦曲线 k—衰减系数

533 §14-3 单自由度结构的自由振动 设阻尼比 则有 一般建筑结构中ξ=0.01~0.1，可认为
§14-3 单自由度结构的自由振动 设阻尼比 则有 一般建筑结构中ξ=0.01~0.1，可认为 某一时刻tn振幅为yn，经过一个周期后的振幅为yn+1，则有 等式两边取对数得 振幅的对数递减量 经过j个周期后，有

534 §14-3 单自由度结构的自由振动 (2) k>ω—大阻尼情况：r1、r2是两个负实数，式(f)的通解为
§14-3 单自由度结构的自由振动 (2) k>ω—大阻尼情况：r1、r2是两个负实数，式(f)的通解为 是非周期函数，不会产生振动，结构偏离平衡位置后将缓 慢回复到原有位置。 (3) k=ω—临界阻尼情况：r1=r2=-k，式(f)的通解为 —非周期函数，不发生振动。 此时阻尼比ξ=1，k=m，可得临界阻尼系数 故有 —阻尼比为阻尼系数与临界阻尼系数之比。

535 §14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动
§14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 强迫振动—结构在外来干扰力作用下产生的振动。 如图所示，干扰力F(t)直接作用在质点m上，可得 即 或 (h) 微分方程(h)的解有两部分：一是相应齐次方程的通解 y0， 二是与干扰力F(t)相应的特解 θ为干扰力的频率 F 为干扰力的最大值 当干扰力为简谐荷载时：

536 §14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动
§14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 (i) 振动方程(h)成为 设式(i)的一个特解为 代入式(i)解出 将y0与特解合并，由初始条件 可得 (j)

537 §14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动
§14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 由式(j)可知，振动由三部分组成： (1) 由初始条件决定的自由振动； (2) 伴随干扰力的作用发生的振动频率为ω’，称为伴生自由振动； (3) 按干扰力频率θ振动，称为纯强迫振动或稳态强迫振动如图。 前两部分振动很快衰减掉，最后只剩下纯强迫振动。 过渡阶段—振动开始的一段时间内几种振动同时存在的阶段； 平稳阶段—纯强迫振动阶段。

538 §14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动
§14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 1、不考虑阻尼的纯强迫振动 此时ξ=0，由式(j)的第三项可知纯强迫振动方程为 最大动力位移即振幅为 因 yst=Fδ11： F作为静力荷载引起的静力位移 —位移动力系数，最大动力位移与 静力位移之比值。

539 §14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动
§14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 当θ<ω时：μ为正，动力位移与动力荷载同向； 当θ>ω时：μ为负，动力位移与动力荷载反向。 对单自由度结构，当干扰力与惯性力的作用点重合时，位移动力系数与内力动力系数是相同的，统称为动力系数。 工程设计中应尽量避免发生共振 μ随θ/ω 而变化，当干扰力频率θ接近于结构的自振频率ω时，动力系数迅速增大； θ =ω时，理论上μ无穷大，此时内力和位移都将无限大→共振。

540 §14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动
§14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 2、考虑阻尼的纯强迫振动 将式(j)的第三项写为 相位差 振幅 振幅A可写为 —动力系数

541 §14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动
§14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 动力系数μ与θ/ω及ξ的关系如图所示。

542 §14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动
§14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 讨论 (1) μ<<ω时，θ/ω很小，μ接近于1。可近似地将Fsinθt 作为 静力荷载。此时振动很慢，因而FI、FR都很小。 无阻尼时，位移与荷载是同步的； 有阻尼时，位移与荷载基本上同步。 (2) μ>>ω时，μ很小，质量近似于不动或作振幅很微小的颤动。 结构的Fe、FR可以忽略，位移与荷载的相位差为180°。 (3) μ→ω时，μ增加很快，μ受阻尼的影响很大 。当阻尼较小 时，μ值很大，共振现象仍很危险。 工程设计中一般常取

543 §14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动
§14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 例14-2 如图发电机的重量G=35kN，梁的I=8.8×10-5m4， E=210GPa，发电机转动时离心力的垂直分力幅值F=10kN。不考 虑阻尼，试求当发电机转数为n=500r/min时，量的最大弯矩和挠 度（不计梁的自重）。 解：在G作用下，梁中点的最大静位移为 自振频率为 干扰力频率为 求得动力系数 梁中点的最大弯矩 梁中点最大挠度

544 §14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动
§14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 图a所示简支梁，干扰力不作用在质点上。建立质点m的振动方程。 F=1作用在点1时使点1产生的位移为δ11，如图b。 F=1作用在点2时使点1产生的位移为δ12，如图c。 作用在质点m上的惯性力为 在惯性力FI和干扰力F(t)共同作用下，任一时刻质点m处的位移为 即

545 §14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动
§14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动 瞬时冲量作用下的振动问题 瞬时冲量：荷载F(t)在极短的时间Δt≈0内给与振动物体的冲量 图a所示荷载大小为F，作用时间为Δt ，其冲量I=FΔt ，即图中阴影部分的面积。 瞬时冲量作用下质点的动量增值为 可得 由 当质点获得初速度后冲量即时消失，质点在这种冲击下将产生自由振动。将初始条件代入式(g)可得瞬时冲量I作用下质点m的位移方程为

