Chapter 8 Method of Successive Aprproximations

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1 Chapter 8 Method of Successive Aprproximations
第八章 渐进法和近似法 Chapter Method of Successive Aprproximations 1、力矩分配法的基本思路 2、单结点的力矩分配法 3、多结点的力矩分配法 4、无剪力分配法

2 Chapter 8 Method of Successive Aprproximations
第八章 渐进法和近似法 Chapter Method of Successive Aprproximations 5、近似法 6、超静定结构的影响线 7、连续梁的内力包络图

3 1、力矩分配法的基本思路 力矩分配法：主要用于连续梁和无结点线位移刚架的计算。其特点是不需要建立和解算联立方程组，而在其计算简图上进行计算或列表进行计算，就能直接求得各杆杆端弯矩。 1）基本思路 用位移法求解该结构。 L 1 2 4 3 M EI=C 未知量： 杆端弯矩： 1 建立方程： ……①

4 解方程得： 回代得： 注意未知量的解中： 分母是围绕“1”结点每个单 元的转动刚度之和。分子是 作用于“1”结点的集中力矩。
L 1 2 4 3 M EI=C 注意未知量的解中： 分母是围绕“1”结点每个单 元的转动刚度之和。分子是 作用于“1”结点的集中力矩。 回代得： 注意杆端弯矩中： 分母是围绕“1”结点每个单 元的转动刚度之和。分子是 杆件自身的转动刚度和集中力 矩。 近 端 弯 矩

5 结论：计算中的：写杆端弯矩表达式；建立位移法方程；解方程 这几步可以省略掉。
L 1 2 4 3 M EI=C 近 端 弯 矩 远 端 弯 矩 注意杆端弯矩中： 近端弯矩与远端弯矩之间 有一定的关系。 结论：计算中的：写杆端弯矩表达式；建立位移法方程；解方程 这几步可以省略掉。

6 ——表示杆端抵抗转动的能力。它在数值上等于使杆 端产生单位转角时，在杆端所施加的力矩。
2）名词介绍 （1）转动刚度S ——表示杆端抵抗转动的能力。它在数值上等于使杆 端产生单位转角时，在杆端所施加的力矩。 两端固定单元： A B 4i 2i i ——两端固定梁的转动刚度 一端固定一端铰结单元： 3i A B i ——一端固定一端铰结梁的 转动刚度

7 一端固定一端滑动单元： ——一端固定一端滑动梁 的转动刚度 （2）传递系数C ——远端弯矩与近端弯矩的比值。 其中： 两端固定单元：
A B i -i ——一端固定一端滑动梁 的转动刚度 （2）传递系数C ——远端弯矩与近端弯矩的比值。 4i ——近端弯矩 2i ——远端弯矩 其中： 两端固定单元： A B 4i 2i i 传递系数： 远端弯矩 近端弯矩

8 一端固定一端铰结单元： 其中： 3i ——近端弯矩 0 ——远端弯矩 远端弯矩 传递系数： 近端弯矩 一端固定一端滑动单元： 其中：
A B i 3i ——近端弯矩 0 ——远端弯矩 其中： 传递系数： 远端弯矩 近端弯矩 一端固定一端滑动单元： i ——近端弯矩 -i ——远端弯矩 其中： A B i -i 传递系数： 远端弯矩 近端弯矩

9 ——结点i处，ij杆的转动刚度与围绕该结点所有杆件 转动刚度之和的比值。
（3）分配系数 ——结点i处，ij杆的转动刚度与围绕该结点所有杆件 转动刚度之和的比值。 计算公式： 围绕一个结点的分配系数之和等于1 ● 求各杆的分配系数 现在再来做前面的例题。 L 1 2 4 3 M EI=C

10 M=传递系数×近端弯矩 M=分配系数×结点力矩 从计算上来看比原来简单 了，但书写的篇幅不比原来的 注意：结点顺时针转的
● 求近端弯矩 ● 求远端弯矩 M=分配系数×结点力矩 M=传递系数×近端弯矩 从计算上来看比原来简单 了，但书写的篇幅不比原来的 少，因此有必要对其写形式进 行改造。 注意：结点顺时针转的 力矩为正，反之为负。

11 以上计算是在这样的前提下实现的： 3）力矩分配法的书写形式 ● 结点只有一个，而且是转角，没有侧移。 ● 荷载是结点力矩。
L A B C EI M 分配系数 杆端弯矩 以上计算是在这样的前提下实现的： ● 结点只有一个，而且是转角，没有侧移。 ● 荷载是结点力矩。 至于多结点的问题、节间荷载的问题下面继续讨论。

