保 险 学 第十二章 保险精算.

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1 保 险 学 第十二章 保险精算

2 本章教学目的 让学生在了解保险精算的产生与发展、基本任务和基本原理的基础上，掌握非寿险精算中保险费率的厘定方法、“大数”的测定、财务稳定性分析，以及自留额与分保额的决策；掌握寿险精算中生命表，趸缴纯保险费、年金保险纯保险费、年度纯保费和毛保险费的计算，以及理论责任准备金和实际责任准备金的计算。

3 第一节 保险精算概述 一、保险精算的产生与发展
所谓精算，就是运用数学、统计学、金融学及人口学等学科的知识和原理，去解决工作中的实际问题，进而为决策提供科学依据。 保险精算是以数学、统计学、金融学、保险学及人口学等学科的知识和原理，去解决商业保险和社会保障业务中需要精确计算的项目，如研究保险事故的出险规律、保险事故损失额的分布规律、保险人承担风险的平均损失及其分布规律、保险费和责任准备金等保险具体问题的计算。

4 第一节 保险精算概述 一、保险精算的产生与发展
寿险精算是从寿险经营的窘境中应运而生的。当时，寿险的保费采用赋课制，未将年龄大小、死亡率高低等与保费挂钩，有关计算单一、粗糙，考虑的因素少，因而使寿险经营缺乏严密的科学基础。 17世纪后半叶，世界上有两位保险精算创始人研究人寿保险计算原理取得突破性进展，一位是荷兰的政治家维德(Jeande Witt)，他倡导了一种终身年金现值的计算方法，对国家的年金公债发行提供了科学依据；另一位是英国天文学家赫利（Edmund Halley），他在研究人的死亡率的基础上发明了生命表，从而使年金价值的计算更精确。 18世纪40年代至50年代，辛浦森（Thomas Simpson）根据赫利的生命表，制作出依照死亡率增加而递增的费率表，陶德森(James Dodson)依据年龄之差等因素而找出计算保险费的方法。

5 第一节 保险精算概述 一、保险精算的产生与发展
与寿险精算相比，非寿险精算相对落后。但由于所定的保险费率较高，保费收入不仅超过收支相抵的适当水平，还包括了充足的准备金以应付各种意外损失，因而使保险业仍有利可图。 进入20世纪以来，情况发生了根本的变化。首先，出现了前所未有的巨大风险；其次，在日益完善的保险市场上，保险人之间的竞争愈演愈烈；再者，还存在着保险费率的剧烈下降，奉行客户至上主义，甚至政府对某些险种的费率实行管制等多种因素。因此，当代的保险人不再可能收取显著高于适当水平的保费并在业务中保持。 随着统计理论及其不断成熟，保险人在确定保险费率、应付意外损失的准备金、自留限额、未到期责任准备金和未决赔款准备金等方面，都力求采用更精确的方式取代以前的经验判断。

6 第一节 保险精算概述 一、保险精算的产生与发展
顾名思义，精算师是在保险公司专司精算职责的人。通常，精算师在保险公司的传统职能是计算保险费率和评估公司每年度的责任准备金。 随着国际保险市场的开放和保险精算的发展，有些国家已经开始授予一定的法定职能于精算师。发生这种转变的主要原因有：①政府监管部门的职责主要是确保保险市场的整体稳定、定价合理、保险公司的财务稳定和能够为投保人提供保障。②寿险品种和保险市场的发展日趋复杂，政府部门难以随时审核每家保险公司的经营情况。③部分国家和地区的精算师学会对其会员制定专业指引和守则，以确保其会员可以正确履行精算师的职能；同时，接受过专业训练的精算师，因为经常参与公司的业务，可以熟悉保险公司的整体运作。④为了增强保险公司的竞争能力，有关保险条例必须根据每家公司的不同情况灵活处理，同时必须顾及保险公司财政状况的稳定。

7 第一节 保险精算概述 二、保险精算的基本任务
保险精算最初的定义是“通过对火灾、盗窃以及人的死亡等损失事故发生的概率进行估算以确定保险公司应该收取多少保费。” 在寿险精算中，利率和死亡率的测算是厘定寿险成本的两个基本问题。由于利率一般是由国家控制的，所以在相当长的时期里利率并不是保险精算所关注的主要问题，而死亡率的测算即生命表的建立成为寿险精算的核心工作，现在也仍然是精算研究的课题。 非寿险精算始终把损失发生的频率、损失发生的规模以及对损失的控制作为它的研究重心。现在，非寿险精算已经发展了两个重要分支：一是损失分布理论；二是风险理论。 伴随着金融深化的利率市场化，保险基金的风险也变为精算研究的核心问题。在这方面要研究的问题包括投资收益的敏感性分析和投资组合分析、资产和负债的匹配等。