546 §14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动
§14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动 若瞬时冲量不是在t=0而是在t=τ时加于质点上，其位移方程为 图b所示一般形式的干扰力F(t)可认为是一系列微小冲量F(τ)dτ连续作用的结果，应此有 (k) (m) 不考虑阻尼ξ=0，ω’=ω则有 式(k)及式(m)—称为杜哈梅积分

547 §14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动
§14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动 若在t=0质点原来还具有初始位移和初始速度，则质点位移为 若不考虑阻尼则有 (n)

548 §14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动
§14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动 （1）突加荷载。变化规律如图a所示。 设：加载前结构处于静止状态，将 F(τ)=F代入式(k)求得 时最大动位移yd为 动力系数为 不考虑阻尼 其振动曲线如图b。

549 §14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动
§14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动 （2）短期荷载。变化规律如图所示。 当t=0时， 有突加荷载加入并一直作用在结构上； 当t=t0时， 有一个大小相等方向相反的突加荷载加入。 利用（1）得到的突加荷载作用下的计算公式按叠加法求解： 自由振动

550 §14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动
§14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动 当t0<T/2时，最大位移发生在后一阶段。 动力系数为 与荷载作用时间长短有关 当t0>T/2时，最大位移发生在前一阶段。 短期荷载的最大动力效应与突加荷载相同。

551 §14-6 多自由度结构的自由振动 1、振动微分方程的建立 刚度法 图a所示无重量简支梁，略去梁的轴向变形和质点的转动，为n个自由度的结构。
§14-6 多自由度结构的自由振动 1、振动微分方程的建立 刚度法 图a所示无重量简支梁，略去梁的轴向变形和质点的转动，为n个自由度的结构。 加入附加链杆阻止所有质点的位移，如图b。 各质点的惯性力为 各链杆的反力为

552 §14-6 多自由度结构的自由振动 令各链杆发生与各质点实际位置相同的位移，如图c。 各链杆上所需施加的力为
§14-6 多自由度结构的自由振动 令各链杆发生与各质点实际位置相同的位移，如图c。 各链杆上所需施加的力为 不计阻尼，各链杆上的总反力应等于零。 以质点mi为例有 kii、kij为刚度系数其物理意义见图d、e。 可得i质点的动力平衡方程为

553 §14-6 多自由度结构的自由振动 对每个质点都列出一个动力平衡方程，于是可得 多自由度结构无阻尼自由振动微分方程 写成矩阵形式为

554 §14-6 多自由度结构的自由振动 简写为 式中：M为质量矩阵，在集中质点的结构中是对角矩阵； K 为刚度矩阵，是对称矩阵；
§14-6 多自由度结构的自由振动 简写为 式中：M为质量矩阵，在集中质点的结构中是对角矩阵； K 为刚度矩阵，是对称矩阵； 为加速度列向量；Y为位移列向量。 将各质点的惯性力看作是静荷载如图a。 柔度法 结构上任一质点mi处的位移应为

555 §14-6 多自由度结构的自由振动 δii、δij为柔度系数其物理意义见图b、c。 由此，可以建立n个位移方程
§14-6 多自由度结构的自由振动 δii、δij为柔度系数其物理意义见图b、c。 由此，可以建立n个位移方程 多自由度结构无阻尼自由振动微分方程

556 §14-6 多自由度结构的自由振动 写成矩阵形式为 简写为 δ为结构的柔度矩阵，是对称矩阵。 可推得 柔度矩阵与刚度矩阵是互为逆阵。

557 §14-6 多自由度结构的自由振动 2、按柔度法求解 设位移方程的特解为 代入位移方程可得 振幅方程

558 §14-6 多自由度结构的自由振动 写成矩阵形式 单位矩阵 式中 —振幅列向量 要得到振幅不全为零的解答，振幅方程组的系数行列式为零。
§14-6 多自由度结构的自由振动 写成矩阵形式 单位矩阵 式中 —振幅列向量 要得到振幅不全为零的解答，振幅方程组的系数行列式为零。 频率方程

559 §14-6 多自由度结构的自由振动 或写为 将行列式展开→含 的n次代数方程，从而可得到n个自振频率ω1，ω2，…，ωn，将频率从小到大排列，分别称为第一，第二， …，第n频率。 将任一ωk代入特解得 此时各质点按同一频率ωk作同步简谐振动，各质点位移的比值为 任何时刻结构的振动都保持同一形状。 主振动—多自由度结构按任一自振频率ωk进行的简谐振动。 主振型—相应的特定振动形式，简称振型。

560 §14-6 多自由度结构的自由振动 将ωk代回振幅方程得 可写为
§14-6 多自由度结构的自由振动 将ωk代回振幅方程得 可写为 系数行列式为零，n个方程中只有(n-1)个是独立的，不能确定各质点的幅值，但可确定其比值即振型。

561 §14-6 多自由度结构的自由振动 —振型向量 设 ，即可求出其余各元素的值，此时振型称为标准化振型。
§14-6 多自由度结构的自由振动 —振型向量 设 ，即可求出其余各元素的值，此时振型称为标准化振型。 主振动的线性组合构成振动微分方程的一般解： 各主振动分量的振幅、初相角 由初始条件确定。 自振频率、振型：与结构的质量分布和柔度系数有关； 反映了结构本身固有的动力特性。