12 = + 2、单结点的力矩分配法 首先解决节间荷载的问题： A状态的内力： ——固端弯矩，可查表计算。 B状态的内力：
Mf 原结构 q A FP q A FP 在A结点加了 个刚臂，阻止其转动，相当 于在A点加了个结点力矩。 = A状态 + B状态 A -Mf A状态的内力： ——固端弯矩，可查表计算。 B状态的内力： ——分配弯矩，可用力矩分 配法计算。 在结点上加了个反向的力矩。

13 【例题1】用力矩分配法计算图示连续梁。 分配系数 固端弯矩 分配弯矩 最后弯矩 弯矩图kN.m 分配系数计算： 2kN 1kN/m B EI
C EI 2kN 2m 1kN/m A 4m 固端弯矩计算： 分配系数 分配弯矩 固端弯矩 最后弯矩 不平衡力矩计算： B 5/7 2 11/7 弯矩图kN.m

14 【例题2】用力矩分配法计算图示连续梁。 不平衡力矩计算： 弯矩图kN.m 分配系数 固端弯矩 分配弯矩 最后弯矩 3kN.m 2kN
B C EI 2kN 2m 1kN/m A 不平衡力矩计算： B 3kN.m 分配系数 分配弯矩 固端弯矩 最后弯矩 11/7 2 20/7 1/7 弯矩图kN.m

15 3、多结点的力矩分配法 1）计算原理与方法 多结点力矩分配法的思路是，首先把所有结点锁住，然后依次逐个放松结点，使结构处于“单结点”状态，再使用力矩分配法消去结点上的不平衡力矩，如此反复进行，使结点不平衡力矩逐渐减小，直至可以忽略，因此，它是一种渐近法。

16 3、多结点的力矩分配法 2）计算步骤 （1）计算各结点的分配系数； （2）将所有中间结点固定，计算各杆固端弯矩；
（3）将各结点轮流放松，分配与传递各结点的不平衡力 矩，直到传递弯矩小到可忽略为止； （4）把每一杆端历次的分配弯矩、传递弯矩和原有的 固端弯矩相加，即为各杆端的最后弯矩。

17 下面做一个薄钢片的试验： 原结构在荷载作用下， 发生如图所示的变形。 把两个铰支座固定，使其 变成3个独立的单跨梁。 把1号支座放松，相当于
2 把两个铰支座固定，使其 变成3个独立的单跨梁。 1 2 把1号支座放松，相当于 释放了支座处的不平衡 力矩。 1 2 1 2 把1号支座所住，放松2 号支座。相当于释放了 支座处的不平衡力矩。 如此反复进行，结构变形逐渐接近原结构。

18 = + + + 把刚才的实验过程体现在解题上： 原结构 把结点固定起来，求 固端弯矩。 用单结点的力矩分配 法，对1结点的不平衡
2 FP 原结构 1 2 FP = 把结点固定起来，求 固端弯矩。 1 2 + -M1 f 用单结点的力矩分配 法，对1结点的不平衡 力矩进行分配。 1 2 -M2 f + 锁住1结点，用单结点 的力矩分配法，对2结 点的不平衡力矩进行分 配。 +

19 【例题3】用力矩分配法计算图示连续梁。 2kN 4m 0.5 0.25 1 -1 -0.31 -0.625 0.08 0.155 0.655 0.33 -0.655 -0.04 分配系数 固端弯矩 分配与传递 最终弯矩

20 【例题4】用力矩分配法计算图示连续梁。 解：把悬臂DE去掉（由于静定，杆端弯矩已知），竖向集中力 移至D点，并加上一集中力矩4kN.m。
A B C D E 解：把悬臂DE去掉（由于静定，杆端弯矩已知），竖向集中力 移至D点，并加上一集中力矩4kN.m。 6kN.m 2kN/m 2kN A B C D 4kN.m 分配系数计算：

21 4m 6kN.m 2kN/m 2kN 4kN.m 0.43 0.57 0.5 4.0 -2.0 0.0 -4.0 0.86 1.14 0.70 0.94 0.47 -3.29 -1.65 -3.28 -1.64 -0.12 -0.23 -0.24 0.07 0.05 -1.77 0.39 -3.52 -2.48 -0.39 分配系数 固端弯矩 分配与传递 最终弯矩

22 解：由于结构有两根对称轴，因此取1/4 刚架如下所示。
A B C D E 1.76 2.48 3.52 0.39 4.00 弯矩图kN.m 【例题5】用力矩分配法计算图示对称刚架。 解：由于结构有两根对称轴，因此取1/4 刚架如下所示。 原结构 L q EI 取半刚架 EI q 取1/4刚架 q A B C

