第3章 静定结构的内力计算 一、静定梁的内力计算 二、静定刚架的内力计算 三、三铰拱的内力计算 四、静定桁架的内力计算

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1 第3章 静定结构的内力计算 一、静定梁的内力计算 二、静定刚架的内力计算 三、三铰拱的内力计算 四、静定桁架的内力计算
第3章 静定结构的内力计算 一、静定梁的内力计算 二、静定刚架的内力计算 三、三铰拱的内力计算 四、静定桁架的内力计算 五、组合结构的内力计算

2 一、静定梁的内力计算 1.单跨静定梁 单跨静定梁分为两种： 一是水平放置的单跨静定水平梁； 二是倾斜放置的单跨静定斜梁。
本节仅讨论单跨静定斜梁的内力计算。单跨静定斜梁的内力计算方法与单跨静定水平梁相同。但须注意的是单跨静定斜梁的内力除剪力和弯矩外，一般还有轴力。

3 截面上的内力的符号意义和正负号规定： 符号意义: FNAB和FNBA 分别表示AB段的A端和B端的轴力； FQAB和FQBA 分别表示AB段的A端和B端的剪力； MAB和MBA 分别表示AB段的A端和B端的弯矩.

4 剪力以使分离体顺时针向转动为正，逆时针向转动为负;弯矩以使分离体下层纤维拉伸、上层纤维压缩为正.
内力的正负号规定: 轴力以拉力为正,压力为负; 剪力以使分离体顺时针向转动为正，逆时针向转动为负;弯矩以使分离体下层纤维拉伸、上层纤维压缩为正. 内力的正负号与荷载之间的关系:

5 对内力图所作的规定为： 截面的内力与载荷之间的关系是： 轴力=截面一侧的所有外力在垂直于截面方向投影的代数和；
剪力=截面一侧的所有外力在平行于截面方向投影的代数和； 弯矩=截面一侧的所有外力对截面形心力矩的代数和. 对内力图所作的规定为： 弯矩图一律绘在杆件受拉的一侧，图上不必注明正负号；剪力图和轴力图，可绘在杆轴的任一侧，但需要注明正负号。（在水平梁上通常把正号剪力或轴力绘于上方）。

6 多跨静定梁是由若干根梁用铰联结而成的一种静定结构。这种结构除多用于桥梁外，房屋建筑中的檀条有时也采用这种形式。
2 多跨静定梁 多跨静定梁是由若干根梁用铰联结而成的一种静定结构。这种结构除多用于桥梁外，房屋建筑中的檀条有时也采用这种形式。 a b

7 从几何组成看，多跨静定梁的各部分可以区分基本部分和附属部分。
如图所示梁，其中梁AC是基本部分；另外，梁DG和HJ因在竖向荷载作用下仍能独立地维持平衡，故受竖向荷载作用时也当作基本部分。而梁CD和GH则必须依赖基本部分才能保持其几何不变性，为附属部分。它们之间的依存关系可表示如图所示的层叠图。

8 多跨静定梁简图 基本部分--不依赖其它 多跨静定梁实例 部分而能独立地维持其 几何不变性的部分。 附属部分--依赖基本 部分的存在才维持几
何不变的部分。 多跨静定梁简图 基、附关系层叠图

9 请画出叠层关系图 组成 多跨 静定 梁的 部件 组 成 例 子

10 荷载仅在基本部分上，只基本部分受力，附属部分不受力； 荷载在附属部分上，除附属部分受力外，基本部分也受力。
F2 F1 F1 F2 分析顺序：先附属部分，后基本部分。 荷载仅在基本部分上，只基本部分受力，附属部分不受力； 荷载在附属部分上，除附属部分受力外，基本部分也受力。

11 例1：试画图示连续梁的弯矩图和剪力图。

12 + 9 9.5 12 2.5 5 4 FQ 图（kN）

13 例2：已知q， l。欲使梁上最大正、负弯矩的绝对值相 等，试确定铰 B、E 的位置。
由MC=AB跨中弯矩可求得x

14 多跨简支梁

15 例3：作图示多跨静定梁的内力图，并求出各支座的反力。
1m 4m

16 例4: 试作图示多跨静定梁的内力图。 如何 求支座 B反力?