562 §14-6 多自由度结构的自由振动 两个自由度结构的振幅方程为 令 频率方程为 解得

563 §14-6 多自由度结构的自由振动 可得两个自振频率 求第一阵型 将ω=ω1代入振幅方程可得 求第二阵型 将ω=ω2代入振幅方程可得

564 §14-6 多自由度结构的自由振动 例14-3 试求图a所示等截面简支梁的自振频率并确定主振型。 解：自由度=2，由图b、c可得 求得 得到

565 §14-6 多自由度结构的自由振动 第一阵型 如图d，振型是正对称的。 第二阵型 如图e，振型是反对称的。 结构的刚度和质量分布是对称的，
§14-6 多自由度结构的自由振动 第一阵型 如图d，振型是正对称的。 第二阵型 如图e，振型是反对称的。 结构的刚度和质量分布是对称的， 则其主振型是正对称的或反对称的。 取一半结构计算。

566 §14-6 多自由度结构的自由振动 例14-4 图a所示刚架各杆EI都为常数，假设其质量集中于各结
§14-6 多自由度结构的自由振动 例14-4 图a所示刚架各杆EI都为常数，假设其质量集中于各结 点处，m2=1.5m1。试确定其自振频率和相应的振型。 超静定结构 解：结构是对称的，其振型为正、反对称两种。由受弯直杆的 假定，判定不可能发生正对称形式的振动，其振型只能是 反对称的。可取图b所示一半结构计算。

567 §14-6 多自由度结构的自由振动 作超静定结构在F1=1和F2=1作用下的弯矩图，如图a、b。 取静定的基本结构作 图，如图c、d。
§14-6 多自由度结构的自由振动 作超静定结构在F1=1和F2=1作用下的弯矩图，如图a、b。 取静定的基本结构作 图，如图c、d。 计算得

568 §14-6 多自由度结构的自由振动 有 可得 第一阵型 第二阵型 反对称振动， 质点同向振动 反对称振动， 质点反向振动

569 §14-6 多自由度结构的自由振动 3、按刚度法求解 利用柔度矩阵与刚度矩阵互为逆阵的关系，通过变换可得 振幅方程 频率方程
§14-6 多自由度结构的自由振动 3、按刚度法求解 利用柔度矩阵与刚度矩阵互为逆阵的关系，通过变换可得 振幅方程 频率方程 由频率方程可解出n个自振频率，代回振幅方程得 确定相应的n个主振型

570 §14-6 多自由度结构的自由振动 两个自由度的结构频率方程为 展开 解得 两个主振型为

571 §14-6 多自由度结构的自由振动 例14-5 图a所示三层刚架横梁的刚度可视为无穷大，设刚架的
§14-6 多自由度结构的自由振动 例14-5 图a所示三层刚架横梁的刚度可视为无穷大，设刚架的 质量集中在各层的横梁上。试确定其自振频率和主振型。 解：刚架振动时各横梁只能水平移动，自由度=3，结构的刚度 系数如图b、c、d。

572 §14-6 多自由度结构的自由振动 建立刚度矩阵为 质量矩阵为

573 §14-6 多自由度结构的自由振动 有 由频率方程得 展开 解得 自振频率

574 §14-6 多自由度结构的自由振动 确定主振型 将ωk=ω1即ηk=η1=0.392代入振幅方程有 设 标准化的第一振型为 同理可求得

575 §14-6 多自由度结构的自由振动 第一、二、三振型分别如图a、b、c。

576 §14-6 多自由度结构的自由振动 4、主振型的正交性 n个自由度的结构有n个自振频率及n个主振型，
§14-6 多自由度结构的自由振动 4、主振型的正交性 n个自由度的结构有n个自振频率及n个主振型， 每一频率及相应的主振型均满足振幅方程即： —分别设k=i，k=j，可得 两边左乘以 两边左乘以 (1) 则有 (2) K、M均为对称矩阵，将式(2)两边转置有 (3)

577 对于质量矩阵M，不同频率的两个主振型是彼此正交的。 对于刚度矩阵K，不同频率的两个主振型是彼此正交的。
§14-6 多自由度结构的自由振动 将式(1)减去式(3)得 当i≠j时，ωi ≠ ωj，应有 对于质量矩阵M，不同频率的两个主振型是彼此正交的。 将此关系代入式(1)得 对于刚度矩阵K，不同频率的两个主振型是彼此正交的。 主振型的正交性是结构本身固有的特性，可以用来简化结构的动力计算，可用以检验所得主振型是否正确。

578 §14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动
§14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 平稳阶段的纯强迫振动 图(a)所示无重量简支梁，用柔度法建立振动微分方程。任一质点mi的位移yi为 式中 各动力荷载幅值在质点mi处引起的静力位移 对n个质点有

579 §14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动
§14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 写成矩阵形式 式中 —荷载幅值引起的静力位移向量 纯强迫振动的解答为 为质点mi的振幅。 代入位移方程可得 —振幅方程