23 列表对1/4刚架进行分配： 固端弯矩 原结构 L 取半刚架 取1/4刚架 q EI A B C B A C 结点号 CA AC AB BA
杆端号 0.5 -qL2/12 0.0 -qL2/24 qL2/24 固端弯矩 分配系数 分配弯矩 最终弯矩 qL2 24 12 弯矩图

24 3、多结点的力矩分配法 小结： （1）结点受集中力偶M作用时，“不反号”分配，要注 意与不平衡力矩相区别。
（2）支座沉降等非荷载作用时，将其视为“广义荷载” 求固端弯矩（可根据转角位移方程或单跨超静定梁 的杆端内力表求得）。 （3）对于对称结构，可取半结构计算。 （4）对于多结点问题，为了使计算收敛速度加快，通常 宜从不平衡力矩值较大的结点开始计算。

25 解1：悬臂的处理同例题4，AB杆看作一端滑动一端固定单元，BC杆看作一端固定一端铰结单元。
【例题6】用力矩分配法计算图示超静定梁。 A B 10kN 4m C EI 6kN·m 4kN 2m 解1：悬臂的处理同例题4，AB杆看作一端滑动一端固定单元，BC杆看作一端固定一端铰结单元。 0.75 0.25 -6.00 6.00 8.00 2.00 固端弯矩 10.00 -20.00 20.00 -18.00 14.00 分配系数 -8.00 分配传递弯矩 最终弯矩 20 2 弯矩图(kN.m) 8 14

26 解2：悬臂的处理同例题4，AB杆看作一端滑动一端固定单元，BC杆看作两端固定单元。也就是固定B、C两个结点，并进行分配和传递。
【例题6】用力矩分配法计算图示超静定梁。 A B 10kN 4m C EI 6kN·m 4kN 2m 解2：悬臂的处理同例题4，AB杆看作一端滑动一端固定单元，BC杆看作两端固定单元。也就是固定B、C两个结点，并进行分配和传递。 0.8 0.2 8.0 -4.8 固端弯矩 -20.0 10.0 4.8 分配系数 -19.2 分配传递弯矩 最终弯矩 1.0 0.0 20.0 -9.6 9.6 -3.84 -0.96 0.96 -1.92 1.92 -0.77 -0.19 0.19 13.95 -2.05 8.05

27 4、无剪力分配法 1）两类刚架的区别 在位移法中，刚架被分为无侧移刚架与有侧移刚架 两类，它们的区别在于位移法的基本未知量。
无侧移刚架——基本未知量只含结点角位移； 有侧移刚架——基本未知量既含结点角位移，也含 有结点线位移。 2）两类解法的用途 力矩分配法——是求解无侧移刚架的渐近法； 无剪力分配法——是求解符合某些特定条件的 有侧移刚架的渐近法。

28 4、无剪力分配法 3）无剪力分配法的应用条件 用于结构中有侧移杆件的剪力是静定的。
剪力静定杆件——杆件两端虽有侧移，但剪力是静定的，即可根据静力平衡条件直接求出剪力的杆件。 FP A D C B 原结构 A D FP C B E H G F 有侧移杆的剪力不静定 FP 2FP 3FP 有侧移杆的剪力

29 原结构 FP FP/2 正对称 = 反对称 FP/2 + 反对称 FP/2 FP/2 半刚架 = 对此半刚架可用 无剪力法计算。

30 对此刚架用无剪力法计算时要注意： 时，要把所有柱子看作一端固定一端滑动 单元。 对本层的影响。 例如： 计算2层固端弯矩的荷载为：FP
1 2 3 对此刚架用无剪力法计算时要注意： ● 在计算分配系数、传递弯矩和求固端弯矩 时，要把所有柱子看作一端固定一端滑动 单元。 ● 在计算各层固端弯矩时，要记入上层荷载 对本层的影响。 例如： 计算3层固端弯矩的荷载为：FP/2 计算2层固端弯矩的荷载为：FP 计算1层固端弯矩的荷载为：3FP/2 A B D C E FP 此刚架不能用无剪力法计算

31 … 图示刚架有侧移杆件的剪力是静定的， 【例题7】用无剪力法计算图示刚架。 因此可以采用无剪力分配法计算，即把AB
4kN A C D E 4m 图示刚架有侧移杆件的剪力是静定的， 因此可以采用无剪力分配法计算，即把AB BC杆件看作：一端固定一端滑动单元。 C B A BE BA AB AD BC CB 0.75 0.25 0.2 0.6 -8.0 -16.0 4.8 14.4 -4.8 3.2 9.6 -3.2 … 其中：