8 第一节 保险精算概述 三、保险精算的基本原理 保险精算最基本的原理可简单归纳为收支相等原则和大数法则。
所谓收支相等原则就是使保险期内纯保费收入的现金价值与支出保险金的现金价值相等。由于寿险的长期性，在计算时要考虑利率因素，可分别采取三种不同的方式：①根据保险期间末期的保费收入的本利和（终值）及支付保险金的本利和（终值）保持平衡来计算；②根据保险合同成立时的保费收入的现值和支付保险金的现值相等来计算；③根据在其他某一时点的保费收入和支付保险金的“本利和”或“现值”相等来计算。 所谓大数法则，是用来说明大量的随机现象由于偶然性相互抵消所呈现的必然数量规律的一系列定理的统称。

9 第一节 保险精算概述 三、保险精算的基本原理 （一）切比雪夫（Chebyshev）大数法则
设 ， ，…， ，…是由两两相互独立的随机变量所构成的序列，每一随机变量都有有限方差，并且它们有公共上界： D( )≤C，D( )≤C，…D( )≤C，…，则对于任意的ε>0，都有： 这一法则的结论运用可以说明，在承保标的数量足够大时，被保险人所交纳的纯保险费与其所能获得赔款的期望值相等。这个结论反过来，则说明保险人应如何收取纯保费。

10 第一节 保险精算概述 三、保险精算的基本原理
（二）贝努利(Bernoulli)大数法则 设Mn是n次贝努利实验中事件A发生的次数，而p是事件A在每次实验中出现的概率，则对于任意的ε>0，都有： 在非寿险精算中，往往假设某一类标的具有相同的损失概率，为了估计这个概率的值，便可以通过以往有关结果的经验，求出一个比率——这类标的发生损失的频率。而在观察次数很多或观察周期很长的情况下，这一比率将与实际损失概率很接近。换句话说，当某个所需要求的概率不能通过等可能分析、理论概率分布近似估计等方法加以确定时，则可通过观察过去大量实验的结果而予以估计，即用比率代替概率。反过来，经估计得到的比率，可由将来大量实验所得的实际经验而修正，以增加其真实性。

11 第一节 保险精算概述 三、保险精算的基本原理 （三）普阿松(Poisson)大数法则
假设某一事件在第一次实验中出现的概率为P1,在第二次实验中出现的概率为P2，…，在第n次实验中出现的概率为Pn。同样用Mn来表示此事件在n次实验中发生的次数，则依据普阿松大数法则有： 对于任意的ε>0，成立 普阿松大数法则的意思是说：当实验次数无限增加时，其平均概率与观察结果所得的比率将无限接近。

12 第二节 非寿险精算 一、保险费率的厘定 保险费率的厘定，关键在于纯费率的确定。而纯费率的确定通常有两种方法：
一是依据统计资料计算保额损失率，进而确定纯费率r； 二是在损失分布和赔款条件已知的情况下，用赔款金额的期望值E除以保险金额I而得到r，即r= E/I。 如果附加费率在保险费率中的比例为k，则保险费率可由R=r/(1-k)求得。

13 第二节 非寿险精算 一、保险费率的厘定 （一）观察法
观察法是指对个别标的的风险因素进行分析，观察其优劣，估计其损失概率，直接决定其费率。这种方法的采用，往往是因为保险标的数量较少，无法采用统计资料，因而主要凭借精算人员的知识与经验。 观察法所制定的费率，最能反映个别风险的特性，具有灵活、精确的特点，这是因为：①在风险单位数量很少的情况下，不能硬性将风险性质差异很大的各风险单位集中在一块，统一制定费率，否则，将违反利用大数法则估计损失概率的前提条件；②观察法制定费率，虽是针对个别标的而言，但精算人员往往根据过去的费率和经验，以及对此标的有影响的各种风险因素进行仔细的分析，然后才确定费率；③观察法通常也要利用一些资料，只不过较为粗略而已。

14 第二节 非寿险精算 一、保险费率的厘定 （二）分类法
分类法是指将性质相同的风险，分别归类，而对同一分类的各风险单位，根据它们共同的损失概率，订出相同的保险费率。 分类费率确定之后，经过一定时期，如与实际经验有所出入，则应进行调整，其调整公式为： 公式中各符号的含义如下：M——调整因素，即保险费应调整的百分比；A——实际损失比率；E——预期损失比率；C——信赖因素。 采用上面的公式来决定费率调整的百分比，关键在于确定信赖因素C的大小。