580 结论：位移、惯性力、干扰力将同时达到最大值。
§14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 或写为 式中I是单位矩阵，Y0是振幅向量。求解此方程即得各质点在纯强迫振动中的振幅，从而得各质点的惯性力为 —惯性力的最大值 结论：位移、惯性力、干扰力将同时达到最大值。 计算最大动力位移和内力时，可将惯性力、干扰力的幅值作为静力荷载加于结构上计算，如图b。

581 §14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动
§14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 将振幅方程改写为 最大惯性力向量 可写为 当θ=ωk (k=1,2,…,n)，振幅、惯性力、内力值均为无限大—共振

582 §14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动
§14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 例14-6 图a为一等截面刚架，已知m1=1kN， m2=0.5kN，F=5kN，每分钟振动300次，l=4m， EI=5×103kN·m2。试作刚架的最大动力弯矩图。 三个自由度： m1的水平位移 m2的水平位移 m3的竖向位移 解：此对称刚架承受反对称荷载，可取图b所示半刚架计算。

583 §14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动
§14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 —m1的最大惯性力 —m2沿水平、竖向最大惯性力 (1) 则有

584 §14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动
§14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 求系数和自由项，作相应弯矩图如图c~f。 由图乘法得

585 §14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动
§14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 集中质量的数值为 振动荷载的频率为 代入式(1)得 解得 由叠加法 最大动力弯矩图如图g。

586 §14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动
§14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 图a所示n个自由度的结构，当干扰力均作用在质点处时，可得动力平衡方程为 写成矩阵形式 若干扰力为同步简谐荷载 式中F=( F1 F2 … Fn )T，为荷载幅值列向量。

587 §14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动
§14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 在平稳阶段各质点均按频率θ作同步简谐振动。 代入动力平衡方程整理得 求得各质点振幅值 各质点的惯性力为 可得 求得惯性力幅值 位移、惯性力、干扰力同时达到最大值，将FI、F(t)最大值作为静力荷载作用于结构，计算最大动力位移和内力。

588 §14-8 振型分解法 多自由度结构无阻尼强迫振动微分方程为 只有集中质量的结构，M为对角阵，K不是对角阵—方程藕联 各质点的位移向量
§ 振型分解法 多自由度结构无阻尼强迫振动微分方程为 只有集中质量的结构，M为对角阵，K不是对角阵—方程藕联 各质点的位移向量 —几何坐标 坐标变换 结构标准化的主振型向量表示为 设 —位移向量按主振型分解 展开

589 §14-8 振型分解法 简写为 把几何坐标Y变换成数目相同的另一组新坐标 —正则坐标 —主振型矩阵，几何坐标与正则坐标 之间的转换矩阵 令
§ 振型分解法 简写为 把几何坐标Y变换成数目相同的另一组新坐标 —正则坐标 —主振型矩阵，几何坐标与正则坐标 之间的转换矩阵 令 —第i个主振型的广义质量 —广义质量矩阵，对角矩阵

590 § 振型分解法 —广义刚度矩阵，对角矩阵 主对角线上的任一元素 利用振型正交性可得 令i=j，可得 或 与单自由度结构的频率公式相似

591 § 振型分解法 设 有 —广义荷载向量 —相应第i个主振型的广义荷载 振动方程变换为 —解除藕联，各自独立

592 振型分解法（振型叠加法）：将位移Y分解为各主振型的叠加
§ 振型分解法 整理得 —与单自由度结构无阻尼强迫振动方程形式相同。 初位移、初速度为零时，由杜哈梅积分求得 —n个自由度结构的计算简化为n个单自由度计算问题 振型分解法（振型叠加法）：将位移Y分解为各主振型的叠加

593 §14-8 振型分解法 振型分解法计算步骤 (1) 求自振频率和振型 (2) 计算广义质量和广义荷载 (3) 求解正则坐标的振动微分方程
§ 振型分解法 振型分解法计算步骤 (1) 求自振频率和振型 (2) 计算广义质量和广义荷载 (3) 求解正则坐标的振动微分方程 与单自由度问题一样求解。 (4) 计算几何坐标 求出各质点位移→计算其他动力反应。

594 §14-8 振型分解法 例14-7 图a所示结构在结点2处受有突加荷载作用，试求两 结点的位移和梁的弯矩。 解：
§ 振型分解法 例14-7 图a所示结构在结点2处受有突加荷载作用，试求两 结点的位移和梁的弯矩。 解： (1) 结构的自振频率和振型(图b、c) (2) 广义质量

595 § 振型分解法 广义荷载 (3) 求正则坐标 (4) 求位移

596 § 振型分解法 两质点位移图形状如图d。

597 § 振型分解法 (5) 求弯矩 两质点的惯性力为 由图e可求梁的动弯矩，如

598 §14-9 无限自由度结构的振动 图a所示具有均布质量的单跨梁，其振动时弹性曲线上任一点的位移y是横坐标x和时间t的函数：
§ 无限自由度结构的振动 图a所示具有均布质量的单跨梁，其振动时弹性曲线上任一点的位移y是横坐标x和时间t的函数： 设：梁的均布自重为q， 单位长度的质量m=q/g， 惯性力的集度为 取微段隔离体如图b。 由材料力学可得