32 【例题8】图示结构支座C发生向右水平位移,支座E发生顺时针 转角，试用力矩分配法作M图。
解：求由支座位移引起的固端弯矩。 A B C D E EI L

33 刚架的分配计算过程 A B C D E EI 结点编号 D A B E 杆端编号 DA AD AB BA BE BC EB 分配系数 0.2
0.8 4/11 3/11 固端弯矩 10 30 分配与 传递弯矩 -1.818 -3.636 -2.727 -0.364 0.364 1.454 0.727 -0.132 -0.264 -0.199 0.026 0.106 最终弯矩 0.39 -0.39 -3.173 6.10 -2.926 28.05

34 5、近似法 本节主要介绍以下三种近似法： 1）分层法 刚架在竖向荷载作用下，计算结果有以下两个特点： （1）结点的位移主要是转角，侧移很小；
● 分层法——计算刚架在竖向荷载作用下的弯矩 ● 弯矩一次分配法——计算刚架在竖向荷载作用下的弯矩 ● 反弯点法——计算刚架在水平荷载作用下的弯矩 1）分层法 刚架在竖向荷载作用下，计算结果有以下两个特点： （1）结点的位移主要是转角，侧移很小； （2）作用在某根梁上的荷载主要对本层及上下柱子有影 响，对其它层杆件的影响很小。

35 图示刚架在竖向荷载作用下，用精确法计算，其弯矩图 如下所示：
3m 1 4m q=10kN/m 6m 4 2 3 6 5 7 9 8 10 12 11 24.31 28.04 16.14 5.29 1.41 3.24 2.35 5.88 7.47 13.35 2.30 6.60 2.23 弯矩图（kN.m） 28.04 6.60 16.14 5.29 5

36 5、近似法 刚架在竖向荷载作用下，计算结果有以下两个特点： （1）结点的位移主要是转角，侧移很小；
（2）作用在某根梁上的荷载主要对本层及上下柱子有影 响，对其它层杆件的影响很小。 为了简化计算，由此作如下假设： （1）在竖向荷载作用下，忽略刚架的侧移； （2）作用在梁上的荷载只对本层梁及上下层的柱子有影响。

37 5、近似法 根据以上假设，计算可作如下简化： （1）计算方法：由于刚架的侧移被忽略，因此可以用力矩 分配法计算。
（2）计算简图：由于荷载只对本层梁及上下柱有影响，因 此计算简图只需取相关部分。 A C B D G H F E I q J K L 【例题9】 A C B D G H F E I q 可取 原结构

38 q 4 8 12 16 1 2 3 5 6 7 10 9 11 13 15 14 17 19 18 20 8 q 取 4 1 2 3 5 6 7 + 4 8 12 q 1 2 3 5 6 7 10 9 11 + 8 12 16 q 5 6 7 9 10 11 14 13 15 + 12 16 20 q 9 10 11 13 14 15 18 17 19

39 5、近似法 计算时要注意以下问题： （1）按上述4个计算简图，分别用力矩分配法进行计算。
（2）计算分配系数时，一层以上柱子的刚度要乘折减系数 0.9，传递系数取1/3。一层柱子的线刚度不需折减，传 递系数仍取1/2。 （3）对4个计算结果进行叠加，主要是一层以上柱其内力应 是两部分之和。 （4）柱子弯矩由于叠加后，在结点处就不平衡了，这就需要 在结点出再进行一次分配，但不需再传递。

40 q 4 8 12 16 1 2 3 5 6 7 10 9 11 13 15 14 17 19 18 20 8 q 取 4 1 2 3 5 6 7 + 4 8 12 q 1 2 3 5 6 7 10 9 11 + 8 12 16 q 5 6 7 9 10 11 14 13 15 + 12 16 20 q 9 10 11 13 14 15 18 17 19

41 以“1”结点为例： “1”结点 的弯矩不 平衡了。 计算简图1力矩分 配法的计算结果。 计算简图2力矩分 配法的计算结果。 两者叠加后1结
3 6 12 1 5 9 11 13 1 5 10 10 5 1 计算简图1力矩分 配法的计算结果。 计算简图2力矩分 配法的计算结果。 两者叠加后1结 点的计算结果。 0.6 1 0.4 3.0 10.0 -1.8 11.2 -10.0 -1.2 -11.2 对“1”结 点进行一 次分配。 红色为简图1分配结果 绿色为简图2分配结果 蓝色为一次分配结果 黑色为最后计算结果

42 本结构可以分顶层、中间层和底层三个部分进行分别计算，然后再迭加即可。
【例题10】用分层法计算图示刚架。 4 8 12 16 21kN/m 1 2 3 5 6 7 10 9 11 13 15 14 17kN/m 3.3m 5.0m 6.0m 2.5m 本结构可以分顶层、中间层和底层三个部分进行分别计算，然后再迭加即可。