17 二 静定平面刚架的内力计算 在分析静定刚架时，通常应先由整体及某些部分的平衡条件，求出各支座反力，然后再逐杆计算各杆端内力并绘制内力图。杆端内力的符号意义、正负号规定以及内力图画法规定均同单跨静定梁.

18 以下图所示的刚架为例说明它的计算方法

19 　(1) 求支座反力。 　取整个刚架为分离体，由静力平衡条件：

20 (２) 求杆端内力。 　 先取竖柱为分离体，受力图如右所示。A端内力可由支座反力求得

21 再取横梁为分离体，受力图如下图所示。D端内力可由支座反力求得
C端内力可由静力平衡条件，得： 　　再取横梁为分离体，受力图如下图所示。D端内力可由支座反力求得

22 C端内力由静力平衡条件，得

23 (３) 绘制内力图。 在求得各杆端内力后，即可绘制内力图了．
(３) 绘制内力图。 在求得各杆端内力后，即可绘制内力图了． 先说明弯矩图的作法： 竖柱AC：利用区段叠加法。 横梁CD：利用区段叠加法。

24 再说明剪力图和轴力图的作法： 作剪力图时仍逐杆进行，根据已求出的杆端剪力，按单跨静定梁来绘出剪力图，并由此可绘出整个刚架的剪力图．
再说明剪力图和轴力图的作法： 　　作剪力图时仍逐杆进行，根据已求出的杆端剪力，按单跨静定梁来绘出剪力图，并由此可绘出整个刚架的剪力图． 同理，可作轴力图如下图所示。

25 (4) 校核。 取刚结点C为分离体，检验是否满足力矩平衡条件： 取刚架上部分的横梁CD为分离体，检验是否满足投影平衡条件： 和

26 静定刚架的内力图绘制方法： 一般先求反力，然后求杆端 弯矩，再用区段叠加法逐杆 绘制，原则上与静定梁相同。

27 例1、试作图示刚架的内力图 FBx FAy FBy

28 40 kN 80 kN 30 kN

29 FQ FN

30 附属 部分 例四、例2 试作图示刚架的弯矩图 基本 部分

31 弯矩图如何?

32

33 少求或不求反力绘制弯矩图 1.弯矩图的形状特征（微分关系） 2.刚结点力矩平衡 3.外力与杆轴关系(平行,垂直,重合) 4.特殊部分(悬臂部分,简支部分) 5.区段叠加法作弯矩图 根 据

34 例3、不经计算画图示结构弯矩图. FP

35 FP FPa 2FP

36 FBy FAy FAx 60 240 180 40

37 FPa FPa FP a FPa 2FPa FPa 2FP

38

39

40 例4 已知结构的弯矩图，试绘出其荷载。 FP a/2 a FPa /2 FPa FP a/2 2 FP 反 问 题

41 已知结构的弯矩图，试绘出其荷载。 8 2 FP 4 m 2 m 8 6 1 2 3 反 问 题

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44 三. 三铰拱的内力计算 拱是曲杆在竖向荷载作用下支座处将产生水平反力的结构，这种水平反力又称为水平椎力，或简称为推力。有无水平推力，是拱与曲梁区别的重要标志。

45 由于有水平推力，使得拱的各截面弯矩比相应曲梁或直梁的弯矩要小。因此，与梁相比，拱用料省，自重轻、跨度大。又由于拱主要承受轴向压力，故可充分利用抗压性能优于抗拉性能的材料，如砖、石、混凝土。它广泛用于桥梁，在房屋建筑中也常采用 . 工程中常用的静定拱是三铰拱。按两支座连线是否水平，分为平拱和斜拱。

46 三铰拱的支座反力和截面内力，通常是用相应简支梁的支座反力和截面内力来表示的。
由整体平衡,有

47 由左半拱的平衡,有

48 关于拱的截面内力及截面转角的正负号作如下规定 ：
弯矩M以使拱的内侧受拉为正，反之为负； 剪力FQ以使分离体顺时针方向转动为正，反之为负； 轴力FN以使拱截面受压为正，反之为负； 截面转角φ在左半拱为正，右半拱为负。

49 可见，由于水平推力的存在，使得三铰拱任一截面上的弯矩比相应简支梁对应截面的弯矩小。
取截面K以左部分为分离体，如图（c）所示. 可见，由于水平推力的存在，使得三铰拱任一截面上的弯矩比相应简支梁对应截面的弯矩小。