599 §14-9 无限自由度结构的振动 如梁上承受均布简谐荷载psinθt，则梁的振动微分方程为 或
§ 无限自由度结构的振动 如梁上承受均布简谐荷载psinθt，则梁的振动微分方程为 或 微分方程的解有两部分：相应齐次方程的一般解-梁的自由振动 特解-梁的强迫振动 (1) 梁的自由振动 微分方程为 设位移y为坐标位置函数F(x)和时间函数T(t)之积，即 代入微分方程有

600 §14-9 无限自由度结构的振动 左边为变量t的函数 右边为变量x的函数 上式可写为 (1) (2) 可设 得 方程(1)的解为 令 或
§ 无限自由度结构的振动 左边为变量t的函数 右边为变量x的函数 上式可写为 (1) (2) 可设 得 方程(1)的解为 令 或 频率特征值 式(2)可写为

601 § 无限自由度结构的振动 上式通解为 位移为 振幅曲线为 A、B、C、D—待定任意常数 引入新的常量 代入yx式中有 —克雷洛夫函数

602 § 无限自由度结构的振动 克雷洛夫函数有如下关系 由这些关系可写出梁的挠度yx、角位移 、弯矩和剪力的公式 (3)

603 § 无限自由度结构的振动 当x=0时，设 有 (4) 可得 全解为各特解的线性组合

604 §14-9 无限自由度结构的振动 例14-8 试求图a所示等截面梁的自振频率和振型。 解：由梁的边界条件， 由式(4)可得 —系数行列式为零
§ 无限自由度结构的振动 例14-8 试求图a所示等截面梁的自振频率和振型。 解：由梁的边界条件， 由式(4)可得 —系数行列式为零 展开 化简为

605 § 无限自由度结构的振动 由双曲函数和三角函数的图形可估计出 试算法可求得前四个值为 相应的自振频率为 可求得 由式(4)可得

606 §14-9 无限自由度结构的振动 任意常数 —M0为待定值
§ 无限自由度结构的振动 任意常数 —M0为待定值 将k=k1，k2，…分别代入yx可得出第一、第二、 …主振型曲线，其形状如图b~e。

607 § 无限自由度结构的振动 (2) 简谐均布干扰力作用下的振动 此时微分方程为 设特解为 代入上式有 令 可得方程

608 §14-10 计算频率的近似法 (1) 能量法 由能量守恒原理，结构在无阻尼自由振动时，动能T和应变能Vε之和应为常数，即 应有 即
§ 计算频率的近似法 (1) 能量法 由能量守恒原理，结构在无阻尼自由振动时，动能T和应变能Vε之和应为常数，即 应有 即 设梁的振动方程为 速度为 动能为

609 § 计算频率的近似法 应变能为 由Tmax=Vεmax得 如结构上还有集中质量mi（i=1，2，…，n），上式为

610 §14-10 计算频率的近似法 计算时，通常采用结构自重作用下的弹性曲线作为y(x)，此时应变能可用外力功来代替，即 频率计算公式改写为
§ 计算频率的近似法 计算时，通常采用结构自重作用下的弹性曲线作为y(x)，此时应变能可用外力功来代替，即 频率计算公式改写为 如求水平方向振动的频率，则重力应沿水平方向作用。

611 §14-10 计算频率的近似法 例14-9 试用能量法求图a所示等截面梁的第一自振频率。 解：取梁在自重q作用下的挠曲线
§ 计算频率的近似法 例14-9 试用能量法求图a所示等截面梁的第一自振频率。 解：取梁在自重q作用下的挠曲线 作为第一振型，如图b，即 q=mg，因而 代入公式得 精确值为

612 §14-10 计算频率的近似法 例14-10 试能量法求图a所示刚架的最低自振频率。
§ 计算频率的近似法 例 试能量法求图a所示刚架的最低自振频率。 解：将各层重量mi g作为水平力加于结构如图b，此时位移作 为第一振型。

613 § 计算频率的近似法 一般说，n层刚架中第i层位移为 代入公式得 精确值

614 §14-10 计算频率的近似法 (2) 集中质量法 例14-11 试求图a所示具有均布质量m的简支梁的自振频率。
§ 计算频率的近似法 (2) 集中质量法 例 试求图a所示具有均布质量m的简支梁的自振频率。 解：(1) 将梁分为两段，将每段的 质量集中于该段的两端， 梁化为单自由度结构。 精确解 (2) 如求第一、第二频率，至少把结构化为有两个自由度如图b。 精确解

615 §14-10 计算频率的近似法 (3) 如求第一、第二、第三频率，至少把结构化为有三个自 由度如图c。 精确解
§ 计算频率的近似法 (3) 如求第一、第二、第三频率，至少把结构化为有三个自 由度如图c。 精确解 结论：集中质量法能给出较好的近似结果，在工程上 常被采用。

616 §14-10 计算频率的近似法 (3) 用相当梁法计算桁架的最低频率 相当梁：一个在某一特征点处位移与桁架位移相等的梁。
§ 计算频率的近似法 (3) 用相当梁法计算桁架的最低频率 相当梁：一个在某一特征点处位移与桁架位移相等的梁。 当桁架变形时，任一结点k的竖向位移ΔkP为 相当梁同一点k的竖向位移vkP将是其惯性矩I的函数，可写为 二者相等即可算出相当梁的惯性矩I。