43 4 8 1 2 3 5 6 7 17kN/m 17kN/m 1 2 5 6 2’ 三层 4 8 12 1 2 3 5 6 7 10 9 11 21kN/m 1 2 5 6 10 9 21kN/m 6’ 二层 12 16 8 5 6 7 9 10 11 14 13 15 21kN/m 5 6 9 10 14 13 21kN/m 10’ 一层

44 15.20 4.84 20.04 -15.20 29.55 -12.87 -4.07 -16.94 -16.68 弯 矩 叠 加 及 一 次 分 配 5.06 14.50 19.56 -4.28 -12.23 -16.51 14.50 4.12 18.62 -28.97 42.80 -12.23 -3.47 -15.70 -18.36 4.84 12.38 17.22 -4.07 -10.42 -14.49 21.47 -33.48 45.76 -18.06 -17.27

45 4.84 -15.20 -3.89 -19.09 29.55 2.92 32.47 -4.07 -16.68 0.44 -16.24 20.04 -0.95 19.09 -16.94 0.72 -16.22 弯 矩 叠 加 及 一 次 分 配 19.56 -1.52 18.04 -16.51 1.17 -15.34 9.21 -28.97 -6.17 -35.14 42.80 4.73 47.53 -7.77 -18.36 0.71 -17.65 18.64 -1.52 17.10 -15.70 1.16 -14.54 17.22 -0.71 16.51 -14.49 0.55 -13.99 4.85 -33.48 -2.90 -36.74 45.76 2.23 47.99 4.85 -17.27 0.33 -16.94 21.47 -1.24 -20.23 -18.06 0.95 -17.11

46 2）二次力矩分配法 ——刚架在竖向荷载作用下弯矩计算的近似方法。 做题步骤如下： ● 画出结构的计算简图，并在结点处画上两个框； ● 计算出各杆件的分配系数并填在对应的外框内； ● 计算出梁的固端弯矩填写在相应杆件的端部，然后计算出每个结点的不平衡力矩，并填在结点的内框中； ● 对各结点的不平衡力矩依次进行分配、传递（传至杆件的远端）传递系数均取1/2； ● 对结点的不平衡力矩进行第二次分配但不再传递； ● 计算最终弯矩：M=M固端+M分配1+M传递+M分配2

47 2）二次力矩分配法 分配系数 分配系数 分配系数 固端弯矩 固端弯矩 固端弯矩 固端弯矩 不平衡 力矩 不平衡 力矩 不平衡 力矩 分配弯矩
传递弯矩 传递弯矩 传递弯矩 传递弯矩 分配弯矩 分配弯矩 分配弯矩 分配弯矩 分配弯矩 分配弯矩 最终弯矩 最终弯矩 最终弯矩 最终弯矩 传递弯矩 传递弯矩 分配弯矩 分配弯矩 分配弯矩 分配弯矩 分配弯矩 分配弯矩 最终弯矩 传递弯矩 传递弯矩 传递弯矩 传递弯矩 最终弯矩 分配弯矩 分配弯矩 分配弯矩 分配弯矩 最终弯矩 最终弯矩 最终弯矩 最终弯矩 分配系数 分配系数 分配系数 固端弯矩 固端弯矩 固端弯矩 固端弯矩 不平衡 力矩 不平衡 力矩 不平衡 力矩 分配弯矩 分配弯矩 分配弯矩 分配弯矩 传递弯矩 传递弯矩 传递弯矩 传递弯矩 分配弯矩 分配弯矩 分配弯矩 分配弯矩 分配弯矩 分配弯矩 最终弯矩 最终弯矩 最终弯矩 最终弯矩 分配弯矩 分配弯矩 分配弯矩 最终弯矩 最终弯矩 分配弯矩 最终弯矩

48 5、近似法 3）反弯点法 ——刚架在水平荷载作用下弯矩计算的近似方法。 刚架在水平荷载作用下弯 矩图有以下的特点：
FP （1）弯矩图全是直线组成； （2）柱子的剪力沿杆长是常数； （3）柱子的弯矩图全有反弯点； （4）结点位移主要是侧移，转 角很小。

49 图示刚架在水平荷载作用下，用精确法计算，其弯矩图 如下所示：
82.13 52.74 29.38 53.54 54.30 53.16 42.10 44.16 54.26 32.00 28.08 51.98 80.06 28.75 47.62 18.89 19.44 25.61 21.02 27.41 49.42 19.60 19.98 29.82 10.80 10.26 21.06 弯矩图 F=40kN F=20kN 3m 1 4m 6m 4 2 3 6 5 7 9 8 10 12 11 42.10 32.00 44.16 54.26 5