15 第二节 非寿险精算 一、保险费率的厘定 （三）增减法
增减法是指在同一费率类别中，对被保险人给以变动的费率。其变动或基于在保险期间的实际损失经验，或基于其预想的损失经验，或同时以两者为基础。增减法对分类费率可能有所增加，但也可能有所减少，主要在于调整个别费率。 1.表定法 采用表定法时，必须首先在各分类中对各项特殊显著的风险因素设立客观标准。当被保险人购买保险时，就以这种客观标准来测度风险的大小。

16 第二节 非寿险精算 一、保险费率的厘定 （三）增减法 2.经验法
采用经验法制定费率，是根据被保险人以往的损失经验，对按照分类费率制定的费率加以增减变动。所以经验法主要是一种调整费率的方法。采用经验法调整费率的公式为： 公式中各符号的含义如下：M——保险费率调整的百分比；A——经验时期被保险人的实际损失；E——被保险人适用某分类时的预期损失；C——信赖因素；T——趋势因素（考虑平均赔偿金额支出趋势及物价指数的变动）。

17 第二节 非寿险精算 一、保险费率的厘定 （三）增减法 3、追溯法
追溯法是与经验法相对的一种费率调整方式，它以保险期内被保险人的实际损失为基础，计算被保险人当期应缴的保险费。在使用这种方法时，先在保险期开始前以其他方式确定预缴保险费，然后在保险期满后，根据实际损失，对已缴保费进行增减变动，其计算公式如下： RP = ［BP+L·LCF］·TM 公式中符号的含义如下：RP——Retrospective Premium，为计算所得的追溯保险费；BP——Basic Premium，为基本保险费；L——Loss，实际损失金额；LCF——Loss Conversion Factor，损失换算 因数（其数值大于1）；TM——Tax Multiplier，租税乘数（其数值大于1）。

18 第二节 非寿险精算 一、保险费率的厘定 （三）增减法 4、折扣法 顾名思义，折扣法是对个别被保险人采用折扣费率。 二、“大数”的测定
在一定的要求之下，“大数”由下面的公式来测定： 公式中各个符号的含义为：N——在一定条件下应具有的风险单位数。E——（相对于预期损失次数而言）实际损失变动次数与总数的比率，表示所需要的精确度。S——实际损失与预期损失相差的标准差的个数。S的值可以说明对所获得的结果的信赖程度。p——某一特定标的（风险单位）发生损失的概率。

19 第二节 非寿险精算 三、财务稳定性分析 假定某公司承保的某项业务有n个保险单位，每个保险单位的保险金额为a元，纯费率为q。如果损失标准差为σ，则称aσ为赔偿金额标准差，用Q表示，即Q = aσ。把anq（即纯保费总额）称为保险赔偿基金，用P表示，即 P = anq。赔偿金额标准差与保险赔偿基金的比值，称为财务稳定系数，用K表示，即K=Q/P。 一般而言，财务稳定系数K越小，财务稳定性越好；反之，财务稳定系数K越大，财务稳定性越差。 假定有n个保险标的，每个保险标的的保险金额为a元，损失概率为p，纯费率为q，若损失服从二项分布，则有：

20 第二节 非寿险精算 假定保险公司承保有两类业务，第一类业务承保n1个单位，每个单位的保险金额为a1元，纯费率为q1，第二类业务承保n2个单位，每个单位的保险金额为a2元，纯费率为q2。则： 第一类业务上的出险次数标准差为： 赔偿金额标准差为： 财务稳定系数为： 同样可以得到： 如果把第一类业务与第二类业务合并，则赔偿金额标准差为： 财务稳定系数为： 其中

21 第二节 非寿险精算 一般地，当有j个业务合并时，有： 四、自留额与分保额的决策 其中， 假定在原有业务上，赔偿基金为，赔偿金额标准差为，
则将另外接受n个保险单位，保额为x元，纯费率为q，则 ：

22 第二节 非寿险精算 合并业务后： 要使K1+2仍维持K1的值，则应有： 整理后可得： 当q十分小时，可近似得到：
要维持原有的财务稳定性，对于新接受的业务，如果保险金额在x以下，则可全部自留，对于保险金额超过x的新业务，自留额以x为限，超过部分予以分保。 

23 第三节 寿险精算 为讨论问题的方便，本节的计算一律作如下几个假定： ①被保险人的生死遵循预定生命表所示的生死规律；
②同一种类的保险合同，全部于该年龄初同时订立； ③保险金于每年度末同时支付； ④保险费按预定利率复利生息，并假定年利率为i； ⑤假定保险金额均为1元（有特别说明者例外），因而所求得的纯保险费就是纯保险费率； ⑥总是假定生命表中某一年龄的人都向保险公司投保了某种保险，而不管实际情况是否这样，因为这并不影响结论的正确性。