617 §14-10 计算频率的近似法 简支桁架的自重为q，则在具有相同重量的相当梁重点的竖向位移为 令 可按简支梁的频率公式求其最低频率
§ 计算频率的近似法 简支桁架的自重为q，则在具有相同重量的相当梁重点的竖向位移为 令 可按简支梁的频率公式求其最低频率 将m=q/g和EI代入得

618 §14-10 计算频率的近似法 如图所示对称桁架，设m=10kg，E=200GPa，在所示质量的重力作用下，结点3的竖向位移可求得
§ 计算频率的近似法 如图所示对称桁架，设m=10kg，E=200GPa，在所示质量的重力作用下，结点3的竖向位移可求得 代入频率公式可得

619 第十五章 悬索计算 §15-1 概述 §15-2 集中荷载作用下的单根悬索计算 §15-3 分布荷载作用下的单根悬索计算
第十五章 悬索计算 § 概述 § 集中荷载作用下的单根悬索计算 § 分布荷载作用下的单根悬索计算 § 悬索的变形协调方程及初态终态问题求解 § 悬索体系的计算

620 §15-1 概 述 悬索：悬索结构中的主要承重构件，一般由高强度钢材制成。 悬索受力特性： 只产生轴向拉力。
§ 概 述 悬索：悬索结构中的主要承重构件，一般由高强度钢材制成。 悬索受力特性： 只产生轴向拉力。 悬索的优点：受力合理，能充分利用高强度钢材的优点； 结构自重轻； 较经济地跨越很大的跨度。 悬索的特征：柔性结构，几何形状随所受荷载不同而变化； 位移与外荷载的关系是非线性的； 按变形后的几何形状和尺寸建立平衡方程。

621 §15-2 集中荷载作用下的单根悬索计算 悬索AB在竖向集中荷载作用的计算简图如图a所示。 图b为相应简支梁。
§15-2 集中荷载作用下的单根悬索计算 悬索AB在竖向集中荷载作用的计算简图如图a所示。 图b为相应简支梁。 将索端张力沿竖向和弦AB方向分解可得： 可求得索端张力的水平与竖向分量为： (a)

622 §15-2 集中荷载作用下的单根悬索计算 即给定了悬索中任一点K到弦AB的竖直距离fK，索中张力的水平分量可由下式确定 (b)
§15-2 集中荷载作用下的单根悬索计算 即给定了悬索中任一点K到弦AB的竖直距离fK，索中张力的水平分量可由下式确定 (b) 为相应简支梁K界面的弯矩。 FH在各索段中为常数，各索段的张力可由各集中力作用点的平衡方程求得，并可确定各索段的几何位置。

623 §15-2 集中荷载作用下的单根悬索计算 例15-1 求图a所示悬索在集中荷载作用下各索端张力及几何位置。 解：由图a可得悬索E点到弦
§15-2 集中荷载作用下的单根悬索计算 例15-1 求图a所示悬索在集中荷载作用下各索端张力及几何位置。 解：由图a可得悬索E点到弦 AB的竖直距离为 作相应简支梁图b。 计算得 由式(b)得

624 §15-2 集中荷载作用下的单根悬索计算 由式(a)得
§15-2 集中荷载作用下的单根悬索计算 由式(a)得 由端点（A或B）开始，依次考虑各结点处的平衡条件，可求出以分量表示的各索段张力及几何位置，如图c。

625 §15-3 分布荷载作用下的单根悬索计算 1. 平衡微分方程 悬索在分布荷载作用下的几何形状是曲线，如图a所示。 —索曲线
§15-3 分布荷载作用下的单根悬索计算 1. 平衡微分方程 悬索在分布荷载作用下的几何形状是曲线，如图a所示。 —索曲线 索两端及索中任一点张力的水平分量FH为常量。 取任一微段索dx为隔离体，其受力如图b。 (c) 由∑Fy=0可得 单根悬索基本平衡微分方程

626 §15-3 分布荷载作用下的单根悬索计算 2. 常见分布荷载作用下平衡微分方程的解 (1) 沿跨度方向均布荷载q作用，如图。 由式(c)可得
§15-3 分布荷载作用下的单根悬索计算 2. 常见分布荷载作用下平衡微分方程的解 (1) 沿跨度方向均布荷载q作用，如图。 由式(c)可得 积分两次并由边界条件可得 (d) 给定悬索跨中垂度f为控制值 令 由式(d)可得 —二次抛物线方程 代入式(d)可得

627 §15-3 分布荷载作用下的单根悬索计算 以弦AB为基线的悬索曲线方程 弦AB的直线方程 当AB为水平线时，c=0，有
§15-3 分布荷载作用下的单根悬索计算 以弦AB为基线的悬索曲线方程 弦AB的直线方程 当AB为水平线时，c=0，有 当索曲线方程确定后，索中各点的张力为 当索较平坦时，如f/l≤0.1，可近似为

628 §15-3 分布荷载作用下的单根悬索计算 (2) 沿索长度均布荷载q作用，如图。 将q转化为沿跨度方向的等效均布荷载qy，由图得
§15-3 分布荷载作用下的单根悬索计算 (2) 沿索长度均布荷载q作用，如图。 将q转化为沿跨度方向的等效均布荷载qy，由图得 代入式(c)得 积分并根据边界条件可得 (e) 式中