50 （1）刚架在水平荷载作用下，结点只有侧移，转角为零； （2）一层以上柱子反弯点的高度在柱高的1/2处，底层柱在 柱高的2/3处。
为了简化计算，作如下假设： （1）刚架在水平荷载作用下，结点只有侧移，转角为零； （2）一层以上柱子反弯点的高度在柱高的1/2处，底层柱在 柱高的2/3处。 一层以上柱，由于假设转角为零，因此可看作两端固定单元，反弯点在柱中。 解释一下第2个假设： 反弯点在中间 两端固定单元 A B 一端固定一端铰结 反弯点在柱顶 一层柱由于底部是真正 的固定端，而部上刚结 点与固定端有一定的误 差，因此反弯点上移取 2/3柱高。

51 5、近似法 对每根柱子若已知了反弯点的高度，又知道了剪力的话， 其弯矩图就可画出。柱的弯矩知道了，梁的弯矩就可利用结 点平衡求出。
1 2 3 4 FP （1）求柱的剪力 例如求第三层柱的剪力， 取n-n截面： n 3 4 FP FQ31 FQ32 FQ33 FQ34

52 （1）求柱的剪力 例如求第三层柱的剪力， 取n-n截面： 其中任意根柱的剪力： 把△3代入剪力表达式可得： 由以上两式可得：
4 FP FQ31 FQ32 FQ33 FQ34 例如求第三层柱的剪力， 取n-n截面： 其中任意根柱的剪力： 把△3代入剪力表达式可得： 由以上两式可得： 其中“3”表示第3层。

53 5、近似法 由上分析得到任意层任意根柱的剪力计算公式： 第r层第i根柱子的侧移分配系数。分子 其中： 为第r层第i根柱子的线刚度，分母为第

54 5、近似法 （2）求梁的弯矩 由于柱的弯矩已求出，梁的弯矩只需在结点处按梁的线刚度分配柱的弯矩即可。 其中： 为i结点处第i根梁的线刚度。
MZ ML2 ML1 其中： 为i结点处第i根梁的线刚度。 为i结点处所有梁的线刚度之和。

55 【例题11】用反弯点法计算图示刚 架的弯矩，所有杆件的i均相同。 解：（1）求柱的剪力 （2）求柱的弯矩 10kN 3m 1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12 解：（1）求柱的剪力 （2）求柱的弯矩

56 （3）求梁的弯矩 其它梁端弯矩就 不再一一列出。 5 M12 1 5 M32 3 10 M56 5 M54 5 M23 2 M21 10

57 5、近似法 弯矩图 5 2.5 10 15 7.5 25 12.5

58 6、超静定结构的影响线 首先复习一下静定结构影响线的制作。 图示一简支梁，要作k点的弯矩影 响线，其步骤是：
a b L FP=1 x 图示一简支梁，要作k点的弯矩影 响线，其步骤是： （1）让单位力在k点的左侧移动，写 出k点弯矩的影响线方程： Mk=xb/L （2）让单位力在k点的右侧移动，写 Mk=xa/L （3）由影响线方程，用描点法画出 影响线。 k a b L FP=1 x k ab/L

59 对于超静定结构的影响线从理论上讲，可以完全按静定 结构的方法进行。 例如：求图示一次超静定梁k点的弯矩 影响线，其步骤是：
a b L FP=1 x （1）让单位力在k点的左侧移动，写出 k点弯矩的影响线方程； （2）让单位力在k点的右侧移动，写出 （3）由影响线方程用描点法画出影响线。 k a b L FP=1 x 但是上述写影响线方程的过程，均需用力法或位移法 多次求解超静定结构，工作量特别大。

60 6、超静定结构的影响线 下面介绍用力法来制作超静定结构影响线的方法，为此先 要建立一个概念：力法的基本体系可以取超静定的。
图示一两次超静定梁，可以 去掉一个约束，取图示基本体系， 它是一次超静定的。力法方程为： 4m 2m FP=10kN EI 原结构 基本体系 4m 2m FP=10 EI X1 但是求系数和自由项时，要 在基本体系上画弯矩图，因此需 要解两遍一次超静定结构。

61 6、超静定结构的影响线 以图示超静定连续梁Mk的影响线为例，说明用力法求作超静定影响线的方法。 （1）取基本体系 去掉与Mk相应的
原结构 FP=1 k （1）取基本体系 去掉与Mk相应的 约束，代之以内 力Xk ，即Mk。 基本体系 FP=1 k Mk= Xk