24 第三节 寿险精算 一、生命表 生命表是根据以往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制的，由每个年龄死亡率所组成的汇总表。生命表中最重要的就是设计产生每个年龄的死亡率。影响死亡率的因素很多，主要有年龄、性别、职业、习性、以往病史、种族等。一般情况下，在设计生命表时，只注重考虑年龄和性别。 生命表可以分为国民生命表和经验生命表。前者是根据全体国民或者以特定地区的人口的死亡统计数据编制的生命表，它主要来源于人口普查的统计资料。后者是根据人寿保险、社会保险以往的死亡记录(经验)所编制的生命表。保险公司使用的是经验生命表。

25 第三节 寿险精算 ｘ：表示年龄。 ：生存数，是指从初始年龄至满ｘ岁尚生存的人数。 ：死亡数，是指ｘ岁的人在一年内死亡的人数。
：死亡率，表示ｘ岁的人在一年内死亡的概率。 Px:生存率。表示ｘ岁的人在一年后仍生存的概率，即到ｘ＋１岁时仍生存的概率。 ：平均余命或生命期望值。表示ｘ岁的人以后还能生存的平均年数。若假设死亡发生在每一年的年中，则有：

26 第三节 寿险精算 表示ｘ岁的人在ｔ年末仍生存的概率。 表示ｘ岁的人在ｔ年内死亡的概率。 表示ｘ岁的人在生存ｔ年后ｕ年内死亡的概率。

27 第三节 寿险精算 二、趸缴纯保险费 （一）定期人寿保险的纯保险费
假定x岁的人投保n年定期人寿保险，年初每个投保人应缴的纯保险费为 元。依据收支相等原则，保险公司支付保险金的现值总和与期初纯保险费的总和应相等。即有： 其中， 为折现率。如果令： 则可得到：

28 第三节 寿险精算 二、趸缴纯保险费 （二）终身人寿保险的纯保险费 假设生命表中所定最终年龄为ω岁，则有： 如果令：
则定期和终身人寿保险的纯保险费可分别表示为：

29 第三节 寿险精算 二、趸缴纯保险费 假定x岁的人投保n年定期生存保险，所缴的纯保险费为 元。考虑利息因素，依据收支相等原则有：
（三）纯粹生存保险的纯保险费 假定x岁的人投保n年定期生存保险，所缴的纯保险费为 元。考虑利息因素，依据收支相等原则有： 整理后可得： （四）混合保险的纯保险费 如果把保险期限为n年的混合保险的纯保险费记 为 ，则

30 第三节 寿险精算 三、年金保险的纯保险费 （一）即期年金
假定x岁的人投保期限为n年的年金保险，保险公司每年初支付保险金。设投保人应缴的纯保险费为 ，则依据收支相等原则应有： 如果将给付周期改为终身，则可得到： 令 ，则可将上面两个公式变为：

31 第三节 寿险精算 三、年金保险的纯保险费 （一）即期年金 （二）延期年金
用与上面同样的方法可以得到期末付定期年金的纯保险费为： 期末付终身年金的纯保险费为： （二）延期年金 x岁的人投保期限为n年的年金保险，m年后开始（在期首）给付，即延期m年。 表示n年定期期首付延期年金的纯保险费，由收支相等原则有：

32 第三节 寿险精算 三、年金保险的纯保险费 用同样的方法可以得到期末付定期延期年金的纯保险费为： 期首付延期终身年金的纯保险费为：
期末付延期终身年金的纯保险费为：

33 第三节 寿险精算 四、年度纯保费 假定n年定期死亡保险的纯保险费分m年付清，用 五、人寿保险的毛保险费
来表示年度纯保费，年度纯保费的现值之和应与一次付足的纯保费的现值相等，即应有： 整理可得： 五、人寿保险的毛保险费 保险公司所收取的保险费中，用来作为给付的那部分保险费是纯保险费，而用来作为业务费用开支的那部分保险费称为附加保费。纯保险费与附加保费之和称为毛保险费。

34 第三节 寿险精算 五、人寿保险的毛保险费 公司对原始费用，不应单纯地将它全部加在第一年的纯保险费上，而需将它均匀地分摊到各期的保险费上。
如果被保险人投保时的年龄为x岁，保险期限为n年，保险费分次m交付，再假定全部原始费用为α元，在每一年度保险费上应摊加的金额为s元。很显然，这些摊加在每一年度的费用的现值的积存值与原始费用的现值相等，于是成立： 由此可以得到：