629 §15-3 分布荷载作用下的单根悬索计算 当AB位于水平方向时，c=0有 (f) 可得 若给定跨中垂度f，则有 —可算出FH。
§15-3 分布荷载作用下的单根悬索计算 当AB位于水平方向时，c=0有 (f) 可得 若给定跨中垂度f，则有 —可算出FH。 式(e)与式 (f)表示的曲线为悬链线。 曲线比较平坦时，可以用较简单的抛物线代替悬链线； 把沿索长度的均布荷载折算成沿跨度的均布荷载进行计算。

630 §15-3 分布荷载作用下的单根悬索计算 3. 任意分布荷载作用下平衡微分方程的解—梁比拟法
§15-3 分布荷载作用下的单根悬索计算 3. 任意分布荷载作用下平衡微分方程的解—梁比拟法 悬索微分方程式(c) 与梁的平衡微分方程形式完全相同 —梁的平衡微分方程 若两者有相同的边界条件，可建立关系式 (g) 可得 对于两端支座位于同一水平线的悬索，其两端边界条件与相应简支梁弯矩图相同。

631 §15-3 分布荷载作用下的单根悬索计算 如图a、b 悬索AB 相应简支梁AB x=0 时，y=0 x=l 时，y=0 x=0 时，M=0
§15-3 分布荷载作用下的单根悬索计算 如图a、b 悬索AB 相应简支梁AB x=0 时，y=0 x=l 时，y=0 x=0 时，M=0 x=l 时，M=0

632 §15-3 分布荷载作用下的单根悬索计算 图a为两端支座高差为c的悬索，在相应简支梁的一端加上集中力偶矩FHc，y与M得到相同的边界条件，即
§15-3 分布荷载作用下的单根悬索计算 图a为两端支座高差为c的悬索，在相应简支梁的一端加上集中力偶矩FHc，y与M得到相同的边界条件，即 x=0 时，y=0 x =l 时，y=c 悬索AB x=0 时，M=0 x=l 时，M=FHc 相应简支梁AB

633 §15-3 分布荷载作用下的单根悬索计算 任意分布荷载作用下悬索曲线的形状与相应简支梁弯矩图的形状完全相同。
§15-3 分布荷载作用下的单根悬索计算 任意分布荷载作用下悬索曲线的形状与相应简支梁弯矩图的形状完全相同。 两端等高的悬索曲线：由式(g)直接计算。 (h) 两端支座高差为c的悬索曲线：计算式为 式(h)的第二项为悬索支座连线AB的竖标，第一项为以弦AB为基线的悬索曲线竖标y1(x)，即 由式(g)、(h)可得 如果用两支座连线作为悬索线竖向坐标的基线，无论两支座等高与否，悬索曲线的形状与相应简支梁弯矩图的形状相似，任意点竖标之比为常数FH。

634 §15-3 分布荷载作用下的单根悬索计算 4. 悬索长度的计算 如图，由悬索AB中取一微分单元ds，有 积分可得悬索AB的长度为 将
§15-3 分布荷载作用下的单根悬索计算 4. 悬索长度的计算 如图，由悬索AB中取一微分单元ds，有 积分可得悬索AB的长度为 将 按级数展开，取两项时 (i) (j) 取三项时

635 §15-3 分布荷载作用下的单根悬索计算 例15-2 试求图式形状为抛物线的悬索长度。 代入式(i)积分得悬索长度为
§15-3 分布荷载作用下的单根悬索计算 例15-2 试求图式形状为抛物线的悬索长度。 代入式(i)积分得悬索长度为 代入式(h)积分得悬索长度为 解：设抛物线悬索方程为 当两支座等高时 垂度变化值大于悬索长度变化值

636 §15-4 悬索的变形协调方程及初态终态问题求解
§15-4 悬索的变形协调方程及初态终态问题求解 1. 悬索的变形协调方程 悬索实际问题的一般模式： 已知初始状态：荷载q0，位置y0，内力FH0； 求解最终状态：荷载增量Δq，悬索位置y，内力FH。 悬索的平衡方程中有两个未知量：y，FH 要补充一个方程：变形协调方程—内力与位移的关系

637 §15-4 悬索的变形协调方程及初态终态问题求解
§15-4 悬索的变形协调方程及初态终态问题求解 图示悬索的初始位置为AB，最终位置为A’B’。 由几何关系得

638 §15-4 悬索的变形协调方程及初态终态问题求解
§15-4 悬索的变形协调方程及初态终态问题求解 略去微小量 略去微小量 将上式根号按级数展开取两项可得 整根悬索总伸长量

639 §15-4 悬索的变形协调方程及初态终态问题求解
§15-4 悬索的变形协调方程及初态终态问题求解 uR-右端点支座B水平位移 uL-左端点支座A水平位移 将y=y0+v代入上式得 悬索伸长是由悬索内力增量和温度变化引起的，即 略去微小量

640 §15-4 悬索的变形协调方程及初态终态问题求解
§15-4 悬索的变形协调方程及初态终态问题求解 变形协调方程 (k) 整理得 (m) 或 2. 单根悬索初态终态问题的求解 已知悬索初始状态：荷载q0，曲线形状函数y0，初始内力FH0 M0(x)—q0作用下相应简支梁的弯矩， c0—悬索两端支座高差。