62 ——在Xk=1作用下，k点处的相对转角，是常数。
（2）力法方程 基本体系 FP=1 k Mk= Xk 由于荷载是单位力， 因此： Xk=1作用下的变形图 Xk=1 FP=1 又由位移互等定理： 力法方程可写成： ——在Xk=1作用下，k点处的相对转角，是常数。 ——在Xk=1作用下，FP点处的竖向位移，由于单位力可在 梁上任意移动，因此它是整个梁的绕度，是变量。

63 力法方程： 由上式可见： 与 成正比， 即为影响 线方程。因此 作用下，基本体系产 生的绕曲线即为 影 响线的大致图形。 下面分两部分介绍：
原结构 FP=1 k Xk=1作用下的变形图 Xk=1 由上式可见： 与 成正比， 即为影响 线方程。因此 作用下，基本体系产 生的绕曲线即为 影 响线的大致图形。 下面分两部分介绍： （1）绘制超静定结构影响线的大致图形； （2）绘制超静定结构影响线的精确图形。

64 1）绘制超静定结构影响线的大致图形 E FP=1 A D C B 原结构 FP=1 E A D C B FYC=1 FYC影响线大致图形 A
FQF=1 FQF影响线大致图形

65 1）绘制超静定结构影响线的大致图形 FP=1 A B C D E 原结构 MD=1 B E FP=1 A D C MD影响线大致图形 E
FQC=1 FQC右影响线大致图形

66 利用影响线的大致图形可以进行均布移动荷载的最不利布置。
FYCMAX布置 E A D C B FYC影响线大致图形 FYC=1 FP=1 FYCMIN布置 FQFMAX布置 A B C F D E FQF=1 FP=1 FQF影响线大致图形 FQFMIN布置

67 MDMAX布置 MD=1 B E FP=1 A D C MD影响线大致图形 MDMIN布置 F右QCMAX布置 FP=1 E A D C B FQC=1 FQC右影响线大致图形 F右QCMIN布置

68 移动均布荷载的最不利荷载分布总结： （1）支座最大反力对应的荷载分布 支座左右两跨布满活荷载，然后隔跨布置活荷载。
支座最小反力对应的荷载分布 支座左右两跨不布置活载，然后隔跨布置活荷载。 （2）跨中截面最大正弯矩对应的荷载分布 本跨布置活荷载，然后隔跨布置活荷载。 跨中截面最大负弯矩对应的荷载分布 本跨不布置活荷载，然后隔跨布置活荷载。 （3）支座剪力的布置方法同支座反力

69 2）绘制超静定结构影响线的精确图形 步骤如下： （1）撤去所求量值的相应约束，代之以多余力Xk,得到一个 n-1次超静定的力法基本体系； （2）建立力法方程，由于只有一个多余力，力法方程为： 即为影响线方程； （3）求系数和自由项 （超静定结构的位移），为此 要画出 （n-1次超静定结构的弯矩图），然后 由图乘法求出系数和自由项； （4）由影响线方程画出影响线图形。

70 2）绘制超静定结构影响线的精确图形 下面以一例题来具体说明制作方法和步骤。 （1）去掉B点的抗弯联 系，得到基本体系 如图所示。
● 求图示梁MB的影响线。 L EI A B C FP=1 原结构 （1）去掉B点的抗弯联 系，得到基本体系 如图所示。 （2）建立力法方程： MB=1 基本体系 L EI A B C FP=1

71 （3）求 作出MB 图、M1图、 MP图如右所示。 MB 图与M1图相乘 为 ，MB图MP图 相乘为 。 在图乘之前，先介 绍一下图乘公式。
A C MB图 1 1/2 （3）求 作出MB 图、M1图、 MP图如右所示。 A C 1 M1图 MB 图与M1图相乘 为 ，MB图MP图 相乘为 。 A C FP=1 x MP图 x-x2/L 在图乘之前，先介 绍一下图乘公式。

72 图乘公式1： 图乘公式2： 一根梁的两端受有MA、 MB时，在A点产生的转 角为（图1与图2相乘）： 在B点产生的转角为
L EI A B 图1 L EI A B 1 图2 在B点产生的转角为 （图1与图3相乘）： 图乘公式2： L EI A B 1 图3

73 一根梁的两端受有MA、MB时，在任意点x产生的竖向位移为（图1与图4相乘）： 图乘公式3：
x-x2/L L A B 图4 x FP=1 MA MB EI 图1

74 正负号的确定：弯矩与图1至图4相同时取正号，反之取负号。
（3）求 MB=1 A C MB图 1 1/2 利用图乘公式求 。 A C 1 M1图 正负号的确定：弯矩与图1至图4相同时取正号，反之取负号。