35 第三节 寿险精算 五、人寿保险的毛保险费 如果被保险人投保时的年龄为x岁，保险期限为n年，保险费分m次交付，再假定全部原始费用为α元，每年的管理费为β元，代理手续费为毛保险费的比例γ。求保险金额为1元的混合保险的年缴毛保险费。 （一）三元素法 设年缴毛保险费为P，我们可以作如下分析：

36 第三节 寿险精算 五、人寿保险的毛保险费 根据收支相等原则应有： （一）三元素法 （二）比例法 整理后可得：
比例法假定附加保费为毛保费的一定比例，设为K。如 果纯保费为P，毛保费为，则： 比例常数法根据每张保单的平均保额推算出每单位保 额所必须支付的费用，作为一个固定常数(用C表示)，然后再确定一个毛保费的比例作为附加费用，由此有：

37 第三节 寿险精算 六、理论责任准备金及其计算 责任准备金实质上是保险人对被保险人或其收益人的一种负债。
人寿保险的责任准备金，是保险人向投保人所收取的纯保险费，加上按事先约定的年利率复利结算方式计算的本利和，与人寿保险合同中所规定的保险人应在当年所支付保险金的差额；从被保险人方面来说，是他所交付的纯保险费的本利和，与他当年应分摊的给付保险金之间的差额。 责任准备金实质上是保险人对被保险人或其收益人的一种负债。 责任准备金可分为理论责任准备金和在其基础上修正后的实际责任准备金。

38 第三节 寿险精算 六、理论责任准备金及其计算 （一）过去法
过去法以分析已缴的纯保险费为出发点。假定生命表内所列年龄为x岁的人，全部向保险公司投保同一保险条件、同一保险期限、同一缴费次数的人寿保险，保险金额均为1元，则在投保后第t年年末，被保险人的年龄为x + t岁，届时保险公司对全体被保险人提存的责任准备金应等于：在被保险人的年龄为x + t岁时，已缴纯保险费的积存值，减去被保险人的年龄为x + t岁时，根据生命表保险公司已支付的保险金的积存值。 由于这种计算方式涉及到生存分红年金和期末死亡保险费，故我们仅在此给出相应的计算公式（用 表示在第t年的准备金）。

39 第三节 寿险精算 六、理论责任准备金及其计算 （一）过去法 如果缴费次数与保险年限相同，则：
如果保险期限为n年，保险费在最初m年交付，t≤m，则： 如果保险期限为n年，保险费在最初m年交付，t>m，则： 如果是纯粹生存保险，由于保险公司在以往t年内并未有 任何给付，上面公式中含有 的项目均不出现。

40 第三节 寿险精算 六、理论责任准备金及其计算 （二）未来法
未来法是与过去法相对的一种方法，它以分析未缴的纯保险费为出发点。按照这一方法，在被保险人x + t岁时， 的值等于：未来的保险责任的现值减去待收保险费的现值。以定期死亡保险为例： 如果缴费次数与保险年限相同，则： 如果保险期限为n年，保险费在最初m年交付，t≤m，则： 如果保险期限为n年，保险费在最初m年交付，t>m，则：

41 第三节 寿险精算 六、理论责任准备金及其计算
（二）未来法 在上述三个公式中，如果将x + n推至极限年龄ω，则可得到终身死亡保险的准备金计算公式；如果将第一项分别改为 或 ，则分别得到生存保险或混合保险的责任准备金的计算公式。 小结：理论责任准备金仅与保险条件、保险期限、缴费方式以及保险金额等有关，而与计算方法无关。

42 第三节 寿险精算 七、实际责任准备金及其计算
由于原始费用的关系，第一年的费用要比以后各年的费用大得多。因此，保险公司实际提存的准备金并不与理论准备金相同，而是将理论准备金加以必要的修正计算出来的。这种修正后的准备金称为实际责任准备金，又称修正责任准备金。 不论采用什么方式对理论责任准备金加以修正，在保单到期时的实际责任准备金应与理论责任准备金相同。 我们假定承保有下面的具有代表意义的保单：某年龄为x岁的人，投保n年定期混合保险，保险金额为元，保险费自保单开始时起分m年交付。

43 第三节 寿险精算 七、实际责任准备金及其计算
在修正准备金时，第一个问题是如何决定第一年度的纯保险费 及第二年以后的纯保险费 ，如果令 与 差额为α，则有： 由于 可见，只要使α等于某个规定值，就可求出 及 。 保险公司第一年的给付，在理论上应等于自然纯保费 ， 故应有： 因此： 不难求出α的最高限额为：