641 §15-4 悬索的变形协调方程及初态终态问题求解
§15-4 悬索的变形协调方程及初态终态问题求解 悬索最终状态：荷载变为q0+△q，曲线形状函数y与悬索内力 FH必须满足变形协调条件和终态的平衡条件 有 M (x)—q作用下相应简支梁的弯矩， c —终止状态悬索两端支座高差。

642 §15-4 悬索的变形协调方程及初态终态问题求解
§15-4 悬索的变形协调方程及初态终态问题求解 整理可得 可解出FH 式中 FS0-初始状态相应简支梁的剪力 FS -最终状态相应简支梁的剪力 如支座位移与待定的索内力有关时，需与支承结构的刚度方程联立求解；或用试算法确定支座位移。

643 均布荷载作用下，小垂度抛物线悬索内力的计算
§15-4 悬索的变形协调方程及初态终态问题求解 均布荷载作用下，小垂度抛物线悬索内力的计算 初始状态的长度 变形协调方程为 最终状态的长度 平衡方程为 (n) 长度变化值为 整理得 迭代法计算

644 §15-4 悬索的变形协调方程及初态终态问题求解
§15-4 悬索的变形协调方程及初态终态问题求解 例15-2 现有承受均布荷载抛物线的悬索，已知A=67.4mm2, E=166.6GPa，l=8m，q0=0.4kN/m，FH0=20kN，q=1kN/m. 试求悬索最终状态水平张力FH及跨中垂度增量。 解：将已知数据代入式(n)整理得 写成迭代形式 迭代计算得 初始跨中垂度 跨中垂度增量 最终跨中垂度

645 §15-5 悬索体系的计算 悬索体系由多根悬索组成，用位移法计算。 基本未知量：悬索结点位移 计算单元： 结点间的索段
§15-5 悬索体系的计算 悬索体系由多根悬索组成，用位移法计算。 基本未知量：悬索结点位移 计算单元： 结点间的索段 1. 位移法的基本假定 (1) 悬索的应力与应变保持线性关系 (2) 悬索仅承受结点集中荷载作用， 相邻结点间的索段均为直线。

646 §15-5 悬索体系的计算 2. 位移法的典型方程 图(a)表示空间悬索体系一典型结点的初始状态，汇交于此结点的悬索根数为n。
§15-5 悬索体系的计算 2. 位移法的典型方程 图(a)表示空间悬索体系一典型结点的初始状态，汇交于此结点的悬索根数为n。 (a) (b) 设j为任一索段的远端结点如图(b)，当结点i发生位移ui、vi、wi时 结点j由初始位置 j0(xj , yj , wj)移至位置 j(xj+uj , yj+vj , zj+wj)。

647 §15-5 悬索体系的计算 初始状态结点上无外荷载作用，结点i的平衡条件为 当结点承受荷载时，结点i的平衡条件为 初始状态索段ij长度为
§15-5 悬索体系的计算 初始状态结点上无外荷载作用，结点i的平衡条件为 当结点承受荷载时，结点i的平衡条件为 初始状态索段ij长度为 最终状态索段ij长度为

648 §15-5 悬索体系的计算 ( i=1, 2, 3, …, N ) 整理后可得 典型方程

649 §15-5 悬索体系的计算 典型方程写成矩阵形式 F—结点荷载列阵。温度变化的影响计入这一项； R—未知位移的非线性项，列矩阵；
§15-5 悬索体系的计算 典型方程写成矩阵形式 F—结点荷载列阵。温度变化的影响计入这一项； R—未知位移的非线性项，列矩阵； K—体系的线性工作部分的刚度矩阵； Δ—未知结点位移分量的列矩阵。 典型方程的求解步骤 (1) 选择适当的荷载分级数。用一正整数m除F； (2) 将F/m荷载加于悬索体系。 (3) 应用迭代法求解。收敛标准为 (4) 重复(2)、(3) 运算，直到全部荷载加到悬索体系上，求出全部结点位移分量。

650 §15-5 悬索体系的计算 例 图(a)所示平面悬索横截面积A=548mm2，E=154GPa，重47.03N/m，用位移法计算时将该索分为10段，索自重移到各结点上，初始状态设定垂跨比为1/10，已知各索段水平张力FH0=17.78kN。求在结点4上悬挂35.56kN荷载时，各结点的位移分量和各索段的内力。

651 §15-5 悬索体系的计算 解：平面索系结点数为9，位移分量数为18，刚度矩阵的 阶数为18×18。
§15-5 悬索体系的计算 解：平面索系结点数为9，位移分量数为18，刚度矩阵的 阶数为18×18。 荷载分级数为m=160，精度要求限值ε=0.3×10-3m。 迭代计算所得各结点位移分量为 结点 位移/m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 u 0.515 0.429 -0.083 -0.845 -1.123 -1.475 -1.718 -1.673 -1.160 v -1.423 -1.003 1.285 5.473 -0.233 -3.995 -5.834 -5.771 -3.821

652 §15-5 悬索体系的计算 据此求得的各索段内力列于图b中。