50 拱的任一截面上只存在轴力的拱轴，称为合理拱轴。

51 当拱轴为合理轴线时，拱的任一截面上的弯矩应为零，即

52 四 静定平面桁架的内力计算 桁架是由若干直杆在其两端用铰联结而成的结构。

53 (1) 桁架的分类 按桁架的外形分为 平行弦桁架 折弦桁架

54 三角弦桁架 梯形桁架

55 按支座反力的特点分为 无推力桁架或梁式桁架

56 有推力桁架或拱式桁架

57 按桁架的几何组成方式分为 简单桁架: 它是从一个基本铰接三角形或基础开始，依 次增加二元体所组成的桁架.

58 联合桁架: 它是由几 个简单桁架按几何不变体系的组成规则所联成的桁架.
复杂桁架: 它是除上述两类桁架以外的其它桁架.

59 (2) 研究方法 结点法:逐个地取结点为分离体，分别列平衡方程，即可求出全部杆件轴力的方法。

60 在计算时， ①通常假设各杆的轴力均为拉力，若所得为负，则为压力。 ②在建立结点的平衡方程时，往往需要把轴力FN分解为水平分力 FNx和竖向分力FNy。设杆长为l ，其水平投影长度和竖向投影长度分别为lx 和 ly，则由它们之间的相似关系有

61 ③找出桁架中轴力为零的杆件（称为零杆），可使计
算得以简化。零杆的判别有以下两种情况： 不共线的两杆结点，无外力作用时，这两杆必要零杆。 两杆共线的三杆结点，无外力作用时，另一杆必为零杆，共线的两杆轴力大小相等且同为拉力或压力

62 例1. 求以下桁架各杆的内力

63 -33 34.8 -8 37.5 -5.4 19 -5.4 -8 -33 34.8

64 在用结点法进行计算时，注意以下三点，可使计算过程得到简化。
对称性的利用 如果结构的杆件轴线对某轴（空间桁架为某面）对称，结构的支座也对同一条轴对称的静定结构，则该结构称为对称结构。 对称结构在对称或反对称的荷载作用下，结构的内力和变形必然对称或反对称，这称为对称性。

65 对称结构受对称荷载作用, 内力和反力均为对称:
E 点无荷载,红色杆不受力 FAy FBy

66 对称结构受反对称荷载作用, 内力和反力均为反对称:
垂直对称轴的杆不受力 FAy FBy

67 对称轴处的杆不受力

68 判断结构中的零杆 FP/2 FP F

69 截面法:通过需求轴力的杆件作一适当的截面，将桁架分成两部分，再取任一部分为分离体，由平衡方程即可直接求得指定杆件未知内力的方法，叫截面法。

70 例2 试用截面法求图示桁架指定杆件的内力。 m 6m A B FP 1 2 3 4 m n 2.5FP FN1 =-3.75FP FN2 =3.33FP FN3 =-0.50FP FN4=0.65FP

71 相 交 情 况 FP a为截面单杆

72 平行情况 FP b为截面单杆

73 用截面法灵活截取隔离体 FP 1 2 3

74 FP FN2 FN1 FN3 FAy

75 例3 试求图示K式桁架指定杆1、2、3的轴力.

76

77 联合法: 凡需同时应用结点法和截面法才能确定杆件内力时，统称为联合法.
例4 试求图示K式桁架指定杆ED的轴力.

78 零杆 由对点C的力矩式可求得FN1,再注意到上弦杆为零杆,由点C的投影式可求得ED杆的内力.

79 五 组合结构的内力计算 由只受轴力的二力杆和梁式杆件组成的结构，称为组合 结构。 对组合结构作受力分析时，一般先求支座反力，后求各链杆的轴力，再求梁式杆件的内力并绘其内力图。

80 一般有一些关键的联系杆 选择恰当方法解决关键杆内力计算 选择截面时，必须注意区分两类杆
静定组合结构 特点 既有桁架杆，又有弯曲杆 一般有一些关键的联系杆 求解的关键点 选择恰当方法解决关键杆内力计算 选择截面时，必须注意区分两类杆

81 4 例1 试求图示K式桁架指定杆ED的轴力. I M图(kN.m) 6 5 FN图(kN) 8 kN 2 m 4 m A B C D E G
12 4 6 M图(kN.m) 12 -6 FN图(kN) 5 6 5 kN 3 kN