75 MB=1 A C MB图 1 1/2 （3）求 利用图乘公式求 。 A C FP=1 x MP图 x-x2/L B

76 6、超静定结构的影响线 （4）影响线方程 由影响线方程既可画出影响线。

77 6、超静定结构的影响线 （1）去掉A点的抗弯联 系，得到基本体系 如图所示。 （2）建立力法方程： L EI A B C FP=1 原结构
● 求图示梁MA的影响线。 L EI A B C FP=1 原结构 （1）去掉A点的抗弯联 系，得到基本体系 如图所示。 （2）建立力法方程： MA=1 基本体系 L EI A B C FP=1

78 （3）求 作出MA 图、M1图、 MP图如右所示。 MA 图与M1图相乘 为 ，MA图MP图 相乘为 。 MA图 M1图 MP图 MA=1
C MA图 1 0.25 （3）求 作出MA 图、M1图、 MP图如右所示。 A C 1 M1图 MA 图与M1图相乘 为 ，MA图MP图 相乘为 。 A C FP=1 x MP图 x-x2/L

79 （3）求 利用图乘公式： 即可求出 ，继而求出 。 MA图 M1图 MP图 MB=1 0.25 C A 1 A C 1 FP=1 FP=1
x x C A x-x2/L x-x2/L MP图 即可求出 ，继而求出 。

80 （1）取AB梁为隔离体， 如右图所示。 由： 得： 将前面求得的 代入，即得 的影响线方程。 L EI A B C FP=1 原结构 A B
● 求FYA的影响线。 （1）取AB梁为隔离体， 如右图所示。 由： A B FP=1 x 得： 将前面求得的 代入，即得 的影响线方程。

81 （2）取AB梁为隔离体， 如右图所示。 由： 得： 将前面求得的 代入，即得 的影响线方程。 L EI A B C FP=1 原结构 A B
● 求FYA的影响线。 （2）取AB梁为隔离体， 如右图所示。 由： A B 得： 将前面求得的 代入，即得 的影响线方程。

82 6、超静定结构的影响线 由上面的例题我们可以得出这样的结论：用力法作超静定结构影响线的顺序通常是： 原结构 ● 最先作支座弯矩的影响线；
● 最先作支座弯矩的影响线； ● 其次作支座剪力的影响线； ● 其次作支座反力的影响线； ● 最后才能作任意点内力的影响线。 原结构

83 A B C D E FP=1 F FQF=1 FQF影响线 MF=1 B E FP=1 A D C F MF影响线 E FP=1 A D C B FQC=1 FQC右影响线

84 7、连续梁的内力包络图 内力包络图：连续梁在恒载与移动活载共同作用下，由各截面最大和最小内力值连成的图形称为内力包络图。
作弯矩包络图的步骤如下： （1）作出恒载作用下的弯矩图； （2）作出各跨分别承受活载时的弯矩图； （3）将梁的各跨分为若干等分，将每个等分点截面上由恒 载产生的弯矩值与所有由活载产生的正弯矩相加，或与所 有由活载产生的负弯矩相加，即得各截面的最大和最小弯 矩值。

85 7、连续梁的内力包络图 （4）将各截面的最大弯矩值和最小弯矩值按同一比例表在梁上后，分别以曲线相连，即得弯矩包络图。
以图示结构为例，说明弯矩包络图的制作方法。 4m 16kN/m 30kN/m 移动活载 恒载

86 7、连续梁的内力包络图 恒载弯矩图 活载1弯矩图 25.6 16kN/m M1=17.60 4 M2=19.20 3 M3=4.80 1 2
31.96 活载1弯矩图 M1=36.50 M2=44.00 M3=21.00 M4=-31.96 1 2 3 4m 30kN/m 4

87 活载2弯矩图 活载3弯矩图 M1=-6.00 M2=-12.01 M3=-18.01 M4=-24.02 1 2 3 24.02 4m
16kN/m 4 活载3弯矩图 M1=2.00 M2=4.00 M3=6.00 M4=8.00 8.0 1 2 3 4m 30kN/m 4

88 弯矩包络图 恒载 M1=17.60 M2=19.20 M3=4.80 M4=-25.60 活载1 M1=36.50 M2=44.00
活载2 M1=-6.00 M2=-12.01 M3=-18.01 M4=-24.02 活载3 M1=2.00 M2=4.00 M3=6.00 M4=8.00 M1MIN= =11.60 M1MAX= =56.1 M2MIN= =7.19 M2MAX= =67.2 M3MIN= =-13.19 M3MAX= =31.8 M4MIN= =-81.6 M4MAX= =-17.6 弯矩包络图 81.60 17.6 1 2 3 4